空间的平行直线
空间几何中的平行线公理
空间几何中的平行线公理在空间几何中，平行线公理是一个基本的几何概念。
平行线公理是指在平面或者空间中，通过一点外一直线的一条与之平行的直线只有一条。
平行线公理在欧几里德几何学中扮演着重要的角色，不仅是几何学的基石，而且也是许多数学理论和实际应用的基础。
本文将探讨平行线公理的定义、性质以及其在几何学中的应用。
一、平行线公理的定义平行线公理在空间几何中起着重要的作用。
它是由希腊数学家欧几里德在其著作《几何原本》中提出的，被广泛接受并成为几何学的基础。
根据平行线公理，如果在平面或者空间中，通过一点外一直线的一条与之平行的直线只有一条，那么这两条直线就被称为平行线。
平行线公理可以用来推导出其他几何定理，同时也是许多数学理论和应用的基础。
二、平行线公理的性质平行线公理具有一些重要的性质，这些性质对于几何学的研究和应用都具有重要意义。
1. 平行线永远不会相交：根据平行线公理，两条平行线永远不会相交。
这也是平行线公理的一个基本性质。
2. 平行线的存在性：基于平行线公理，通过一个点可以有无数条与给定直线平行的直线。
这意味着平行线是存在的，而且存在无数条与给定直线平行的直线。
3. 平行线的唯一性：另一方面，通过一个点外一条直线的与给定直线平行的直线只有一条。
这意味着平行线的存在是唯一的。
三、平行线公理在几何学中的应用平行线公理在几何学中有广泛的应用，它在证明和研究几何定理时起着重要的作用。
1. 平行线的判定：平行线公理为我们提供了判定两条直线是否平行的基础。
当两条直线通过一个点的其他直线与给定直线平行时，我们就可以根据平行线公理得出这两条直线是平行的结论。
2. 平行线的性质：平行线公理还为我们揭示了平行线的一些性质。
例如，平行线之间的距离是保持不变的，平行线之间的夹角是相等的等等。
3. 平行线的应用：平行线公理在几何学的应用中起到了重要作用。
例如，在设计建筑物、城市规划以及GPS导航系统等领域，我们需要运用平行线的概念来解决问题。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直在空间几何中，平行和垂直是两个重要的概念。
它们用来描述线、面和空间中的关系，帮助我们理解和解决各种几何问题。
本文将介绍平行和垂直的定义、判定方法，以及它们在空间几何中的应用。
一、平行的定义和判定在平面几何中，我们知道两条直线要想平行，它们的斜率必须相等。
但是在空间几何中，直线不再只有斜率这一个属性，因此平行的定义也有所不同。
在空间中，我们把两条直线称为平行线，当且仅当它们处于不同平面上，且不相交。
也就是说，两条平行线可以看作是两个相互平行且不相交的平面上的交线。
判定平行的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量是否平行。
如果两条直线的方向向量相等或成比例，那么它们是平行的。
2. 通过判断两条直线上的一点到另一条直线的垂足距离是否为0。
如果两条直线上的所有垂足距离都为0，那么它们是平行的。
3. 通过判断两个平面的法向量是否平行。
如果两个平面的法向量相等或成比例，那么它们是平行的。
二、垂直的定义和判定在空间几何中，垂直用来描述直线、平面和空间中的相互关系。
两条直线、两个平面或一条直线与一个平面之间的垂直关系都具有重要意义。
在空间中，我们把两条直线称为垂直线，当且仅当它们在某个平面上相交，并且互相垂直。
也就是说，两条垂直线可以看作是相互垂直的平面上的交线。
判定垂直的方法有以下几种：1. 通过判断两条直线的方向向量的数量积是否为0。
如果两条直线的方向向量的数量积为0，那么它们是垂直的。
2. 通过判断直线上的一点到另一条直线的垂足是否在另一条直线上。
如果两条直线上的所有垂足都在另一条直线上，那么它们是垂直的。
3. 通过判断一条直线的方向向量是否与一个平面的法向量垂直。
如果一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，那么它们是垂直的。
三、平行和垂直的应用平行和垂直在空间几何中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的应用：平行线可用于构建平行四边形、矩形等各种图形。
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
空间的平行直线与异面直线
b
b′
B
O
a′
a
有关问题:(1)范围 0 90
(2)与O的位置无关;
(3)为了方便点O取在下班a 或 b 上.
