安徽省马鞍山市2019届高三第二次教学质量监测数学(理)试题 含解析
【数学】安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测试题(理)(解析版)
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学试题（理）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】故本题选A.2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，因此集合=，，因此集合B＝故本题选D.3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设，显然是指数函数，是增函数.本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得的最大值为，故本题选C.4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；,故本题选D.5.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故本题选B.6.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 20B. 22C. 24D.【答案】B【解析】通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。
所以表面积S=.故本题选B.7.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（）A. 直线对称B. 直线对称C. 原点对称D. 轴对称【答案】B【解析】设函数, 所以有定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线对称.而的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的。
因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.8.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为所以的最小值为，此时，故本题选A.9.如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如已知图，设球的球心为，体积为，上面圆锥的高为,体积为，下面圆锥的高为,体积为；圆锥的底面的圆心为，半径为.由球和圆锥的对称性可知，,，由题意可知：而由于垂直于圆锥的底面，所以垂直于底面的半径，由勾股定理可知：，,可知，这两个圆锥高之差的绝对值为，故本题选D.10.已知抛物线：上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设点的坐标，抛物线的焦点准线方程为：，,直线方程为：，令，所以点的坐标为，由抛物线的定义和已知可知：，故本题选B.11.已知圆，，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：,又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以, ,在中,根据，可知，是AB的中点，根据向量加法的几何意义得代入上式得，故本题选C.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，,设，，问题就转化为在内，，且中恰有两个整数.先研究函数的单调性，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，注意到，当时，。
安徽省马鞍山市第二中学2019届高三数学下学期模拟考试试题文(含解析)
安徽省马鞍山市第二中学2019届高三数学下学期模拟考试试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1{|24}{|0}3x A x N x B x x +=∈-≤=≥-＜，，则集合A ∩B 中子集的个数是（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32 【答案】B【解析】【分析】根据题意，求出集合M 与N ，进而由交集的定义求得M∩N，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案．【详解】根据题意，A={x∈N|-2≤x＜4}={0，1，2，3}， B={x|13x x+-≥0}={x|-1≤x＜3}， 则A∩B={0，1，2}， 则集合A∩B 中子集的个数是23=8；故选：B ．【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M 、N ，属于基础题．2.已知i 为虚数单位，m ∈R ，若复数（2-i ）（m+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数1mi i-的虚部为（ ） A. 1B. iC. 1-D. i -【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m 的值结合复数虚部的定义进行求解即可．【详解】（2-i ）（m+i ）=2m+1+（2-m ）i ，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2-m=0得m=2，复数22(1)22111(1)(1)2mi i i i i i i i i i +-====-+---+， 即复数的虚部是1，故选：A ．【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键．3.折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期在折扇面上题诗赋词作画，则成为当时的一种时尚，并一直流行至今．现有一位折扇爱好者准备在下图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为（ ）A. 34B. 13C. 59D. 89【答案】D【解析】【分析】先求出扇面的面积和扇子的面积，再利用几何概型的概率公式求解.【详解】由题得，扇面的面积为S 1=221212186962323πππ⋅⋅-⋅⋅=， 扇子的面积为S 2=21218=10823ππ⋅⋅， 则墨汁恰好落入扇面的概率P=968=1089ππ． 故选：D ．【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为F ，直线x=c （c 为半焦距长）与C 的渐近线的交点为A 、B ，若△FAB 为等腰直角三角形，则C 的离心率为（ ）A. 2 【答案】C【解析】【分析】利用已知条件求出A 、B 、F 的坐标，利用△FAB 为等腰直角三角形，求解双曲线的离心率即可． 【详解】双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为F （-c ，0）， 双曲线的渐近线方程：bx±ay=0，由x=c ，可得A （c ，bc a ），B （c ，-bc a）； △FAB 为等腰直角三角形，可得2c=bc a ，可得b=2a ，所以双曲线的离心率为：e=c a a== 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.CPI 是居民消费价格指数（consumerpriceindex ）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月---2018年6月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较，叫同比；2018年6月与2018年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（ ）。
