一次函数,反比例函数与四边形的综合题
一次函数与反比例函数的综合
四边形
1，如图12，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)m
y x x
=
>的图象经过点D ，点P 是一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象与该反比例函数图象的一个公共点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数33(0)y kx k k =+-≠的图象一定过点C ；
（3）对于一次函数33(0)y kx k k =+-≠，当y x 随的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 2，看图说故事。
请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系式，要求：①指出x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量
3，如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，点E （4，n ）在边AB 上，反比例函数（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D 、E ，且
tan ∠BOA=．
（1）求边AB 的长；
（2）求反比例函数的解析式和n 的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC 交于点F ，将矩形折叠，使点O 与点F 重合，折痕分别与x 、y 轴正半轴交于点H 、G ，求线段OG 的长．
4．如图5，双曲线)0(>=
k x
k
y 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．
5，如图9，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)的位置随b 的不同取值而变化． (1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．
当b = 时，直线l ：y =－2x +b (b ≥0)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：y = －2x +b (b ≥0)与OM 相切：
(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A (2，0)、BC 6，O )、C (6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，
6，如图，在平面直角坐标系中有Rt △ABC ，∠A ＝90°，AB ＝AC ，A （－2，0）、B （0，1）、
C （d ，2）。
（1）求d 的值；
（2）将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B 、C 两点的对应点B ′、C ′正好落在某
反比例函数图像上。
请求出这个反比例函数和此时的直线B ′C ′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC 交y 轴于点G 。
问是否存在x 轴上的点M 和反比例函数
图像上的点P ，使得四边形PGMC ′是平行四边形。
如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存在，请说明理由。
7，如图，在平面直角坐标系x O y 中，梯形AOBC 的边OB 在x 轴的正半轴上，AC //OB ,BC ⊥OB ,过点A 的双曲线x
k
y =
的一支在第一象限交梯形对角线OC 于点D ,交边BC 于点E . （1）填空：双曲线的另一支在第 象限，k 的取值范围是 ； （2）若点C 的坐标为（2,2），当点E 在什么位置时，阴影部分面积S 最小？ （3）若2
1
OC =OD ，S △OAC =2 ，求双曲线的解析式.
8. 如图，点A 是反比例函数y =（x ＞0）的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y =﹣的图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为（ ）
x
B
y
A ′
O
C
A
G
B ′
C ′
O
x
y
E D
C B
A 第25题图
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9，如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点A , C 的坐标分别为A (2,0),C (－1,2),反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图像经过点B . (1)求k 的值．
（2）将OABC 沿着x 轴翻折，点C 落在点'
C 处．判断点'
C 是否在反比例函数
(0)k
y k x
=
≠的图像上，请通过计算说明理由．
10，已知，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =2，点M 为边BC 的中点，点P 为边CD 上的动点（点P 异于C 、D 两点）。
连接PM ，过点P 作PM 的垂线与射线DA 相交于点E （如图）。
设CP =x ，DE =y 。
（1）写出y 与x 之间的函数关系式 , ； （2）若点E 与点A 重合，则x 的值为 ；
（3）是否存在点P ，使得点D 关于直线PE 的对称点D ′落在边AB 上？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由。
11，如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．
（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
12，如图，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为（－3，2）．若反比例函数
k y
x
（x>0）的图像经过点A，则k的值为
(A) －6. (B) －3. (C) 3. (D) 6.
13，如图，等腰梯形ABCD放置在平面坐标系中，已知A（－2，0）、B（6，0）、D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的解析式；
（2）将等腰梯形ABCD向上平移2个单位后，问点B是否落在双曲线上？
14，等腰梯形ABCD 放置于平面直角坐标系中，已知)3,0(),0,6(),0,2(D B A -反比例函数的图像经过点C 。
（1）.求点C 的坐标及反比例函数的解析式。
（2）. 将等腰梯形ABCD 向上平移m 个单位长度，使得点B 恰好落于双曲线上，求m 的值。
15，已知，如图，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为（0，24 ），经过原点的直线l 1与经过点A 的直线l 2相交于点B ，点B 坐标为（18，6）.
(1)求直线l 1，l 2的表达式；
(2)点C 为线段OB 上一动点 （点C 不与点O ，B 重合），作CD ∥y 轴交直线l 2于点D ，过点C ，D 分别向y 轴作垂线，垂足分别为F ，E ，得到矩形CDEF .
①设点C 的纵坐标为a ，求点D 的坐标（用含a 的代数式表示）； ②若矩形CDEF 的面积为60，请直接．．
写出此时点C 的坐标．
16，如图，已知第一象限内的图象是反比例函数错误！未找到引用源。
图象的一个分支，第
二象限
内的图象是反比例函数2
y=x
-
错误！未找到引用源。
图象的一个分支，在错误！未找到引用源。
轴上方有一条平行于错误！未找到引用源。
轴的直线错误！未找到引用源。
与它们分别交于点A 、
B ，过点A 、B 作错误！未找到引用源。
轴的垂线，垂足分别为
C 、D.若四边形ACDB 的周
长为8且AB<AC ，则点A 的坐标是 , .
17，如图，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与⊙O 交于A 、B 两点，点O 关于直线y ＝x ＋b 的对称点O′， (1)求证：四边形OAO′B 是菱形； (2)当点O′落在⊙O 上时，求b 的值．
18，如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 1:y=1
2
x 与直线l 2：y=－x+6相交于点M ，直线l 2与x 轴相较于点N. （1） 求M ，N 的坐标；
（2） 在矩形ABCD 中，已知AB=1，BC=2，边AB 在x 轴上，矩形ABCD 沿x 轴自左向
右以每秒1个
单位长度的速度移动.设矩形ABCD 与△OMN 的重叠部分的面积为S.移动的时间为t （从点B 与点O 重合时开始计时，到点A 与点N 重合时计时结束）。
直接写出S 与自变量t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；
（3） 在（2）的条件下，当t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值.
19，如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是①③④（填序号）．。
备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案
备考2024年中考数学二轮复习-函数_反比例函数_反比例函数系数k的几何意义-综合题专训及答案反比例函数系数k的几何意义综合题专训1、(2019盘锦.中考真卷) 如图，四边形ABCD是矩形，点A在第四象限y1＝﹣的图象上，点B在第一象限y2＝的图象上，AB交x轴于点E，点C与点D在y轴上，AD＝，S矩形OCBE＝ S矩形ODAE.（1）求点B的坐标.（2）若点P在x轴上，S△BPE＝3，求直线BP的解析式.2、(2019镇江.中考真卷) 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接 .已知与的面积满足 .（1）＝，＝；（2）已知点在线段上，当时，求点的坐标.3、(2018常州.中考真卷) 如图，已知点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．4、(2017兴化.中考模拟) 已知点A（1，2）、点 B在双曲线y= （x＞0）上，过B作BC⊥x轴于点C，如图，P是y轴上一点，（1）求k的值及△PBC的面积；（2）设点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x2＞x1＞0）是双曲线y= （x＞0）上的任意两点，s= ，t= ，试判断s与t 的大小关系，并说明理由．5、(2018深圳.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．6、(2018河南.中考模拟) 如图，点P是反比例函数y= （k＞0）图象在第一象限上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为M，若△POM的面积为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B坐标为（0，﹣2），点A为直线y=x与反比例函数y= （k＞0）图象在第一象限上的交点，连接AB，过A作AC⊥y 轴于点C，若△ABC与△POM相似，求点P的坐标．7、(2017黄冈.中考模拟) 如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上点P（m，n）是函数图象上任意一点，过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为E，F．并设矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面积为S．（1）求k的值；（2）当S= 时，求P点的坐标；（3）写出S关于m的关系式．8、(2017黄冈.中考模拟) 反比例函数y= 在第一象限的图象如图所示，过点A（1，0）作x轴的垂线，交反比例函数y= 的图象于点M，△AOM的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）设点B的坐标为（t，0），其中t＞1．若以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数y= 的图象上，求t的值．9、(2020辽宁.中考模拟) 如图，已知∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象过点，反比例函数的图象过点A.（1）求和的值.（2）过点B作BC∥x轴，与双曲线交于点C.求△OAC的面积.10、(2017湖北.中考真卷) 如图，∠AOB=90°，反比例函数y=﹣（x＜0）的图象过点A（﹣1，a），反比例函数y= （k＞0，x＞0）的图象过点B，且AB∥x轴．（1）求a和k的值；（2）过点B作MN∥OA，交x轴于点M，交y轴于点N，交双曲线y= 于另一点，求△OBC的面积．11、(2018株洲.中考真卷) 如图，已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B，过点A作AD⊥轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为，△AOD的面积为2.（1）求的值及 =4时的值；（2）记表示为不超过的最大整数，例如：，，设 ,若，求值12、(2017常德.中考真卷) 如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y= 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围．13、(2018深圳.中考模拟) 如图，直线y=3x与双曲线y= （k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．14、(2018广州.中考真卷) 设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为。
反比例函数与几何的综合应用及答案
专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程组,解方程组即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6x>0的图象交于Am,6,B3,n 两点． 1求一次函数的解析式；2根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； 3求△AOB 的面积．第1题2．如图,点A,B 分别在x 轴、y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,AO ＝CD ＝2,AB ＝DA＝,反比例函数y ＝x kk ＞0的图象过CD 的中点E.1求证：△AOB ≌△DCA ； 2求k 的值；3△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点F 在y 轴上,试判断点G 是否在反比例函数的图象上,并说明理由．第2题反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图,过反比例函数y ＝x 6x ＞0的图象上一点A 作x 轴的平行线,交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点B,过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点D,交x 轴于点C,连接AD 交y 轴于点E,若OC ＝3,求OE 的长．第3题反比例函数与矩形的综合4．如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别是4,0和0,2,反比例函数y ＝x kx>0的图象过对角线的交点P 并且与AB,第4题BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________．5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB. 1求证：四边形AEBD 是菱形；2如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．第5题反比例函数与菱形的综合6．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象第6题经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为A ．2B ．4C ．2D ．47．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上,点D 的坐标为4,3．