椭圆和双曲线的离心率的求值与范围问题
2023年高考数学二轮复习讲练测专题11 离心率问题速解(原卷版)

专题11 离心率问题速解【命题规律】求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题,多以选择、填空题的形式考查,难度中等.【核心考点目录】核心考点一:顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 核心考点二:焦点三角形顶角范围与离心率 核心考点三:共焦点的椭圆与双曲线问题 核心考点四:椭圆与双曲线的4a 通径体 核心考点五:椭圆与双曲线的4a 直角体 核心考点六:椭圆与双曲线的等腰三角形问题 核心考点七:双曲线的4a 底边等腰三角形 核心考点八:焦点到渐近线距离为b核心考点九:焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 核心考点十:以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 核心考点十一:渐近线平行线与面积问题【真题回归】1.(2022·全国·统考高考真题)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ,点P ,Q 均在C 上,且关于y 轴对称.若直线,AP AQ 的斜率之积为14,则C 的离心率为( )A B C .12D .132.(2021·天津·统考高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A ,B 两点,交双曲线的渐近线于C 、D 两点,若|CD AB .则双曲线的离心率为( ) AB C .2D .33.(2021·全国·统考高考真题)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是( )A .⎫⎪⎪⎣⎭B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .⎛ ⎝⎦D .10,2⎛⎤⎥⎝⎦4.(多选题)(2022·全国·统考高考真题)双曲线C 的两个焦点为12,F F ,以C 的实轴为直径的圆记为D ,过1F 作D 的切线与C 交于M ,N 两点,且123cos 5F NF ∠=,则C 的离心率为( )AB .32C D 5.(2022·全国·统考高考真题)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,C 的上顶点为A ,两个焦点为1F ,2F ,离心率为12.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ,E 两点,||6DE =,则ADE 的周长是________________.6.(2022·浙江·统考高考真题)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ,过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ,交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<.若||3||FB FA =,则双曲线的离心率是_________.7.(2022·全国·统考高考真题)记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ,写出满足条件“直线2y x =与C无公共点”的e 的一个值______________.【方法技巧与总结】求离心率范围的方法 一、建立不等式法:1、利用曲线的范围建立不等关系.2、利用线段长度的大小建立不等关系.12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,P 为椭圆上的任意一点,[]1,PF a c a c ∈-+;12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,1PF c a ≥-.3、利用角度长度的大小建立不等关系.12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点,P 为椭圆上的动点,若12F PF θ∠=,则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<.4、利用题目不等关系建立不等关系.5、利用判别式建立不等关系.6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.7、利用基本不等式,建立不等关系.【核心考点】核心考点一:顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 【典型例题】例1.(2022·全国·高二专题练习)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,124ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A .12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B .2⎛ ⎝⎭C .,23⎛ ⎝⎭D .23⎫⎪⎪⎝⎭例2.(2022春·辽宁葫芦岛·高二统考期中)已知点12F F ,分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点,点P 是椭圆上的一个动点,若使得满足12PF F ∆是直角三角形的动点P 恰好有6个,则该椭圆的离心率为( )A .12B C D 例3.(2022秋·安徽·高二校联考开学考试)若P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的一点,且120PF PF ⋅=,125tan 12PF F ∠=,则此椭圆的离心率为( )A B .1517 C .1315D .1317核心考点二:焦点三角形顶角范围与离心率 【典型例题】例4.(2022春·福建漳州·高二校联考期中)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0ab >>),椭圆的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆C 上的任意一点,且满足120PF PF ⋅>,则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A .10,2⎛⎫⎪⎝⎭B .⎛ ⎝⎭C .12⎛ ⎝⎭D .⎫⎪⎪⎝⎭例5.(2022春·北京·高二人大附中校考期末)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,若C 上存在一点P ,使得12120F PF ︒∠=,且12F PF △,则C 的离心率的取值范围是( )A .2⎛ ⎝⎦B .110,12⎛⎫⎪⎝⎭C .1112⎫⎪⎣⎭D .11,112⎛⎫⎪⎝⎭例6.(2022春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考阶段练习)已知1F ,2F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点,若存在点P 为椭圆上一点,使得1260F PF ∠=︒,则椭圆离心率e 的取值范围是( ).A .2⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B .0,2⎛ ⎝⎭C .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭例7.(2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ[,]64α∈,则该椭圆离心率e 的最大值为___________.例8.(2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期中)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A关于原点的对称点为点B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF α∠=,且,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆的离心率e 的取值范围是___________.例9.(2022·高二单元测试)椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ,F 为其右焦点,若AF BF ⊥,设ABF θ∠=,且5,412ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则该椭圆离心率的取值范围为________.核心考点三:共焦点的椭圆与双曲线问题 【典型例题】例10.(2022春·江苏苏州·高二江苏省苏州第十中学校校考阶段练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点12,,,F F P Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点,且260QF P ∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e,则221231e e +等于_______. 例11.(2022春·山东青岛·高二统考期末)已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且1223F PF π∠=,记椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ,2e ,则2212484w e e =+的最小值为( ) A .24B .37C .49D .52例12.(2022春·广西·高三校联考阶段练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且12π3F PF ∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则12e e ⋅的最小值为( )AB .34CD .3例13.(2022春·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们的一个交点,且123F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则当121e e 取最大值时,1e ,2e 的值分别是( ) AB .12CD例14.(2022·河南洛阳·校联考模拟预测)已知椭圆1C :()222210x y a b a b+=>>和双曲线2C :()222210,0x y m n m n -=>>有共同的焦点1F ,2F ,P 是它们在第一象限的交点,当1260F PF ∠=︒时,1C 与2C 的离心率互为倒数,则双曲线2C 的离心率是( ) ABC .2D核心考点四:椭圆与双曲线的4a 通径体 【典型例题】例15.(2022·广西南宁·南宁市第八中学校考一模) 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点,直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ,若222=AF F C ,则椭圆的离心率为( )A B C D 例16.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>:的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 直线与椭圆C 交于M ,N 两点,设线段1NF 的中点D ,若10MD NF ⋅=,且12//MF DF ,则椭圆C 的离心率为( )A .13B C .12D 例17.(2022春·云南·高三校联考阶段练习)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F ,2F ,过1F 且垂直于x 轴的直线交C 于M ,N 两点,若22MF NF ⊥,则C 的离心率为( ) A1B .2C D 例18.(2022春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)如图,已知A ,B ,C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点,AB 经过原点O ,AC 经过右焦距F ,若BF AC ⊥且2CF FA =,则该双曲线的离心率等于_____.核心考点五:椭圆与双曲线的4a 直角体 【典型例题】例19.(2022春·福建福州·高二福建省福州格致中学校考阶段练习)已知1F ,2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点,过1F l ,l 分别交y 轴和双曲线右支于点M ,P ,且212F F PM F M -=,则E 的离心率为______.例20.(2022·全国·高三专题练习)如图所示,双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过1F 的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点,A 是1F B 的中点,且12F B F B ⊥,则双曲线C 的离心率e =( )AB .2C D 1例21.(2022·天津·统考一模)设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点,O 为坐标原点,过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ,与双曲线右支交于点P ,且满足()112OE OP OF =+,OE 则双曲线的方程为( ) A .221612x y -=B .22169x y -=C .22136x y -=D .221312x y -=例22.(2022·四川广元·统考三模)设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点,过2F 的直线交椭圆于A ,B 两点,且120AF AF ⋅=,222AF F B =,则椭圆E 的离心率为( )A .23B .34C D 例23.(2022春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习)如图,已知1F ,2F 为双曲线E :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过点1F ,2F 分别作直线1l ,2l 交双曲线E 于A ,B ,C ,D 四点,使得四边形ABCD 为平行四边形,且以AD 为直径的圆过1F ,11DF AF =,则双曲线E 的离心率为( )AB C .52D 核心考点六:椭圆与双曲线的等腰三角形问题 【典型例题】例24.(2022春·陕西西安·高二期末)设1F ,2F 是椭圆E :()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点,过点()2,0F c 且倾斜角为60°的直线l 与直线2a x c=相交于点P ,若12PF F △为等腰三角形,则椭圆E 的离心率e 的值是( )A B .13C D 例25.