【全国百强校】安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学(理)试题(解析版)
安徽六校教育研究会2019届高三第二次联考数学试题（理）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U＝R，集合，，则集合( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出，然后求解即可.【详解】全集，集合，则集合，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为( )A. 15B. 25C. 50D. 60【答案】C【解析】【分析】求出抽样比，然后求解的值即可.【详解】某工厂生产的A,B,C三种不同型号产品的数量之比为，分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则A被抽的抽样比为，A产品有10件，所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的考点是成比例，属于简单题目.3.若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是( )A. －1－iB. 1＋iC. －1＋iD. 1－i【答案】B【解析】【分析】求出复数，之后求得其共轭复数，得到结果.【详解】复数满足，所以，所以的共轭复数是，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于简单题目.4.若，那么的值为( )A. B. C. D. -【答案】D【解析】【分析】首先根据角之间的关系，应用诱导公式求得结果.【详解】由题意可得，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，属于简单题目.5.设则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，借助于中介值，得出结果.【详解】，，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关指数幂与对数值的比较大小的问题，涉及到的知识点有指数函数和对数函数的单调性，以及应用中介值比较大小，属于简单题目.6.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是则它的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以确定该几何体为圆柱中挖去一个半球，根据体积求得的值，再计算表面积即可.【详解】由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，因为该几何体的体积为，所以，即，解得，所以该几何体的表面积为，故选C.【点睛】该题考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，有关组合体的体积和表面积，属于简单题目.7.若执行如图所示的程序框图，输入，则输出的数等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题中所给的程序框图，可以确定该框图的功能是求三个数的方差，利用公式求得结果.【详解】该程序框图的功能是求三个数的方差，输出的，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图输出结果的求解问题，在解题的过程中，注意对框图的功能进行分析，属于简单题目.8.已知抛物线上一点到焦点的距离为，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线的定义，求得p的值，由利用两点间距离公式求得，根据二次函数的性质，求得，由取得最小值为，求得结果.【详解】由抛物线焦点在轴上，准线方程，则点到焦点的距离为，则，所以抛物线方程：，设，圆，圆心为，半径为1，则，当时，取得最小值，最小值为，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.9.已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的极值点，可得或，由此求得的取值范围.【详解】因为函数在区间内没有极值点，所以，或，解得或，令，可得，故选C.【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有倍角公式和辅助角公式的应用，有关函数的极值点的位置，从而得到相应的范围，求得结果，属于中档题目.10.某地举办科技博览会，有个场馆，现将个志愿者名额分配给这个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（）种A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有种，故选A.【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除.11.定义在上的奇函数，当时，则关于的函数的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数的零点转化为：在同一坐标系内的图象交点的横坐标，作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，即零点的对称性，根据奇函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案.【详解】因为当时，，即时，，当时，，当时，，画出时，的图象，再利用奇函数的对称性，画出时的图象，如图所示：则直线与的图象有5个交点，则方程共有5个实根，最左边两根之和为，最右边两根之和为，因为时，，所以，又，所以，所以中间的一个根满足，即，解得，所以所有根的和为，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数零点的问题，涉及到的知识点有将函数的零点转化为图象交点的问题，注意对奇函数的性质的应用，以及图象的对称性的应用，属于中档题目.12.设的内角所对边的长分别为，则下列命题正确的是（）（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则.A. （1）（2）（3）B. （1）（2）（5）C. （1）（3）（4）D. （1）（3）（5）【答案】D【解析】【分析】结合余弦定理以及反证法，举反例，对命题逐个分析，得出正确的结果.【详解】对于（1），，可以得出，所以，故正确；对于（2），，得出，故错误；对于（3），当时，，与矛盾，故正确；对于（4），取，满足，利用余弦定理得，故错；对于（5），因为，所以有，即，所以，故正确；所以正确命题的序号是（1）（3）（5），故选D.【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有余弦定理，反证法，利用举反例来说明命题错误，属于中档题目.二、填空题。
2019届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试卷及解析
2019届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测
数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先用复数除法和乘法的运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求出.