1求k 的值；2若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上时,求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．第7题反比例函数与正方形的综合8．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,反比例函数y ＝x kx ＞0,k ≠0的图象经过线段BC 的中点D1求k 的值；2若点Px,y 在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q,记四边形CQPR 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．第8题反比例函数与圆的综合第9题9．如图,双曲线y ＝x kk>0与⊙O 在第一象限内交于P,Q 两点,分别过P,Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 的坐标为1,3,则图中阴影部分的面积为________．10．如图,反比例函数y ＝x kk ＜0的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验,求针头落在阴影区域内的概率．第10题专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点,既有与本学科知识的综合,也有与其他学科知识的综合,题型既有选择、填空,也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念,2个方法,2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝m －1x |m|－2是反比例函数,则m 的取值为A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为 5 km ,一同学骑车从学校到县城的平均速度v km /h 与所用时间t h 之间的函数解析式是A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2aa 为常数且a ≠0． 其中________是反比例函数．填序号 2个方法：画反比例函数图象的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表：1试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式； 2画出这个函数的图象． 求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A1,－k ＋4．试确定这两个函数的解析式．6．如图,已知A －4,n,B2,－4是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：1反比例函数和一次函数的解析式；2直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； 3方程kx ＋b －x m＝0的解请直接写出答案；4不等式kx ＋b －x m <0的解集请直接写出答案．第6题2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象,并根据图象回答问题： 1根据图象指出当y ＝－2时x 的值；2根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； 3根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围． 反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时．由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x 单位：吨,库存的原料可使用的时间为y 单位：小时．1写出y 关于x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围．2若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x 应控制在什么范围内1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图,A,B 是双曲线y ＝x k k ≠0上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C.若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为A .34B .38C ．3D ．4第9题第10题10．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象,点P 是y ＝x 6的图象上一动点,PA ⊥x 轴于点A,交y ＝x 3的图象于点C,PB ⊥y 轴于点B,交y ＝x 3的图象于点D.1求证：D 是BP 的中点； 2求四边形ODPC 的面积．第11题答案1．解：1∵Am,6,B3,n 两点在反比例函数y ＝x 6x>0的图象上, ∴m ＝1,n ＝2,即 A1,6,B3,2．又∵A1,6,B3,2在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上,∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.第1题2根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.3如图,分别过点A,B 作AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E,C,设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0,得x ＝4,即D4,0．∵A1,6,B3,2,∴AE ＝6,BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．1证明：∵点A,B 分别在x 轴,y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中,∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. 2解：在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,DA ＝,∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3.∴D 点坐标为3,2．∵点E 为CD 的中点,∴点E 的坐标为3,1．∴k ＝3×1＝3.3解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1,BF ＝DC ＝2,∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1,∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为1,3．∵1×3＝3,∴点G1,3在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA,AB ∥x 轴,∴四边形ABCO 为平行四边形．∴AB ＝OC ＝3.设A a 6,则B a 6,∴a －3·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A2,3,B －1,3．∵OC ＝3,C 在x 轴负半轴上,∴C －3,0,设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b, 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29.解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n, 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C0,2,A4,0,由矩形的性质可得P2,1,把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2,所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D 点的横坐标为4,所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2,所以2＝CE 2,所以CE ＝1,则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．1证明：∵BE ∥AC,AE ∥OB, ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形,∴DA ＝21AC,DB ＝21OB,AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形．2解：如图,连接DE,交AB 于F,∵四边形AEBD 是菱形,∴DF ＝EF ＝21OA ＝23,AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k ,把点E ，19的坐标代入得1＝29,解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.第5题第7题6．D 7．解：1如图,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F.∵点D 的坐标为4,3,∴OF ＝4,DF ＝3.∴OD ＝5.∴AD ＝5.∴点A 的坐标为4,8．∴k ＝xy ＝4×8＝32.2将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数y ＝x 32x>0的图象上点D ′处,过点D ′作x 轴的垂线,垂足为F ′.∵DF ＝3,∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上,∴3＝x 32,解得x ＝332,即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：1∵正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,∴C0,2．∵D 是BC 的中点,∴D1,2．∵反比例函数y ＝x k x ＞0,k ≠0的图象经过点D,∴k ＝2.2当P 在直线BC 的上方,即0＜x ＜1时,∵点Px,y 在该反比例函数的图象上运动,∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方,即x ＞1时,同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2,综上,S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O 面积的41,则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 3．①③④4．解：1反比例函数：y ＝－x 6.2如图所示．第4题 5．解：∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A1,－k ＋4,∴－k ＋4＝1k ,即－k ＋4＝k,∴k ＝2,∴A1,2．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A1,2,∴2＝1＋b,∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2,一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：1将B2,－4的坐标代入y ＝x m ,得－4＝2m ,解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A －4,n 在双曲线y ＝x －8上,∴n ＝2.∴A －4,2．把A －4,2,B2,－4的坐标分别代入y ＝kx ＋b,得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.2令y ＝0,则－x －2＝0,x ＝－2.∴C －2,0．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.3x 1＝－4,x 2＝2.4－4<x<0或x>2.7．解：如图,由观察可知：1当y ＝－2时,x ＝－3；2当－2<x<1且x ≠0时,y<－3或y>6；3当－3<y<2且y ≠0时,x<－2或x>3.第7题点拨：解决问题时,画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图．8．解：1库存原料为2×60＝120吨,根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.2根据题意,得y ≥24,所以x 120≥24.解不等式,得x ≤5,即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：1由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．2要使机器不停止运转,需y ≥24,解不等式即可．第9题9．B 点拨：如图,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,∵D 为OB 的中点,∴CD 是△OBE 的中位线,则CD ＝21BE.设A x k ,则B 2x k ,CD ＝4x k ,AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1,∴21AD ·OC ＝1,即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．1证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上,∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上,BP ∥x 轴,D 在BP 上,∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3,BP ＝m 6,故D 是BP 的中点．2解：由题意可知S △BOD ＝23,S △AOC ＝23,S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合【含答案】
2023年九年级中考数学专题专练--反比例函数与一次函数的综合1．如图，在平面直角坐标系中，点A(m ，n)（m ＞0）在双曲线y ＝ 上.4x （1）如图1，m ＝1，∠AOB ＝45°，点B 正好在y ＝ （x ＞0）上，求B 点坐标； 4x （2）如图2，线段OA 绕O 点旋转至OC ，且C 点正好落在y ＝ 上，C(a ，b)，试求m 与a4x 的数量关系.2．如图，一次函数y=kx+3的图象与反比例函数y= 的图象交于P 、Q 两点，PA ⊥x 轴于点A ，mx 一次函数的图象分别交x 轴、y 轴于点C ，点B，其中OA=6，且 ．12OC CA（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△APQ 的面积；（3）根据图象写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．3．如图，已知一次函数y 1=k 1x+b （k 1为常数，且k 1≠0）的图象与反比例函数y 2= （k 2为常数，2k x 且k 2≠0）的图象相交于A （1，2），B （m ，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若A 1（m 1，n 1），A （m 2，n 2），A 3（m 3，n 3）为反比例函数图象上的三点，且m 1＜m 2＜0＜m 3，请直接写出n 1、n 2、n 3的大小关系式；（3）结合图象，请直接写出关于x 的不等式k 1x+b ＞ 的解集．2k x 4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x﹣2与双曲线y= (k≠0)相交于A，B 两点，且点Akx 的横坐标是3.（1）求k 的值；（2）过点P(0，n)作直线，使直线与x 轴平行，直线与直线y=x﹣2交于点M ，与双曲线y=kx (k≠0)交于点N ，若点M 在N 右边，求n 的取值范围.5．已知双曲线y= 和直线y=kx+4．6x （1）若直线y=kx+4与双曲线y= 有唯一公共点，求k 的值．6x（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．当x 1＞x 2，请借助图象比较y 1与y 2的大小．6．如图，已知A （﹣2，﹣2），B （1，4）是一次函数y ＝kx+b （k≠0）的图象和反比例函数（m≠0）的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C.my x =（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOC 的面积；（3）结合图象直接写出不等式的解集.mkx b x +＜7．如图，在平面直角坐标系系中，一次函数y 1=kx+b(k0）与反比例函数y 2= （m≠0）的图象交mx 于第二、第四象限A ，B 两点，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，AD=4，sin ∠AOD= ，且点B 的45坐标为（n ，-2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）将一次函数y 1=kx+b(k0）向下移动2个单位的函数记为y 3，当y 3<y 2时，求x 的取值范围。