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线22221x y a b-=的左焦点为1F ,过1F 作一倾斜角为15的直线交双曲线右支于P 点,且满足1POF △(O 为原点)为等腰三角形,则该双曲线离心率e 为( )A .e =B .2e =C .e =D .e =例26.(2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测)已知12F F 、是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点,点P 为抛物线28(0)y ax a =->准线上一点,若12F PF △是底角为15︒的等腰三角形,则椭圆的离心率为( )A1B 1C D 例27.(2022·全国·高三专题练习)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ,若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P 为等腰三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A .111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B .110,,132⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C .1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭核心考点七:双曲线的4a 底边等腰三角形 【典型例题】例28.(2022·全国·高三专题练习)已知1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左,右焦点,过点1F 作的直线l 与双曲线的左,右两支分别交于M ,N 两点,以2F 为圆心的圆过M ,N ,则双曲线C 的离心率为( )AB C .2D 例29.(2022·全国·高三专题练习)设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过点1F 作斜l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,M N 两点,且()220F M F N MN +⋅=,则双曲线C 的离心率为( ) AB C D .2核心考点八:焦点到渐近线距离为b 【典型例题】例30.(2022·全国·模拟预测)设1F ,2F 分别是双曲线C :()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点,O 为坐标原点,过右焦点2F 作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为A .若12212AF F S OF =△,则双曲线C 的离心率为( )AB C D 例31.(2022·全国·高三专题练习)设1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P .若1|||PF OP =,则C 的离心率为( )AB .2C D 例32.(2022·全国·高三专题练习)设1F ,2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b u b -=>>的左、右焦点,O 是坐标原点.过2F 作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,若1PF =,则C 的离心率为( ) A.B .2C D 例33.(多选题)(2022秋·广东·高二校联考阶段练习)过双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >)的右焦点F引C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,交另一条渐近线于点B .若FB AF λ=,23λ≤≤,则C 的离心率可以是( )A B C D .2核心考点九:焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 【典型例题】例34.(2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测)已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ,垂足为H ,直线l 与双曲线C 的左支交于E 点 ,且H 恰为线段2EF 的中点,则双曲线C 的离心率为 ( ) AB C .2D 例35.(2022秋·安徽·高二校联考期中)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,以1OF 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M (异于坐标原点O ),若线段1MF 交双曲线于点P ,且2//MF OP 则该双曲线的离心率为( )AB CD 例36.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线2222:1(0,0)x yE a b a b-=>>的左焦点为1F ,过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M N 、两点(点1F 位于点M 与点N 之间),且112MF F N =,又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点O 为坐标原点),且||||ON OP =,则双曲线E 的离心率e =( )AB C D 例37.(2022·全国·统考模拟预测)设F是双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的一个焦点,过F 作双曲线的一条渐近线的垂线,与两条渐近线分别交于,P Q 两点.若2FP FQ =,则双曲线的离心率为( ) AB C .2D .5核心考点十:以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 【典型例题】例38.(2022春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习)已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点,O 为坐标原点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ,若0OM MF ⋅=,||MN b =,则C 的离心率为________.例39.(2022·山西运城·统考模拟预测)已知双曲线E :()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ,过点1F 的直线与两条渐近线的交点分别为M ,N 两点(点1F 位于点M 与点N 之间),且13MN F N =,又过点1F 作1F P OM ⊥于P (点О为坐标原点),且ON OP =,则双曲线E 的离心率e 为__________.例40.(2022春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习)过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,过A ,B 分别作双曲线的同一条渐近线的垂线,垂足分别为P ,Q .若2AP BQ a +=,则双曲线的离心率为___________.例41.(2022·高二课时练习)过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 引一条渐近线的垂线,垂足为点A 、在第二象限交另一条渐近线于点B ,且||||(1)AB AF λλ=≥,则双曲线的离心率的取值范围是___________.例42.(2022·全国·高三专题练习)双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,1F 过的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点(P 在第二象限,Q 在第一象限)1122,0=⋅=F P PQ FQ F Q ,则双曲线C 的离心率为______.例43.(2022春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.例44.(2022春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末)已知F是双曲线22221x y a b-=的左焦点,圆2222:O x y a b +=+与双曲线在第一象限的交点P ,若PF 的中点在双曲线的渐近线上,则此双曲线的离心率是___________.例45.(2022·四川·统考模拟预测)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,左,右顶点分别为A ,B ,以AB 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ,若2PAF △为等腰三角形,则双曲线的离心率为_________.例46.(2022秋·天津·高三专题练习)已知F 1(﹣c ,0),F 2(c ,0)分别为双曲线2222x y a b-=1(a >0,b >0)的左、右焦点,以坐标原点O 为圆心,c 为半径的圆与双曲线在第二象限交于点P ,若tan ∠PF 1F 2=该双曲线的离心率为_____.例47.(2022·全国·模拟预测)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,两条渐近线分别为1l ,2l .过点2F 且与1l 垂直的直线分别交1l ,2l 于P ,Q 两点,O 为坐标原点,若满足22OF OQ OP +=,则该双曲线的离心率为______.核心考点十一:渐近线平行线与面积问题 【典型例题】例48.(2022春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过双曲线C 上任意一点P 分别作C 的两条渐近线的垂线,垂足分别为,,A B 8||||9PA PB ⋅=,12F F 等于3212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项,则双曲线C 的离心率为A .3B .3C D .例49.(2022春·贵州六盘水·高三校考期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>,过双曲线的右焦点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为M 、N ,若四边形FMON 为正方形,则双曲线C 的离心率为__________.例50.(2022秋·湖北·高三统考阶段练习)已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ,过A 作双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为M ,N ,且4||||5MN OA =(O 为坐标原点),则此双曲线的离心率是___.例51.(2022·河南郑州·郑州一中校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,P 为双曲线上一点,且1PF x ⊥轴,过点P 作双曲线C 的两条渐近线的平行线,分别交两条渐近线于A ,B 两点,若四边形PAOB 的面积为2,则12PF F ∆的面积为______.例52.(2022春·全国·高二期中)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点P 坐标为)(0),m m F >为双曲线C 的右焦点,且PF 垂直于x 轴.过点P 分别作双曲线C 的两条渐近线的平行线,它们与两条渐近线围成的图形面积等于1,则该双曲线的离心率是________.例53.(2022·浙江·校联考模拟预测)过双曲线2221(0)x y a a-=>上一点M 作直线l ,与双曲线的两条渐近线分别交于,P Q ,且M 为线段PQ 的中点,若POQ △(O 为坐标原点)的面积为2,则双曲线的离心率为______. 例54.(2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的任意一点P ,作双曲线渐近线的平行线,分别交渐近线于点,M N ,若214OM ON b ⋅≥,则双曲线离心率的取值范围是___________.【新题速递】一、单选题1.(2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测)已知双曲线C :2221x y a-=()0a >的右焦点为F ,点()0,A a -,若双曲线的左支上存在一点P ,使得7PA PF +=,则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A .⎛ ⎝⎦B .(C .⎫+∞⎪⎣⎭D .)+∞2.(2022春·河南·高三校联考阶段练习)已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>,F 为C 的下焦点.O 为坐标原点,1l 是C 的斜率大于0的渐近线,过F l 交1l 于点A ,交x 轴的正半轴于点B ,若||||OA OB =,则C 的离心率为( )A .2BC D3.(2022春·福建福州·高三福州四中校考阶段练习)设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点M ,N 在C 上(M 位于第一象限),且点M ,N 关于原点O 对称,若12MN F F =,22NF =,则椭圆C 的离心率为( )A B .12C D 4.(2022春·江苏南通·高三期末)如图,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ,BD ,若直线AC 与BD 的斜率之积为14-,则椭圆的离心率为( )A .12B C D .345.(2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考阶段练习)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,A ,B 分别为C 的左右顶点,222:()(0)G x y m m m +-=>与y 轴的一个交点为D ,直线AD ,BG 的交点为M ,且MF x ⊥轴,则C 的离心率为( )A .13B .12C .23D .346.