5. 两条直线互相垂直: 如果两条异面直线所成的角是直 角,那么就说两条直线互相垂直.
c b
a
特点: 相交或异面.
（三） 空间两条直线的位置关系
F′
F
(2) 特点: 图形平移后与原图形全等.
3. 空间四边形
(1) 概念: 顺次连接不共面的四点A、B、C、D，所
组成的四边形。
A
D
B
C
(2) 空间四边形的对角线：AC、BD.
（四） 例题
1. 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形四条边 AB、 BC、CD、DA的中点， 求证： 四边形 EFGH 是平行四边形.
A. 在同一平面内
平行直线 相交直线
B. 不在任何一个平面内------异面直线
(四). 例题
图表示正方体 (1) பைடு நூலகம்些棱所在直线与直线BA′是异面直线; (2) 求直线BA′和CC′的夹角的度数; (3) 那些棱所在直线与直线AA′垂直.
D1
A1
C1 B1
D A
C B
一. 习题课
（一）复习提问：
1. 相交直线-----在同一平面内有且只有一个交点.
2. 平行直线-----在同一平面内没有公共点. 3. 异面直线-----不同在任何一个平面内,没有公共点.
4. 分类:
（1）从公共点的数目看:
A. 只有一个公共点------相交;
B. 没有公共点
平行直线 异面直线
空间的平行直线
对角线.
C
• 例1、已知E、F、G、H分 别是空间四边形四条边AB、 BC、CD、DA的中点， • 求证：四边形EFGH是平 E 行边形.
B
A H
D F
G C
练习：
已知四边形ABCD是空间四边形,E、H分别是边AB、 AD的中点, F,G分别是边CB,C Nhomakorabea上的点,且
CF CG 2 , CB CD 3
A.空间四边形 B.菱形
C.正方形
D.梯形
小结：
1.平行线的传递性 2.等角定理:
若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 并且方向相同，则这两个角相等.
3.平移的概念 4.空间四边形的概念
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空间的平行 直线
一、空间的平行直线
1.公理4: 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 即若a//b，b//c，则a//c
• （空间平行直线的传递性）
2.等角定理
若一个角的两边和另一个角的两边分别平行且
方向相同，则这两个角相等.
已知：∠BAC和∠B’A’C’的边
AB∥A’B’，AC∥ A/C/ ，且方 Ａ’ 向相同
Ｅ’ Ｃ’β Ｄ’ Ｂ’
求证：∠BAC＝∠ B’A’C’ 注意条件:“平行”且“方向相同”A
Ｅ Ｃα ＤＢ
3.平移: 若空间图形F的所有点都沿同一方向移动相同的
距离到F’的位置,则说图形在空间作了一次平移
A
• 4. 空间四边形:
顺次连结不共面的四点A、 B、
C、D，所组成的四边形，
D
其中AC、BD叫空间四边形的 B
•②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
•③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形 是圆的内接四边形
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一种重要而基础的数学概念。
平行关系常常出现在我们的日常生活和工作中，例如平行线、平行四边形等。
本文旨在介绍空间几何中平行关系的定义和性质，并探讨平行关系在实际问题中的应用。
一、平行关系的定义在空间几何中，平行关系是指两条或多条线段或线的方向相同，永不相交的关系。
给定两条直线l1和l2，在平面上，如果l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