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合
2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合1．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2﹣S1，求S的最大值．2．已知：如图所示，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x 轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求M点坐标．3．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．4．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．5．如图，已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在函数（x＜0）的图象上，点C在函数（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形．（1）若点A的坐标为（，2），求点D的坐标；（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积是否变化？如果不变，求出其面积；（3）若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在＞0，x＞0），＜0，x＜0），＞0，x＜0），＜0，x＞0）上，请直接写出k1、k2、k3、k4满足的数量关系式．6．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），与x轴交于点A．点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD．（1）求a，k的值；（2）若点P为x轴上的一点，求当PB+PC最小时，点P的坐标；（3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），过A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点D，连接CD，AB∥CD．（1）证明：四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）求sin∠DAC的值．8．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，OB＝2．一次函数交y轴于点C（0，﹣1），交反比例函数于A、D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAD的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点PP的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m （m＞0）.（1）如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．（2）如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB 时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．11．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D 两点．（1）求k的值；（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．12．综合与探究如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C 的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函数解析式；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k ＞0）的图象交于A、B两点（点A在点B左边），交x轴于点C，延长AO交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，点F为第四象限内一点，∠AFE＝90°，连接OF．（1）填空：FO AO（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）连接CF，若AF平分∠OAC．①若△AFC的面积为10，求k的值；②连接BF，四边形AOFB能否为菱形？若能，直接写出符合条件的k的值；若不能，说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A 顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；（3）在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（m，2），B 两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请根据函数图象的轴对称性，直接写出点B的坐标为；当y1＞y2，则自变量x的取值范围是；（3）在平面直角坐标系内，是否存在一点P，使以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S＝．△PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P 从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线交于点M（﹣4，m）、N（n，﹣4），与x轴交于A．（1）求k、b的值．（2）①将直线y＝kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线．②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，过点A作AE⊥CD，垂足为E．（1）若点A（6，8），点E（6，14）．①求AO的长；②线段MN在y轴上移动（点M在点N的上方），MN＝2，当四边形AEMN的周长最小时，求点M的坐标；（2）如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，AO⊥AD，AO＝AB，DE＝4CE，连结OE，OF，EF，且S△EOF＝．求反比例函数的表达式．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）把A（1，3）的坐标分别代入y＝、y＝﹣x+b，∴m＝xy＝3，3＝﹣1+b，∴m＝3，b＝4．（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝﹣x+4，∵直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，∴可设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，﹣x+4），其中，x＞0，又∵MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴四边形MDOC、NEOC都是矩形，∴S1＝x•＝3，S2＝x•（﹣x+4）＝﹣x2+4x，∴S＝S2﹣S1＝（﹣x2+4x）﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．其中，x＞0，∵a＝﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x＝2时，S取最大值，其最大值为1．2．【解答】解：（1）∵点A（3，2）为正比例函数与反比例函数的交点，∴将x＝3，y＝2代入正比例解析式y＝ax得：3a＝2，解得：a＝，将x＝3，y＝2代入反比例解析式y＝得：＝2，解得：k＝6，∴正比例函数解析式为y＝x，反比例函数解析式为y＝；（2）过M作MN⊥x轴于N点．∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函数图象上的一动点，且四边形OCDB为矩形，∴mn＝6，BM＝m，BO＝DC＝MN＝n，又A（3，2），∴AC＝2，OC＝3，又mn＝6，＝S矩形OCDB﹣S△BMO﹣S△AOC＝3n﹣mn﹣×2×3＝3n﹣6＝6，∴S四边形OADM解得：n＝4，由mn＝6，得到4m＝6，解得：m＝，则M坐标为（，4）．3．【解答】解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA＝OC＝2，∴点B坐标为（2，2），将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，∴k＝2×2＝4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON＝OM＝2AO＝4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y＝的图象上，∴当x＝4时，y＝1，即E（4，1），当y＝4时，x＝1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y＝mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m＝﹣1，n＝5．∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5．4．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k＝，所以正比例函数解析式为y＝x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），＝OB•BQ＝×m×m＝m2，于是S△OBQ＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，而S△OAP所以有，m2＝1，解得m＝±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+4，所以当（n﹣）2＝0即n﹣＝0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+4．（或因为反比例函数是关于y＝x对称，所以当Q在反比例函数时候，OQ最短的时候，就是反比例与y＝x的交点时候，联立方程组即可得到点Q坐标）5．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，∴B点纵坐标为2，又点B在函数（x＜0）的图象上，∴当y＝2时，x＝﹣1.5，∴B（﹣1.5，2），∵BC∥y轴，∴C点横坐标为﹣1.5，又点C在函数（x＜0）的图象上，∴当x＝﹣1.5时，y＝﹣4，∴C（﹣1.5，﹣4）．∵AD⊥y轴，∴D（0.5，﹣4）．（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积不变．理由如下：如图，设AB、CD与y轴分别交于F、G，BC、AD与x轴分别交于E、H，设A（a，），则B（﹣3a，），C（﹣3a，﹣），D（a，﹣）．∵矩形ABCD的面积＝矩形AFOH的面积+矩形BFOE的面积+矩形CEOG的面积+矩形DHOG的面积＝1+3+6+2＝12．（3）设A（t，），则B（，），C（，），D（t，），又∵点D在y＝的图象上，t•＝k4，∴k1k3＝k2k4．6．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），∴a＝3﹣1，∴a＝2．∴B（3，2），∴k＝3×2＝6；（2）令y＝0，则x﹣1＝0，∴x＝1．∴A（1，0），∴OA＝1，∵OA＝AD，∴AD＝1，∴OD＝2，∴点C的横坐标为2，由（1）知：k＝6，∴反比例函数y＝（x＞0）的解析式为y＝．∴y＝＝3，∴C（2，3）．设点C关于x轴的对称点C′，则C′（2，﹣3），连接BC′，交x轴于点P，如图，则此时PB+PC最小．设直线BC′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC′的解析式为y＝5x﹣13．令y＝0，则5x﹣13＝0，∴x＝．∴P（，0）；（3）存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，理由：①当四边形ABFC为平行四边形时，如图，由（2）知：AD＝1，C（2，3），B（3，2），OD＝2，∴CD＝3，DM＝2，BM＝1．过点F作FG⊥x轴，过点B作MH∥x轴交CD于点M，交FG于点H，∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，∴CD∥FG．∵四边形ABFC为平行四边形，∴AC∥FB，AC＝FB．∴∠ACD＝∠BFH．在△ACD和△BFH中，，∴△ACD≌△BFH（AAS），∴AD＝BH＝1，CD＝FH＝3．∴MH＝MB+BH＝2．∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，MH∥x轴，∴四边形MDGH为矩形，∴GH＝DM＝2，DG＝MH＝2，∴OG＝OD+DG＝4，FG＝FH+HG＝5，∴F1（4，5）；②当四边形ABCF为平行四边形时，如图，设直线y＝x﹣1与y轴交与点N，则N（0，﹣1），∴ON＝1．∵OA＝1，∴OA＝ON，∴∠OAN＝45°，∴∠EAD＝∠OAN＝45°，∵CD⊥x轴，∴∠AED＝45°．∴DE＝AD＝1．∵CD＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，过点B作BM⊥CE于点M，则BM＝1，∵∠CEB＝∠AED＝45°，∴ME＝BM＝1，∴CM＝1，∴BM＝CE，M为CE的中点，∴∠CBE＝90°．∵四边形ABCF为平行四边形时，∴CB∥AE，∴∠EAB+∠ABC＝180°∴∠EAB＝90°，∴∠FAO＝45°，∴OF＝OA＝1，∴F2（0，1）；③当四边形ACBF为平行四边形时，如图，过点B作BG⊥x轴，过点F作MH∥x轴，交BG的延长线于点H，过点A作AM⊥MH 于点M，同①可求得：OB＝3，BG＝2，△ACD≌△FBH，∴BH＝CD＝3，FH＝AD＝1，四边形AMHG为矩形，∴MH＝AG＝2，AM＝GH＝BH﹣BG＝1，∴MF＝MH﹣FH＝1，∴F3（2，﹣1）．综上，存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点F的坐标F1（4，5），F2（0，1），F3（2，﹣1）．7．【解答】（1）证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，AO＝4，BO＝3，CO＝2，在Rt△ABO中，AB＝＝＝5，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过点D作DH⊥x轴于H，则四边形AOHD是矩形，∴DH＝AO＝4，OH＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，∴OH＝5，∴D（5，4），∵反比例函数的图象于点D，∴4＝，∴k＝20，∴此反比例函数的解析式为y＝；（3）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝2∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACO，∴sin∠DAC＝sin∠ACO＝＝＝．8．【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数解析式为y＝，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：当点P在x的正半轴上时，如图，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴点P1的坐标为（，0），当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），过点A作AH⊥x轴于点H，同理证得点P2的坐标为（﹣，0），当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）或（，0）．9．