(2022春·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习)已知如图,椭圆C :()222210x y a b a b+=>>,斜率为12的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,与x 轴,y 轴分别交于M ,N 两点,若AN NM MB ==,则椭圆C 的离心率e 为( )A .12B C D7.(2022春·广东·高三校联考阶段练习)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>,直线l 过坐标原点并交椭圆于,P Q两点(P 在第一象限),点A 是x 轴正半轴上一点,其横坐标是点P 横坐标的2倍,直线QA 交椭圆于点B ,若直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为( )A .12B C D 8.(2022春·浙江金华·高三期末)设O 为坐标原点,12,F F 为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的两个焦点,12,l l 为双曲线的两条渐近线,1F A 垂直1l 于1,A F A 的延长线交2l 于B ,若2OA OB AB +=,则双曲线的离心率为( )AB C D 9.(2022春·广东广州·高三校考期中)已知1F 、2F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点,P 为双曲线的渐近线上一点,满足1260F PF ∠=︒,12OP F =(O 为坐标原点),则该双曲线的离心率是( )A B C D 10.(2022春·江苏·高三校联考阶段练习)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若23,2AB a AF AB =⊥,则C 的离心率为( )A B C .23D .13二、多选题11.(2022春·黑龙江绥化·高三校考阶段练习)已知双曲线2221(0)4x y b b-=>右焦点为1F ,过1F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,点()4,0F -,若ABF △为锐角三角形,则下列说法正确的是( ) A .双曲线过点()2,0-B .直线30x y -=与双曲线有两个公共点C .双曲线的一条渐近线2by x =D .双曲线的离心率取值范围为11,2⎛ ⎝⎭12.(2022春·江苏常州·高三统考阶段练习)如图,椭圆1C 与椭圆2C 有公共的左顶点和左焦点,且椭圆2C 的右顶点为椭圆1C 的中心,设椭圆1C 与椭圆2C 的长半轴长分别为1a 和2a ,半焦距分别为1c 和2c ,离心率分别为1e 和2e ,则以下结论中正确的是( )A .2121e e =-B .1221a c a c >C .1221a c a c +=+D .122122a c a c ->-13.(2022·浙江·模拟预测)如图,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ,上顶点为B ,右焦点为F ,且AB ⊥BF ,则C 的离心率为( )A .BF AFB .22||||AB AFC .2||AF BF AB ⋅ D14.(2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末)如图,P 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n-=>>在第一象限的交点,且12,C C 共焦点121212,,,,F F F PF C C ∠θ=的离心率分别为12,e e ,则下列结论不正确的是( )A .12,PF m a PF m a =+=-B .若60θ=︒,则2221314e e +=C .若90θ=︒,则2212e e +的最小值为2D .tan2bnθ= 15.(2022春·山西运城·高三校考阶段练习)已知12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点,过点2F 的直线与双曲线的右支交于A B 、两点,记12AF F △的内切圆1I 的半径为112,r BF F 的内切圆2I 的半径为2r ,若212r r a =,则( )A .1I 、2I 在直线x a =上B .双曲线的离心率2e =C .1ABF 内切圆半径最小值是32aD .12r r +的取值范围是2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.(2022春·福建厦门·高三厦门双十中学校考期中)已知1F ,2F 是双曲线E :()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点,过1F 作倾斜角为30°的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ,P ,1PM MF =,下列判断正确的是( ) A .21π3PF F B .2112MF PF =C.E D .E 的渐近线方程为y =三、填空题17.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在双曲线2222:1x y C a b-=上,点H 在直线x a =上,且满足122340HP HF HF ++=.若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭,则双曲线C 的离心率为_____________18.(2022·河南·模拟预测)已知椭圆1C 和双曲线2C 有共同的左、右焦点12,F F ,M 是它们的一个交点,且12π4F MF ∠=,记1C 和2C 的离心率分别为12,e e ,则12e e 的最小值是___________.19.(2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模)第24届冬奥会,是中国历史上第一次举办的冬季奥运会,国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ,BD ,且两切线斜率之积等于916-,则椭圆的离心率为______.20.(2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模)双曲线 22221(00)x y a b a b-=>>,的左顶点为A ,右焦点()0F c ,, 若直线x c =与该双曲线交于B C 、两点,ABC 为等腰直角三角形, 则该双曲线离心率为__________21.(2022·上海崇明·统考一模)已知椭圆1Γ与双曲线2Γ的离心率互为倒数,且它们有共同的焦点1F 、2F ,P 是1Γ与2Γ在第一象限的交点,当12π6F PF ∠=时,双曲线2Γ的离心率等于______.22.(2022·广东广州·统考一模)如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切,设图中球1O ,球2O 的半径分别为4和2,球心距离12OO =1O ,球2O 相切于点,E F (,E F 是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于__________.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(答案解析)(4)

一、选择题1.已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点,Q 是双曲线C 左支上的一点,(0,M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时,过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点,则椭圆的离心率为( )A .25B .45C .15D .232.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,若在右支上存在点A ,使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( )A .)+∞B .C .)+∞D . 3.过抛物线24y x =焦点F ,斜率为k (0k >)的直线交抛物线于A ,B 两点,若3AF BF =,则k =( )A B .2 C D .1 4.圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点,若||1AB =,则C 的离心率为( )A B C .14 D .45.已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点,则a =( )A B .C .2 D .46.若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称,过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程为( )A .24480y x y -++=B .22220y x y +-+=C .2210y x y ---=D .24250y x y +-+=7.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1,且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为( )A .y x =B .y =C .y x =D .y =8.椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P (x 1,y 1),Q (-x 1,-y 1)在椭圆C 上,其中x 1>0,y 1>0,若|PQ |=2|OF 2|,11||||QF PF ≥,则离心率的取值范围为( ) A.⎛ ⎝⎦ B.2] C.1⎤⎥⎝⎦D.1] 9.椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上一点M 关于原点的对称点为N ,F 为椭圆的一个焦点,若0MF NF ⋅=,且3MNF π∠=,则该椭圆的离心率为( ) A.1BCD110.已知椭圆22:12x C y +=,直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ,B 两点,AB 的中垂线交x 轴于M 点,则2||||FM AB 的取值范围为( ) A .11,164⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .11,162⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 11.以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为( )A .设,AB 是两定点,k 为非零常数,若||||PA PB k -=,则动点P 的轨迹为双曲线的一支;B .过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若1()2OP OA OB =+,则动点P 的轨迹为椭圆;C .方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;D .双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点. 12.12,F F 为双曲线2214x y -=-的两个焦点,点P 在双曲线上,且1290F PF ︒∠=,则12F PF △的面积是( )A .2B .4C .8D .16二、填空题13.直线l 过抛物线28y x =的焦点F ,且与抛物线交于A ,B 两点,若线段AB 的中点到y 轴的距离是2,则AB =______.14.12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点,P 为该椭圆上一点,且1260F PF ︒∠=,则12F PF ∆的内切圆半径等于___________15.已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5,则这点的坐标为_______. 16.已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m =______.17.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ,P 为椭圆上一点,13PF =,123F PF π∠=,则b =______. 18.在平面直角坐标系中,已知椭圆22:12+=x E y ,直线10x y +-=与椭圆E 交于A ,B 两点,则△AOB 的外接圆圆心的坐标为______.19.已知点P 是抛物线24y x =上动点,F 是抛物线的焦点,点A 的坐标为()1,0-,则PF PA的最小值为 ________. 20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()220y px p =>的焦点为F ,准线为l ,()2,0C p ,过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B ,AF 与BC 相交于点E .若2AF CF =,且ACE △的面积为p 的值为______.三、解答题21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =,一条准线方程为x (1)求椭圆C 的方程;(2)设,G H 为椭圆上的两个动点,G 在第一象限,O 为坐标原点,若OG OH ⊥,GOH ,求OG 的斜率.22.已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>,焦距为2. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)点P 为椭圆C 的上顶点,过点P 作两条相互垂直的直线1l ,2l 分别与椭圆相交于M 、N 两点,若4tan 3∠=PNM ,求直线1l 的方程. 附:多项式因式分解公式()()32238642322-+-=--+t t t t t t . 23.过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ,B 两点,1F 为其左焦点,已知1AF B △的周长为8 (1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ,Q ,且OP OQ ⊥?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.24.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ,离心率为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点P 作两条互相垂直的弦PA ,PB 分别与椭圆C 交于A ,B .(i )证明直线AB 过定点;(ii )求点P 到直线AB 距离的最大值.25.我们把经过椭圆的焦点且与过焦点的轴垂直的弦称为椭圆的正焦弦.