人教版高中数学《空间直线平面的平行》完美课件PPT1
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高中数学(人教B版)教材《直线与平面平行》优质课件1
图形语言
符号语言 ⇒a∥b
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α. ( ✕ ) 2.两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行. (✕) 3.直线a∥平面α,平面α内有n条直线相交于一点,则这n条直线中与a平行的有且只 有一条. ( ✕ ) 提示：过n条直线的交点和直线a作平面β,设平面β与平面α交于直线b,则a∥b.若所 给n条直线中有与b重合的,则与直线a平行的直线有1条,若没有与b重合的,则与直线 a平行的直线有0条.
高中数学（人教B版）教材《直线与平 面平行 》优质 课件1 （公开 课课件 ）
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线面平行中的探索性问题 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是线段BC,CC1的中点.
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思路点拨 构造平行四边形得到线线平行,进而证明线面平行. 证明 ∵在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,BE=2EC, ∴AD=3,EC=1. 在线段B1A上取一点M,使得AM=2MB1,连接ME,MF. ∵DF=2FB1,∴ = ,∴FM∥AD,且FM= AD=EC=1. 又∵EC∥AD,∴EC∥FM, ∴四边形FMEC为平行四边形,∴CF∥EM, ∵CF⊄平面B1AE,EM⊂平面B1AE,∴CF∥平面B1AE.
提示:∵EF∥BC,EF⊄平面AC,BC⊂平面AC,∴EF∥平面AC.而BE,CF显然都和平面A C相交.
8.5空间直线、平面的平行课件(人教版)(1)
论：过直线a的平面β与平面α相交于b，则a∥b.
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
【解析】 已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b⊂α.
因为a∥α，
所以a与b无公共点．
又a⊂β，b⊂β，
所以a∥b.
解析
表示定理
直线与平面
平行的
性质定理
图形
文字
符号
一条直线与一个平面平
解析
思考2►►►
如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么
位置关系？
【解析】 无数个，a∥b.
解析
思考3►►►
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平
面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结
D的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解：(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
1
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=2DC.
因为AB∥DC,CD=,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,所以AE∥平面PBC.
MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,
C.四边形MNEF为平行四边形
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.
D.A1B1∥NE
故选B.
变式
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：
下面来证明这一结论．
已知：
求证：
证明：
【解析】 已知：a∥α，a⊂β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∩β＝b，所以b⊂α.
因为a∥α，
所以a与b无公共点．
又a⊂β，b⊂β，
所以a∥b.
解析
表示定理
直线与平面
平行的
性质定理
图形
文字
符号
一条直线与一个平面平
解析
思考2►►►
如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么
位置关系？
【解析】 无数个，a∥b.
解析
思考3►►►
假设a与平面α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3，过直线a，b有唯一的平
面β.这样，我们可以把直线b看成是过直线a的平面β与平面α的交线．于是可得如下结
D的中点.
(1)求证:AE∥平面PBC.
解：(1)证明:如图,取PC的中点F,连接EF,BF.
1
因为E,F分别为PD,PC的中点,所以EF∥DC,且EF=2DC.
因为AB∥DC,CD=,所以EF∥AB,且EF=AB,
所以四边形EFBA为平行四边形,则AE∥BF.
因为AE⊄平面PBC,BF⊂平面PBC,所以AE∥平面PBC.
MN∥EF.显然在△ABC中,EF≠AB,
C.四边形MNEF为平行四边形
∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.
D.A1B1∥NE
故选B.
变式
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AC 与 BD 交于点 O，
M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH，求证：
8.5.2.直线与平面平行的判定课件(人教版)
抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
a
仔细分析下，判定定 理告知我们，判定直线 与平面平行的条件有几 个，是什么？
b a//
定理中必须的条件有三个，分别为：
a在平面外，即a (面外)
a
b在平面内，即b (面内)
a与b平行，即a∥b(平行)
证明：设A1C1中点为F,连结NF，FC．
∵N为A1B1中点，
∴NF
＝∥
1 2
B1C1
B
又∵BC
＝∥
，
B1C1
M是BC的中点，
∴MC ＝∥ 1/2B1C1 即MC＝∥ NF
∴NFCM为平行四边形, 故MN∥CF
而CF 平面AA1C1C, MN平面AA1C1C,
∴ MN∥平面AA1C1C,
A
M
C
A1
N B1
b
用符号语言可概括为：
a
a//
b
a∥
a ∥ b
简述为：线线平行线面平行
课堂典例
例.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，证明:直线EF与平面BCD平行
证明：如右图，连接BD，
A
在△ABD中，E,F分别为AB，
AD的中点，即EF为中位线
∴EF ∥BD,
又EF平面BCD，
BD 平面BCD,
高一数学第二册第八章： 立体几何初步
空间点、线、面之间的位置关系 8.5.2直线与平面平行的判定
一、学习目标
1.掌握直线与平面平行的判定定理；
2.能够利用直线与平面平行的判定定理证明线面平 行。
二、问题导学
8.5 空间直线、平面的平行 课件【共17张PPT】
再回到点B1,这只蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变,
则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为 2 6 .