【解答】解：（1）作AF垂直于x轴，垂足为点F，∵AO＝AB，AF⊥OB，∴，∵∠OAB＝90°，AO＝AB，∴∠AOB＝45°，∴AF＝OF＝1，∴点A（1，1），设一次函数解析式为y1＝k1x+b，反比例函数解析式为，将点A（1，1）和C（0，﹣1）代入y1＝k1x+b，得y1＝2，b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣1．将点A（1，1）代入，得k2＝1，∴反比例函数的解析式为，即一次函数解析式为y1＝2x﹣1，反比例函数解析式为；（2）将两个函数联立得，整理得2x2﹣x﹣1＝0，解得，x2＝1，∴y1＝﹣2，y2＝1，∴点，∴，即△OAD的面积为；（3）存在，①以OA为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将A点向右平移个单位，向上平移2个单位得到P点的坐标，即P（，3），②以OD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P点的坐标，即P（，﹣1），③以AD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向左平移1个单位，向下平移1个单位得到P点的坐标，即P（﹣，﹣3），综上所述，点P的坐标为，，．10．【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于A点，交x轴于B点，∴点A（0，2），点B（4，0），∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（2，），点D（2+m，），∵四边形CABD为平行四边形，∴AD与BC互相平分，∴＝，＝，解得：m＝4，k＝6；（2）①证明：∵CC′∥y轴∥DD'，CD∥AB，∴四边形CDD'C'是平行四边形，∴CC'＝DD'，∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（a，），点D（a+m，），∵CC′∥y轴∥DD'，∴点C'的横坐标为a，点D的横坐标为a+m，∴点C'（a，﹣a+2），点D'（a+m，﹣a﹣m+2），∴+a﹣2＝+a+m﹣2，∴k＝a（a+m），∴当k为定值时，a（a+m）为定值；②解：∵k＝6，∴6＝a（a+m），∴a2+am＝12，∵m＝a﹣4+，∴a2+a（a﹣4+）＝12，∴d＝﹣2a2+4a+12＝﹣2（a﹣1）2+14，∴当a＝1时，d的最大值为14．11．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，∴x D＝1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴k＝4；（2）由（1）得C（2，2），∵B（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，∴F（1，0），∴OF＝1，设点G的坐标为（0，m），∵MN∥x轴，∴M（，m），N（﹣，m），∵FM＝FN，∴1﹣（﹣）＝﹣1，解得：m＝或m＝0（不合题意舍去），∴点G的坐标为（0，）；（3）∵由（1）知k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP＝BQ，且AP∥BQ；∴＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．12．【解答】（1）解：结论：点B在反比例函数y＝﹣的图象上．理由：∵反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，∴A（﹣2，4），∵A，B关于原点对称，∴B（2，﹣4），∵x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴点B在反比例函数y＝﹣的图象上；（2）证明：由题意，C（4，﹣2），D（﹣4，2），∵C，D关于原点对称，∴OC＝OD，∵A，B关于原点对称，∴OA＝OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∵CD＝＝4，AB＝＝4，∴AB＝CD，∴四边形ADBC是矩形；（3）解：如图，当四边形OBP1Q1是菱形时，P1（4，0）．当四边形OBQ2P2是菱形时，P2（2，0）．当四边形OP3BQ3是菱形时，P3（5，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．13．【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，由菱形的性质得到B（0，5），设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，故反比例解析式为y＝；直线AB的方程为：y＝x+5；（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在函数y＝（x＞0）的图象D'点处，∴点D'的坐标为（4+m，3），∵点D'在y＝的图象上，∴3＝，解得m＝，∴0≤m；（3）如图，存在，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝5，过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，∴△BON≌△DOE（AAS），∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，＝OB•NF＝BN•ON，∴S△OBN∴NF＝，∵点N在直线AB上，∴N（﹣，），设M（n，n+5），∴MH＝n，OH＝n+5，∵BM2＝BH2+MH2，∴22＝（n+5﹣5）2+n2，∴n＝±，∵n＞0，∴M（，）．14．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象是中心对称图形，∴AO＝EO，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AO＝EO，∴FO＝，故答案为：＝；（2）①如图，连接CF，由（1）可知，FO＝AO，∴∠OAF＝∠OFA，∵AF平分∠OAC，∴∠OAF＝∠BAF，∴∠OFA＝∠BAF，∴OF∥AC，＝S△AFC＝10，∴S△AOC对于y＝﹣x+5，令y＝0，则0＝﹣x+5，∴x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，设A（m，﹣m+5），m＞0，∴S＝﹣，＝10，又∵S△AOC∴﹣，∴m＝1，∴﹣m+5＝﹣1+5＝4，∴A（1，4），∵A（1，4）在反比例函数y＝上，∴k＝1×4＝4；②如图，连接BF，由①可知，OF∥AB，FO＝AO，当AO＝AB时，此时四边形AOFB是菱形，将y＝﹣x+5由y＝联立，得：，解得：或，∴A（），B（），∴OA+（）2＝25﹣2k，AB2＝50﹣8k，当AO＝AB时，OA2＝AB2，即25﹣2k＝50﹣8k，∴k＝，综上所述，当四边形AOFB为菱形时，k＝．15．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2与x轴交于点A，∴0＝﹣2x+2，得x＝1，∴点A（1，0）；过点C作CH⊥y轴于点H，∴∠CHB＝∠BOA＝90°∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，∴∠BAC＝45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠CBH＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝AO＝1，CH＝BO，设OB＝a，则OH＝a+1，∴点C（a，﹣a﹣1），∵点C在直线l上，∴﹣a﹣1＝﹣2a+2，∴a＝3，∴C（3，﹣4）；（2）将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，A（1，0），B（0，﹣3），C（3，﹣4）∴点D（1，3t），点E（0，﹣3+3t），点F（3，﹣4+3t），∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，∴1×3t＝3×（﹣4+3t），∴t＝2；（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），∴EF＝，当EF＝EP＝时，则OP＝1，∴P（1，0）或（﹣1，0），当P（1，0）时，由平移的性质得，点Q（4，﹣1），当P（﹣1，0）时，由平移的性质得，点Q（2，﹣1），当EF＝FP＝时，同理得P（3﹣，0）或（3+，0），∴Q（﹣，1）或（，1），当PE＝PF时，设P（x，0），则9+x2＝4+9﹣6x+x2，解得x＝，∴P（，0），∴Q（），综上：Q（4，﹣1）或（2，﹣1）或（﹣，1）或（，1）或（）．16．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y1＝x+1得，2＝m+1，∴m＝1，∴A（1，2），将A（1，2）代入y2＝得，k＝1×2＝2，∴y2＝；（2）根据函数图象的轴对称性知，点A与B关于直线y＝﹣x对称，过A作AC∥y轴，过B作BC∥x交于C，则C（﹣1，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），当y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0，故答案为：（﹣2，﹣1），x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，如图，∵OA＝OB，∴点P在AB上方时，四边形OAPB是菱形，∵O（0，0），A（1，2），B（﹣2，﹣1），由平移的性质得P（﹣1，1），∴以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形，点P的坐标为（﹣1，1）．17．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为m，＝．∵S△PAO∴，∴m＝4，∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，∴B（6，10），∴k＝6×10＝60，∵点P在这个反比例函数的图象上，∴点P的横坐标为＝15，∴P（15，4）；（2）如图，点P在直线y＝4上运动，作点O关于直线y＝4的对称点O'，连接O'A，此时PO+PA的最小值即为AO'的长，在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，∴PO+PA的最小值为10；（3）当AP＝AB＝10时，如图，AG＝4，∴PG＝2，∴P（6﹣2，4），∴Q（6﹣2，14），当点P在G的右侧时，同理Q'（6+2，14），当BA＝BP时，如图，由勾股定理得PG＝8，∴P（﹣2，4），∵PQ＝10，∴Q（﹣2，﹣6），同理，当P在G的右侧时，Q'（14，﹣6），当PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线y＝5上，点P又在直线y＝4上，故不存在，综上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．18．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝tcm，AB＝5cm，∴BP＝（5﹣t）cm，∵DC＝DO+OC＝3+5＝8，DQ＝2tcm，∴CQ＝DC﹣DQ＝（8﹣2t）cm，故答案为：（8﹣2t）；当BP＝CQ时，四边形PQCB是矩形，∴5﹣t＝8﹣2t，解得：t＝3，∴当t＝3时，四边形PQCB为矩形；故答案为：（5﹣t）；3；（2）∵点P的坐标为（t，4），点P在反比例函数的图象上，∴k＝4t，∴y＝，∴点M的坐标为（5，），∴BM＝4﹣，连接PM，如图1所示：∴△POM的面积S＝矩形AOCB的面积﹣△AOP的面积﹣△PBM的面积﹣△OCM的面积＝5×4﹣×t×4﹣×（5﹣t）×（4﹣）﹣×5×＝﹣t2+10，∵点Q从点D运动到点C用是为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，∴0≤t≤4，∴S＝﹣t2+10（0≤t≤4）；（3）存在；t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）；理由如下：∵点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t﹣3，0），点C的坐标为（5，0），∴PQ2＝（t﹣3）2+42，PC2＝（t﹣5）2+42，CQ2＝（8﹣2t）2；分情况讨论：①当PQ＝PC时，（t﹣3）2+42＝（t﹣5）2+42，解得：t＝4（不合题意，舍去）；②当PQ＝CQ时，（t﹣3）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图2所示：∴AE＝AP+PE＝t+8﹣2t＝8﹣t＝8﹣＝，此时点E的坐标为（，4）；③当PC＝CQ时，（t﹣5）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图3所示：∴AE＝PE﹣AP＝8﹣2t﹣t＝83＝﹣3+2，此时点E的坐标为（3﹣2，4）；综上所述：存在某一时刻，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形，t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）．19．【解答】解：（1）把x＝﹣4，y＝m代入中，得，∴点M（﹣4，2），把x＝n，y＝﹣4代入中，得，∴点N（2，﹣4），∴将点M（﹣4，2），点N（2，﹣4）代入y＝kx+b中，得，解得，∴k＝﹣1，b＝﹣2；（2）①将直线y＝﹣x﹣2向上平移4个单位，得y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝﹣x+2＝0时，x＝2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当CA，CB为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（0，﹣2），当BC，BA为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（﹣4，2），当AC，AB为边，AC∥BP且AC＝BP，∴点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，﹣2）或（﹣4，2）或（4，2）．20．【解答】解：（1）①∵点A（6，8），∴AO＝＝10；（2）∵点A（6，8），点E（6，14），∴AE＝6，∵四边形AEMN的周长＝AE+MN+ME+AN，AE＝6，MN＝2，∴四边形AEMN的周长＝8+AN+ME，∴当AN+ME有最小值时，四边形AEMN的周长有最小值，如图，将A向上平移两个单位得到A'，连接A'M，作点A'关于y轴的对称点A''，连接A''E，∴AA'＝2＝MN，A'（6，10），∴四边形ANMA'是平行四边形，∴AN＝A'M，∴AN+ME＝A'M+ME，∵点A'与点A''关于y轴对称，∴A''M＝A'M，点A''（﹣6，10），∴AN+ME＝A''M+ME，∴点M，点E，点A''共线时，A''M+ME的最小值为A''E的长，∵点A''（﹣6，10），点E（6，14），∴直线A''E的解析式为：y＝x+12，当x＝0时，y＝12，∴点M（0，12）；（3）如图，延长EA交x轴于N，过点F作FH⊥x轴于H，设AB＝AO＝5a，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，DC＝AB＝5a＝AD，∵DE＝4CE，∴DE＝4a，CE＝a，∵AB∥x轴，∴DE∥AB∥x轴，∵AE⊥CD，∴AE⊥x轴，AE⊥AB，∴∠DEA＝∠ANO＝90°，∴AE＝＝3a，∵AD⊥AO，∴∠DAE+∠OAN＝90°＝∠OAN+∠AON，∴∠DAE＝∠AON，又∵AD＝AO＝AB，∴△ANO≌△DEA（AAS），∴DE＝AN＝4a，AE＝ON＝3a，∴点A（3a，4a），点E（3a，7a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，∴k＝21a2，点F（a，4a），＝＝×3a×7a+（7a+4a）×（a﹣3a）﹣×4a×a，∵S△EOF∴a＝1，∴k＝21，∴反比例函数解析式为y＝．。
中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习(含答案解析)