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的正焦弦长为1,且点⎛ ⎝⎭在椭圆上. (1)求椭圆的方程;(2)经过点11,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭作一直线交椭圆于,A B 两点如果点P 为线段AB 的中点,求直线AB 的斜率;(3)若直线l 与(2)中的直线AB 平行,且与椭圆交于M ,N 两点,试求MON △(O 为坐标原点)面积的最大值.26.在平面直角坐标系中,(10,C ,圆(222:12C x y +=,动圆P 过1C 且与圆2C 相切.(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程; (2)若直线l 过点()0,1,且与曲线C 交于A 、B ,已知AB 的中点在直线14x =-上,求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】当,,M Q E 三点共线时,MQ QE +最小,进而可求出Q 的坐标,结合椭圆的性质,可知椭圆的离心率EF e QE QF =+.【详解】由题意,双曲线22:13y C x -=中,2221,3,4a b c ===, 设双曲线的左焦点为E ,则()2,0E -,右焦点()2,0F ,则()222324MF =+=,根据双曲线的性质可知,2QF QE a -=,则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++,当,,M Q E 三点共线时,MQ QE +最小,此时MQF 的周长最小,此时直线ME 的方程为)32y x =+,联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩,消去y 得450x +=,解得54x =-,则334y = 所以MQF 的周长最小时,点Q 的坐标为533,44⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -,右焦点()2,0F ,则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=, 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+. 故选:B.【点睛】 本题考查双曲线、椭圆的性质,考查椭圆离心率的求法,考查学生的计算求解能力,属于中档题.2.A解析:A【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ,可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=,与双曲线联立,利用120x x <可建立关系求解.【详解】设点A 的坐标为(,)m n ,则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=,点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ,2a =,可得()a n m c b =+, 则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=,与双曲线方程联立,可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=, A 在右支上,4224440a c a b b a--∴<-,即440b a ->,即220b a ->,即2220c a ->,则可得e >故选:A.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ,b ,c 的方程或不等式,再根据a ,b ,c 的关系消掉b 得到a ,c 的关系式,建立关于a ,b ,c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3.A解析:A【分析】 将直线方程代入抛物线可得212224k x x k++=,121=x x ,由3AF BF =可得1232x x =+,联立方程即可解出k .【详解】由题可得()1,0F ,则直线方程为()1y k x =-,将直线代入抛物线可得()2222240k x k x k -++=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则212224k x x k++=,121=x x , 由抛物线定义可得121,1AF x BF x =+=+,3AF BF =,则1232x x =+, 结合212224k x x k++=可得1222312,x x k k =+=,代入121=x x ,则223121k k⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭,由0k >,可解得k = 故选:A.【点睛】方法点睛:解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤:(1)得出直线方程,设交点为()11A x y ,,()22B x y ,;(2)联立直线与曲线方程,得到关于x (或y )的一元二次方程;(3)写出韦达定理;(4)将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式;(5)代入韦达定理求解.4.B解析:B【分析】 由曲线的对称性,以及数形结合分析得115b a =,从而求得其离心率. 【详解】 如图所示,1AB =,2MA MB ==,根据对称性可知,A B 关于x 轴对称,所以112sin 24AMO ∠==,因为OA AM ⊥,所以1cos 4AOM ∠=, 渐近线OA 的斜率tan 15a k AOM b =∠==,所以115b a =, 所以22411515c b e a a ==+=, 故选:B .【点睛】方法点睛:本题考查双曲线离心率,求双曲线离心率是常考题型,涉及的方法包含: 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.5.C解析:C【分析】先求出椭圆焦点坐(椭圆的半焦距),再由双曲线中的关系计算出a .【详解】 椭圆22183x y +=的半焦距为c ∴双曲线中215a +=,∴2a =(∵0a >).故选:C .【点睛】晚错点睛:椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ,但它们的关系不相同:椭圆中222a b c =+,双曲线中222+=a b c ,不能混淆.这也是易错的地方.6.D解析:D【分析】首先根据两圆的对称性,列式求a ,再利用直接法求圆心P 的轨迹方程.【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1,并且圆心连线所在直线的斜率是1-, ()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=,,圆心(),1a -,22r a =, 所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得:1a =,即()2,1C -设(),P x y ,由条件可知PC x =x =,两边平方后,整理为24250y x y +-+=.故选:D【点睛】方法点睛:一般求曲线方程的方法包含以下几种:1.直接法:把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法:运用解析几何中以下常用定义(如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发,直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程.3.相关点法:首先要有主动点和从动点,主动点在已知曲线上运动,则可以采用此法. 7.C解析:C【分析】求出椭圆焦点坐标,得双曲线的焦点坐标,再由焦点到渐近线的距离可求得,a b,得渐近线方程.【详解】由题意已知椭圆的焦点坐标为(,即为双曲线的焦点坐标,双曲线中c =渐近线方程为b y x a=±,其中一条为0bx ay -=,1==,1b =,∴a = ∴渐近线方程为y x =. 故选:C .【点睛】 关键点点睛:本题考查椭圆与双曲线的焦点坐标,考查双曲线的渐近线方程,关键是求出,a b .解题时要注意椭圆中222a b c =+,双曲线中222+=a b c .两者不能混淆. 8.C解析:C【分析】 根据2||2PQ OF =,可得四边形12PFQF 为矩形,设12,PFn PF m ==,根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-,再分析18m t n m=+的取值范围, 进而求得()222422c a c <≤-,再求离心率的范围即可 【详解】设12,PF n PF m ==,由210,0x y >>,知m n <,因为()()1111,,,P x y Q x y --,在椭圆C 上,222PQ OP OF ==,所以,四边形12PFQF 为矩形,12=QFPF ;由11QF PF ≥1m n≤<, 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①;平方相减可得()222mn a c =-②;由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-; 令=+m n t n m,令3m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭,所以,12,3t v v ⎛=+∈ ⎝⎦, 即()222422c a c <≤-,所以,()222223a c c a c -<≤-,所以,()222113e e e -<≤-,所以,2142e <≤-解得12e <≤ 故选:C【点睛】关键点睛:解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率, 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①;平方相减可得()222mn a c =-②;由①②得()2222242c m n m n mn n m a c +==+-,然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-,进而求解 属于中档题 9.D解析:D【分析】E 是另一个焦点,由对称性知MENF 是平行四边形,从而得MENF 是矩形.3MEF MNF π∠=∠=,在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边,再上椭圆定义得,a c 的等式,求得离心率.【详解】如图,E 是另一个焦点,由对称性知MENF 是平行四边形, ∵0MF NF ⋅=,∴MF NF ⊥,∴MENF 是矩形.3MNF π∠=,∴3MEF π∠=,∴1cos 232ME EF c c π==⨯=,2sin 3MF c π==,∴1)2MF ME c a +==,∴1c e a ===. 故选:D .【点睛】关键点点睛:本题考查求椭圆的离心率,解题关键是找到,a c 的关系,本题利用椭圆的对称性,引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ,再根据向量数量积得垂直,从而得到矩形,在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系.求出离心率.10.B解析:B 【分析】 当l :0y =时,2||1||8FM AB =,设():10l x my m =-≠与椭圆联立可得:()222210my my +--=, 然后求得AB 的中垂线方程,令0y = ,得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭,然后分别利用两点间的距离公式和弦长公式求得||MF ,2||AB ,建立2||||FM AB 求解. 【详解】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l :0y =时,())()2,0,2,0,0,0A BM -,1,22FM AB ==所以2||1||8FM AB =, 设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得: ()222210my my +--=,由韦达定理得:1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫⎪++⎝⎭, 所以AB 的中垂线方程为:2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭, 令0y = ,得21,02M m ⎛⎫-⎪+⎝⎭, 所以221||2m MF m +=+,又()()2222281||2m AB m +==+, 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, 故选:B. 【点睛】思路点睛:1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单. 2、设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则弦长为AB ===k 为直线斜率). 注意:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式大于零.11.C解析:C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断;②不妨在单位圆x 2+y 2=1中,用代入法求得P 的轨迹方程可得判断;③求出方程22520x x -+=根,利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断; ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案; 【详解】①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,当||||||PA PB k AB -==时,则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线,因此不正确; ②∵()12OP OA OB =+,∴P 为弦AB 的中点,不妨在单位圆x 2+y 2=1中,定点A (1,0),动点11(,)B x y ,设P (x ,y ),用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14,∴点P 的轨迹为圆,错误;③解方程22520x x -+=可得两根12,2.因此12可以作为椭圆的离心率,2可以作为双曲线的离心率,因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确;④由双曲线221925x y -=可得c,其焦点(,同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,,因此没有相同的焦点,错误; 综上可知:其中真命题的序号为 ③. 故选:C . 