高中数学必修二《空间中的平行关系》课件
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高中数学必修二课件-1.2.2 空间中的平行关系4-人教B版
A
E
EO// BD
EO
平面ACE
BD // 平面AEC
D
BD 平面ACE
O
A
C
B
C
B
如图，四棱锥P-ABCD底面为梯形
练习3
，且 ，ABE为1 DPCC的中点，求证： BE//平面PAD2
解析：
P
F
E
D
C
A B
拓展训练1 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BC与 C1D1上的 中点,求证：EF//平面BDD1B1
a
的 判
b α
定
b
快 对于不重合的两直线m、n和平面α，下列命题中的真
乐
命题是(
)．
A．如果m⊂α，n α，m、n是异面直线，那么n∥α
体 B．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
C．如果m⊂α，n α，m、n是异面直线，那么n与α相交
验 D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n
探 究
文字 语言
直线与平面平行的判定
符号 语言
图形语言
平面外一条直线与
此平面内的一条直
线平行，则该直线
与此平面平行.
a ,b ,且a // b a //
学生寄语
课下实践探究
三角板的一边所在直线与桌面 平行，这个三角形所在平面与 桌面平行吗？
若三角板两边所在直线分别与 桌面平行，情况如何呢？
变式:两个全等的正方形ABCD和ABEF所在 快 平 面 相 交 于 AB ， M∈AC ， N∈FB ， 且
究
二
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们
：
说这条直线和这个平面平行.
空间中的平行关系课件
（Ⅱ）设平面 A1BD1 与平面 ABC 的交线为 l ，
A1
C1 B1 D1
A
C
B
D
l
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
A1
C1 B1 D1
ACBD来自l例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
（Ⅰ）求证：平面 A1BD1 / / 平面 AC1D ； 求证：直线 l / / AD ．
法一： 在三棱柱ABC - A1B1C1 中，D1为B1C1的中点 平面A1 BD1 // 平面AC1 D, 又A1 D1 平面A1 B1C1， A1 D1 // 平面ABC A1 D1 平面A1 BD1， 平面A1 BD1 平面ABC l A1 D1 // l 又由（ 1）可知A1 D1 // AD l // AD
D1 A1 MD N B1 C1
A
B
C
思考1 如图所示，在正四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中， E 、 F 、 G 、 H 分别是棱 AA1 、 A1D1 、 D1D 、 DA 的 中 点 ， N 是 AB 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其 内部运动，则M满足条件________时， 有MN∥平面B1BDD1.
A D B
C
例 2：如图所示，三棱柱 ABC A1B1C1 ， D 是 BC 上一点，且
A1B / / 平面 AC1D ， D1 是 B1C1 的中点．
高中数学 1.2.2.3 空间中的平行关系课件 新人教B版必修2
名师点睛 1．平面与平面平行的判定方法 (1)利用定义：说明平面与平面无公共点(往往用反证法)． (2)判定定理：平面 α 内的两条相交直线 a，b 都平行于 β，则 a⊂α b⊂α a∩b＝A⇒α∥β，五个条件缺一不可． a∥β b∥β
α∥β.即
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的 两条相交直线分别平行，则 α∥β. (4)利用平行平面的传递性： 两个平面同时和第三个平面平行， 则这两个平面平行．
2．关于平面和平面平行的性质 (1)性质定理的作用：利用性质定理可证线线平行，也可用来 作空间中的平行线． (2)面面平行的其他性质 ①两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平 α∥β ⇒a∥β，可用来证明线面平行． 面，即 a⊂α ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行 ( 平面平行的传递性 ) 即 α∥β ⇒α∥γ. γ∥β
B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明Βιβλιοθήκη (1)如图所示，连接 SB.
∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1.
规律方法
利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键
是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个面是其应
高一数学课件必修2《空间中的平行关系》
D A
D A
C B
C B
学以至用
例1：已知：空间四边形ABCD中，E、F分别是 AB、AD的中点．
求证：EF∥平面BCD．
A
ELeabharlann FD BC
直线和平面平行的性质：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线就和两个平面 的交线平行。
l∥ ,l ， m, l ∥ m
实例感受
A
B
A
B
直线与平面平行判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行．
a
a
b
b
a //
b// a
证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能 得到线面平行的结论．
线线平行
线面平行
随堂练习
1．如图，长方体 ABCD ABCD中， 与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCD；D
1.2.2空间中的平行关系（1）
直线与平面有几种位置关系？ 三种： 线在面内 线面相交 线面平行
线面位置关系
关系 内容
直线在平面内
直线与平面相交 直线与平面平行
特征
有无数个
公共点
a 图形表示
有且只有一个 没有公共点 公共点
a
a
A
符号表示
a
a ∩=A
a ∥
怎样判定直线与平面平行
a
例2：AB∥平面 ，AC∥BD，且AC，BD与 分别
交于点C，D 求证：EF∥平面BCD．
A
B
C
D
例3：已知：长方体ABCD-A1B1C1D1，求证：A1C1 // 平面B1AC
高中数学1.2.2《空间中的平行关系》课件人教B版数学必修2
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直 线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a， b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ？ OP a
b′ a′ θ O
若两条异面直线所成角为90°，则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内
没有
异面直线 不在任何一平面内 没 有
所以四边形EFGH是平行四边形。
A
E
H
B
D
F
G
C
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，
求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.
