浙江省余姚中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题含答案
余姚中学2020学年第一学期期中考试高一数学试卷参考答案选择题部分（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为（A ）A ．2a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≤2．“关于的不等式220ax x a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件是（C）A ．01a <<B ．103a <<C ．01a ≤≤D ．0a <或13a >3．把根式x x -化成分数指数幂是（B）A．32()x -B．32()x --C．32xD．32x-4.若10x -<<，则下列不等式中成立的是(C )A．220.2x x x -<<B．20.22x x x -<<C．220.2x x x-<<D．0.222x x x-<<5.下列函数中，值域为），（∞+0的是（B ）A.125xy -= B.11()3x y -= C.1()12x y =- D.12xy =-6.已知偶函数()f x 的图象经过点(1,3)--，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 取值范围为（C ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)C ．(,1)(3,)-∞+∞D ．[1,3]7．设⎩⎨⎧<-+++≥-+=)0()3()4()0()(22222x a x a a x x ka x k x f ，其中R ∈a ．若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数)(212x x x ≠，使得)()(21x f x f =成立，则k 的取值范围为（D ）A．RB．]0,4[-C．]33,9[D．]9,33[--8．已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩仅有一个整数解，则k 的取值范围为（B ）A.(5,3)(4,5)- B.[5,3)(4,5]- C.(5,3][4,5)- D.[5,3][4,5]- 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)-∞-⋃+∞，则（ABD ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{|6}x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞10．已知正数,a b ，则下列不等式中恒成立的是（）ABCA ．122a b ab++≥B ．11()4a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭C ．222a b ab ab+≥D ．2abab a b>+11．已知函数2, 0(),0ax x f x x ax x ≥⎧=⎨-<⎩，若函数的值域为[)0,+∞，则下列的a 值满足条件的是（）ACDA ．21=a B ．3-=a C ．0=a D ．4=a 12．已知函数21()222x x f x +=-+，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确．．．．的是(BCD)A.M=]2,0[ B.]1,(-∞⊆M C.M∈0 D.M∈1非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．计算：0231.12160.5lg252lg2-+-++=_5_________.14．已知函数1(2)x f -的定义域是[0,1],则函数()31xy f -=-的定义域是]2log ,1[3--.15．给出下列结论：①()4422-=±；②[]21,1,2y x x =+∈-，y 的值域是[2，5]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数()12(0,1)x f x aa a +=->≠的图象过定点()1,1--；⑤若3log 41,x =则x x -+22的值是433．其中正确的序号是__3,4_________.16．对[1,5],x ∀∈不等式25ax b x≤++≤恒成立，则a b -的最大值是4+43。
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设集合{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+．（1）若A B =∅ ，求m 的范围；（2）若A B A = ，求m 的范围．17．【答案】（1）6m >或32m <-；（2）2m <-或12m -≤≤．【解析】（1）已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =-≤≤+．当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足A B =∅ ；当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，又A B =∅ ，则15m ->或212m +<-，即6m >或322m -≤<-，综上可知，m 的取值范围为6m >或32m <-．（2）∵A B A = ，∴B A ⊆，当B =∅时，有121m m ->+，即2m <-，满足题意；当B ≠∅时，有121m m -≤+，即2m ≥-，且12215m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，综上可知，m 的取值范围为2m <-或12m -≤≤．18.（12分）已知函数()()21f x x ax a =-+-∈R ．（1）若函数()f x 在区间[)21,a -+∞上单调递减，求a 的取值范围；（2）若()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为14-，求a 的值．【答案】（1）23a ≥；（2）3a =．【解析】（1）由题知函数()f x 的对称轴方程为2a x =，()f x 在区间[)21,a -+∞上单调递减，[)21,,2a a ⎡⎫∴-+∞⊆+∞⎪⎢⎣⎭，则212a a -≥，解得23a ≥．（2）由（1）知函数()f x 的对称轴方程为2a x =，当122a ≤，即1a ≤时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()f x 最大值为1512244a f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得2a =，与1a ≤矛盾；当1122a <<，即12a <<时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为211244a af ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得3a =±，舍去3a =-；当12a ≥，即2a ≥时，函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()f x 最大值为()1124f a =-=-，解得74a =，与2a ≥矛盾，综上，3a =．