[解析] 根据题意蚂蚁在正方体ABCD-A1B1C1D表面上行走一周的轨迹所在平面
与平面A1BE平行.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1D1,BC的中点分别为F,G,连
接DF,FB1,B1G,GD,FG,DB1.易知FD∥B1G,且FD=B1G,∴四边形DFB1G是平行四
当点P位于平面α,β之间时,如图(2),
8
3
24
则PB=3, =,∴=9,∴CD=24.故CD= 5 或CD=24.
小结
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
变式 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,现有
一只蚂蚁从点B1出发,在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上行走一周后
边形.∵FD=DG,∴四边形DFB1G是菱形.∵DG∥BE,DG⊄平面A1EB,BE⊂平面A1
EB,∴DG∥平面A1EB.同理可知FD∥平面A1EB.∵FD∩DG=D,∴平面DFB1G
与平面A1BE平行.故得蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变的轨迹
所围成的图形为菱形DFB1G.由正方体的棱长为2,可得B1D= 22 + 22 + 22 =2
求证：AB＝CD.
证明：过平行线 AB，CD 作平面 γ，与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD.
因为 α∥β，所以 BD∥AC.
又 AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形．
所以 AB＝CD.
解析
变式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过
则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为 2 6 .
[解析] 根据题意蚂蚁在正方体ABCD-A1B1C1D表面上行走一周的轨迹所在平面
与平面A1BE平行.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1D1,BC的中点分别为F,G,连
接DF,FB1,B1G,GD,FG,DB1.易知FD∥B1G,且FD=B1G,∴四边形DFB1G是平行四
当点P位于平面α,β之间时,如图(2),
8
3
24
则PB=3, =,∴=9,∴CD=24.故CD= 5 或CD=24.
小结
应用平面与平面平行的性质定理的一般步骤
变式 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AD的中点,现有
一只蚂蚁从点B1出发,在正方体ABCD-A1B1C1D1表面上行走一周后
边形.∵FD=DG,∴四边形DFB1G是菱形.∵DG∥BE,DG⊄平面A1EB,BE⊂平面A1
EB,∴DG∥平面A1EB.同理可知FD∥平面A1EB.∵FD∩DG=D,∴平面DFB1G
与平面A1BE平行.故得蚂蚁在行走过程中与平面A1BE的距离保持不变的轨迹
所围成的图形为菱形DFB1G.由正方体的棱长为2,可得B1D= 22 + 22 + 22 =2
求证：AB＝CD.
证明：过平行线 AB，CD 作平面 γ，与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD.
因为 α∥β，所以 BD∥AC.
又 AB∥CD，
所以四边形 ABDC 是平行四边形．
所以 AB＝CD.
解析
变式 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过
人教版高中数学必修2《直线与平面平行》PPT课件
D′
P
F α
E B′
C′ C
AC外，所以EF//平面AC．
A
B
显然， BE，CF都与平面AC相交．
例题 如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
M，N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l//BC； （2）MN与平面APD是否平行？ 试证明你的结论．
Pl N
D
C
又 MN平面PAD，AE平面PAD， D
C
∴ MN//平面PAD．
A
M
B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
（1）与AB平行的平面是
；
D′
（2）与AA′平行的平面是 （3）与AD平行的平面是
； A′ ．
线线平行
线面平行
D
在长方体中找到与已知直线 A 平行的直线有哪些？
C′ B′
C B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
解析：“×”
b Pa
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（4）如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α， b ， 那么， b//α．
解析：“√”
b
a
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1）如果直线a//b，那么a平行于经过b的任何平面． （2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任
请同学们考虑用图形语言和符号语言如何
表示定理？
βa
α
b
它可以用符号表示：
a//，a ，
= b a//b
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与 平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出 了一种作平行线的方法．
新教材高中数学第一章第2课时空间中直线平面的平行pptx课件新人教A版选择性必修第一册
证明：方法一 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.
方法二 RS＝RC + CS
1
1
＝ DC − DA + DD1 ，
2
2
1பைடு நூலகம்
2
1
2
PQ＝PA1 ＋A1 Q＝ DD1 ＋ DC − DA，
∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.