【详解】
故本题选A.
2.已知全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过解不等式，对集合A,B化简，然后求出，最后求出.
【详解】或，因此集合=，
，因此集合B＝
故本题选D.
3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
求的最大值，实质上就是求的最大值，设
问题就先转化求在可行解域内求的最大值. 最后求出的最大值.
【详解】设，显然是指数函数，是增函数.
本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：
显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，
解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得
的最大值为，故本题选C.
4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为
，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解。
同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解。
【详解】图形如下图所示：。
安徽省2019年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题(图片版)
理科数学参考答案三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共60分。
17．（1）【解析】由11n n S a +=-得11n n S a -=-（2n ≥）．两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=（2n ≥）． 又121S a =-得2122a a ==，所以数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1，故12n n a -=． （3分） 由112(2)n n n b b b n +-=+≥知n b 是等差数列，公差5124b b d -==，则21n b n =-． （6分） （2）()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，()0121123252212n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ①，()()12312 123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②．①-②得()()()()121221222221212212323212nn nn n n T n n n ---=+⋅+++--⋅=+⋅--⋅=---⋅-故()2323nn T n =-⋅+． （12分）注：第（1）小题求{}n a 的通项没有验证212a a =，扣1分． 18．【解析】（1）如图，取AB 的中点M ，∵OO'⊥面ABC ，∴,,OA OM OO'两两垂直，以O 为坐标原点，,,OAOM OO'分别为,,x y z 正半轴，建立空间 直角坐标系O xyz -，设1OA =，(0)AOC θθπ∠=<<，则(1,0,0),(1,0,0),(cos ,sin ,0),(cos ,sin ,)A B C D t θθθθ--，于是(2cos ,0,)CD t θ=-，而平面ABB'A'的法向量(0,1,0)OM =， 由于0CD OM ⋅=及CD ⊄平面ABB'A'，所以CD ∥平面ABB'A'．（6分）（2）设1OA =，∵2AC ABAA'==，则1(2C ，1(2D -，(1,0,2)CD =-，1(2AC =-1(设面CAD 的法向量1(,,)n x y z =， 则112102CD n x AC n x y ⎧⋅=-+⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 不妨设x =1(23,2,n =， 设面BAD 的法向量2(,,)n x y z =， 则22120220BD n x z BA n x ⎧⎪⋅=+=⎨⎪⋅==⎩， 不妨设4y =，得2(0,4,n =，所以121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=⋅519==， 故二面角C AD B --的余弦值为519． （12分）注：其他方法请酌情给分．19．【解析】（1）由题，1c =，232b a =，222a bc =+，解得2a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（5分）（2）方法一：设00(,)P x y ，(4,)N N y ，由,,P M N 三点共线得003322141N y y x --=--， ∴0003(24)2(1)N y x y x +-=-，直线PF 的方程为00(1)1yy x x =--，即000(1)0y x x y y ---=，于是点N 到直线PF 的距离000003(24)|4(1)|y x y x y d+----=0033|6||6|3x x --===为定值．（12分） （2）方法二：设00(,)P x y ，01x ≠，则01||22PF x =-，当01x <时，00113||3||(1)(4)224NPF NMF PMF S S S MF MF x x =+=⋅⋅+⋅-=-△△△，当01x >时，00113||3||(1)(4)224NPF NMF PMF S S S MF MF x x =-=⋅⋅-⋅-=-△△△， 于是点N 到直线PF 的距离003(4)2231||22NPF x S d PF x -===-△为定值．（12分）注：其他解法请酌情给分． 20．【解析】（1）由条件知：X 的可能取值有0,1,2，由表中数据知，15人中有4人超重．（2分）故()0241121511021C C P X C ⋅===，()11411215441105C C P X C ⋅===，()204112152235C C P X C ⋅===． 