19．（12分）已知函数f (x )=x 2-(a +2)x +4(a ∈R ).（1）若关于x 的不等式f (x )<0的解集为(1,b )，求a 和b 的值；（2）若对∀1≤x ≤4，f (x )≥-a -1恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4,3==b a ；（2）4≤a ．21．（12分）已知()f x 是定义在[5,5]-上的奇函数，且(5)2f -=-，若对任意的m ，[5,5]n ∈-，0m n +≠，都有()()0f m f n m n+>+．（1）若(21)(33)f a f a -<-，求a 的取值范围；（2）若不等式()(2)5f x a t ≤-+对任意[5,5]x ∈-和[3,0]a ∈-都恒成立，求t 的取值范围．【解析】（1）设任意1x ，2x 满足1255x x -≤<≤，由题意可得12121212()()()()()0()f x f x f x f x x x x x +--=-<+-，即12()()f x f x <，所以()f x 在定义域[5,5]-上是增函数，由(21)(33)f a f a -<-，得521553352133a a a a -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得823a <≤，故a 的取值范围为8(2,]3．（2）由以上知()f x 是定义在[5,5]-上的单调递增的奇函数，且(5)2f -=-，得在[5,5]-上max ()(5)(5)2f x f f ==--=，在[5,5]-上不等式()(2)5f x a t ≤-+对[3,0]a ∈-都恒成立，所以2(2)5a t ≤-+，即230at t -+≥，对[3,0]a ∈-都恒成立，令()23g a at t =-+，[3,0]a ∈-，则只需(3)0(0)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即530230t t -+≥⎧⎨-+≥⎩，解得35t ≤，故t 的取值范围为3(,]5-∞．21．（12分）某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形1111D C B A 的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成．已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图）．（1）若设休闲区的长和宽的比1111(1)A B x x B C =>，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数()S x 的解析式；（2）要使公园所占面积最小，则休闲区1111D C B A 的长和宽该如何设计？（1）80000()41608(0)S x x x x=++>；（2）长100米、宽为40米.解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4000，得a ＝2010x.则S(x)＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x )＋4160(x>1)．(2)8010(2x ＋5x )＋4160≥8010×252x x⋅＋4160＝1600＋4160＝5760.当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．22.（12分）已知函数),()(2R b a b a ax x x f ∈+-+=(1)若)(,2x f y b ==在]27,1[∈x 上有意义且不单调，求a 的取值范围.(2)若非空集合}0)(|{≤=x f x A ，}1)1)((|{≤+=x f f x B ，且B A =，求a 的取值范围.22.（1）71220a ⎧<-<⎪⎨⎪∆≤⎩解得[223,2)a ∈---(2)不妨设1)(≤x f 的解集为],[n m 则有，n x f m ≤+≤1)(故有1)(1-≤≤-n x f m 与0)(≤x f 等解1=∴n 即1)1(=f 解得且1--=a m 结合二次函数的图像有4122a a --≤--∴解得2222≤≤-a 又因A 为非空集合，042≥+=∆a a ，解得]22,0[∈a。
浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题1.若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A. {}1,2B. {}|1x x ≤C. {}1,0,1-D. R【答案】A 【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A 考点：集合的交集．2.函数()ln 2f x x x +-=的零点所在的一个区间是（ ） A. ()0,1 B. ()1,2 C. ()2,3 D. ()3,4【答案】B 【解析】 【分析】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【详解】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,且()1ln11210f +-=-<=,()2ln 222ln 20f +-=>=根据零点存在性定理知()ln 2f x x x +-=的零点在区间()1,2内. 故选：B【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.3.已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、、2019x ，且1232019x x x x m ++++=，则不等式()2321x m x m -+-≤的解集为（ ）A. 1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. []0,3C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】【分析】 设1232019x x x x <<<<，利用奇函数关于原点对称，得出函数()y f x =与x 轴的交点也关于原点对称，得出0m =，再将0m =代入不等式解出即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设1232019x x x x <<<<，则函数()y f x =与x 轴的交点关于原点对称，则()202001,2,3,,2019i i x x i -+==，所以12320190m x x x x =++++=，不等式()2321x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤， 因此，不等式()2321x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题. 4.函数2()log (1)f x x =-的图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案．【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ． 故选：C ．【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.5.