2
3
－ )，则l1，l2的位置关系是(
)
2
A．垂直
C．平行
B．重合
D．平行或重合
答案：D
1
3
解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝ − ， − 1， − ，
2
2
所以v1＝－2v2，即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，
种，应进一步考查．
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，
AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的
中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3 利用空间向量证明面面平行
例3 已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BC
＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，
C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.
方法二 RS＝RC + CS
1
1
＝ DC − DA + DD1 ，
2
2
1பைடு நூலகம்
2
1
2
PQ＝PA1 ＋A1 Q＝ DD1 ＋ DC − DA，
∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.
2
3
－ )，则l1，l2的位置关系是(
)
2
A．垂直
C．平行
B．重合
D．平行或重合
答案：D
1
3
解析：因为v1＝(1，2，3)，v2＝ − ， − 1， − ，
2
2
所以v1＝－2v2，即v1∥v2，
所以l1∥l2或l1与l2重合．
4．已知直线l的方向向量a＝(－1，2，1)，平面α的法向量b＝(－2，
种，应进一步考查．
方法归纳
利用空间向量证明线面平行的3种方法
巩固训练2 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，
AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的
中点，求证：AB∥平面DEG.
题型 3 利用空间向量证明面面平行
例3 已知正方体ABCD-A′B′C′D′，求证：平面AB′D′∥平面BDC′.
方法归纳
利用空间向量证明面面平行的方法
巩固训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ABC＝90°，BC
＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，
C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD.
数学人教A版(2019)必修第二册8.5.2直线与平面平行(共24张ppt)
公共点
有无数个公共点
没有公共点
有且只有一个公共点
符号表示
图形表示
如何判定直线与平面平行？ 利用定义判断直线与平面平行容易吗？
根据定义，只需判定直
线与平面有没有公共点.
你能想到更简单的判断方法吗？
直观感知
观察1 门扇的两边是平行的. 当门扇绕着
一边转动时，另一边与墙面有公共点吗?
此时门扇转动的一边与墙面平行吗?
E
连接BD，交AC于点O，连接EO.
∵点E，O分别是DD1，DB的中点，
∴BD1//EO，
又BD1 平面AEC，BD1⊂平面AEC，
∴BD1//平面AEC.
B1
A1
D
C
O
A
B
巩固练习
3. 四棱锥S—ABCDE中，O为底面正方形ABCD对角线的交点, M为SC的
中点. 求证: SA//平面BDM.
没有公共点，因此平行
在门扇的旋转过程中:
• 直线a在门框所在的平面α外
a
α
b
• 直线b在门框所在的平面α内
• 直线a与b始终是平行的
推出：直线a与平面α平行
追问 若将门扇再次关上，门扇转动的一边与墙面平行吗？
不平行
直观感知
观察2 将一块矩形硬纸板ABCD平放在
桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在
转动的过程中（AB离开桌面），DC的
a
b
α
简述为：线线平行线面平行
空间问题
平面问题
新知讲解
直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行的依据.
定理告诉我们，可以通过直线间的平行，可以得到直线与平面平行. 这
是处理空间位置关系的一种常用方法.定理的实质就是将直线与平面的平
人教A版《空间直线、平面的平行》完美版PPT1
人教A版《空间直线、平面的平行》精 美版1
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训练题
1.［ 2019 · 山 东 潍 坊 高 一 联 考 ］ 如 图 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体
ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中 点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1. （2）求证：EF∥平面BB1D1D.
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常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
证明：如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接 MP，PN，BE，ED，AC. ∵ AE∥CD，∴ AE，CD确定平面AEDC. ∴ 平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵ α∥β，∴ AC∥DE. 又∵ P，N分别为AE，CD的中点， ∴ PN∥DE.
∵ PN α，DE α，∴ PN∥α.
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又∵ M，P分别为AB，AE的中点，∴ MP∥BE.
又∵ MP α，BE α，∴ MP∥α. ∵ MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，∴ 平面MPN∥α. 又∵ MN 平面MPN，∴ MN∥α.
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3. ［2019·广东深圳高一检测］如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1
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训练题
1.［ 2019 · 山 东 潍 坊 高 一 联 考 ］ 如 图 ， 在 棱 长 为 a 的 正 方 体
ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中 点. （1）求证：PQ∥平面DCC1D1. （2）求证：EF∥平面BB1D1D.
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常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
证明：如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接 MP，PN，BE，ED，AC. ∵ AE∥CD，∴ AE，CD确定平面AEDC. ∴ 平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC. ∵ α∥β，∴ AC∥DE. 又∵ P，N分别为AE，CD的中点， ∴ PN∥DE.
∵ PN α，DE α，∴ PN∥α.
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又∵ M，P分别为AB，AE的中点，∴ MP∥BE.