所以X 的分布列为∴数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=． （6分） （2）i ）方案②更合理． （7分） 言之有理均可酌情给分，理由可以包括：从散点图观察，利用相关系数比较，体重与身高的关系比体重与年龄的关系更强等．（9分） ii ）6162221335196666225623 1.29335616877562i ii ii x yx y b xx==--⨯⨯==≈⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭∑∑（11分）1963351.29150.7432a y bx =-≈-⨯≈- 所以， 1.29150.74y x =-． （12分）注：第（2）小题学生讲到从散点图观察方案②的散点图比方案①的散点图中的点更接近某条直线，但没有在试卷上作散点图，不扣分．21．【解析】（1）a e =时，1()()ln ln(ln )2f x x e x x =--，()0f e =， 111'()ln ()22ln f x x x e x x x =+--，11'()2f e e=-， 于是，函数()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程为11()()2y x e e=--，即11()122ey x e =-+-． （4分）（2）令ln (0,)x t =∈+∞，则()1ln 2f x ≥-等价于1()ln 1ln 22te a t t --≥-，即2ln 2ln 22t t a e t -+≤-恒成立，记2ln 2ln 22()tt g t e t -+=-，则2222ln 2ln 22ln 2ln 2()t tt t e t g't e t t-+-=+=， 再令2()2ln2ln 2t h t t e t =+-，则22()(2)0th't t t e t=++>，于是()h t 在(0,)+∞上单增，又2(2)40h e =>，1()4ln 2024h =-<，所以()h t 有唯一零点01(,2)2t ∈， 当0(0,)t t ∈时，()0g't <，()g t 单调递减；当0(,)t t ∈+∞时，()0g't >，()g t 单调递增，而0t 满足02002ln 2ln 20t t e t +-=，即002ln 0000222ln ln t t t e e t t t ⋅==⋅，令()tt t e ϕ=⋅，则0t 满足002()(ln )t t ϕϕ=，其中01(,2)2t ∈，02ln (0,ln 4)t ∈，又()(1)t't t e ϕ=+，所以(1,)t ∈-+∞时，()0't ϕ>，()t ϕ单调递增，因此002ln t t =，即00ln ln 2t t =-+，002te t =， 于是00min 002ln 2ln 22()()tt a g t g t e t -+≤==-0002(ln 2)2ln 2222t t t -+-+-=， 即(,2]a ∈-∞． （12分）22．【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为24y x =，直线l 的直角坐标方程为tan (1)y x α=⋅-．（5分）（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）由2tan (1)4y x y x α=⋅-⎧⎨=⎩得2222tan (2tan 4)tan 0x x ααα⋅-++=．所以21222tan 4tan x x αα++=．因直线l 过抛物线C 的焦点所以21224tan 42tan AB x x αα+=++=．由题设知224tan 48tan αα+=，又02πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故tan 1α= 因此l 的方程为1y x =-．AB 的中点坐标为（3，2），因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=． （10分）23．【解析】（1）13,21()2,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，()2f x ≥等价于1232x x ⎧<-⎪⎨⎪-≥⎩或11222x x ⎧-≤<⎪⎨⎪+≥⎩或132x x ≥⎧⎨≥⎩， 所以23x ≤-或01x ≤<或1x ≥ ，故原不等式的解集为[)2,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦． （5分）（2）()y f x =的图像如图所示：13(,)22A -，(1,3)B ，直线74y ax =+过定点7(0,)4P因为15,24AP BP K K ==，所以1524a ≤≤． （10分）。
2019年4月安徽省马鞍山二中2019届高三高考模拟数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前安徽省马鞍山二中2019届高三年级高考模拟数学（理）试题2019年4月一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合＜，，则集合M∩N中元素的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，m R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的模为（）A. B. C. D. 23.CPI是居民消费价格指数（consumerpriceindex）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2017年6月---2018年6月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2018年6月与2017年6月相比较,叫同比；2018年6月与2018年5月相比较,叫环比）,根据该折线图,则下列结论错误的是（）A. 2017年8月与同年12月相比较,8月环比更大B. 2018年1月至6月各月与2017年同期相比较,CPI只涨不跌C. 2018年1月至2018年6月CPI有涨有跌D. 2018年3月以来,CPI在缓慢增长4.