已知幂函数()()()25mf x m m xm Z =--∈在()0,∞+上单调递减，若62ma -⎛=⎝⎭，1mb -=⎝⎭，12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ） A. b a c << B. c b a << C. c a b << D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()y f x =为幂函数，并结合已知条件求出实数m 的值，再利用指数函数2xy =的单调性得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】由于函数()()()25mf x m m xm Z =--∈幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则2510m m m m Z ⎧--=⎪<⎨⎪∈⎩，解得2m =-， 11163622222ma---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1111224222mb ---⎛⎫== ⎪⎛⎫= ⎪ ⎝⎪⎝⎭⎭，()2121222mc ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由于指数函数2xy =在R 上为增函数，因此，c b a <<，故选：B.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法： （1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较； （2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较； （3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.6.下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A. ||y x x =B. y =C. ||e x y =D.1ln||y x = 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质判断偶函数与单调性即可.【详解】对A,因为||||x x x x --=-,故||y x x =为奇函数,不满足对B, y =[)0,+∞,不满足偶函数对C, ||e x y =为偶函数,且在区间()0,∞+上单调递增,满足题意 对D, 1ln ln ||||y x x ==-为偶函数,但在区间()0,∞+上单调递减,不满足题意. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093【答案】D 【解析】 试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.8.已知()|ln |f x x =，设0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是（ ） A. [)3,+∞B. ()3,+∞C. )22,⎡+∞⎣D.()22,+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()|ln |f x x =的图像分析可得,a b 的关系,再代入关系求解2+a b 的取值范围即可. 【详解】由题意得()()f a f b =,根据图像可知01a b <<<.故ln ln a b -=,即11lnln ,,(0,1)b b a a a ==∈. 故22a b a a +=+,又2a a +在(0,1)a ∈内单调递减,故22131a a +>+=故2+a b 的取值范围是()3,+∞故选：B【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范围的问题,属于基础题型.9.已知函数()x x f x e e -=-，()x xg x e e -=+，则以下结论正确的是（ ）A. 任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B. 任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C. ()f x 有最小值，无最大值D. ()g x 有最小值，无最大值 【答案】D 【解析】 【分析】A ：根据函数解析式直接判断()f x 的单调性，可判断对错；B ：利用奇偶性判断()g x 的单调性，即可判断对错；C ：利用奇偶性和单调性判断最值情况；D ：利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A ：()()21,xxf f x ex e -==-在R 上均是增函数，所以()f x 是R 上增函数，故错误；B ：因为()()()xx g x ee g x x R --=+=∈，所以()g x 是偶函数，所以()g x 在R 上不可能是减函数，故错误； C ：因为()()()()xxf x e ef x x R --=--=-∈，所以()f x 是奇函数，又()f x 在R 上是增函数，所以()f x 无最值，故错误； D ：任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()12121122121212121x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e e e e e e e e e e-------=+-+=-+-=，因为1210x x e e ->，120x x e e -<，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，因为()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0f x f =，无最大值，故正确. 故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等. 10.已知()f x ，()g x 都是偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，设函数()()(1)()(1)F x f x g x f x g x =+----，若0a >，则（ ）A. ()()F a F a -≥且()()11F a F a +≥-B. ()()F a F a -≥且()()11F a F a +≤-C. ()()F a F a -≤且()()11F a F a +≥-D. ()()F a F a -≤且()()11F a F a +≤- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，2(1),()(1)(){2(),? ()(1)g x f x g x F x f x f x g x -≥-=<-，∴2(1),()()(1)(){2(),? ()?()(1)g a f a f a g a F a f a f a f a g a +=-≥+-=-=-<+，2(1),()(1)(){2(),? ()(1)g a f a g a F a f a f a g a -≥-=<-，∵0a >，∴22(1)(1)40a a a +--=>，∴11(1)(1)a a g a g a +>-⇒+>-，∴若()(1)f a g a >+：()2(1)F a g a -=+，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a ->， 若(1)()(1)g a f a g a -≤≤+：()2()2()F a f a f a -=-=，()2(1)F a g a =-，∴()()F a F a -≥，若()(1)f a g a <-：()2()2()F a f a f a -=-=，()2()F a f a =，∴()()F a F a -=， 综上可知()()F a F a -≥，同理可知(1)(1)F a F a +≥-，故选A. 