【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质,考查了推理能力,属于中档题.12.B解析:B 【分析】先求出双曲线的a,b,c ,再利用12Rt PF F 中三边关系求出128PF PF =,再由直角三角形面积公式即得结果. 【详解】由2214x y -=-得标准方程为2214x y -=得221,4a b ==,2145c ∴=+=c ∴= 故12Rt PF F 中,()222212121212121222=2F F PF PF PF PFPF PF PF PF F F c ⎧==+⎪⎪=⎨+-=-⎪⎪⎩128PF PF ∴=所以12118422S PF PF =⋅=⨯=. 故选:B. 【点睛】本题考查了双曲线的定义和几何性质,考查了直角三角形的边长关系和面积公式,属于中档题.二、填空题13.【分析】设再表达出的坐标再利用抛物线的弦长公式求解即可【详解】设则利用中点坐标公式知又点M 到y 轴的距离为2故即又故利用过抛物线焦点的弦长公式故答案为:8【点睛】方法点睛:本题主要考查了过抛物线焦点的解析:【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,再表达出M 的坐标,再利用抛物线的弦长公式求解即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,则利用中点坐标公式知1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭,又点M 到y 轴的距离为2,故1222x x +=,即124x x +=, 又28,4p p ==,故利用过抛物线焦点的弦长公式12448AB x x p =++=+=. 故答案为:8 【点睛】方法点睛:本题主要考查了过抛物线焦点的弦长公式,有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点,可直接使用公式12AB x x p =++,若不过焦点,则必须用一般弦长公式,考查学生的运算能力与转化思想,属于一般题.14.【分析】由题意知由余弦定理可得由面积公式即可求解【详解】因为分别为椭圆的左右焦点为该椭圆上一点所以则由余弦定理得即所以故的面积设的内切圆半径为则解得故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆的定义椭圆的简解析:13- 【分析】由题意知12124,F P PF F F +==1243F PPF =‖,由面积公式12121211sin |)2602(S F P PF F P PF F F r ︒=⋅+⋅=‖+|即可求解.【详解】因为12F F 、分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点,P 为该椭圆上一点,所以12124,F P PF F F +==则由余弦定理得,2221212122cos 60F F F P PF F P PF ︒=+-‖,()2121212122cos602F P PF F P PF F P PF ︒=+--,即1212163F PPF =-‖,所以1243F PPF =‖, 故12PF F ∆的面积121sin 602S F P PF ︒=⋅‖=设12F PF ∆的内切圆半径为r ,则12121|)(4122(F P PF F F r r S +⋅=+⋅==+|,解得1r =-1 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆的简单几何性质,余弦定理,面积公式,属于中档题.15.【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为 解析:(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±16.【分析】化双曲线方程为标准方程求得的值依题意列方程解方程求得的值【详解】双曲线方程化为标准方程得故依题意可知即解得【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程考查双曲线的虚轴和实轴考查运算求解能力属于基础题解析:1-4【分析】化双曲线方程为标准方程,求得,a b 的值,依题意列方程,解方程求得m 的值. 【详解】双曲线方程化为标准方程得2211y x m-=-,故1,a b == 依题意可知2b a =2=,解得14m =-.【点睛】本小题主要考查双曲线的标准方程,考查双曲线的虚轴和实轴,考查运算求解能力,属于基础题.17.【分析】作出图形利用椭圆的定义可求得利用余弦定理可求得的值进而可求得的值【详解】根据椭圆的定义:在焦点中由余弦定理可得:则所以故答案为:【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数考查解析:32【分析】作出图形,利用椭圆的定义可求得2PF ,利用余弦定理可求得c 的值,进而可求得b 的值. 【详解】根据椭圆的定义:2231PF a =-=,在焦点12PF F △中,由余弦定理可得:222212121242cos 73c F F PF PF PF PF π==+-⋅=,274c ∴=,则22279444b a c =-=-=,所以,32b =. 故答案为:32.【点睛】本题考查利用椭圆的定义和余弦定理求椭圆方程中的参数,考查计算能力,属于中等题.18.【分析】首先联立方程求得设圆心坐标利用其到△三个顶点的距离相等列出等量关系式求得结果【详解】联立方程可得:设圆心坐标则得:故答案为:【点睛】该题考查的是有关圆的问题涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点解析:51,62⎛⎫⎪⎝⎭【分析】首先联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,求得()0,1A ,41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,设圆心坐标(),x y ,利用其到△AOB 三个顶点的距离相等,列出等量关系式,求得结果.【详解】联立方程221012x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩可得:()0,1A ,41,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 设圆心坐标(),x y ,则()22222241133x y x y x y ⎛⎫-++=+=+- ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭, 得:56x =,12y =, 故答案为:51,62⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】该题考查的是有关圆的问题,涉及到的知识点有求直线与椭圆的交点,三角形外接圆的圆心的求法,属于简单题目.19.【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线【分析】过P 做准线的垂线,根据定义可得PF PM =,将所求PFPA最小,转化为sin PMPAM PA=∠的最小,结合图像分析出,当PA 与抛物线相切时,PAM ∠最小,联立直线与抛物线方程,根据判别式求出PA 斜率k ,进而可得PAM ∠的值,代入所求即可。
椭圆、双曲线的离心率问题值得关注

椭圆、双曲线的离心率问题值得关注江西临川二中 何泉清解几是高考重点考查的内容,故椭圆、双曲线的离心率问题依然是高考数学的热点和重点.一、求离心率的值 求解椭圆、双曲线离心率的值的方法:一是直接利用其定义;二是利用直线与其位置关系,转化到一个关于离心率e 的方程来求解.例1 已知P 是以F 1、F 2为焦点的双曲线2222by a x -=1上的一点,1PF ·2PF =0,且tan ∠P F 1F 2=21,则此双曲线的离心率e = . 解:如图1,∵1PF ·2PF =0,∴△P F 1F 2为直角三角形.∵tan ∠P F 1F 2=21,∴12PF PF =21,即| P F 1|=2| P F 2|. 又| PF 1|-| PF 2|=2a ,| PF 1|2+| PF 2|2=(2c )2, 图1∴| PF 2|=2a ,5| PF 2|2=4c 2,20a 2=4c 2, ∴22ca =5,则e =c a =5.例2 已知椭圆的短轴长为 6,F 1、F 2分别为它的左、右焦点,CD 是过F 1的弦,且与x 轴成α角(0<α<)π,若△F 2CD 的周长为20,则椭圆的离心率e =.解:如图2,∵| CF 1|+| CF 2|=2a ,|DF 1|+|DF 2|=2a ,∴两式相加,得:| CF 1|+| CF 2|+|DF 1|+|DF 2|=20=4a .∴a =5,又b =3,∴c =4, 则e =a c =54. 图2 点评:例1、例2是直接利用双曲线、椭圆的一义来求离心率的.例3 设双曲线2222by a x -=1(0<a <b =的半焦距为c ,直线l 过(a ,0),(b ,0)两点.已知原点到直线l 的距离为43c ,则双曲线的离心率为( ) A .2 B .3 C .2 D .2或332 解:由l : by a x -=1,得bx +a -yab =0 原点到直线l 的距离为22b a ab+-=43c ,又a 2+b 2=c 2, ∴ab =43c 2,∴a 2b 2= 163c 4,即a 2c 2-a 4=163c 4,两边同除以a 4,则e 2-1=163e 4,解得e =2或e =332. 又b >a >0,∴ab >1,即e 2-1>1,e 2>2. ∴e =2.故选A .例4 已知椭圆C 的方程为2222x y a b+=1(a >b >0),若直线y =22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F 2,则椭圆的离心率e 的( )A .21B .22C .23D .2-1解:设半焦距为c ,则F 2(c ,0).∵M 在轴上的射影恰好是右焦点F 2,∴M (c , 22c ). ∴22a c +22)22(bc =1,又a 2-c 2=b 2, ∴22ac +)(2222c a c -=1, 整理得,2c 4-52a c 2+2a 4=0,即2e 4-5e 2+2=0.∴e 4=21,故选B . 点评:例3、例4求离心率的方法是有相同的特点:先根据条件得到一个关于a 、c 的齐次等式,然后等式两边同除以a 的方幂,得到一个关于离心率的方程,解出e 并注意条件即得到所求.二、求离心率的取值范围其方法可以利用椭圆、双曲线的变化范围,直线与椭圆、双曲线的三种位置关系建立的一元二次方程存在实根的条件,图形的直观性,实数的非负性或已知变量的取值范围(隐含条件的不等关系)等来确立含离心率e 的不等式,从而获解.例5 已知椭圆2222x y a b+=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ,如果椭圆上存在点P ,使得∠APB =1200,求椭圆的离心率e 的取值范围.解法一:设P (x 0,y 0),由椭圆的对称性,不妨令0≤x 0<a , 0<y 0≤b .∵A (-a ,0),B (a ,0), ∴PA k =a x y +00,PB k =ax y -00. ∵∠APB =1200,∴tan ∠APB =-3,又tan ∠APB =1PB PA PB PA k k k k -+=2202002a y x ay -+, ∴2202002a y x ay -+=-3,……① 而点P 在椭圆上,∴b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2……②由①、②得 y 0=)(32222b a ab -.∵0<y 0≤b ,∴0<)(32222b a ab -≤b .∵a >b >0,∴2ab ≤3(a 2-b 2),即4 a 2b 2≤3 c 4,整理得,3e 4+4e 2-4≥0.考虑0<e <1,可解得36≤e <1. 解法二:以AB 为弦,含0120的角且在x 轴上方的弓形弧与上半椭圆的交点除A 、B外至多有两个,至少有一个,所以上顶点D (0,b )在弓形内,即∠ADB ≥0120, ∴∠ODB ≥600(点O 为坐标原点),∴ba ≥3,即a 2≥3b 2=3(a 2-c 2), 则e 2≥32. ∴33≤e ≤1. 点评:椭圆、双曲线上点的横、纵坐标的取值范围往往可以确立含离心率e 的不等式.解法二是考虑到几何性质运用数形结合的思想方法建立了含e 的不等式,简化了求解过程.下面再看例6对这一方法漂亮的应用.例6 已知椭圆2222by a x +=1(a >b >0)上有点P ,使∠F 1PF 2为直角,求椭圆离心率的取值范围.解:依题意知,以F 1F 2为直径的圆C与椭圆必有公共点P ,则椭圆短轴上端点B 必在圆C的内部或圆上,即|OB |≤r =c (r 为圆C的半径),∴b ≤c ,∴a 2- c 2≤c 2, 即2 c 2≥a 2,则22≤e <1. 点评:本题还有其他多种解法,请同学们试试.例7 过双曲线2222by a x -=1(a >0,b >0)的右焦点F 且倾斜角为045的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点.求双曲线离心率的取值范围.解:设F (c ,0),则直线AB 的方程为y =x -c ,且c 2= a 2+ b 2 由⎪⎩⎪⎨⎧-==-c x y b y a x 12222,消去y ,得2222)(b c x a x --=1, 即(a 2- b 2)x 2-2 a 2cx + a 2 (b 2 -c 2)=0.∵直线AB 与双曲线有两个交点,∴a 2- b 2≠0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2222b a c a -,x 1x 2=22222)(ba cb a -+. 又∵A 、B 分别在双曲线的右支上, ∴⎪⎩⎪⎨⎧〉-+=≠-0)(022*******b a c b a x x b a ,即a 2> b 2,a 2>c 2- a 2, ∴e 2<2,则1<e <2.点评:本题是以直线与双曲线的位置关系来确立含e 的不等式,亦可由图形上根据角度的大小关系确立含e 的不等式来求解.例8 已知梯形ABCD 中,|AB |=2|CD |,点E 满足=λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点,当32≤λ≤43时,求双曲线e 的取值范围. 解:以AB 为x 轴,线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系,如图3,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称.设A (-c ,0), C (2c ,h ), E (x 0,y 0),其中c =21|AB |,h 是梯形的高. ∵=λ, 图3∴(x 0+c ,y 0)=λ(2c -x 0,h -y 0), ∴x 0=)1(2)2(+-λλc ,y 0=λλ+1h . 设双曲线方程为2222by a x -=1, ∵C 、E 在双曲线上,并考虑e =a c , ∴222222221,(1)42()() 1.(2)411e h b eh b λλλλ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪++⎩ 由(1)得22bh =42e -1,代入(2),得42e (4-4λ)=1+2λ, ∴λ=1-132+e ,由32≤λ≤43,得32≤1-132+e ≤43, 解得7≤e ≤10. 故双曲线离心率的取值范围为[7,10].点评:本题依据已知变量的范围来确立含e不等式从而获解.―――原载《广东教育》2005年第18期。
椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题

椭圆和双曲线的离心率的求值及范围求解问题【重点知识温馨提示】1.e=ca=1-b2a2(0<e<1),e=ca=1+b2a2(e>1)2.确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式,3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ,11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A. 5 B.2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点,F是椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )(A )13(B )12(C )23(D )34例3 (2015·福建)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,32 B.⎝⎛⎦⎤0,34 C.⎣⎡⎭⎫32,1 D.⎣⎡⎭⎫34,1例4.(2014·江西)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________. 【跟踪练习】1. (2015·浙江)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =b c x 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________.2. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c 是a 、m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项, 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0)、F 2(c,0),若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1,则椭圆的离心率的取值范围为______.4.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,若FB →=2F A →,则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C .2D. 55.(2015·山东)过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为________.6.(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( )A .对任意的a ,b ,e 1<e 2B .当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 2C .对任意的a ,b ,e 1>e 2D .当a >b 时,e 1>e 2;当a <b 时,e 1<e 27、(2016年山东高考)已知双曲线E :22x a–22y b =1(a >0,b >0).矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______.8(2015年高考)过双曲线C :22221x y a a-=0,0a b >>()的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、(齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B .若点P (m ,0)满足|P A |=|PB |,则该双曲线的离心率是()(A)(B)(C) (D) 10、(东营市、潍坊市2016届高三高三三模)已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ,若1ABF ∆为等边三角形,则椭圆的离心率为( )A 1B 1-C D11、(济宁市2016届高三上学期期末)已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.3912、(莱芜市2016届高三上学期期末)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -,离心率为e ,过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ,若P 在抛物线22y cx =上,则2e =A.5B.51+ C.51-D.213,(烟台市2016届高三上学期期末)设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点,1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点,若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点,则双曲线C 的离心率e 的值为 A.322B.334C.98D.3241,4、(青岛市2016高三3月模拟)已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左,右焦点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足21212,120PF F F F F P =∠=,则双曲线的离心率为_________.15、(日照市2016高三3月模拟)已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点,点F 为抛物线的焦点,ABF ∆为直角三角形,则双曲线的离心率为 A.3B.2C.6D.316. (2015·重庆)如图,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ |=λ|PF 1|,且34≤λ<43,试确定椭圆离心率e 的取值范围.答案部分:例1【解析】 如图,设双曲线E 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),则|AB |=2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1,y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM =120°,∴|BM |=|AB |=2a ,∠MBN =60°,∴y 1=|MN |=|BM |sin ∠MBN =2a sin 60°=3a ,x 1=|OB |+|BN |=a +2a cos 60°=2a .将点M (x 1,y 1)的坐标代入x 2a 2-y 2b 2=1,可得a 2=b 2,∴e =c a =a 2+b 2a 2=2,选D.例2【答案】A例3如图,设左焦点为F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |+|BF |=4, ∴|AF |+|AF 0|=4, ∴a =2.设M (0,b ),则4b 5≥45,∴1≤b <2.离心率e =ca =c 2a 2=a 2-b 2a 2=4-b 24∈⎝⎛⎦⎤0,32, 故选A.例4.直线AB :x =c ,代入x 2a 2+y 2b 2=1,得y =±b 2a .∴A (c ,b 2a ),B (c ,-b 2a ).∴kBF 1=-b 2a -0c -(-c )=-b 2a 2c =-b 22ac .∴直线BF 1:y -0=-b 22ac (x +c ).令x =0,则y =-b 22a,∴D (0,-b 22a ),∴k AD =b 2a +b 22ac =3b 22ac .由于AD ⊥BF 1,∴-b 22ac ·3b 22ac =-1,∴3b 4=4a 2c 2,∴3b 2=2ac ,即3(a 2-c 2)=2ac , ∴3e 2+2e -3=0,∴e =-2±4-4×3×(-3)23=-2±423.∵e >0,∴e =-2+423=223=33.【跟踪练习】1,答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(-c,0),如图,连接QF 1,QF ,设QF 与直线y =bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点,且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点, ∴F 1Q ∥OM ,∴F 1Q ⊥QF ,|F 1Q |=2|OM |.在Rt △MOF 中,tan ∠MOF =|MF ||OM |=bc ,|OF |=c ,可解得|OM |=c 2a ,|MF |=bca,故|QF |=2|MF |=2bc a ,|QF 1|=2|OM |=2c 2a .由椭圆的定义得|QF |+|QF 1|=2bc a +2c 2a =2a ,整理得b =c ,∴a =b 2+c 2=2c ,故e =c a =22.方法二 设Q (x 0,y 0),则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎫x 0+c 2,y 02,k FQ=y0x 0-c ,依题意⎩⎨⎧y 02=b c ·x 0+c 2,y 0x 0-c ·bc =-1,解得⎩⎨⎧x 0=c (2c 2-a 2)a 2,y 0=2bc2a 2,又因为(x 0,y 0)在椭圆上,所以c 2(2c 2-a 2)2a 6+4c 4a 4=1,令e =c a ,则4e 6+e 2=1,∴离心率e =22. 2解析 在双曲线中m 2+n 2=c 2,又2n 2=2m 2+c 2,解得m =c2,又c 2=am ,故椭圆的离心率e =c a =12.3依题意及正弦定理,得|PF 2||PF 1|=a c (注意到P 不与F 1,F 2共线), 即|PF 2|2a -|PF 2|=a c , ∴2a |PF 2|-1=c a ,∴2a |PF 2|=c a +1>2a a +c,即e +1>21+e ,∴(e +1)2>2.又0<e <1,因此2-1<e <1.4解析 (1) 如图,∵FB →=2F A →,∴A 为线段BF 的中点, ∴∠2=∠3.又∠1=∠2,∴∠2=60°, ∴ba=tan 60°=3, ∴e 2=1+(ba )2=4,∴e =2. 答案 C5.把x =2a 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±3b .不妨取P (2a ,-3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0), ∴kF 2P =3b c -2a .由题意,得3b c -2a =ba.∴(2+3)a =c .∴双曲线C 的离心率为e =ca =2+ 3.6. e 1=1+b 2a2,e 2=1+(b +m )2(a +m )2.不妨令e 1<e 2,化简得b a <b +m a +m (m >0),得bm <am ,得b <a .所以当b >a 时,有b a >b +m a +m ,即e 1>e 2;当b <a 时,有b a <b +ma +m ,即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】试题分析:依题意,不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点:1.双曲线的几何性质;2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y =±bax ,易求得渐近线与直线x -3y +m =0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-am a +3b ,bm a +3b ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-am a -3b ,-bm a -3b .设AB 的中点为D .由|P A |=|PB |知AB 与DP 垂直,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2m (a +3b )(a -3b ),-3b 2m (a +3b )(a -3b ),k DP=-3,解得a 2=4b 2,故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解 (1)由椭圆的定义,2a =|PF 1|+|PF 2|=(2+2)+(2-2)=4,故a =2. 设椭圆的半焦距为c ,由已知PF 1⊥PF 2, 因此2c =|F 1F 2|=|PF 1|2+|PF 2|2 =(2+2)2+(2-2)2=23, 即c =3,从而b =a 2-c 2=1. 故所求椭圆的标准方程为x 24+y 2=1.(2)如图,连接F 1Q ,由PF 1⊥PQ ,|PQ |=λ|PF 1|,得 |QF 1|=|PF 1|2+|PQ |2 =1+λ2|PF 1|.由椭圆的定义,|PF 1|+|PF 2|=2a ,|QF 1|+|QF 2|=2a , 进而|PF 1|+|PQ |+|QF 1|=4a ,高中数学 于是(1+λ+1+λ2)|PF 1|=4a ,解得|PF 1|=4a 1+λ+1+λ2, 故|PF 2|=2a -|PF 1|=2a (λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2. 由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2=4c 2,从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1+λ+1+λ22+⎝ ⎛⎭⎪⎫2a (λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ22=4c 2. 两边除以4a 2,得4(1+λ+1+λ2)2+(λ+1+λ2-1)2(1+λ+1+λ2)2=e 2. 若记t =1+λ+1+λ2,则上式变成e 2=4+(t -2)2t 2=8⎝⎛⎭⎫1t -142+12. 由34≤λ<43,并注意到t =1+λ+1+λ2关于λ的单调性,得3≤t <4,即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59,即22<e ≤53.。
人教版高中数学选修2-1《求取离心率问题》

e 的取值范围
例4:已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A,上顶点为B,右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M,若 ,求该椭圆离心率的 取值范围.