已知双曲线C：的左焦点为F1,作直线y=-x交双曲线的左支于A点,若AF1与x轴垂直,则双曲线C的离心率为（）A. B. C. 2 D.5.元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤,1斤=16两）,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半．若银的数量不变,按此法将银依次分给7个人,则最后3个人一共得（）A. 两B. 两C. 两D. 14两16.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某组合体的三视图,则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7.已知f（2x）=（2sin2x-1）ln（4x2）,则数f（x）的部分图象大致为（）A.B.C.D.8.已知函数,若,则a、b、c之间的大小关系是（, ）A. B. C. D.9.将函数f（x）=2sinπx-1的图象向左平移＜＜个单位长度后得到函数g（x）的图象,若使|f（a）-g（b）|=4成立的a、b有,则下列直线中可以是函数y=g（x）图象的对称轴的是（）A. B. C. D.10.在所有棱长均相等的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E分别为棱BB1、BC的中点,则直线A1B1与平面A1DE所成角的正弦值为（）A. B. C. D.11.已知不过原点的动直线l交抛物线C：y2=2px（p＞0）于M,N两点,O为坐标原点,F为抛物线C的焦点,且|+|=|-|,若△MNF面积的最小值为27,则p=（）A. 2B. 3C. 4D. 612.x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,f（x）=x-[x],若f（x）的图象上恰好存在一个点与g（x）=（x+1）2-a（-2≤x≤0）的图象上某点关于y轴对称,则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13.已知向量,若B、C、,三点共线,则t,n（2019π,α）,______．2。
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在4．已知函数 ，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）A. B. C. D.6．若，则的值不可能为（ ）A. B. C. D.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）A. B. 2 C. D.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A. 3B. 5C. 6D. 710．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -【答案】A【解析】根据题意化简得12z i =+， 12z i =-，选A. 2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,,当时，所以，故选B.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在 【答案】B【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点C(0，1)时，直线的纵截距z 最小，所以的最小值为，故选B.4．已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于函数f(x),当x≥0时，-x≤0,所以，同理当x<0时，，所以函数f(x)是偶函数.令，所以，所以函数h(x)是偶函数，所以排除B,D.当时，，故选A.点睛：遇到函数的问题，大家都要联想到用函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等来帮助我们分析解答问题，所以本题要先研究函数f(x)、g(x)、h(x)的奇偶性，通过奇偶性排除选项.再利用其它性质分析求解.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得总的基本事件个数为,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得，故选D.6．若，则的值不可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，所以，把代入，, 显然不成立，故选B.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，d表示的就是上半圆上的点到直线x-y-2=0的距离，画图由数形结合可以得到，故选C.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】先作出经过三点所在的平面，可以取的中点F ，则平行四边形就是过三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A ，故选A.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7 【答案】D【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为)42020203212020rrrr rr r T C C x ---+==，由题得4203r -为整数，所以0,3,6,9,12,15,18.r =故选D.10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设,由题得，所以，故选C.点睛：本题的难点在于计算出要观察变形,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652【答案】B【解析】由题得，.故选B.点睛：本题的难点在于通过递推找到数列的周期. 可以先通过列举找到数列的周期，再想办法证明. 由于问题中含有的项数较多，且有规律性，所以要通过分析递推找到数列的周期.