中考数学教材重点--- 反比例函数与一次函数的综合真题练习（含答案解析）1．（2023•攀枝花模拟）如图，已知直线y＝mx与双曲线的一个交点坐标为（﹣1，3），则它们的另一个交点坐标是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，3）【分析】反比例函数的图像是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（﹣1，3），另一个交点的坐标为（1，﹣3）．故选：C．2．（2023•滨湖区一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数与一次函数y ＝ax+b（a＞0）的图像相交于A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，若△AOB面积为15，则k的值为（）A．﹣8B．﹣7.5C．﹣6D．﹣4【分析】过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，根据点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，推出n＝4m，根据S梯形ACDB＝S△OAB＝15，求得n﹣m＝3，进一步计算即可求解．【解答】解：∵反比例函数与一次函数y＝ax+b（a＞0）的图像相交于A （﹣8，m）、B（﹣2，n）两点，∴A（﹣8，m）、B（﹣2，n）两点在第二象限，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则AC＝8，BD＝2，OC＝m，OD＝n，∴CD＝n﹣m，∵点A（﹣8，m）、B（﹣2，n）都在反比例函数的图像上，∴S△AOC＝S△BOD，﹣8m＝﹣2n，即n＝4m，∵S△AOC+S梯形ACDB＝S△BOD+S△OAB，∴S梯形ACDB＝S△OAB＝15，即，∴n﹣m＝3，∴4m﹣m＝3，解得m＝1，∴A（﹣8，1），∴k＝﹣8×1＝﹣8．故选：A．3．（2023•宁波模拟）如图，一次函数y1＝x﹣1的图像与反比例函数的图像交于点A （2，m），B（n，﹣2），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞2B．x＜﹣1或0＜x＜2C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】先把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，求出n值，再根据图像直接求解即可．【解答】解：把B（n，﹣2）代入y1＝x﹣1，得﹣2＝n﹣1，解得：n＝﹣1，∴B（﹣1，﹣2），∵图像交于A（2，m）、B（﹣1，﹣2）两点，∴当y1＞y2时，﹣1＜x＜0或x＞2．故选：D．4．（2023•宁德模拟）如图，已知直线l与x，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图像交于C，D两点，连接OC，OD．若△AOC和△COD的面积都为3，则k的值是（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣6【分析】由S△AOC＝S△COD得，AC＝CD，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），代入解析式得到n＝m，过点作CH⊥y轴于H，利用S△AOC＝3，可求出k．【解答】解：如图，∵S△AOC＝S△COD，以AC，CD作底，高相同∴AC＝CD，即C为AD的中点，设C（，m），A（0，n），由中点坐标公式得，D（，2m﹣n），∵D（，2m﹣n）在反比例函数y＝的图像上，∴，∴n＝m过点作CH⊥y轴于H，则CH＝﹣，OA＝n＝m，∵S△AOC＝3，∴OA•CH＝3，∴×m×（﹣）＝3，∴k＝﹣4．故选：C．5．（2023•宿迁模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l与函数的图像交于A、B两点，与x轴交于C点，若OA＝AB，且∠OAB＝90°，则tan∠AOC的值为（）A．B．C．D．【分析】作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，通过证得△AOE≌△BAD（AAS），求得B（），代入，即可得到（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解得y＝，即可求得tan∠AOC ＝＝＝＝．【解答】解：作AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，交于点D，设A（m，），则OE＝m，AE＝，∵∠OAB＝90°，∴∠OAE+∠DAB＝90°，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∴∠DAB＝∠AOE，∵OA＝AB，∠AEO＝∠ADB＝90°，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AD＝OE＝m，BD＝AE＝，∴B（），∵函数的图像过B点，∴（m﹣）（m+）＝k，整理得m2﹣＝k，方程两边同除以k得﹣＝1，设＝y，则方程变为﹣y＝1，化为y2+y﹣1＝0，解这个方程得y＝，∴k＞0，∴＞0，∴＝，∴tan∠AOC＝＝＝＝．故选：A．6．（2023•呼和浩特一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为（）A．B．C．2D．【分析】作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G，由函数解析式确定B的坐标是（0，3），A的坐标是（1，0），根据全等三角形的判定和性质得出△OAB≌△FDA≌△BEC，AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，结合图形求解即可．【解答】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G在y＝﹣3x+3中，令x＝0，解得：y＝3，即B的坐标是（0，3），令y＝0，解得：x＝1，即A的坐标是（1，0），则OB＝3，OA＝1．∵∠BAD＝90°，∴∠BAO+∠DAF＝90°，∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA＝90°，∴∠DAF＝∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，故D的坐标是（4，1），C的坐标是（3，4），代入y＝得：k＝4，则函数的解析式是：y＝．∴OE＝4，则C的纵坐标是4，把x＝3代入y＝得：y＝．即G的坐标是，∴CG＝4﹣＝，∴a＝，故选：A．7．（2023•徐州模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，点D坐标为（4，0），则△ADC的面积为（）A．3B．6C．8D．12【分析】根据AD⊥x轴，D（4，0）求出点A的横坐标，代入一次函数表达式中求出点A纵坐标，再利用三角形面积公式计算．【解答】解：∵AD⊥x轴，D（4，0），∴x A＝4，代入中，∴，即A（4，3），∴△ADC的面积为，故选：B．8．（2023•茅箭区一模）如图已知反比例函数C1：的图像如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45°得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y＝﹣x 上，连接MN、ON，若MN＝ON，△MON的面积为，则k的值为（）A．B．C．﹣2D．﹣1【分析】将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°，则直线y＝﹣x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．【解答】解：∵将直线y＝﹣x和曲线C2绕点O逆时针旋转45°后直线y＝﹣x与x轴重合，∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，设点M和点N的对应点分别为点M'和N'，过点N'作N'P⊥x轴于点P，连接ON'，M'N'，∵MN＝ON，∴M'N'＝ON'，M'P＝OP，∴S△MON＝2S△PN'O＝2×＝|k|＝，∵k＜0，∴k＝﹣．故选：B．9．（2023•西安二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像在第二象限交于点C，若AB＝BC，则k的值为﹣2．【分析】过点C作CH⊥x轴于点H．求出点C的坐标，可得结论．【解答】解：过点C作CH⊥x轴于点H．∵直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，∴A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，∵OB∥CH，∴△AOB∽△AHC，∴，∴＝＝1，∴OA＝OH＝1，∴CH＝2OB＝2，∴C（﹣1，2），∵点C在y＝的图像上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（2023•双流区模拟）如图，已知一次函数的图像与反比例函数图像交于A，B两点．若AC∥x轴，且AC＝BC，则△ABC面积的最小值为4．【分析】由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），即可推出m+n＝﹣，mn＝﹣3，利用勾股定理求得AB2＝4b2+16，进而推出S△ABC ＝AB•CT＝AB2＝b2+4，利用二次函数的性质即可求得△ABC的面积有最小值为4．【解答】解：由题意设点A的坐标为（m，m+b），点B的坐标为（n，n+b），联立，得x2+3bx﹣9＝0，∴m+n＝﹣，mn＝﹣3，∴AB2＝（m﹣n）2+（m+b﹣n﹣b）2＝（m﹣n）2＝[（m+n）2﹣4mn]＝4b2+16，如图，过点C作CT⊥AB于点T，∵AC＝BC，∴AT＝BT＝AB，由一次函数可知，∠CAB＝30°，∴CT＝AT＝AB，∴S△ABC＝AB•CT＝AB2＝b2+4，∴当b＝0时，△ABC的面积有最小值为4，故答案为：4．11．（2023•青羊区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线CA交y轴于点D，连接BC，BD，若，△BCD的面积为30，则k＝6．【分析】作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C （a，），可证明tan∠CAE＝tan∠CBF＝，则∠CAE＝∠CBF，即可推导出∠CDM ＝∠CMD，则CD＝CM，所以＝＝＝，则CI＝4FI，所以a＝4m，C（4m，），由＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝，得DI＝MI＝3m，则DM＝6m，于是得×6m ×m+×6m×4m＝30，则m2＝2，所以k＝3m2＝6．【解答】解：作CF⊥y于点I，BF⊥x，交CI的延长线于点F，作AE⊥CF于点E，设BC交y轴于点M，∵直线y＝3x经过原点，且与双曲线y＝交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，设A（m，3m），则B（﹣m，﹣3m），k＝3m2，设点C的横坐标为a，则C（a，），F（﹣m，），∵tan∠CAE＝＝＝，tan∠CBF＝＝＝，∴tan∠CAE＝tan∠CBF，∴∠CAE＝∠CBF，∵AE∥BF∥DM，∠CAE＝∠CDM，∠CBF＝∠CMD，∴∠CDM＝∠CMD，∴CD＝CM，∵＝＝＝，∴CI＝4FI，∴a＝4m，∴C（4m，），∵＝tan∠CMD＝tan∠CBF＝＝＝，∴DI＝MI＝CI＝×4m＝3m，∴DM＝DI+MI＝6m，∵DM•FI+DM•CI＝S△BCD＝30，∴×6m×m+×6m×4m＝30，∴m2＝2，∴k＝3m2＝3×2＝6，故答案为：6．12．（2023•余姚市校级模拟）如图，点A在y＝（x＞0）的图像上，点B，C在y＝（x ＜0）的图像上（C在B左边），直线AB经过原点O，直线AC交y轴于点M，直线BC 交x轴于点N．则＝；＝m，＝n，则＝．【分析】作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x轴于F，CG⊥y 轴交y轴于G，再设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），从而可以表示出AD＝a，OE＝﹣bCG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，再根据三角形相似的判定定理得出△BEO∽△ODA，△CGM∽△ADM，△NCF∽△NBE，可分别表示出OA：OB，MC：MA，NB：NC，再由直线AB经过原点O，可以表示出及的值，最后代入即可得到答案．【解答】解：如图所示，作AD⊥y轴交y轴于D，BE⊥x轴交x轴于E，CF⊥x轴交x 轴于F，CG⊥y轴交y轴于G，设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），点C的坐标为（c，），则AD＝a，OE＝﹣b，CG＝﹣c，CF＝﹣，BE＝﹣，∵BE⊥x轴，∴BE∥y轴，∴∠EBO＝∠BOG，∵∠BOG＝∠DOA，∴∠EBO＝∠DOA，∵AD⊥y轴，∴∠BEO＝∠ODA＝90°，∴△BEO∽△ODA，∴OA：OB＝AD：OE＝﹣，∵AD⊥y轴，CG⊥y轴，∴△CGM∽△ADM，∴＝＝﹣＝m，∵BE⊥x，CF⊥x轴，∴△NCF∽△NBE，∴＝＝＝＝n，∴＝＝﹣，∵直线AB经过原点O，∴＝，＝，∴＝，＝，由图像可知，a＞0，c＜b＜0，∴＝﹣，＝﹣，∴＝﹣＝，＝﹣＝，故答案为：；．13．（2023•岳阳一模）如图，已知正比例函数y1＝x的图像与反比例函数y2＝的图像相交于点A（3，n）和点B．（1）求n和k的值；（2）请结合函数图像，直接写出不等式x﹣＜0的解集；（3）如图，以AO为边作菱形AOCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD于点E，连接AE、OE，求△AOE的面积．【分析】（1）先把点A（3，n）代入正比例函数解析式求出n的值，再把求出的点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k值；（2）根据正比例函数和反比例函数都是关于原点成中心对称的，可得出点B的坐标，然后根据图像即可写出解集；（3）根据题意作出辅助线，然后求出OA的长，根据菱形的性质求出OC的长，可推出，然后求出菱形的面积即可求出△AOE的面积．【解答】解：（1）把点A（3，n）代入正比例函数可得：n＝4，∴点A（3，4），把点A（3，4）代入反比例函数，可得：k＝12；（2）∵点A与点B是关于原点对称的，∴点B（﹣3，﹣4），∴根据图像可得，不等式x﹣＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3；（3）如图所示，过点A作AG⊥x轴，垂足为G，∵A（3，4），∴OG＝3，AG＝4在Rt△AOG中，AO＝＝5∵四边形AOCD是菱形，∴OC＝OA＝5，，∴．14．（2023•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图像与x 轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（1，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点M为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数y ＝2x+b图像于点N，连接BM，若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，求△BMN的面积；（3）点P为反比例函数图像上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，进而求解；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，进而求解．【解答】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4+b，解得：b＝4，即一次函数的表达式为：y＝2x+4，当x＝1时，y＝2x+4＝6，则点B（1，6），将点B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝1×6＝6，即反比例函数表达式为：y＝；（2）设点N的坐标为（t，2t+4），则点M（t，），若△BMN是以MN为底边的等腰三角形，则点B在MN的中垂线上，则（2t+4+）＝6，解得：t＝1（舍去）或3，则点M、N的坐标分别为：（3，10）、（3，2），则△BMN的面积＝MN•（x M﹣x B）＝（10﹣2）×（3﹣1）＝8；（3）取AB的中点M，过点M作MH⊥AB交x轴于点H，∵点M是AB的中点且MH⊥AB，则∠PBA＝∠BAO，由中点坐标公式得，点M（﹣，3），在Rt△AMH中，由AB的表达式知，tan∠BAO＝2，则tan∠MHA＝，则直线MH表达式中的k值为﹣，则直线MH的表达式为：y＝﹣（x+）+3，令y＝﹣（x+）+3＝0，则x＝，即点H（，0），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝﹣x+，联立y＝﹣x+和y＝并解得：x＝1（舍去）或，则点P的坐标为：（，）．。
中考一次函数与反比例函数[含答案]
![中考一次函数与反比例函数[含答案]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/1839c564b90d6c85ec3ac67b.webp)
