空间中的平行直线
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
空间直线的位置关系
空间直线的位置关系直线是几何学中基本的图形之一，它是由无数个点连结而成的。
而空间直线则是三维空间中的一条直线，具有独特的位置关系。
本文将探讨空间直线的位置关系，通过几个具体案例来加深理解。
一、平行关系如果两条直线在三维空间中永不相交，那么它们被称为平行直线。
平行直线具有以下特点：1. 方向相同：平行直线不会发生交叉或相交，它们的方向是相同的；2. 距离相等：平行直线之间的距离始终保持不变；3. 永不相交：无论空间多大，这两条直线都不会相交。
例如，在三维坐标系中，直线AB与直线CD平行。
这意味着AB与CD的方向相同，两者之间的距离保持不变，且两条直线永远不会相交。
二、垂直关系如果一条直线与平面的交角为90度，那么该直线与平面垂直。
垂直直线与平面之间的位置关系具有以下特点：1. 方向垂直：垂直直线与平面相互垂直，不存在交叉的部分；2. 交角为90度：垂直直线与平面的交角始终为90度；3. 交点唯一：垂直直线与平面只会有一个交点。
举个例子，设有一条通过点A的直线与平面P垂直，那么这条直线满足上述特点：与平面P相交的线段AO为垂直直线，直线AO与平面P的交角为90度，且直线AO与平面P的交点O是唯一的。
三、相交关系两条直线的交点是它们在三维空间中相互交汇的位置。
两条直线的位置关系可以分为以下几种情况：1. 有且仅有一个交点：两条不平行的直线在三维空间中相交，且只有一个交点；2. 无交点：两条不平行的直线在三维空间中没有交点；3. 重合：两条直线在三维空间中完全重合，有无数个交点。
例如，直线l1与直线l2相交于点O，这意味着直线l1和l2在三维空间中有且仅有一个交点。
又如，直线m与直线n平行，它们在三维空间中没有交点。
结论空间直线的位置关系可以通过平行关系、垂直关系和相交关系来描述。
平行关系指的是两条直线永不相交，具有相同的方向和距离；垂直关系指的是直线与平面之间的交角为90度，只有一个交点；相交关系指的是直线之间存在交点，可以是一个或无穷个。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间中的平行和垂直的判定
班级姓名考号
空间中的平行和垂直的判定（知识点总结）
（1）线线平行的判断：
⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和
交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：
⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂
直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：
⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
【数学】2.1.2《空间的平行直线与异面直线》课件(上课用)
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
BACK NEXT
2.正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O, 则OD1与A1C1所成的角的度数为 900
2 2 2 2
6.课堂小结
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
b a
a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
Ａ、平行 Ｂ、相交
Ｃ、异面 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面 ２、两条异面直线指的是（ ） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
D N A B M C
D'
C'
A'
B'
例2
(1) 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD －
空间两平行直线距离公式
空间两平行直线距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在几何学中，我们知道两条直线是平行的，当且仅当它们永远不会相交。
平行直线在数学中起着重要的作用，许多几何问题和定理都涉及到平行直线。
而在空间几何中，判断两条直线是否平行，以及计算它们之间的距离，是我们经常需要进行的操作之一。
空间两平行直线距离的计算是一个常见问题，我们可以利用向量和投影的方法来解决。
在空间中，我们可以将两条平行直线表示为：l1: r = a + λv1l2: r = b + μv2其中a和b是两条直线上的固定点，v1和v2分别为两条直线的方向向量。
而λ和μ为参数，用于确定两条直线上的任意点。
为了计算两条平行直线之间的距离，我们首先需要找到直线l2上的一个任意点Q，然后将直线l2上的任意点Q投影到直线l1上得到P 点，这样我们就可以在空间中得到一个由点P和Q确定的向量PQ，即要计算的两条平行直线之间的距离。
然后，我们可以通过向量的计算方法来计算向量PQ的模长，即两条平行直线之间的距离。
利用向量PQ的模长可以得到两条直线之间的距离公式如下：在实际问题中，我们可以直接使用各式数学软件或计算工具来进行计算，避免繁琐的手工计算过程。
但理解两条平行直线之间的距离公式的原理，对于加深对空间几何的理解是非常有帮助的。
总结一下，空间两平行直线距离的计算方法涉及到向量和投影的原理，通过寻找两条直线上的任意点，并计算其投影向量的模长，即可求得两条平行直线之间的距离。
在实际问题中，我们可以借助数学工具来进行快速、准确的计算，提高工作效率。