二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．【答案】【解析】由题得, 因为,所以故填.14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题得所以所以（舍去负根），所以，故填.15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】∵，∴即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为，故答案为.点睛：考查四棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题得有三个零点，所以有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点. 所以由题得.所以所以a的取值范围为.点睛：本题的难点在作函数的图像. 要作函数的图像，由于含有绝对值，所以要分类讨论，写出它的表达式.如果把f(x)代进去求x的范围，那就复杂了，可以不需要求x 的范围，直接得到，再画出函数的图像，这样就简洁了很多.三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用正弦定理得到，解答. (2)第（2）问，先在直角△ADC中，求出，再在△ABD中利用余弦定理求解BD的长.试题解析：（1）在中，由正弦定理得，，解得，又为钝角，则，故.(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）（2）设，则.∵，∴，∴.在中由余弦定理得，，∴，解得，故.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先对，两边取自然对数得，再换元将非线性转化成线性问题，求线性回归方程，再利用最小二乘法公式和参考数据求解. (2)第（2）问，先写出随机变量的值，再写出随机变量的分布列和期望.试题解析：（1）对，两边取自然对数得，令，得，由，，故所求回归方程为.（2）由，即优等品有 3 件，的可能取值是0，1，2, 3，且,,.其分布列为∴.点睛：本题的难点在于将非线性转化成线性后如何求最小二乘法公式中的各基本量，所以这里要理解公式中各字母的含义，再利用参考数据解答.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，把面转化成证明线线垂直和.(2)第（2）问，直接利用空间向量的方法求二面角的大小.试题解析：（1）证明：分别取和的中点，连接.由平面几何知识易知共线，且.由得，从而，∴，又，∴.∴面，∴.在中，，∴，在等腰梯形中，，∴，∴，又，面，∴面.（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.则，.由（1）知面的法向量为.设面的法向量为，则由，得，令，得，∴.所以，二面角大小为.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用韦达定理和数量积公式把转化成p的方程，再解方程得解. (2)第（2）问，分别计算出与的面积，再计算出它们的面积比.试题解析：（1）设，将代入，得.其中，.所以，.由已知，.所以抛物线的方程.（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，所以，，所以与的面积比为2.点睛：本题的技巧在第（2）问，计算与的面积时，要注意灵活.,.计算准了，后面的面积比就容易求解了.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，方法一，构造函数，再分析f(x)的最大值和零的关系得到a的取值范围.方法二，分离参数得到恒成立，即a大于F(x)的最大值.(2)第（2）问，先要把证明的不等式转化，再由第（1）问，恒成立，得到恒成立，把数列的通项放缩，对数列求和，再化简证明不等式.试题解析：（1）法一：记，则，，①当时，∵，∴，∴在上单减，又，∴，即在上单减，此时，，即,所以a≥1.②当时，考虑时，，∴在上单增，又，∴，即在上单増，,不满足题意.综上所述，.法二：当时，等价于，，记，则，∴在上单减，∴，∴，即在上单减，，故.（2）由（1）知：取，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，即对于恒成立，由此，，，于是，故.点睛：本题的难点在第（2）问，先要把证明的不等式化简，由于的左边无法化简，所以要对左边进行化简，对不等式进行转化，不等式两边要取对数.再利用第（1）问的结论对数列的通项进行放缩，再求和，再证明不等式.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，根据即可得圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数方程的几何意义结合韦达定理可得结果.试题解析：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程代入圆的方程可得：整理得：∴根据参数方程的几何意义，由题可得：.23．已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.试题解析：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为 1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，∴，即且且.。
安徽六校2019届高三第二次联考数学(理)试卷及答案解析
11．定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ，当 x 0 时， f ( x )
1 x 3 , x 1, log 1 ( x 1), x 0,1 则关于 x 的函数 2
）
F ( x) f ( x) a (0 a 1) 的所有零点之和为（
1
5．设 a 2 4 , b
1 , c log 1 6 则( 5 3
B．
0.2
)
A．
abc
cba
C．
cab
D． b a c 几何体