考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1a -与1a +大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上. 二、填空题11.计算：1038π+=________；392log 6log 16-=________．【答案】 (2). 2 【解析】 【分析】根据指数对数与根式的运算化简即可.【详解】1103338(2)11211π+=+-=-=2223933333322log 6log 162log 6log 4log 6log 4lo 36924g log 2-=-=-===故答案为： , (2) 2【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型. 12.函数()122x f x -=的定义域为________，值域为________． 【答案】 (1). ()(),22,-∞+∞ (2). ()()0,11,+∞【解析】 【分析】(1)利用分母不为0进行计算. (2)先求出指数12x -的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可. 【详解】(1)由分母不为0有20x -≠,即()(),22,x ∈-∞+∞(2)因为12x -为1x往右平移2个单位所得,故1(,0)(0,)2x ∈-∞⋃+∞- 故()()()120,,211x f x -∈∞=+【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.13.若0a >，1a ≠，则函数()()23log 1a f x x =++的图象恒过定点________；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是________． 【答案】 (1). ()0,3 (2). (),0-∞ 【解析】 【分析】(1)令()()23log 1a f x x =++中真数211x +=求解即可.(2)利用同增异减的关系, ()f x 的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同即可. 【详解】(1)令211x +=又0x =,又()()203log 013a f =++=,故图象恒过定点()0,3(2) 当1a >时log a x 为增函数,故()()23log 1a f x x =++的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同,为(),0-∞故答案为：(1) ()0,3 (2). (),0-∞【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型. 14.已知函数()|1|f x x x a =--，x ∈R 有三个零点1x 、2x 、3x ，则实数a 的取值范围是________；123x x x ++的取值范围是________． 【答案】 (1). 104a << (2). 322,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数()|1|g x x x =-画出图像再分析与y a = 的交点个数即可.(2)根据图像分析得121x x =+,再分析3x 的范围即可. 【详解】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数(1),1()1(1),1x x x g x x x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩,画出函数()g x 的图像.易得当12x =为抛物线上顶点为11(,)24又()f x 有三个零点1x 、2x 、3x ,即()g x 与y a =有三个交点,故104a <<(2)有图像得12122x x +=,即121x x =+,当14a =时, 2111(1),442x x x x -=-+=即211()22x -=,此时312x =,故31(1,)2x ∈故123x x x ++∈故答案为：(1). 104a <<(2). 32,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】3- 【解析】 【分析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3f f x =，结合())2f x a f+≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值.【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f +≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得3a ≤-，因此，实数a 的最大值为3-故答案为：【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.16.对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x ∈R 恒成立，则称()f x 为关于a 的“τ函数”．已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“τ函数”，且当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]1,2，则当[]2,2x ∈-时，()f x 的取值范围为________． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据题意列出()()1f x f x ⋅-=和()()111f x f x +⋅-=再代换求出函数的周期,再将自变量转换到[]0,1x ∈内分析即可.【详解】当1a =时, ()()111f x f x +⋅-=,所以()()21f x f x +⋅-=.当0a =时, ()()1f x f x ⋅-=,故()()2f x f x +=,故函数()f x 是以2为周期的周期函数. 又当[]1,2x ∈时, []20,1x -∈,所以()[]221,f x -∈. 又()()21f x f x +⋅-=,所以()[]1,11(,(21,2)2)f x f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦=∈-.所以当[]0,2x ∈时, 1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,结合周期性知, 当[]2,2x ∈-时1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判定以及函数范围的判定.属于中等题型.17.