D1
C1
在△ABC中, E, F分别A1
B1
是AB, BC 的中点.
所以 EF ∥ AC
D
A
E
C F B
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是 证明两直线平行的重要依据.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
空间中的平行关系介绍数学课件PPT模板
点 E 在 棱 PC 上 ． 问 点 E 在 何 处 时 ， PA// 平面EBD ，并加以证明.
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
O
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
D
A
Q
D1 E A1
C
P
B
F
C1
B1
【变式 2】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对 角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
性质
a
a
/
/b
定律 线 的 任一 平面 与 此 b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
定理内容
符号表示
图形表示
一个 平面内的两
判定
条相交直线与 另 一
a ,b
a bP
/
/
定律 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果 两个平行平
/ / 性质 面 同 时 和 第 三 个 a a / /b 定律 平面相交，那么它 b
ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
4
为 BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线 MN‖ 平面OCD ；
（Ⅱ）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点 B 到平面 OCD 的距离。
O
M
Q
A
P
D
B
NC
4. 如图，在四棱锥 O ABCD中，底面 ABCD 四边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中点，N
人教A版高中数学必修二《空间中的平行关系》PPT
解：A 中缺少 l 在平面 α 外这一条件；直线在平面
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
α外包括直线与平面相交和与平面平行两种情况，故 B
错；C 中缺少 a 不在平面 α 内这一条件；D 满足线面平 行的三个条件，故选 D.
答案：D
2．下列命题错误的是( ) A．若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平 面，则这两个平面平行 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 平行于同一直线的两平面平行 D. 平行于同一平面的两平面平行
2.作用：判定或证明直线与直线平行的一种方法， 在两个平面找两条平行线的一种方法
3.定理简写：面面平行
线线平行.
定理应用 热身练习
1．下列说法正确的是( )
A．若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α
B．若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α C．若直线 a∥b，b⊂α，则 a∥α D．若直线 a⊄α，b⊂α 且 a∥b，那么直线 a∥α
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它 与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直 于另一个平面．
(6)夹在两个平行平面间的平行线段相等． (7)两平行平面间的距离处处相等． (8)平行于同一条直线的两条直线平行． (9)平行于同一个平面的两个平面平行． (10)平行于同一直线的两个平面平行或相交． (11)平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面．
平面与此平面的交线与该直线平行.
(简记：线面平行，则线线平行)
a
符号语言：
a//
a
a//b
b
b
作用： 可以用来证明线线平行
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
空间中的平行关系-人教A版高中数学必修第二册上课用PPT
• 练习：如图所示,在正方体ABCD−A1B1C1D1中,S是B1D1 的 中点，E. F. G分别是BC、CD和SC的中点。
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； • (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
5.如图,四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2,
E、F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF＝
A
又因为 DE EF E,
所以 平面DEF//平面ABD
化归思想
P
F E
C B
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
练习．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、E、 F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点． 求证：平面AMN∥平面EFDB．
空间中的平行关系-人教A版高中数学 必修第 二册优 秀课件
8空.5间.2中空的间平中行的关平系行-人关教系A（版2） 高-中人数教学A 必版修（第201二9册）优高 秀中课数件学 必修第 二册课 件(共21 张PPT)
课堂小结
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4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平 面 AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N. • 求证：N为AC的中点．
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∴BC⊥平面A1AD. ∴A1D⊥BC，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1. 证法二：如右图所示， ∵三棱柱ABC—A1B1C1为正三棱柱， ∴ A1C ＝ A1B.∵ 点 D 是 等 腰 △ A1CB 的 底 边 BC 的 中 点 ，
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线．
平行
4．平行平面的定义：如果两个平面没有，那么公这共两点个平面互相平行．
5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面互相平行．
相交
6．推论：如果一个平面内有两条直相线交分别平行于另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面互相平行． 7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那相么交它们的交线
是 BC 的 中 点 ， ∴ DF∥A1B. 又 DF⊂ 平 面 ADC1 ， A1B⊄ 平 面 ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1， C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B， ∴A1B∥平面ADC1.
面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行 问题． 【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1； (2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
解 答 ： (1) 证 法 一 ： ∵ 点 D 是 正 △ ABC 中 BC 边 上 的 中 点 ， ∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，
3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为( ) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成角为45° 答案：C
4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条 件：
①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等； ③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β； ④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平
(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB， ∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF， ∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，
Rt△ANH≌Rt△HNM ， ∴ MN ＝ AN. F·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝， ∴MN＝. (3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.
直线与平面平行平面与平面平行
1．直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点)； (2)直线和平面(有且只有一相个交公共点)； (3)直线和平面(没有公共平点行)． 2．线面平行的判定定理：如果一平条面直外线的和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行．
3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)zx````xk
解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确； ②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相 等，∴不正确； ③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确； ④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α， m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确． 答案：④
【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.