y
B
M
A
o
F
x
《3》根据曲线方程列出含参数的关系式,求
e 的取值范围
例4:已知椭圆 (a>b>0)的左顶点
为A,上顶点为B,右焦点为F.设线段AB的中 点 2 2MF MA BF 0 为M,若 ,求该椭圆离心率的 1 , 1) 取值范围.[ 2-
(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点, 过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两 点,△ABE是锐角三角形,则该双曲线离心率 e 的取值范围是( B ) A.(1,+∞) C.(1,1+ ) B.(1 , 2 )
D.(2,1+
)
三.归纳小结
1.注意椭圆与双曲线的离心率取值范围. 2.求离心率解题步骤。 3.求离心率的关键。 4.求离心率的题型有两类(1)求值 (2)求取值范围
3 或 D 2
5
例2: 设双曲线的—个焦点为F;虚轴的— 个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) (A)
《2》构建关于a,c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
5 1 2
B
F
例2: 设双曲线的—个焦点为F;虚轴的— 个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条 渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( D ) (A)
《2》构建关于a,c的方程求解
2 (B)
3 (C)
3 1 (D) 2
求离心率的范围问题整理分类

求离心率的范围问题求离心率范围的方法 一、建立不等式法:1.利用曲线的范围建立不等关系。
2.利用线段长度的大小建立不等关系。
F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,P 为椭圆上的任意一点,PF 1|∈[a -c ,a +c ];F 1,F 2为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 为双曲线上的任一点,|PF 1|≥c -a .3.利用角度长度的大小建立不等关系。
4.利用题目不等关系建立不等关系。
5. 利用判别式建立不等关系。
6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系。
7.利用基本不等式,建立不等关系。
二、函数法:1. 根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式;2.通过确定函数的定义域;3.利用函数求值域的方法求解离心率的范围.练习利用曲线的范围建立不等关系1.F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P ,使∠F 1PF 2=90°,求椭圆的离心率的取值范围.2.A 是椭圆长轴的一个端点,O 是椭圆的中心,若椭圆上存在一点P ,使∠OPA = , 则椭圆离心率的范围是_________.3.设12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,且12||2F F c =,若椭圆上存在点P 使得212||||2PF PF c ⋅=,则椭圆的离心率的最小值为( )A .12B .13 C.2 D.32π4.5.设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,若在直线x =a 2c上存在点P ,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,22 B.⎝⎛⎦⎥⎤0,33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22,1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33,1 6.已知点()()000,P x y x a ≠±在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上,若点M 为椭圆C 的右顶点,且PO PM ⊥(O为坐标原点),则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A .⎛ ⎝⎭B .()0,1C .⎫⎪⎪⎝⎭D .⎛ ⎝⎭利用线段长度的大小建立不等关系7. 设点P 在双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的右支上,双曲线两焦点21F F 、,|PF |4|PF |21=,求双曲线离心率的取值范围。
离心率的五种求法

离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ,双曲线的离心率1>e ,抛物线的离心率1=e . 一、直接求出a 、c ,求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时,可利用率心率公式ace =来解决。
例1:已知双曲线1222=-y ax (0>a )的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合,则该双曲线的离心率为( )A.23 B. 23 C. 26 D. 332解:抛物线x y 62-=的准线是23=x ,即双曲线的右准线23122=-==c c c a x ,则02322=--c c ,解得2=c ,3=a ,332==a c e ,故选D变式练习1:若椭圆经过原点,且焦点为()0,11F 、()0,32F ,则其离心率为( )A.43 B. 32 C. 21 D. 41 解:由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ,∴1=c ,又∵椭圆过原点,∴1=-c a ,3=+c a ,∴2=a ,1=c ,所以离心率21==a c e .故选C.变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( )A.23 B. 26 C. 23 D 2 解:由题设2=a ,62=c ,则3=c ,23==a c e ,因此选C 变式练习3:点P (-3,1)在椭圆12222=+by a x (0>>b a )的左准线上,过点P 且方向为()5,2-=a 的光线,经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( )A33 B 31 C 22D 21 解:由题意知,入射光线为()3251+-=-x y ,关于2-=y 的反射光线(对称关系)为0525=+-y x ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=05532c c a 解得3=a ,1=c ,则33==a c e ,故选A二、构造a 、c 的齐次式,解出e根据题设条件,借助a 、b 、c 之间的关系,构造a 、c 的关系(特别是齐二次式),进而得到关于e 的一元方程,从而解得离心率e 。
椭圆离心率求值和最值问题

福建泉州外国语中学 林贵清
本题是2016年全国 III卷理科第11题,这是 一道求离心率的值
思路一:可充分运用平 面几何中的三角形相似 知识求解;
思路二:利用斜率相等的知识 解决问题;
思路三:利用三点共线的知识 解决问题;
思路四:利用向量三点共线的 知识解决问题;
规律方法总结
m2 c2
16 3
m c
43 3
, 当且仅当 n
m 2
时,等号成立.故选
A.