同样地，在空间中，如果两条直线l1和l2除了一个公共点之外，其他点都不相交，那么我们就说l1和l2平行。
二、平行关系的性质1. 平行关系是传递的。
如果直线l1与直线l2平行，直线l2与直线l3平行，则直线l1与直线l3也平行。
2. 平行关系是对称的。
如果直线l1与直线l2平行，则直线l2与直线l1平行。
3. 平行关系是自反的。
任意一条直线与自身平行。
4. 如果两个平行线分别与一条横截线相交，那么所得的对应角相等。
基于以上性质，我们可以利用平行关系进行推理和证明。
在解决几何问题时，通过判断线段或线的平行关系，我们可以简化问题，找到更加简洁和优雅的解决方法。
三、平行关系在实际问题中的应用在日常生活和工作中，平行关系的应用广泛而深入。
以下是一些平行关系的典型应用示例：1. 建筑工程：在建筑设计和施工中，平行关系的应用非常常见。
例如，在设计一座桥梁时，需要确保桥墩和主梁是平行的，以保证结构的稳定性和美观性。
2. 路网规划：在城市交通规划中，平行道路的设计可以提高交通效率和道路利用率。
平行的道路可以更好地满足不同方向的交通需求，减少交通堵塞和拥堵。
3. 平行投影：在工程和科学领域中，平行投影广泛应用于制图和测量中。
通过选择适当的平行方向，我们可以更准确地表达三维物体的形状和大小。
4. 机械设计：在机械设计中，平行关系的应用可以确保机器部件的精确安装和运动。
例如，在设计一台车床时，需要保证主轴和工作台的平行关系，以确保加工的精度和质量。
空间的平行直线与异面直线
b
a’
O
α
O
α
a
a'
θ ∈(0,
π
2
]
如果两条异面直线所成的角是直角,那么就说两条直 如果两条异面直线所成的角是直角 那么就说两条直 线互相垂直. 线互相垂直
1.异面直线 异面直线 2.异面直线所成的角 异面直线所成的角
2'垂直 如图, 哪些棱所在直线与直线 哪些棱所在直线与直线AA 垂直? 例 如图 (1)哪些棱所在直线与直线
已知两条异面直线a、 经过空间任一点O, 已知两条异面直线 、b, 经过空间任一点 分别作 直线a 所成的锐角(或直角 或直角)叫做异 直线 ' ∥a，b' ∥b，把a'与b'所成的锐角 或直角 叫做异 ， ， 面直线a、 所成的角 或夹角). 所成的角(或夹角 面直线 、b所成的角 或夹角
b
θ
b’
θ ∈(0,
π
]
3.练习 练习: 练习
1)若a、b是异面直线 b、c也是异面直线 则a、c位置关 若 、 是异面直线 是异面直线, 、 也是异面直线 也是异面直线, 、 位置关 异面直线不具有传递性. 异面直线不具有传递性 系是( 系是 A ) A. 相交、平行或异面 相交、 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 2)直线 和b是两条异面直线 点A、C在直线 上, 点B、D 直线a和 是两条异面直线 是两条异面直线, 在直线a上 直线 、 在直线 、 在直线b上 那么直线AB和 一定是 一定是( 在直线 上, 那么直线 和CD一定是 C ) A. 平行直线 B. 相交直线 C. 异面直线 D. 以上都可能
(2)求直线 ' 分别和 ' 、 DC' 、AD' 的夹角的度数 求直线BA 分别和CC 的夹角的度数. 求直线 D' 与直线AA 垂直的直线有: 解:(1)与直线 ' 垂直的直线有 与直线 C' AB、BC、CD、DA、 A' B' 、B' C' 、 、 、 、 、 A' B' C' D' 、D' A' O (2)由BB'||CC', 可知 ∠B'BA'等于异面 由 D 的夹角, 所以BA 直线 '与CC'的夹角 所以 ' 与 C 直线BA CC' 的夹角为 °. 的夹角为45 A B BA'与DC' 的夹角为 °. 的夹角为90 BA' 与DC' 的夹角为 °. 的夹角为60 求角的一般步骤: 求角的一般步骤 1)找(作)角; 2)求角 解三角形 找作角 求角(解三角形 求角 解三角形).