反比例函数与一次函数综合题针对演练1. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x(k ≠0)在第一象限内的图象交于点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1. (1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图2. 如图，反比例函数2y x=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . (1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得S△ODP＝2S△OCA若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图3. 已知，如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝nx(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点⊥x轴，垂足为D.若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kx＋b≤nx的解集．4. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y＝mx的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．第4题图5. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC . (1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式； (2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．第5题图6. 如图，直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y＝mx(x＜0)交于点A(－1，n)．(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求∠OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形△OAB相似若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．第6题图7. 如图，直线y＝33x－3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝kx(k＞0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC.①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称并说明理由．第7题图8. 如图，已知双曲线y＝kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．第8题图9. 如图，点B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x于点A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x与直线y ＝x 交于点C ，若OB 2－AB 2＝4.(1)求k 的值；(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图答案1．解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OP＝x，PA＝y，∵△OAP的面积为1，∴12xy＝1，∴xy＝2，即k＝2，∴反比例函数的解析式为2yx；(2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为y＝22＝1，即点B的坐标为（2,1）.又∵两个函数图象在第一象限交于A点，∴2 2xx=，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)．∴y＝2，∴点A的坐标为(1，2)，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，23,215k b kk b b+=-=⎧⎧⎨⎨+==-⎩⎩解得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，令y＝0，得x＝53，∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(53，0)，即点M的坐标为(53，0)．第1题解图2．解：(1)∵反比例函数y＝2x图象上的点A、B的横坐标分别为1、－2，∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，∵点A (1，2)、B (－2，－1)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴21,211k b k k b b +==⎧⎧⎨⎨-+=-=⎩⎩解得，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1；(2)由图象知，对于反比例函数2y x=，当y ＜－1时，x 的取值范围是－2＜x＜0；(3)存在．对于y ＝x ＋1，当y ＝0时，x ＝－1，当x ＝0时，y ＝1， ∴点D 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(0，1)， 设点P (m ，n )，∵S △ODP ＝2S △OCA ，∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，∴n ＝－2，∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，∴－2＝ 2m， ∴m ＝－1，∴点P 的坐标为(－1，－2)． 3．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6， ∴OA ＝3，OD ＝2.∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，302,66k b k b b +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分) 将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10， ∴点C 的坐标为(－2，10)．将点C (－2，10)代入y ＝nx ，得10＝2n -，解得n ＝－20，∴反比例函数的解析式为20y x=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)将x ＝5代入204,y x=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分) (3)－2≤x＜0或x≥5. …………………………………… (10分)【解法提示】不等式kx ＋b ≤nx的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.4．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，∴m ＝－2，∴反比例函数解析式为2y x=-，∴n ＝1，∴点A (－2，1)，将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得211,21k b k k b b -+==-⎧⎧⎨⎨+=-=-⎩⎩解得， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，∵A (－2，1)， ∴A ′(－2，－1)，设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，1123,253m m n m n n ⎧=-⎪-=-+⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=-⎪⎩解得， ∴y ＝－13x －53，令y＝0，得x＝－5，则C点坐标为(－5，0)，∴t的最大值为A′B＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.第4题解图5．解：(1)∵一次函数y1＝14x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴A(－4，0)，C(0，1)，又∵AC＝BC，CO⊥AB，∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4，且BP＝2OC＝2，∴点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2＝mx，得m＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝8 x；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1＞y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x＞4.(3)存在．假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC 与PB交于点E，∵四边形BCPD为菱形，∴CE＝DE＝4，∴CD＝8，∴D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数8yx=，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)．第5题解图6．解：(1)∵直线y＝x＋b与x轴交于点C(4，0)，∴把点C(4，0)代入y＝x＋b，得b＝－4，∴直线的解析式为y＝x－4，∵直线也过A点，∴把点A(－1，n)代入y＝x－4，得n＝－5，∴A(－1，－5)，将A(－1，－5)代入y＝mx(x＜0)，得m＝5，∴双曲线的解析式为5yx=；(2)如解图，过点O作OM⊥AC于点M，∵点B是直线y＝x－4与y轴的交点，∴令x＝0，得y＝－4，∴点B(0，－4)，∴OC＝OB＝4，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴在△OMB中，sin45°＝OMOB＝4OM，∴OM＝22，∵AO＝12＋52＝26，∴在△AOM中，sin∠OAB＝OMOA＝2226＝21313；第6题解图(3)存在．如解图，过点A作AN⊥y轴于点N，则AN＝1，BN＝1，∴AB＝12＋12＝2，∵OB＝OC＝4，∴BC＝42＋42＝42，又∵∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠OBA＝∠BCD＝135°，∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，∴OBBC＝BACD或OBDC＝BABC，即442＝2CD或4DC＝242，∴CD＝2或CD＝16，∵点C(4，0)，∴点D的坐标是(6，0)或(20，0)．7．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分) (2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F . 设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，∴∠OAB ＝30°.在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．∵点C 、E 在y ＝kx 的图象上，∴(3＋32t )×12t ＝3t ，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分) ②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下： 由①知，点E 的坐标为(3，23)， 设点D 的坐标是(x ，33x －3)，∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3， ∴点D 的坐标是(－3，－23)，∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)第7题解图8．解：(1)∵双曲线y ＝kx 经过点D (6，1)，∴6k ＝1，解得k ＝6；(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴， ∴BD ＝6，∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，解得h ＝4，∵点C 是双曲线第三象限上的动点，点D 的纵坐标为1，∴点C 的纵坐标为1－4＝－3，∴6x＝－3，解得x ＝－2，∴点C 的坐标为(－2，－3)，设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则123,2612k b k k b b ⎧-+=-=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=-⎩解得，∴直线CD 的解析式为y ＝12x －2； (3)AB ∥CD .理由如下：∵CA ⊥x 轴，DB ⊥y 轴，点D 的坐标为(6，1)，设点C 的坐标为(c ，6c)，∴点A 、B 的坐标分别为A (c ，0)，B (0，1)， 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，则10,11mc n m c n n ⎧+==-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎩解得，∴直线AB 的解析式为y ＝－1x c＋1，设直线CD 的解析式为y ＝ex ＋f ，则16,661e ec f cc c e f f c ⎧=-⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨+⎪⎪+==⎩⎪⎩解得， ∴直线CD 的解析式为y ＝－1x c ＋6c c +，∵AB 、CD 的解析式中k 都等于1c-，∴AB 与CD 的位置关系是AB ∥CD . 9．解：(1)设D 点坐标为(a ，0)，∵AB ∥y 轴，点A 在直线y ＝x 上，B 为双曲线y ＝kx(x ＞0)上一点，∴A 点坐标为(a ，a )，B 点坐标为(a ，k a)，∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2＝(k a)2＋a 2，∵OB 2－AB 2＝4，∴(k a )2＋a 2－(a －k a)2＝4，∴k ＝2；(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，,2y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩联立2222x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩解得（舍去），∴C 点坐标为(2，2)， 第9题解图∵点B 的横坐标为4，∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12)，∴AB ＝4－12＝72，CM ＝4－2，∴S △ABC ＝12CM ·AB ＝12×(4－2)×72 ＝7－724；(3)不存在，理由如下：若△APC ∽△AOD ，∵△AOD 为等腰直角三角形，∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，∴CM ＝12AP ，设P 点坐标为(a ，2a )，则A 点坐标为(a ，a )，∴AP ＝|a －2a|，∵C 点坐标为(2，2)，∴CM ＝|a －2|，∴|a －2|＝12|a －2a|，∴(a －2)2＝14×222(2)a a -，即(a －2)2＝14×222((a a a +⨯-，∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－23(舍去)，∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．。
2020北京市中考数学专题复习：一次函数、反比例函数综合题(含答案)