利用余弦定理结合基本不等式求解
法三 在 PF1F2 中,由余弦定理得
4c2
m2
n2
2
m n 2
m2
n2
m2 4
n2
3m2 4
m2 , c2
16 3
m c
43 3
x 3时,f (x)有最大值f ( 3) 3 4 3 4 3 . 33
利用正弦定理求解
法五 在 PF1F2 中,
设
PF2 F1
,Q
m
n,
F2 PF1
3
,
(
3பைடு நூலகம்
,
2
3
),
由正弦定理得
m 4c m 4 3 sin 4 3 ,
sin 3 c 3
• 求离心率的本质就是探究 a, c 之间的数量关系,知道 a,b, c 中任意两者间的
等量关系或不等关系便可求解出 e 的值或范围;
• 常用的方法:定义法、方程、不等式法、平面知识、三点共线等
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椭圆和双曲线的离心率的求值及围求解问题【重点知识温馨提示】1.e=ca=1-b2a2(0<e<1),e=ca=1+b2a2(e>1)2.确立一个关于a,b,c的方程或不等式,再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式,建立关于a,c的方程或不等式,进而得到关于e的方程或不等式,3.【典例解析】例1.(2015·新课标全国Ⅱ,11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A. 5 B.2 C. 3 D. 2例2.【2016高考新课标3文数】已知O为坐标原点,F是椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点,,A B 分别为C 的左,右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( )(A )13(B )12(C )23(D )34例3 (2015·)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x -4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0,32 B.⎝⎛⎦⎤0,34 C.⎣⎡⎭⎫32,1 D.⎣⎡⎭⎫34,1例4.(2014·)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左,右焦点为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________. 【跟踪练习】1. (2015·)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线y =b c x 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________.2. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c 是a 、m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项, 则椭圆的离心率是( ) A.33 B.22 C.14 D.123.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0)、F 2(c,0),若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2=csin ∠PF 2F 1,则椭圆的离心率的取值围为______.4.过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线,垂足为点A ,与另一条渐近线交于点B ,若FB →=2F A →,则此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3 C .2D. 55.(2015·)过双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为________.6.(2015·)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度,得到离心率为e 2的双曲线C 2,则( )A .对任意的a ,b ,e 1<e 2B .当a >b 时,e 1<e 2;当a <b 时,e 1>e 2C .对任意的a ,b ,e 1>e 2D .当a >b 时,e 1>e 2;当a <b 时,e 1<e 27、(2016年高考)已知双曲线E :22x a–22y b =1(a >0,b >0).矩形ABCD 的四个顶点在E上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是_______.8(2015年高考)过双曲线C :22221x y a a-=0,0a b >>()的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .9、(齐鲁名校协作体2016届高三上学期第二次调研联考)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B .若点P (m ,0)满足|P A |=|PB |,则该双曲线的离心率是()(A)(B)(C) (D) 10、(东营市、潍坊市2016届高三高三三模)已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点,以原点O 为圆心,半焦距长为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于y 轴右侧的两个交点为A 、B ,若1ABF ∆为等边三角形,则椭圆的离心率为( )A 1B 1-C D11、(市2016届高三上学期期末)已知抛物线2y =-的焦点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>A.3B.3C.D.12、(莱芜市2016届高三上学期期末)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点是(),0F c -,离心率为e ,过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与圆222x y c y +=在轴右侧交于点P ,若P 在抛物线22y cx =上,则2e =A.B.C.1D.13,(市2016届高三上学期期末)设点F 是抛物线()2:20x py p τ=>的焦点,1F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点,若线段1FF 的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点,则双曲线C 的离心率e 的值为A.2B.4C.98D.41,4、(市2016高三3月模拟)已知点12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左,右焦点,点P 在双曲线C 的右支上,且满足21212,120PF F F F F P =∠=o,则双曲线的离心率为_________.15、(日照市2016高三3月模拟)已知抛物线28y x =的准线与双曲线222116x y a -=相交于A,B 两点,点F 为抛物线的焦点,ABF ∆为直角三角形,则双曲线的离心率为A.3B.2C.D.16. (2015·)如图,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 2的直线交椭圆于P ,Q 两点,且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|=2+2,|PF 2|=2-2,求椭圆的标准方程;(2)若|PQ |=λ|PF 1|,且34≤λ<43,试确定椭圆离心率e 的取值围.答案部分:例1【解析】 如图,设双曲线E 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),则|AB |=2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1,y 1)在第一象限,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0),∵△ABM 为等腰三角形,且∠ABM =120°,∴|BM |=|AB |=2a ,∠MBN =60°,∴y 1=|MN |=|BM |sin ∠MBN=2a sin 60°=3a ,x 1=|OB |+|BN |=a +2a cos 60°=2a .将点M (x 1,y 1)的坐标代入x 2a 2-y 2b 2=1,可得a 2=b 2,∴e =c a=a 2+b 2a 2=2,选D.例2【答案】A例3如图,设左焦点为F 0,连接F 0A ,F 0B ,则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |+|BF |=4, ∴|AF |+|AF 0|=4, ∴a =2.设M (0,b ),则4b 5≥45,∴1≤b <2.离心率e =ca =c 2a 2=a 2-b 2a 2=4-b 24∈⎝⎛⎦⎤0,32, 故选A.例4.直线AB :x =c ,代入x 2a 2+y 2b 2=1,得y =±b 2a .∴A (c ,b 2a ),B (c ,-b 2a ).∴kBF 1=-b 2a-0c -(-c )=-b 2a 2c =-b 22ac .∴直线BF 1:y -0=-b 22ac (x +c ).令x =0,则y =-b 22a,∴D (0,-b 22a ),∴k AD =b 2a +b 22ac =3b 22ac .由于AD ⊥BF 1,∴-b 22ac ·3b 22ac =-1,∴3b 4=4a 2c 2,∴3b 2=2ac ,即3(a 2-c 2)=2ac , ∴3e 2+2e -3=0,∴e =-2±4-4×3×(-3)23=-2±423.∵e >0,∴e =-2+423=223=33.【跟踪练习】1,答案 方法一 设椭圆的另一个焦点为F 1(-c,0),如图,连接QF 1,QF ,设QF 与直线y =bcx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点,且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点, ∴F 1Q ∥OM ,∴F 1Q ⊥QF ,|F 1Q |=2|OM |.在Rt △MOF 中,tan ∠MOF =|MF ||OM |=bc ,|OF |=c ,可解得|OM |=c 2a ,|MF |=bca,故|QF |=2|MF |=2bc a ,|QF 1|=2|OM |=2c 2a .由椭圆的定义得|QF |+|QF 1|=2bc a +2c 2a =2a ,整理得b =c ,∴a =b 2+c 2=2c ,故e =c a =22.方法二 设Q (x 0,y 0),则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎪⎫x 0+c 2,y 02,k FQ =y0x 0-c,依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02=b c ·x 0+c 2,y 0x 0-c ·b c=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=c (2c 2-a 2)a 2,y 0=2bc 2a 2,又因为(x 0,y 0)在椭圆上,所以c 2(2c 2-a 2)2a 6+4c 4a 4=1,令e =c a ,则4e 6+e 2=1, ∴离心率e =22. 2解析 在双曲线中m 2+n 2=c 2,又2n 2=2m 2+c 2,解得m =c2,又c 2=am ,故椭圆的离心率e =c a =12.3依题意及正弦定理,得|PF 2||PF 1|=a c (注意到P 不与F 1,F 2共线), 即|PF 2|2a -|PF 2|=a c, ∴2a |PF 2|-1=c a ,∴2a |PF 2|=c a +1>2a a +c, 即e +1>21+e ,∴(e +1)2>2.又0<e <1,因此2-1<e <1.4解析 (1) 如图,∵FB →=2F A →,∴A 为线段BF 的中点, ∴∠2=∠3.又∠1=∠2,∴∠2=60°, ∴ba=tan 60°=3, ∴e 2=1+(ba )2=4,∴e =2. 答案 C5.把x =2a 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±3b .不妨取P (2a ,-3b ).又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0), ∴kF 2P =3b c -2a .由题意,得3b c -2a =ba.∴(2+3)a =c .∴双曲线C 的离心率为e =ca =2+ 3.6. e 1=1+b 2a2,e 2=1+(b +m )2(a +m )2.不妨令e 1<e 2,化简得b a <b +m a +m (m >0),得bm <am ,得b <a .所以当b >a 时,有b a >b +m a +m ,即e 1>e 2;当b <a 时,有b a <b +ma +m ,即e 1<e 2.故选B.7、【答案】2 【解析】 试题分析:依题意,不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 8、【答案】23+考点:1.双曲线的几何性质;2.直线方程. 9、【答案】B【解析】双曲线的渐近线为y =±bax ,易求得渐近线与直线x -3y +m =0的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-am a +3b ,bm a +3b ,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫-am a -3b ,-bm a -3b .设AB 的中点为D .由|P A |=|PB |知AB 与DP 垂直,则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2m (a +3b )(a -3b ),-3b 2m (a +3b )(a -3b ),k DP=-3,解得a 2=4b 2,故该双曲线的离心率是52.10B,11.B 12.D 13 D 14. 15.A16.解(1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23,即c=3,从而b=a2-c2=1.+y2=1.故所求椭圆的标准方程为x24(2)如图,连接F1Q,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1+λ2|PF1|.由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a,于是(1+λ+1+λ2)|PF1|=4a,解得|PF 1|=4a1+λ+1+λ2,故|PF 2|=2a -|PF 1|=2a (λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ2. 由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=(2c )2=4c 2,从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1+λ+1+λ22+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a (λ+1+λ2-1)1+λ+1+λ22=4c 2. 两边除以4a 2,得4(1+λ+1+λ2)2+(λ+1+λ2-1)2(1+λ+1+λ2)2=e 2. 若记t =1+λ+1+λ2,则上式变成 e 2=4+(t -2)2t 2=8⎝⎛⎭⎫1t -142+12. 由34≤λ<43,并注意到t =1+λ+1+λ2关于λ的单调性,得3≤t <4,即14<1t ≤13. 进而12<e 2≤59,即22<e ≤53.。