5.静力学：相图、物理平衡复习

静力学的基本方程大家都是熟知的，对于每个物体写合力为零+合力矩为零，但是这样的后果是经常造出一个n 元一次方程组（n 元不等式的处理办法我们在上一讲已经部分解决）。

如何省去不必要的麻烦是这一讲的目标。

正是“去掉所有不必要的东西”，“用同一个方程表述尽量多的情况”这样的想法诱发了拉格朗日等人建立了理论力学。

如今理论力学已经几乎现代物理的标准描述方式。

静力学化简的基本原理在于，约束力是“要多大，有多大”。

约束力和约束总是成对出现，增加一个几何条件，增加一个未知的力。

如果能让一个约束力不出现在方程中，方程组就会从一个n 元一次方程组变成1n -元一次方程组。

要知道在n 很大的时候，解方程计算量大约是33n ，从而导致你的运算时间随着3n 增长，计算正确率随着33(1)n q -下降，其中q 是你一次计算犯错的概率。

所以要干事情就是不让约束力出现。

第一部分：矢量力学的基本方法1、 在垂直于约束力方向写方程，也就是高中天天念叨的“在XX 方向的分力”2、 通过合理选取支点，让一些力不出现。

注意 I 只有合外力等于0的体系才能导致体系不同点为支点计算力矩相同 II 同一个物体选择两个支点写方程，相当于一个力矩方程+一个不平行于支点连线方向的受力方程。

3、 通过以整体为对象，将内部相互作用消去（相当于用目测的办法把两个方程加了一下）4、 即将滑动的时候将摩擦力和支持力合成一个确定方向，不定大小的力。

然后配合矢量图或者三力汇交解决问题。

（相当于用目测的办法把f N μ=这个式子带入了）5、 计算的主要复杂度来源于将方程相加时候，要把同类项都乘一遍，再加一遍，如果能每次都能“用一个方程消灭一个未知数”，那么你解的就是n 个一元一次方程，而不是n 元一次方程组，正确概率会变成(1')n q -，时间变成n ，显然好了很多。

以5为最后目标，以1-4为手段，绝大部分静力学暴力计算题都可以合理时间内解决。

附加说明两点 1 明白这些原理的老师命的题可以使得以上做法全部失效，参见学而思出的《第29届复赛模拟试题汇编》（六套），在 下载。

2 如何在压根没时间解方程时候，只通过解方程混分，参见暑期最后一节课的骗分学导论。

本讲导学第4讲静力学化简知识模块例题精讲【例1】 经典老题，体会一下怎么从初学时候写三个方程，变化到写两个方程，再变化到只写一个方程。

（03年北京力学竞赛决赛）如图所示，一个半径为R 的光滑半球面固定在水平面上，ABC 代表一刚性均匀细杆，它和A 、B 点接触均无摩擦，若图示杆所处的位置是平衡位置，已测出AC=L ，那么图中的ABC 和水平的角度θ可以计算出来为______________。

【例2】 经典老题，注意怎么样选择支点，“每一步都解出一个未知数”，避免高元方程。

如图所示，半径分别为1r 和2r 的两个均匀圆柱体置于同一水平面上，在大圆柱上绕有一根细绳，通过细绳对大圆柱施以水平拉力P 。

设所有接触处的静摩擦因数均为μ。

为使在力P 的作用下，大圆柱能翻过小圆柱，问μ应满足何条件？【例3】 第28届复赛第二题，注意怎么样拆分体系，“每一步都解出一个未知数”，避免高元方程。

二、（20分）质量均匀分布的刚性杆AB 、CD 如图28复—2放置，A 点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA ，B 、D 两点与光滑竖直墙面接触，杆A B 和CD 接触处的静摩擦因数为μC ，两杆的质量均为m ，长度均为l .（1）已知系统平衡时AB 杆与墙面夹角θ，求CD 杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）。