2. (2019 通州区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝2x 与函数 y ＝ x (x >0)的图象交于点 A (1， (2)过点 A 作 x 轴的平行线 l ，直线 y ＝2x ＋b 与直线 l 交于点 B ，与函数 y ＝ (x >0)的图象交于点 C ，与一、简单专题集训一次函数、反比例函数综合题(连续 5 年考查)类型一根据线段关系确定参数取值范围(8 年 2 考：2017.23、2016.21)1. (2019 海淀区二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝x ＋b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，2与双曲线 y ＝x 的交点为 M ，N .(1)当点 M 的横坐标为 1 时，求 b 的值；(2)若 MN ≤3AB ，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围.第 1 题图m2).(1)求 m 的值；mxx 轴交于点 D.①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；②当 BC >BD 时，直接写出 b 的取值范围.第 2 题图3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)、点B(3，0)，一次函数y＝－2x的图象与直线AB交于点P.(1)求点P的坐标；(2)若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为6，求点Q的坐标；(3)若直线y＝－2x＋m与△AOB三条边只有两个公共点，求m的取值范围.第3题图数 y ＝x (x ＜0)的图象经过点 A. (2)若过点 A 的直线 l 平行于直线 OB ，且与函数 y ＝ (x ＜0)图象的另一个交点为 D. ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数 y ＝x (x ＜0)的图象在点 A ，D 之间的部分与线段 AD 围成的类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围(8 年 2 考：2019.25、2018.23)1. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与直线 y ＝kx (k ≠0)平行，与直线 y ＝3 相交于点A (3，3).(1)求 k 和 b 的关系式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线 l ∶y ＝kx ＋b 、y ＝kx 、y ＝3 与 x 轴构成的封闭区域(不含边界)为 W .①当 k ＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围.2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B (3，－3)，C (5，0)，以 OC ，CB 为边作平行四边形 OABC ，函k(1)求 k 的值；kx①求直线 l 的表达式；k区域(含边界)为 W .结合函数图象，直接写出区域 W 内(含边界)的整点个数.第 2 题图3. (2019 延庆区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝x (x＞0)的图象经过边长为 2 的正方形OABC 的顶点 B ，直线 y ＝mx ＋m ＋1 与 y ＝ (x ＞0)的图象交于点 D (点 D 在直线 BC 的上方)，与 x 轴交于点 (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记y ＝ (x ＞0)的图象在点 B 、D 之间的部分与线段 AB 、AE 、DEkkxE .(1)求 k 的值；kx围成的区域(不含边界)为 W .1①当 m ＝2时，直接写出区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围.第 3 题图2.(2018石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x(x＞0)的图象与直线l1：y＝x＋b交于点类型三根据面积关系确定参数取值范围1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3，0)，平行于y轴的直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x＝2上一点，且在点D的上方，设P(2，n).(1)求直线l的表达式和点A的坐标；(2)连接AP、BP，若△SABP ≤2△SABO，求n的取值范围.第1题图aA(3，a－2).(1)求a，b的值；(2)直线l2：y＝－x＋m与x轴交于点B，与直线l1交于点C，若S△ABC≥6，求m的取值范围.1. 如图，直线 y ＝3x ＋4 与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B.2. (2019 东城区一模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝kx (k ≠0)与双曲线 y ＝x (x ＞0)交于点 A (2，n ).类型四根据线段、面积、图形求点坐标(8 年 2 考：2015.23、2012.17)2(1)求△AOB 的面积；(2)过点 B 作直线 BC 与 x 轴相交于点 △C ，若 ABC 的面积是 16，求点 C 的坐标.第 1 题图8(1)求 n 及 k 的值；(2)点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标.k3.(2019房山区一模)已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝x(k≠0)在第一象限内的图象交于点A(1，m).(1)求反比例函数的表达式；(2)点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为2.若在x轴上存在一点M，使MA＋MB的值最小，求点M的坐标.第3题图k4.(2019西城区二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax＋b与双曲线y＝x交于点A(1，m)和点B(－2，－1)，点A关于x轴的对称点为点C.(1)①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；(2)过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E.若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围.1. 解：(1)∵点 M 是双曲线 y ＝ 上的点，且点 M 的横坐标为 1， b2. 解：(1)把 A (1，2)代入函数 y ＝ (x ＞0)中，把 y ＝1 代入函数 y ＝x中，参考答案类型一根据线段关系确定参数取值范围2x∴点 M 的坐标为(1，2).∵点 M 是直线 y ＝x ＋b 上的点， ∴b ＝1；(2)b ≤－1 或 b ≥1.【解法提示】当 b ＝±1 时，满足 MN ＝3AB ，如解图，结合函数图象可得， 的取值范围是 b ≤－1 或 b ≥1.第 1 题解图mx解得 m ＝2；(2)①如解图①，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E ，交 x 轴于点 F . ∵点 C 是线段 BD 的中点， ∴CE ＝CF ＝1.∴点 C 的纵坐标为 1.2得 x ＝2.∴点 C 的坐标为(2，1).把 C (2，1)代入函数 y ＝2x ＋b 中得：1＝4＋b ， 解得 b ＝－3；第 2 题解图①【解法提示】如解图②，当 BC >BD 时，点 C 在 AB 的上方，当 BC ＝BD 时，y C ＝2y B ＝4，∴可得 C (2 ，4).把 C ( ，4)代入函数 y ＝2x ＋b 中解得 b ＝3.∴当 BC ＞BD 时，b 的取值范围为 b ＞3.由题意：2·|m －3|·6＝6，⎩ ⎩②b ＞3.112第 2 题解图②3. 解：(1)如解图，∵A (0，3)、点 B (3，0)，∴直线 AB 的解析式为 y ＝－x ＋3.⎧⎪y ＝－2x ， 由⎨⎪y ＝－x ＋3，⎧⎪x ＝－3， 解得⎨⎪y ＝6，∴P (－3，6)；(2)设 Q (m ，0)，1解得 m ＝5 或 1，∴Q (1，0)或 Q (5，0)；(3)当直线 y ＝－2x ＋m 经过点 O 时，m ＝0， 当直线 y ＝－2x ＋m 经过点 B 时，m ＝6，∴若直线 y ＝－2x ＋m 与△AOB 三条边只有两个公共点，则 M 的取值范围为 0＜m ＜6.第 3 题解图【解法提示】将函数表达式 y ＝x与直线表达式 y ＝－x －5 联立并整理得：x 2＋5x ＋6＝0，解得 x ＝－2类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线 l ：y ＝kx ＋b 过点 A (3，3)， ∴3＝3k ＋b .∴k 和 b 的关系式为 b ＝3－3k ； (2)①如解图所示，当 k ＝2 时，直线 l 表达式为 y ＝2x －3，直线 y ＝kx 为 y ＝2x ， 结合函数图象，区域 W 内的整点个数有 2 个；第 1 题解图②1＜k ≤2.【解法提示】当直线 y ＝kx 过点(2，2)时，此时直线的表达式为 y ＝x ，∵直线 l ：y ＝kx ＋b 过点(3，3)且与 y ＝x 平行，故此时直线 l 的表达式也为 y ＝x ，区域 w 内没有整点，又由(1)可知，当区域 W 内有 2 个整点时，k ＝2.综上所述，若区域 W 内恰有 2 个整点时，k 的取值范围为 1<k ≤2.2. 解：(1)∵B (3，－3)，C (5，0)，四边形 OABC 是平行四边形，∴AB ＝OC ＝5.∴点 A 的坐标为(－2，－3). ∴k ＝6；(2)①设直线 OB 的表达式为 y ＝mx ， 由 B 点坐标(3，－3)，可得 m ＝－1， ∵过点 A 的直线 l 平行于直线 OB ， ∴设直线 l 的表达式为 y ＝－x ＋b ，把点 A 的坐标(－2，－3)代入上式并解得 b ＝－5， ∴直线 l 的表达式为 y ＝－x －5； ②区域 W 内(含边界)有两个整点．6或－3，由(1)知 A (－2，－3)，∴点 D 的坐标为(－3，－2)，∴区域 W 内(含边界)只有 D 、A 两个整点．3. 解：(1)∵正方形 OABC 的边长为 2，把 B (2，2)代入 y ＝x(x ＞0)中，解得 k ＝2×2＝4； 【解法提示】①当 m ＝2时，则直线 y ＝mx ＋m ＋1 为 y ＝2 x ＋2 ，②当直线 y ＝mx ＋m ＋1 过(0，2)时，区域 W 内恰好有 2 个整点，如解图①所示，此时 m ＝2 ，结合函数图象，区域 W 内恰有 3 个整点，m 的取值范围为2 ＜m ≤1.∴B (2，2).k(2)①区域 W 内有 2 个整点；1 1 3作出图象如解图①所示，结合函数图象，区域 W 内有 2 个整点．第 3 题解图①3 1当直线 y ＝mx ＋m ＋1 过(0，2)时，区域 W 内恰好有 3 个整点，如解图②所示，第 3 题解图②则 2＝m ＋1，解得 m ＝1，1∴直线 l 的表达式是 y ＝－3x ＋1.∵x ＝2 时，y ＝－3 x ＋1＝3 ，且点 P 在点 D 的上方，∴PD ＝n －3 ，∴△S APD ＝2AM ·PD ＝2 ×2×(n －3 )＝n －3 ； ∴△S BPD ＝2×1×(n －3 )＝2 (n －3 )， ∴△S P AB ＝△S APD ＋△S BPD ＝2n －2 ； ∵2△S ABO ＝2×2 ·AO ·BO ＝1×3＝3.当 △S ABP ＝2△S ABO 时，2n －2 ＝3，解得 n ＝3 ， 综上所述，当 △S ABP ≤2△S ABO 时，n 的取值范围为3<n ≤3 . 2. 解：(1)∵点 A 在 y ＝ 图象上，类型三根据面积关系确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线 l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B (3，0)， ∴0＝3k ＋1.1∴k ＝－3 .1当 x ＝0 时，y ＝1，∴点 A (0，1)；(2)如解图，过点 A 作 AM ⊥PD ，垂足为点 M ，则有 AM ＝2，1 111 1 1 1∵B (3，0)，∴点 B 到直线 x ＝2 的距离为 △1，即 BDP 的边 PD 上的高长为 1，1 1 1 13 113 1 71 7第 1 题解图axa∴a －2＝3 .∴a ＝3.∴A (3，1).∵点 A 在 y ＝x ＋b 图象上，⎧x ＝m ＋2，解得⎨ ∴C ( 2， ). ∴2 ·(m －2)· 2－ (m －2)×1≥6. ⎪ ⎩ 2∴1＝3＋b .∴b ＝－2；(2)由(1)知直线 l 1 为 y ＝x －2.设直线 l 1∶y ＝x －2 与 x 轴的交点为 D ， ∴D (2，0).①当点 C 在点 A 的上方如解图①，第 2 题解图①∵直线 y ＝－x ＋m 与 x 轴交点为 B ，∴B (m ，0).∵点 C 在点 A 的上方， ∴m ＞4.∵直线 y ＝－x ＋m 与直线 y ＝x －2 相交于点 C ，⎧y ＝x －2， ∴⎨⎪y ＝－x ＋m ，2⎩y ＝m －2．m ＋2 m －22∵△S ABC ＝△S BCD －△S ABD ≥6，1 m －2 1 2∴m ≥8；②若点 C 在点 A 下方，如解图②， 此时 m ＜4.第 2 题解图②∵△S ABC ＝△S ABD ＋△S BCD ≥6，1 1 2－m∴2 (2－m )×1＋2 (2－m )·2 ∴m ≤－2.综上所述，m ≥8 或 m ≤－2.≥6.1.解：(1)把x＝0代入y＝x＋4得：y＝4，把y＝0代入y＝x＋4得：x＋4＝0，33∴△S AOB＝×6×4＝12；2∴△S ABC＝×4·AC＝16，22.解：(1)∵点A(2，n)在双曲线y＝上，∴n＝＝4.2(2)点B坐标为(0，8)，(0，25)，(0，).解得m＝，22类型四根据线段、面积、图形求点坐标23∴B(0，4)，22解得x＝－6，∴A(－6，0)，1(2)根据题意得：点B到AC的距离为4，1解得AC＝8，即点C到点A的距离为8，∴点C的坐标为(－14，0)或(2，0).8x8∴点A的坐标为(2，4).将A(2，4)代入y＝kx，得：4＝2k，解得k＝2；52【解法提示】分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如解图所示．①当AB1＝AO时，CO＝CB1＝4，∴点B1的坐标为(0，8)；②当OA＝OB2时，∵点A的坐标为(2，4)，∴OC＝4，AC＝2.∴OA＝OC2＋AC2＝25.∴OB2＝25.∴点B2的坐标为(0，25)；③当B3O＝B3A时，设OB3＝m(m＞0)，则CB3＝4－m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB3＝CB23＋AC2，即m2＝(4－m)2＋22，5∴点B3的坐标为(0，2).将A(1，2)代入反比例函数y＝x得k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝x；∴点M的坐标为(3，0).⎪⎩⎩55综上所述：点B的坐标为(0，8)，(0，25)，(0，2).第2题解图3.解：(1)∵A(1，m)在一次函数y＝2x的图象上，∴m＝2.k2(2)如解图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，∵B(2，1)，⎧－2＝n＋b，设A′B的表达式为y＝nx＋b，代入点A′、B得⎨⎪1＝2n＋b，⎧⎪n＝3，解得⎨⎪b＝－5，∴直线A′B的表达式为y＝3x－5.5第3题解图4. 解：(1)①∵点 B (－2，－1)在双曲线 y ＝ 上， ∵点 A (1，m )在双曲线 y ＝ 上，x⎩ kx∴k ＝(－2)×(－1)＝2.2∴反比例函数解析式为 y ＝x .2∴m ＝2.∴A (1，2).∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ， ∴C (1，－2)；②∵直线 l ：y ＝ax ＋b 经过点 A (1，2)和点 B (－2，－1)，⎧⎪2＝a ＋b ， 得⎨⎪－1＝－2a ＋b ，⎧⎪a ＝1， 解得⎨⎪⎩b ＝1.∴直线 l 的解析式为 y ＝x ＋1；(2)1－ 3 ≤t ≤0 或 2≤t ≤1＋ 3 .【解法提示】如解图，∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ， ∴AC ∥y 轴． ∵BD ⊥y 轴，∴∠BDC ＝90°，D (1，－1). ∵C (1，－2)， ∴CD ＝1.①当点 E 在点 D 左侧时，当∠CED ＝45°时，DE ＝CD ＝1， ∴t ＝0.当∠CE ′D ＝30°时，DE ′＝ 3 CD ＝ 3 ， ∴t ＝1－ 3 .∵30°≤∠CED ≤45°， ∴1－ 3 ≤t ≤0；②当点 E 在点 D 右侧时，同理可得，2≤t ≤1＋ 3 ，综上所述，1－ 3 ≤t ≤0 或 2≤t ≤1＋ 3 .第4题解图。
专题2.10反比例函数与几何综合大题(学生版)