又∵ MP α，BE α，∴ MP∥α. ∵ MP，PN 平面MPN，且MP∩PN＝P，∴ 平面MPN∥α. 又∵ MN 平面MPN，∴ MN∥α.
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3. ［2019·广东深圳高一检测］如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是A1C1
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常考题型 一 平面与平面平行的判定 例1 ［2019·安徽芜湖高一检测］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.
求证：（1）E，F，D，B四点共面； （2）平面MAN∥平面EFDB.
【证明】（1）如图，连接B1D1， ∵ E，F分别是边B1C1，C1D1的中点， ∴ EF∥B1D1. 而BD∥B1D1，∴ BD∥EF， ∴ E，F，D，B四点共面. （2）易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴ MN∥BD. 又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB，∴ MN∥平面EFDB. 连接MF.∵ M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴ MF∥A1D1，MF＝A1D1， ∴ MF∥AD，MF＝AD，∴ 四边形ADFM是平行四边形，∴ AM∥DF. 又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，∴ AM∥平面BDFE. 又∵ AM∩MN＝M，∴ 平面MAN∥平面EFDB.
文字
符号
一个平面内的_两_条__ _相__交__直__线___与另一 个平面β _a_∩__b_＝__P_ ⇒β∥α a∥α b∥α
注意
1.用该定理判定平面α和平面β平行时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面； （2）这两条直线必须相交. 2.平面与平面平行的判定定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. 该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的两条相交直线与 另一个平面平行的问题. 3.要证明面面平行，由平面与平面平行的判定定理知，需在一平面内 寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据直 线与平面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线
8.5.3 平面与平面平行
学习目标 1.理解平面与平面平行的判定定理. 2.理解平面与平面平行的性质定理. 3.能运用定理证明一些空间位置关系的简单命题.
重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理及其应用. 难点：两个定理的应用..
知识梳理 一、面面平行的判定定理
表示 定理
图形
平面与平面平 行的判定定理
二 面面平行性质的应用 例2 ［2019·河南郑州高一检测］如图，两条异面直线AB，CD与三个平行
平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的 交点为H，G.
平面ABC ＝AC
【证明】 平面ABC ∥
＝EG
AC
∥
EG
.
同理AC∥HF.
AC ∥ EG
AC
∥
HF
EG∥HF.
同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
◆证明线线平行的四种常用方法
（1）定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.
（2）平行公理：a∥b，b∥c a∥c.
a∥
（3）线面平行的性质定理：a
a∥b.
b
∥
（4）面面平行的性质定理：
a
a∥b.
b
◆常用的面面平行的其他几个性质 （1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个 平面. （2）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平 行.
二、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交 文字语言
线_平__行__
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a_∥__b__
图形语言
注意 空间三种平行的关系 1.由直线与直线平行可以判定直线与平面平行； 2.由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行； 3.由直线与平面平行可以判定平面与平面平行； 4.由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与 直线平行. 5.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想 方法.
2. ［2019·湖南长沙高一联考］如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点.求证： （1）EG∥平面BB1D1D； （2）平面BDF∥平面B1D1H.
证明：（1）如图，取BD中点O，连接OE，OD1，
则OE平行且等于 1 DC，
2
【名师点拨】 1.用面面平行的判定定理时，必须具备： （1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面. （2）这两条直线必须相交. 2.该定理可简述为“若线面平行，则面面平行”. ◆平面与平面平行的四种判定方法 （1）定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法. （2）利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另 一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线. （3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相 交直线分别平行，则α∥β. （4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
训练题
1.［2019·安徽黄山高一检测］如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O
为底面ABCD的中心，P，Q分别为DD1，CC1的中点. 求证：平面D1BQ∥平面PAO.
证明：如图，连接PQ，BD，由已知得四边形PABQ为平行四边形， ∴ AP∥BQ.
∵ AP 平面AOP，BQ 平面AOP， ∴ BQ∥平面AOP. 同理可证D1B∥平面AOP. 又∵ BQ∩D1B＝B， BQ 平面BQD1，BD1 平面BQD1， ∴ 平面BQD1∥平面AOP.
∴
OE平行且等于D1G.
∴ 四边形OEGD1是平行四边形.∴ GE∥D1O. 又D1O 平面BDD1B1，且EG平面BDD1B1， ∴ EG∥平面BDD1B1. （2）取BB1中点M，连接HM，C1M，则HM∥AB∥C1D1，且HM＝ D1C1.∴ 四边形HMC1D1是平行四边形，∴ HD1∥MC1. 又MC1∥BF，∴ BF∥HD1.又BD∥B1D1，B1D1，HD1 平面HB1D1， BF，BD 平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B， ∴ 平面BDF∥平面HB1D1.