（2）若μA =1.00，μC =0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）。

θα ABCD 图28复—2第二部分：分析力学的基本方法 详细的推导有兴趣的同学可以翻周乐柱写的《理论力学简明教程》。

我们只讲其中跟高中相关的。

在满足约束条件的情况下，约束力一定不做功，只有主动力做功，因此在写能量变化的方程的时候，只有主动力会出现，从而达到了消去约束力的目的。

例题精讲【例4】 复习一下情景的受力求法。

1. 质量为m 长度为1/4圆弧的链条铺在半径为R 的光滑圆柱上，为了保持平衡需要在顶端加一个水平拉力。

求拉力大小。

2. 质量为m 长度为l 的过山车驶过一个半径为R 的轨道，速度为v 。

求不同车厢之间的拉力随着不同位置θ变化的函数。

3. 分别计算表面张力为σ的球形气泡和两段封闭的圆柱形气泡的内外压强差。

半径为r4. 平行板电容器面积为S ，厚度为d 。

充电点为Q ，求两极板之间的作用力。

已知真空中电场的能量密度为2012E ε知识模块θ5. 还是那个电容器，两极板接电源0QdSεε=，求两极板之间的作用力。

6. 还是那个电容器，将其一般面积塞上介电系数为r ε的电介质，求维持平衡需要的外力。

7. 两块足够大的导体板，相距为d ，流动着面电流密度为α的电流，两面流动方向相反。

求为了保持平衡单位面积上需要加的外力为多少。

已知真空中磁场能量密度为22B μ。

总结：使用虚功原理的条件。

1. 平衡态2. 保守力3. 能量和做功能顺利写出 虚功原理的使用步骤1. 寻找合适的变量（满足约束条件的独立变量）2. 写出体系总能量3. 写出这个变量变化的时候对应的做功表达式【例5】 1.求圆心角为θ的匀质圆环的质心2.求匀质半圆柱的质心3.把这个半圆柱放在斜面上，能保持平衡。

求斜面倾斜角度和摩擦系数应当满足的条件。

F【例6】平衡吊如图四根杆铰接。

长度比为3：3：1：1。

短杆长度为l，两边吊着质量为m的重物，中间放着原长为22l的弹簧，要求平衡的时候杆和水平角度为45︒，问弹簧劲度系数应当为多少。

【例7】如图做出一个半径为半R的圆形的厚度为h的平行板电容器，其中是一个质量为m能绕过圆心的轴宣传的金属片。

上下两片接电压U。

中间版接地。

先让中间的板转出θ角度。

1、问当前状态是否平衡。

是否稳定。

如果稳定，求出振动周期；如果不平衡求出保持平衡所需要的力矩`。

2、将电压条件换成上下极板带电为各自为Q，中间极板带电为2Q-，重做第一问。

【例8】如图左右是两面墙，中间是两个相同的圆柱，所有地方磨擦系数足够。

圆柱均匀，质量均为m。

问体系是否可能平衡。

若可以，求出平衡对应的条件。

若不能，描述体系从静止开始的运动。

【例9】无限大空间充满密度为ρ的水。

中间放置了两个空心硬质球，半径为r，距离为l。

求保持两球平衡所需的外力。

【例10】喀什米尔效应（选讲）<<。

两块面积为S的间距为h的金属板对立放置h S1、求两块板之间可能的电磁波的驻波频率（只考虑垂直于板方向）2、我们做一个不正确的但是便于理解的近似：当温度为T的时候，能量状态大于kT的态上没有光子，能量状态小于kT的态上有一个光子。

求这个体系的电磁波的能量。

3、求为了保持两块板平衡所需要的外力。

物理世界太阳风太阳风是从恒星上层大气射出的超声速等离子体带电粒子流。

在不是太阳的情况下，这种带电粒子流也常称为“恒星风”。

太阳风是一种连续存在，来自太阳并以200-800km/s的速度运动的等离子体流。

这种物质虽然与地球上的空气不同，不是由气体的分子组成，而是由更简单的比原子还小一个层次的基本粒子——质子和电子等组成，但它们流动时所产生的效应与空气流动十分相似，所以称它为太阳风。

太阳会在太阳黑子活动的高峰时产生太阳风暴，它是由美国“水手2号”探测器于1962 年发现的，它是太阳因能量的增加而使得自身活动加强，从而向广袤的空间释放出大量带电粒子所形成的高速粒子流，科学家把这一现象比喻为太阳打“喷嚏”。

由于太阳风中的气团主要内容是带电等离子体，并高速闯入太空，因此它会对地球的空间环境产生巨大的冲击。

1850年，一位名叫卡林顿的英国天文学家在观察太阳黑子时，发现在太阳表面上出现了一道小小的闪光，它持续了约5分钟。

卡林顿认为自己碰巧看到一颗大陨石落在太阳上。

到了20世纪20年代，由于有了更精致的研究太阳的仪器。

人们发现这种“太阳光”是普通的事情，它的出现往往与太阳黑子有关。

例如，1899年，美国天文学家霍尔发明了一种“太阳摄谱仪”，能够用来观察太阳发出的某一种波长的光。

这样，人们就能够靠太阳大气中发光的氢、钙元素等的光，拍摄到太阳的照片。

结果查明，太阳的闪光和什么陨石毫不相干，那不过是炽热的氢的短暂爆炸而已。

在本世纪之前，这类情况对人类并没有发生什么影响。

但是，到了20世纪，人们发现，磁暴会影响无线电接收，各种电子设备也会受到影响。

由于人类越来越依赖于这些设备，磁暴也就变得越来越事关重大了。

比如说，在磁暴期内，无线电和电视传播会中断，雷达也不能工作。

70年代的一次太阳风暴导致大气活动加剧，增加了当时属于苏联的“礼炮”号空间站的飞行阻力，从而使其脱离了原来的轨道。

1989年，太阳风暴曾使加拿大魁北克省和美国新泽西州的供电系统受到破坏，造成的损失超过10亿美元。

由太阳黑子活动引起的太阳风暴对商业卫星也是重大的考验。