∴A1D⊥BC.∵BC∥B1C1， ∴A1D⊥B1C1.
(2)直线A1B∥平面ADC1.以下给出证明： 证法一：如右图，设A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．∵D
时，计算α和β的度数．
解答：(1)证法一：如右图①，过点M作MH⊥AB于H， 则MH∥BC，且不难知Rt△AMH∽Rt△ABC. ∴.连结HN，又∵AM＝FN，且AC＝BF， ∴. ∴HN∥AF，即HN∥BE，∴平面MHN∥平面BEC. ∴MN∥平面BEC.
证法二：如右图②连结AN，并延长与BE相交于G，连结CG.∵AF∥BG， ∴△ANF∽△GNB，∴. ∵FN＝AM，AC＝BF，∴. ∴， 则MN∥CG.由于MN是平面BGC外的一条直线， ∴MN∥平面BGC，即MN∥平面BEC.
平面平行的判定定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相 交直线平行于另一平面．这是判定两平面平行的主要方法．还可以通过一些 垂直关系来判定．Z````xxk
【例2】正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M、N分别是对角线 AC和BF上的点，且AM＝FN. (1)求证：MN∥平面BEC； (2)设正方形的边长为a，AM＝FN＝b，求MN的长； (3)若α和β分别表示直线MN和AC及MN和BF所成的锐角，当线段MN的长度最短
平行． 8．性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的平行于直另线一个平面．
1．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( ) A．过P只能作一条直线与平面α相交 B．过P可作无数条直线与平面α垂直 C．过P只能作一条直线与平面α平行 D．过P可作无数条直线与平面α平行 答案：Dzx``xk
2．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是( ) A．平面ABC必不垂直于α B．平面ABC必平行于α C．平面ABC必与α相交 D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 答案：D
面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线．
平行
4．平行平面的定义：如果两个平面没有，那么公这共两点个平面互相平行．
5．平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，
那么这两个平面互相平行．
相交
6．推论：如果一个平面内有两条直相线交分别平行于另一个平面内的两条直 线，那么这两个平面互相平行． 7．平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面，那相么交它们的交线
是 BC 的 中 点 ， ∴ DF∥A1B. 又 DF⊂ 平 面 ADC1 ， A1B⊄ 平 面 ADC1，∴A1B∥平面ADC1.
证法二：如右图，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1， C1D∥D1B，∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B， ∴平面ADC1∥平面A1D1B.∵A1B⊂平面A1D1B， ∴A1B∥平面ADC1.
面面平行需要由线面平行判定，而直线与平面平行问题可以转化为面面平行 问题． 【例3】如右图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝a. (1)求证：A1D⊥B1C1； (2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
解 答 ： (1) 证 法 一 ： ∵ 点 D 是 正 △ ABC 中 BC 边 上 的 中 点 ， ∴AD⊥BC.又AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，
3．(2009·江西)如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形， 则下列命题中错误的为( ) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成角为45° 答案：C
4．已知l、m是空间两条不同直线，α、β是空间两个不同平面，给出下列四个条 件：
①平面α、β都垂直于平面γ； ②平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等； ③l、m是平面α内两条直线，且l∥β，m∥β； ④l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β.其中可判断平面α与平面β平
(2)如图①∵平面ABCD⊥平面ABEF，MH⊥AB， ∴MH⊥平面ABEF.而HN⊂平面ABEF， ∴MH⊥HN.从(1)可知HN⊥AB，又由AC为正方形的对角线，可知MH＝AH，
Rt△ANH≌Rt△HNM ， ∴ MN ＝ AN. F·NF·cos∠AFN＝a2＋b2－2abcos45°，AN＝， ∴MN＝. (3)由(2)可知：MN＝， ∴当b＝a时，MN的长度最短．此时可求出α＝β＝60°.
直线与平面平行平面与平面平行
1．直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点)； (2)直线和平面(有且只有一相个交公共点)； (3)直线和平面(没有公共平点行)． 2．线面平行的判定定理：如果一平条面直外线的和平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行．
3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平
行的条件是________．(写出所有正确条件的序号)zx````xk
解析：①当α、β、γ如长方体的三个相交平面时，其两两相互垂直，∴不正确； ②当α、β相交，α内两条平行于交线且关于交线对称的直线上所有点到面β的距离相 等，∴不正确； ③当α、β的交线与m、l都平行时，满足l∥β，m∥β，∴不正确； ④l、m为两异面直线，则可以平移一条直线使其两直线相交得到一平面γ，l∥α， m∥α，可以得γ∥α，同理可得γ∥β.γ∥α，γ∥β得到α∥β，故④正确． 答案：④
【例1】如右图所示，在空间四边形ABCD中，截面EFGH为平行四边形， 试证：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
证明：∵截面EFGH为平行四边形，∴EH∥FG，根据直线 与平面平行的判定定理知：EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平 面ABD∩平面CBD＝BD， 根据直线与平面平行的性质定理知BD∥EH， 因此，BD∥平面EFGH，同理：AC∥平面EFGH.