专题2.11反比例函数与几何综合大题一、解答题1．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(−1，0)，反比例函数y=6x的图像也经过点A，且点A横坐标是2．(1)求一次函数的解析式．(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接AC，tan∠ACB=34，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y=6x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图像于点D、E，求点D、E的坐标．(3)在（2）的条件下，连接AD，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB=32，求MO．≠0的图(2)若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD．反比例函数y=象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）3．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）如图点P(m,n)是双曲线y=k x(x<0)上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程4a2+ba+320的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，过B点且与AB垂直的直线交FO的延长线于Q点．(1)求双曲线的解析式；(2)当OP取最小值求b的值．(3)若点O到AB的距离等于OP的最小值，求1EF+1BQ的值．>04．（2022·安徽·淮南市龙湖中学九年级期中）如图，直线y=ax+6经过点A−3,0，交反比例函数y=的图象于点B1,m．(1)求k的值；(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．5．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学九年级期中）直线y=2x与反比例函数y=2x图象交于A，B两点，CA点右侧任意一点；(1)如图1，求A，B两点坐标；(2)如图2，连接BC，若∠ABC=45°，求点C的坐标；(3)如图3，设直线AC，BC分别与x轴相交于D，E两点，且AC=mCD，BC=nCE，求n−m的值．6．（2022·江苏·景山中学九年级阶段练习）在平面坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q 在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M、N的“最近距离”，记为d M，N．特别地，若图形M、N有公共点，规定值为0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A0,1，则d A，⊙O=_________．>0的图像为G1，则d G1，⊙O=_________．②记反比例函数y=(2)如图2，点B2，0，⊙B的半径为1，直线l1：y=kx+3，若d l1，⊙B=135，求k的值．(3)如图3，直线l2：y=−x+4与x轴交于点C，与y轴交于点D，边长为2的正方形EFHK的中心为O，将正方形EFHK沿着x m个单位，记正方形EFHK为图形G2，若线段CD与正方形EFHK的“最近距离”满足0≤d CD，G2≤12，请直接写出m的取值范围．7．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S△ABC＝3，且CA⊥x轴．(1)若点C在反比例函数y=k x（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．8．（2022·陕西·西北大学附中九年级期中）如图，一次函数y=−x+4的图象与反比例函数y=k x（k为常数，且k≠0）的图象交与A1,a、B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．9．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）如图1，平面直角坐标系xOy中，A−4,3，反比例<0的图象分别交矩形ABOC的两边AC、BC于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC函数y=折叠使A、D重合(1)如图2，连接BC，求证：EF∥BC；(2)当点D落在矩形ABOC内部时，求k的取值范围；(3)如图3，连接CD，求CD的最小值，并直接写出此时点D的坐标．>0图象上10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）如图，已知点A为函数y=任意一点，连接OA并延长至点B，使AB=OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OC．求四边形OCDA的面积．11．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，已知顶点B(2,4)，反比例函数y=k x(x>0)的图像与BC,AB分别交于D，E，BD=12．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)若点F在直线AC上，点G在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，是否存在合适的F、G点，使四边形BCFG平行四边形，若存在，请求出点G的坐标．若不存在，请说明理由．12．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）知识拓展如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；解决问题如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A m，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=m x x>0的图象与AB交于C，D两点．(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B 分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．14．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k x（x＞0）的图像过点A（n，2）和B（85，2n−3）两点．(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k x（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k x（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．16．（2022·浙江·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝1x（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．(1)如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．(2)如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．17．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m x（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．18．OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA=2，AB=4，双曲线k>0与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；(2)将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．19．（2021·辽宁·沈阳市清乐围棋学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD：y1＝kx+b与反比例函数y2＝m x的图象交于点B，点E．(1)求反比例函数及直线BD的关系式；(2)直接写出不等式m x﹣kx﹣b＜0的解集．20．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反比例函数y=k x(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．21．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=k x 的图象过点A．(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；(2)证明：O、M、E三点共线；(3)证明：∠EOB=13∠AOB．23．（2022·江苏省盐城中学新洋分校八年级阶段练习）【感知】如图1，已知反比例函数y=k x上有两点A(−2,1)，B(1,−2)，AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥y轴交y轴于点F，则S△AEF=______；S△BEF=_______；EF与AB的位置关系：_______．【探究】数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线y=k x(x>0)同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接AF、BE．①试探究△AEF与△BEF面积的关系并说明理由．②试探究EF与AB之间的位置关系并说明理由．【运用】如图3，已知点A、B在反比例函数y=12x的图像上，且A(3,m)，B是反比例函数y=12x第三象限内图像上的一动点，过点A作AE⊥x轴，过点B作BF⊥y轴，垂足分别分为E，F，若四边形AEFB的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现的结论，答案见公众号：绿爱生活）【拓展】如图4，函数y=k x(x>0)的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线AB分别交于y轴、x轴于点C、E，连接AD分别交y轴、x轴于点M、N．若AC=23AB，则AM AD=______．24．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y=k x(k>0,x＜0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD．(1)求直线BC的表达式．(2)求tan∠DAB的值．(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x>0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·江苏·开明中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0< t<5）(1)当t=时，DC∥BO；(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；(3)在（2）的条件下；①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②过点C作直线l1⊥x轴，过点B作直线l2⊥y轴，直线l1与直线l2交于点P，反比例函数y=k x（k>0，x>0）的图像与直线l1、l2分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．26．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）阅读理解对于任意正实数a，b，∵(a−b)2≥0，∴a+b−2ab≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab(a,b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p只有当a=b时，a+b有最小值2p．根据上述内容，回答下列问题：(1)若m>0，只有当m=______时，m+1m有最小值______．(2)探索应用如图，已知A−2,0，B0,−3，P为双曲线y=6x(x>0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．(3)实践应用建筑一个容积为800m3，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？27．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k x（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝k x的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为94．(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．28．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12x+2及双曲线y ＝k x（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m ＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC'∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+d a，求d的最大值．29．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y=k x（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．解决问题：(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．30．（2022·上海市梅陇中学九年级期中）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数y=−1x,y=4x的图像交于A、B两点，(1)当OB与x轴的正半轴的夹角为45°时，求点A、B的坐标．(2)在直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转过程中，∠OAB大小会变化吗？如果不变，请求出tan∠OAB的值如果有变化，请说明理由．(3)如果AB交y轴于点C，若AC=2BC时，求点A，B的坐标．。
一次函数-反比例函数与几何综合
一次函数与几何综合【例1】 如图,直线6y kx =+与x 轴y 轴分别相交于点E F 、. 点E 的坐标为 8, 0-（）, 点A 的坐标为()60-，. 点,P x y （）是第二象限内的直线上的一个动点。
（1）求k 值；（2）当点P 运动过程中，试写出OPA ∆的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）探究：当P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，OPA ∆的面积为278，并说明理由【例2】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC的解析式为y =+，直线AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线AC 上的点'B 处时，求α的值；图2反比例函数与几何综合【例1】 两个反比例函数1k y x =和()2120ky k k x=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2ky x =的图象于点B ．⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当23PA PC =时，求DBBP的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=． ①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？k 2x【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)ky k x=>的图象与AC 边交于点E ．（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【例3】 如图，已知反比例函数12y x=的图象和一次函数7y kx =-的图象都经过点()2P m ，．①求这个一次函数的解析式；②如果等腰梯形ABCD 的顶点A B ，在这个一次函数图象上，顶点C D ，在这个反比例函数图象上，两底AD ，BC 与y 轴平行，且A 和B 的横坐标分别为a 和2a +，求a 的值。
专题一 反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)
专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作 轴于点F ,过点B 作 轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱 形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。