对于数学爱好者和学生来说，掌握空间两平行直线距离的计算方法，可以帮助他们更好地理解空间几何学的相关知识，提高数学解题的能力。
第二篇示例：空间中两直线间的距离是我们在几何学中经常遇到的问题。
在平面几何中，两条平行直线的距离很容易计算，只需要找到两条直线上任意一点到另一条直线的垂直距离即可。
但是在空间几何中，情况就显得复杂许多。
空间中的平行(经典)
空间中的平行一、知识梳理<一>线线平行与线面平行1.线线平行：定义：空间中两直线共面且没有交点，则两直线平行.证明两直线平行的主要方法是：①三角形中位线平行并等于底边的一半；②平行四边形两组对边分别平行；③梯形的一组对边平行；④直线平行的传递性：若a//b,b//c,则a//c.2.线面平行定义：若直线和平面没有交点，则称直线和平面平行.判定1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭判定2:两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行.a a a a αβαββααβ⇒⇒⊂⊂⎫⎫⎬⎬⎭⎭或线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行.<二>面面平行1.定义：若两个平面没有交点，则两个平面平行2.判断：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭,,,a b a b A a a b b a b ααββ⊂⎫⎪=⎪⇒⎬''⎪⎪''⊂⎭判定定理的推论： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行.3.两平面平行的性质： 性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行.a ab b αβαγβγ=⇒=⎫⎪⎬⎪⎭性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；,,A C AC BD B D AB CD αβαβ∈⇒=∈⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭二、典例精析【例1】如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点．求证：DF ∥平面ABC .【练习】如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：MN ∥平面P AD .【例2】已知正方形ABCD 所在的平面和正方形ABEF 所在的平面相交与AB ，M 、N 分别是AC 、BF 上的中点.求证：MN//平面BCE .【练习】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PD 的上一点，且PE=2ED ．若F 为PE 的中点.求证：BF ∥平面AEC .【例3】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ．AB =BC=22AD ，点E 在棱PB 上，且PE=2EB ．求证：PD ∥平面EAC .【练习】如图，正四棱锥P-ABCD 中，PA=AB ，点M ，N 分别在PA ，BD 上，且31==BD BN PA PM .求证：MN ∥平面PBC .2【例4】a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ②a ∥γ ，b ∥γ ⇒a ∥b ③α∥c ，β∥c ⇒α∥β④ α∥γ ，β∥γ ⇒α∥β ⑤α∥c ，a ∥c ⇒α∥a ⑥α∥γ ，a ∥γ ⇒α∥a其中正确的命题是（ ）A.①②③⑥ B ．①④⑤ C ．①④ D ．①④⑥【练习】下面六个命题中正确命题的个数是（ ）①如果a 、b 是两条直线，b a //，那么a 平行于经过b 的任何一个平面；②如果直线a 和平面α满足a //α,那么a 与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a //α,b //α,那么b a //；④如果直线a 、b 和平面α满足b a //，a //α，α⊄b ，那么b //α；⑤如果直线a 与平面α上的无数条直线平行，则a //α；⑥如果平面α的同侧有两点A 、B 到平面α的距离相等，则AB //α.A. 0B. 1C. 2D. 3【例5】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．平行D ．不能确定【练习】直线a //平面α，α内有n 条直线交于一点，这n 条直线直线中与直线a 平行的直线（ ）A.至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条 D ．没有三、课后练习1．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 2．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．相交或平行D ．以上答案都不对3．下列结论中正确的是（ ） ①α∥β，β∥γ，则α∥γ；②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行；④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交.A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．a ，b 是两条异面直线，A 是不在a ，b 上的点，则下列结论成立的是( )A ．过A 且平行于a 和b 的平面可能不存在B ．过A 有且只有一个平面平行于a 和bC ．过A 至少有一个平面平行于a 和bD ．过A 有无数个平面平行于a 和b5．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α6.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，P ，Q 分别是BC ，11C D ，1AD ，BD 的中点.(1)求证：PQ //平面11DCC D ；(2)在DC 上找一点H ，使EFH //平面11BB D D .7.如图，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .8.如图所示，已知三棱锥BCD A -被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ，求证：（1）//EF 平面BCD ；（2）CD EF //.。