6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为 r 的圆，若该 的体积为 ，则它的表面积是(
9 8
)
A．
9 2
A． 1 2
a
B． 0
C． 2 2
a
1 D． 1 2
）
a
12．设 ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ，则下列命题正确的是（ （1）若 a 2 b 2 c 2 ，则 C
； 2 ； 2
（2） 若 ab c 2 ，则 C
D． x 3 x 6
2．某工厂生产的 A，B，C 三种不同型号的产品数量之比为 2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用 分层抽样的方法从该工厂生产的 A，B，C 三种产品中抽出样本容量为 n 的样本，若样本中 A 型产品 有 10 件，则 n 的值为( A．15 ) C．50 ) C．－1＋i ) D．1－i D．60
( x 6) 2 y 2 1 上的动点，则 PQ 的最小值为（ 5 5
）
A． 21 1
B．
2
C． 2 5
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2019年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先用复数除法和乘法的运算法则化简复数，然后利用复数模的公式求出.【详解】故本题选A.【点睛】本题考查了复数的除法、乘法运算法则。
考查了求复数模的求法。
2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过解不等式，对集合A,B化简，然后求出，最后求出.【详解】或，因此集合=，，因此集合B＝故本题选D.【点睛】本题考查了集合的运算、对数函数的定义域、绝对值不等式、对数不等式。
考查了数形结合思想。
3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】求的最大值，实质上就是求的最大值，设问题就先转化求在可行解域内求的最大值. 最后求出的最大值.【详解】设，显然是指数函数，是增函数.本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得的最大值为，故本题选C.【点睛】本题考查了线性归划问题、指数函数的性质.4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由所求问题可知，本题是求条件概率，因此可以运用公式求解。
同时本题又是一个几何概型，这就涉及到求面积，三角形面积可以直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采用定积分的方法来求解。
【详解】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；,故本题选D.【点睛】本题考查了几何概型、条件概率、定积分的应用.5.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】写出二项式展开式的通项公式，对通项公式化简，让的指数为零，由题意可知第项为常数项，让，就可以知道，应满足的等式.【详解】二项式的展开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故本题选B.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项.格外要注意的是二项式展开式的通项表示的是第项.6.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 20B. 22C. 24D.【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。
【详解】通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。
所以表面积S=.故本题选B.【点睛】本题考查了通过三视图，判断几何体的形状问题，并求出几何体的表面积问题。
解决此类问题的关键是加强空间想象力。
7.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（）A. 直线对称B. 直线对称C. 原点对称D. 轴对称【答案】B【解析】【分析】首先考虑函数的图象特征，再将函数向右平移一个单位长度，得到的图象，这样就能得到的图象特征.【详解】设函数, 所以有定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线对称.而的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的。
因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.【点睛】本题考查了抽象函数的平移、对称性、奇偶性.本题也可以有以下的一种解法：所以函数的图象关于直线对称.8.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将函数化简，并用辅助角公式化成一个形式，函数的图象关于轴对称，也就是说函数是偶函数，因此有，而，就能求的最小值.【详解】进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为所以的最小值为，此时，故本题选A.【点睛】本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征。
9.如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到两个圆锥高的和与球半径的关系，再由勾股定理得到底面半径与球半径之间的关系，最后可求出两圆锥高之差的绝对值。