平行直线与异面直线
空间的平行直线与异面直线（一）异面直线所成的角异面直线所成角的定义：过空间任意一点O ，与异面直线a 和b 分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O 的位置选取无关；②两条异面直线所成的角θ∈（0,2］; ③因为点O 可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上；④找两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；（二）两直线互相垂直当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b 互相垂直，也记作a ⊥b ;【注】以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形。
一、 例题讲解【例1】 设图中正方体的棱长为a .（1）求直线BA ′和CC ′所成角的大小； （2）求直线BA ′和B ′D ′所成角的大小；【例2】 在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且12AE BF ED FC ==，AB=CD=3，，求AB 与的大小.【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2a ，AA 1=a ,E 和F 分别是A 1B 1和BB 1的中点。
求：(1)EF 和AD 1所成的角的正弦值；(2)AC 1和B 1C 所成角的余弦值.(图1) (图2)(2)延长D 1A 1到F 使A 1F=D 1A 1,则AF ∥DA 1∥CB 1.所求角为AF 与AC 1的夹角.二、 课堂练习一、选择题1、 下列命题中，正确的是（ ） A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案：C2、已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：B3、直线a、b相交于点O，且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：C4、异面直线a、b所成的角为80°，P是空间一定点，则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条答案：D5、若a、b是异面直线，c是a、b的公垂线，d∥c，则d和a、b的公共点的个数是（）A.1B.最多为1C.2D.1或2答案：B6、已知直线a与b、b与c都是异面直线，且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线，那么a与c的位置关系是（）A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案：C7、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列说法正确的是（）A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA 1与BC 的公垂线段的长是a 答案：D 二、填空题8、 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与BD 1成异面直线的有_______条. 答案：69、 在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点，则（1）MN 与PQ 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. （2）MN 与B 1D 的位置关系是_______，它们所成的角是_______. 答案：（1）相交 60° （2）异面 90° 10、在空间四边形ABC D 中，对角线AC =BD =2a ，M 、N 分别是边AB 、CD 的中点，若MN =2a ，则AC 和BD 所成的角为_______，MN 和AC 所成的角为_______. 答案： 90° 45°11、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是DC 的中点，AD =AA 1AB =2，那么（1）AA 1与BC 1所成角的度数是_______； （2）DA 1与BC 1所成角的度数是_______； （3）BC 1与D 1M 所成角的余弦是_______.答案：（1）45° （2）90° （312、在空间四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，若AC =6，BD =4，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则MN =_______，MN 与BD 所成角的正切值为_______. 答案：23 13 13、空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1，点P 在边AB 上移动，点Q 在边CD 上移动，则点P 和点Q 的最短距离为_______.14、如图，空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 上的点.且32==CD CG CB CF ,若BD =6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH 与FG 间的距离为_______.答案： 8 cm。
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C
例1、已知E、F、G、H分别是空间四
边形四条边AB、BC、CD、DA的中 点，求证：四边形EFGH是平行边形
A
E
B
练习２、P13 ２
H D
G F
C
练习３、已知四边形ABCD是空间四边 形,E、H分别是边AB、AD的中点, F,G
分别是边CB,CD上的点,且 求证:四边形EFGH是梯形
练习４
一、空间的平行直线 1.公理4: 平行于同一条直线的两条直线
互相平行. 即若a//b，b//c，则a//c （空间平行直线的传递性）
练习1、P13 1
2.等角定理 若一个角的两边和另一个角的
两边分别 平行且方向相同，则这两个角相等
已知：∠BAC和∠B’A’C’的边AB∥A’B’，
AC∥ A/C/ ，且方向相同
A.1个
B.2个
C.3个
D.一个也不正确
(3).空间两个角α、β且α与β的两边对
应平行,且α＝600,则β等于（ ）D
A.60°
B.120°
C.30°
D.60°或120°
(4).若空间四边形的对角线相等,则以 它的四条边的中点为顶点的四边形
是（ B）
A.空间四边形 B.菱形
C.正方形 D.梯形
小结
(1).下列结论正确的是（D ）
A.若两个角相等，则这两个角的两边分别 平行
B.空间四边形的四个顶点可以在一个平面 内
C.空间四边形的两条对角线可以相交 D.空间四边形的两条对角线不相交
(2).下面三个命题,其中正确的个是（D）
①四边相等的四边形是菱形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四 边形；
③若四边形有一组对角都是直角，则这 个四边形是圆的内接四边形
1.平行线的传递性 2.等角定理: 若一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同,则这两个角相等
3.平移的概念 4.空间四’ Ｃ’β
求证：∠BAC＝∠ B’A’C’ Ａ’ Ｄ’ Ｂ’
注意条件:“平行”且“方向相同”
Ｅ Ｃα
A
ＤＢ
3.平移:若空间图形F的所有点都沿同一 方向移动相同的距离到F’的位置,则 说 图形在空间作了一次平移
4. 空间四边形: 顺次连结不共面的四点A、 B、C、D，所组成的四边形 A
其中AC、BD叫空间四边形 的对角线