空间直线平行的判定定理
空间直线平行的判定定理空间直线平行的判定定理引言在空间几何中，直线是一种基本的几何对象。
而直线的平行是一个重要的概念，它在许多问题中都有着重要的应用。
因此，研究如何判定空间直线是否平行，是空间几何中重要的一部分。
定义在空间几何中，两条直线如果在同一平面内且不相交，则这两条直线互相平行。
定理有以下三种方法可以判定空间直线是否平行：方法一：向量法向量法是判定两条空间直线是否平行最常用的方法之一。
具体步骤如下：1. 求出两条直线上任意两点构成的向量；2. 判断这两个向量是否共线；3. 如果这两个向量共线，则这两条直线平行；否则不平行。
方法二：斜率法斜率法是判定两条空间直线是否平行另外一种常用的方法。
具体步骤如下：1. 对于每一条直线，求出其在某个坐标系下的方程；2. 求出每一条直线在该坐标系下的斜率；3. 如果两条直线斜率相等，则这两条直线平行；否则不平行。
方法三：距离法距离法是判定两条空间直线是否平行的另外一种方法。
具体步骤如下：1. 求出两条直线上任意一点的坐标；2. 求出这两个点之间的距离；3. 如果这两个点之间的距离为0，则这两条直线平行；否则不平行。
应用空间直线的平行在许多问题中都有着重要的应用。
例如，在建筑设计中，需要对建筑物进行测量和设计，而在测量和设计过程中需要考虑到空间直线的平行关系。
再如，在工程制图中，需要将三维物体投影到二维纸面上，而在投影过程中也需要考虑空间直线的平行关系。
结论通过向量法、斜率法和距离法可以判定空间直线是否平行。
在实际问题中，可以根据具体情况选择不同的方法进行判定。
空间直线的平行关系在许多问题中都有着重要的应用，在实际问题中需要注意其合理性和准确性。
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立体几何
体
立体几何
几
立体几何
何 9.2.1
空间中的平行直线
1．在平面几何中，平行线的定义是什么？ 我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 这个定义在立体几何中不变． 2．过直线外一点有几条直线和这条直线平行？ 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
3．在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线是否互相平行？
同的距离到 F 的位置，则就说图形 F 在空间中
作了一次平移(如图)．
F
F
探究：如图，将 △ADE 平移到 △A D E 的位置，
对应边是否相等？对应角是否相等？
C E
A
D B
2．空间图形平移的性质
A
图形平移后与原图形相等．
C E
DB
对应两点的距离和对应角保持不变．
如图，已知 A 的两边与 A 的两边方向分别相同，
谢谢观看！ 2020
因为 E，H 分别是 AB，AD 的中点，
1
所以 同理
EH FG
// //
BD，EH＝ 2 BD
B
2
所以 EH // FG，EH＝FG．
A E
F
所以 四边形 EFGH 是平行四边形．
H
D G C
二．空间中图形的平移
1．定义． 如果空间图形 F 中的所有点都沿同一方向移动相
顶点：A，B，C，D
A
空间四边形的边：
线段AB，BC，C D ，DA B
D
对角线：
线段AC，BD
C
记作：空间四边形 ABCD
例 已知空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别 是边 AB，BC，CD，DA 的中点(如图)．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
证明：连接 BD，
在 △ABD 中，
是否有 A＝A ?
C
A
B
C
A
B
拓展：如果一个角（A）的两边与另一个角
（A ）的两边方向相同，则 A＝A ．
一．判断题：
1 ．如果 ABC ＝ ABC ，且 AB // A B ， 则 AC // AC ；
2 ．如果 ABC 与 ABC 的两条边分别平行， 则 ABC ＝ ABC ．
二．作线段 AB ，然后把 AB 沿与射线 AB 成 60 角的方向
是．这是平面中平行直线的传递性．
一．平行线的基本性质
1．平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． 2．空间平行线的传递性 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 即如果直线 a // b，c // b，则 a // c (如图)．
ab c
空间四边形
顺次连接 不共面的四点 A，B，C，D 所构成的图形，叫做空间四边形．
平移 3 cm 到 AB ，证明 AB ＝ AB ．
三．试一试：把一张长方形的纸对折两次，打开以后 如图所示，说明为什么这些折痕是互相平行的．
1．平行线的基本性质，平行线的传递性． 2．空间四边形的概念． 3．空间中图形的平移．
必做题： 教材 P 118，练习 A 组第 2 题．
选做题： 教材 P 118，练习 B 组第 2 题．