【详解】如已知图，设球的球心为，体积为，上面圆锥的高为,体积为，下面圆锥的高为,体积为；圆锥的底面的圆心为，半径为.由球和圆锥的对称性可知，,，由题意可知：而由于垂直于圆锥的底面，所以垂直于底面的半径，由勾股定理可知：，,可知，这两个圆锥高之差的绝对值为，故本题选D.【点睛】本题考查了球和圆锥的几何性质、它们的体积公式.10.已知抛物线：上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】设点的坐标，对，进行求导，求出点处的切线的斜率，进而求出切线的直线方程，然后求出点的坐标，根据抛物线的定义，可以求出，得到等式，就可以求出.【详解】设点的坐标，抛物线的焦点准线方程为：，,直线方程为：，令，所以点的坐标为，由抛物线的定义和已知可知：，故本题选B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦点坐标、准线方程、切线方程。
考查了导数的几何意义。
11.已知圆，，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设同心圆的圆心为，利用切线的性质可以求出的大小，用、、计算出，根据加法的几何意义，可以求出,根据的取值范围，最终可以求出的取值范围。
【详解】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：,又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以, ,在中,根据，可知，是AB的中点，根据向量加法的几何意义得代入上式得，故本题选C.【点睛】本题考查了直线与圆相切的性质、向量的加法运算、数量积运算。
12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，可以转化为两个函数大小关系，分析两个函数的单调性，利用数形结合，结合已知，得出答案.【详解】，,设，，问题就转化为在内，，且中恰有两个整数.先研究函数的单调性，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，注意到，当时，。
，恒过要想在内，，且中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：故本题选C.【点睛】本题考查了不等式与函数的关系。
本题重点考查了不等式解的问题转化为函数大小比较的问题，本题应用了导数研究函数单调性.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】由的取值范围，可以求出的范围，再根据>0，最后确定的范围，利用同角的正弦值、余弦值平方和为1这个公式，可以求出的大小，令，由两角差的正弦公式可以求出的大小。
【详解】由可得，而>0 所以所以.【点睛】本题考查了同角三角函数值之间的关系、两角差的正弦公式。
解决本题的关键是抓住已知角与所求角之间的和差关系.14.已知函数，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后进行分类讨论，求解。
【详解】函数，显然当时，函数是增函数，有，而当时，函数是常值函数，也就是说当时，所有的函数值均为，要想成立，有以下二种情形：（1）当时，即当时，因为所以有解得，而所以；（2）当时，即可得得而所以；综上所述实数的取值范围为，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查分段函数的单调性、解不等式、分类讨论思想。
15.已知双曲线上的一点到两渐近线的距离之积为，若双曲线的离心率为2，则双曲线的虚轴长为__________．【答案】【解析】【分析】由离心率可以知道、的关系，再根据的关系，求出、的关系，设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之积为，又得到一个方程，由这两个方程可以求解出的值，进而求出的值，最后求出双曲线的虚轴长。
【详解】由题意可知双曲线的离心率为2，又，所以双曲线的渐近线方程为：，设点是双曲线上一点，①.由题意可知点到两渐近线的距离之积为，②，把①代入②得所以双曲线的虚轴长为.【点睛】本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算。
16.在中，，点在线段上，且，，则面积的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】在、中通过互补的两个角做为纽带，根据它们的余弦和为零，构造等式，通过这个等式，利用基本不等式，可以得到两边乘积的最大值，最后根据面积公式，可求出面积的最大值。
【详解】设，所以,在中，由余弦定理可知：，在中，由余弦定理可知：，，①在中，由余弦定理可知：，②,由①②可得，③因为④（当且仅当等号成立），把③代入④中得，面积.【点睛】本题考查了余弦定理、面积公式、基本不等式。
解决本题的关键是根据图形的特点，在两个三角形中，互补两个角的余弦值互为相反数，来构造等式来求解。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共60分。
17.已知数列的前项和满足，且，数列中，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求的前项的和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）通过，当时，可以求出的表达式，两式相减，得到，这样可以判断出数列是等比数列，再求出数列的通项公式.（2）观察，它是一个等差数列乘以一个等比数列，这样可以采用错位相减法为求的前项的和。
【详解】（1）由得（）．两式相减得，即（）．又得，所以数列是等比数列，公比为2，首项为1，故．由可知是等差数列，公差，则．（2），①，②．①②得故．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法. 18.如图，半圆柱中，平面过上下底面的圆心，，点，分别在半圆弧，上且.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的知识来证明和求解。
（1）要证明线面平行，只需证明线与面的法向量垂直即可；（2）要求二面角的大小，可以转化为求二个平面的法向量的夹角。
【详解】（1）如图，取的中点，∵面，∴两两垂直，以为坐标原点，分别为正半轴，建立空间直角坐标系，设，，则，于是，而平面的法向量，由于及平面，所以平面．（2）设，∵，则，，，，，设面的法向量，则，不妨设，得，设面的法向量，则，不妨设，得，所以，故二面角的余弦值为．【点睛】本题考查了利用空间向量证明线面平行，求二面角大小。