已知,x y R ∈满足()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若对任意的0t >，k t x y t +≥+恒成立，则实数k 的最小值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】观察()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-,分析其性质得出,x y 的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设3()(2)2019(2)f x x x =-+-,则()f x 为3()2019g x x x =+往右平移两个单位得来.又3()2019g x x x =+为单调递增的奇函数,且关于(0,0)对称. 故3()(2)2019(2)f x x x =-+-为单调递增的函数且关于(2,0)对称.又()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可知(,1),(,1)x y -关于(2,0)对称.故22x y += , 即4x y +=.又对任意的0t >,4kt x y t+≥+=恒成立.即240t t k -+≥恒成立.故判别式2440k ∆=-≤,得4k ≥.故k 的最小值为4. 故答案：4【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-进行分析是关键,属于难题.三、解答题18.设全集U =R ,集合{}|14A x x =<≤，{}22|560B x x ax a =++≤,（1）若1a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3B A ⋂=,U B C A ⋂=∅，(2）4132a -<≤- 【解析】试题分析：（1）代入1a =-，得到集合B ，即可求解集合B A ⋂和U B C A ⋂；（2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，分类0a =，0a >和0a <讨论，即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：（1）当1a =-时，此时{}2|560{|23}B x x x x x =-+≤=≤≤， 所以{|23}B A x x ⋂=≤≤，又{|1U C A x x =<或4}x ≥，所以U B C A φ⋂=. （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，当0a =时，{}{}2|00B x x =≤=，此时不满足题意，舍去；当0a >时，{|32}B x a x a =-≤≤-，此时不满足题意，舍去；当0a <时，{|23}B x a x a =-≤≤-，则满足2134a a -≥⎧⎨-<⎩，解得1243a a⎧≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，即1423a -≤<-，综上所述，实数a 的取值范围是1423a -≤<-. 19.某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？【答案】（1）()()1,04f x x x =≥，()()0g x x =≥， （2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元。
浙江省余姚中学高一上学期期中考试数学试题
余姚中学 高一数学期中测试试卷(时间：120分钟 满分：150分) 命题：( 本场考试不准使用计算器 ) 审题： 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ▲ ）．A.2x y = B.xx y 2= C.)10(log ≠>=a a a y x a 且 D.xa a y log =2．下列表示图形中的阴影部分的是（ ▲ ）． A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C3．函数()(ln 2f x x = 的奇偶性是（ ▲ ）．A.奇函数B. 偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数也是偶函数4．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ▲ ）． A. 60.70.70.7log 66<< B. 60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<<5．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ▲ ）． A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21xx+- 6．已知函数(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是（ ▲ ）．A ． 1(0,)3 B ．[11,)73 C ．11(,)73 D ．[1,1)77．定义在()1,1- 上的函数 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1；当()()1,00.x f x ∈->时若()111,,05112P f f Q f R f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；则,,P Q R 的大小关系为（ ▲ ）． A ．R Q P >> B. R P Q >> C. P R Q >> D. Q P R >>8．已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-+，则不等式[()]()f f x f x <的A BC解集为（ ▲ ）．A ．(](3,0)3,4-B ．(4,3)(1,2)(2,3)--C ．(1,0)(1,2)2,3-（）D ．(4,3)(1,0)(1,3)---二、填空题：本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每小题4分，共36分,请将答案填在相对应空格．9.已知集合22{|430},{|log 1}M x x x N x x =-+<=<，则MN = ▲ ，M N =▲ ,R C M = ▲ ．10．函数212log (32)y x x =--的单调增区间为 ▲ ，值域为 ▲ ．11．已知函数(1)y f x =-的定义域为[2,3)-，值域是[1,2)-，则(2)f x +的值域是 ▲ ，2(log )f x 的定义域是 ▲ ．12．已知122,0()|log |,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((1))f f -= ▲ ，方程()4f x =的解是 ▲ ．13．已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数31,0(),9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩若关于x 的方程2(2)f x x a +=有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．围三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. （本小题满分14分）计算： (1) 4132161)()9--++；(2) 2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭．17. （本小题满分15分）设全集2,{|200},{||25|7}U R A x x x B x x ==+-<=+>，22{|320}C x x mx m =-+<． (1)若()C A B ⊆，求m 的取值范围；(2)若()()U U C A C B C ⊆，求m 的取值范围．18. （本小题满分15分）已知函数32()32x xx xf x ---=+． (1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断并证明()f x 的单调性，写出()f x 的值域．19.（本小题满分15分） 已知函数22()(2)(2)xxf x a a -=-++，[1,1]x ∈-．⑴求()f x 的最小值（用a 表示）；⑵关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分15分）已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（1）若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）求()|()|()h x f x g x =+在[2,2]-上的最大值.余姚中学高一数学期中测试参考答案7.【解析】令0x y ==，则可得(0)0f =，令0x =，则()()f y f y -=-，即()f x 为奇函数，令10x y >>>，则01x yxy ->-，所以()()01x y f x f y f xy ⎛⎫--=< ⎪-⎝⎭，即()()0,1x f x ∈时递减， 又1111112511()1151151171511P f f f f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪+⨯⎝⎭，因2172<，所以21()()72f f >，即0P Q >>，故选B 。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期期中数学试题Word版含解析
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．若集合{}|0A x x =≥，且，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R【答案】A【解析】试题分析：由A B B ⋂=知B A ⊆，故选A 【考点】集合的交集．2．函数()ln 2f x x x +-=的零点所在的一个区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,故代入区间端点逐个计算,左负右正即可. 【详解】因为()ln 2f x x x +-=为增函数,且()1ln11210f +-=-<=,()2ln 222ln 20f +-=>= 根据零点存在性定理知()ln 2f x x x +-=的零点在区间()1,2内. 故选：B 【点睛】本题主要考查零点存在性定理.属于基础题型.3．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、、2019x ，且1232019x x x x m ++++=L ，则不等式()2321x m x m -+-≤的解集为（ ） A ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]0,3C ．(),0-∞D ．∅【答案】A【解析】设1232019x x x x <<<<，利用奇函数关于原点对称，得出函数()y f x =与x 轴的交点也关于原点对称，得出0m =，再将0m =代入不等式解出即可.【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()00f =， 设1232019x x x x <<<<，则函数()y f x =与x 轴的交点关于原点对称，则()202001,2,3,,2019i i x x i -+==L ，所以12320190m x x x x =++++=L ， 不等式()2321x m x m -+-≤，即为23210x x --≤，解得113x -≤≤， 因此，不等式()2321x m x m -+-≤的解集为1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是利用奇偶性求出零点之和，考查计算能力，属于中等题. 4．函数2()log (1)f x x =-的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题中函数知，当x ＝0时，y ＝0，图象过原点，又依据对数函数的性质知，此函数是减函数，根据此两点可得答案． 【详解】观察四个图的不同发现，A 、C 、D 图中的图象过原点， 而当x ＝0时，y ＝0，故排除B ；又由定义域可知x<1,排除D ． 又由函数的单调性知，原函数是减函数，排除A ． 故选：C ． 【点睛】本题考查对数函数的图象的识别，经常利用函数的性质及特殊函数值进行排除，属于基础题.5．已知幂函数()()()25mf x m m xm Z =--∈在()0,∞+上单调递减，若62ma -⎛= ⎝⎭，12mb -⎛= ⎝⎭，12mc -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等关系正确的是（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】根据函数()y f x =为幂函数，并结合已知条件求出实数m 的值，再利用指数函数2xy =的单调性得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由于函数()()()25mf x m m xm Z =--∈为幂函数，且在()0,∞+上单调递减，则2510m m m m Z ⎧--=⎪<⎨⎪∈⎩，解得2m =-，1116362222ma ---⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，111122422mb ---⎛⎫== ⎪=⎝⎝⎭⎭，()2121222mc ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭，由于指数函数2xy =在R 上为增函数，因此，c b a <<，故选：B. 【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，同时也考查了利用指数函数的单调性比较同底数指数幂的大小关系，在比较指数幂的大小关系时，常用以下几种方法： （1）底数相同时，利用同底数的指数函数单调性比较； （2）指数相同时，利用同指数的幂函数的单调性比较； （3）底数不同，指数也不同时，可利用中间值法来比较.6．下列函数中，是偶函数且在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．||y x x = B．y =C ．||e x y = D ．1ln||y x = 【答案】C【解析】根据函数性质判断偶函数与单调性即可. 【详解】对A,因为||||x x x x --=-,故||y x x =为奇函数,不满足 对B, y =[)0,+∞,不满足偶函数对C, ||e x y =为偶函数,且在区间()0,∞+上单调递增,满足题意对D, 1ln ln ||||y x x ==-为偶函数,但在区间()0,∞+上单调递减,不满足题意. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断等,属于基础题型.7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 8．已知()|ln |f x x =，设0ab <<，且()()f a f b =，则2+a b 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．)⎡+∞⎣D ．()+∞【答案】B【解析】根据函数()|ln |f x x =的图像分析可得,a b 的关系,再代入关系求解2+a b 的取值范围即可. 【详解】由题意得()()f a f b =,根据图像可知01a b <<<.故ln ln a b -=,即11lnln ,,(0,1)b b a a a ==∈. 故22a b a a +=+,又2a a +在(0,1)a ∈内单调递减,故22131a a +>+=故2+a b 的取值范围是()3,+∞故选：B 【点睛】本题主要考查对数函数的图像与零点问题.同时也考查了利用单调性求解函数取值范围的问题,属于基础题型.9．已知函数()x x f x e e -=-，()x xg x e e -=+，则以下结论正确的是（ ）A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【答案】D【解析】A ：根据函数解析式直接判断()f x 的单调性，可判断对错； B ：利用奇偶性判断()g x 的单调性，即可判断对错； C ：利用奇偶性和单调性判断最值情况； D ：利用奇偶性和单调性判断最值情况. 【详解】A ：()()21,xxf f x ex e -==-在R 上均是增函数，所以()f x 是R 上增函数，故错误；B ：因为()()()xx g x ee g x x R --=+=∈，所以()g x 是偶函数，所以()g x 在R 上不可能是减函数，故错误； C ：因为()()()()xxf x e ef x x R --=--=-∈，所以()f x 是奇函数，又()f x 在R上是增函数，所以()f x 无最值，故错误； D ：任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，所以()()()()()()()12121122121212121x x x x x x x x x x x x x x e e e e g x g x e e e e e e e e e e -------=+-+=-+-=，因为1210x x e e ->，120x x e e -<，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，因为()g x 是偶函数，所以()g x 在(),0-∞上单调递减，所以()()min 0f x f =，无最大值，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性、最值、奇偶性的综合应用，难度一般.奇函数在对称区间上的单调性是相同的，并且在对称区间上如果有最值，则最值互为相反数；偶函数在对称区间上的单调性相反，并且在对称区间上如果有最值，则最值相等. 10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，∴，， ∵，∴，∴， ∴若：，，∴，若：，，∴，若：，，∴，综上可知，同理可知，故选A.【考点】1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致与大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.二、填空题11．计算：1038π=________；392log 6log 16-=________．2【解析】根据指数对数与根式的运算化简即可. 【详解】113338(2)11211π+=+--=-=2223933333322log 6log 162log 6log 4log 6log 4lo 36924g log 2-=-=-===故答案为：(1) , (2) 2【点睛】本题主要考查指数对数的基本运算,包括换底公式等,属于基础题型. 12．函数()122x f x -=的定义域为________，值域为________．【答案】()(),22,-∞+∞ ()()0,11,+∞【解析】(1)利用分母不为0进行计算. (2)先求出指数12x -的范围,再根据指数函数的反正求解值域即可. 【详解】(1)由分母不为0有20x -≠,即()(),22,x ∈-∞+∞U (2)因为12x -为1x往右平移2个单位所得,故1(,0)(0,)2x ∈-∞⋃+∞- 故()()()120,,211x f x -∈∞=+【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的定义域与值域问题等,属于基础题型.13．若0a >，1a ≠，则函数()()23log 1a f x x =++的图象恒过定点________；当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是________．【答案】()0,3 (),0-∞【解析】(1)令()()23log 1a f x x =++中真数211x +=求解即可.(2)利用同增异减的关系, ()f x 的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同即可. 【详解】(1)令211x +=又0x =,又()()203log 013a f =++=,故图象恒过定点()0,3(2) 当1a >时log a x 为增函数,故()()23log 1a f x x =++的单调递减区间与21x +的单调递减区间相同,为(),0-∞ 故答案为：(1) ()0,3 (2). (),0-∞ 【点睛】本题主要考查了对数函数的定点问题,复合函数的单调性问题,属于基础题型.14．已知函数()|1|f x x x a =--，x ∈R 有三个零点1x 、2x 、3x ，则实数a 的取值范围是________；123x x x ++的取值范围是________．【答案】104a <<⎛ ⎝⎭【解析】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数()|1|g x x x =-画出图像再分析与y a = 的交点个数即可.(2)根据图像分析得121x x =+,再分析3x 的范围即可. 【详解】(1)令()|1|0f x x x a =--=,则|1|x x a -=,设函数(1),1()1(1),1x x x g x x x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩, 画出函数()g x 的图像.易得当12x =为抛物线上顶点为11(,)24又()f x 有三个零点1x 、2x 、3x ,即()g x 与y a =有三个交点,故104a <<(2)有图像得12122x x +=,即121x x =+,当14a =时, 2111(1),442x x x x -=-+=即211()22x -=,此时3x =,故3x ∈ 故1233(2,)2x x x +++∈故答案为：(1). 104a << (2). 32,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时()2f x x =，对任意的[]1,1x a a ∈-+，恒有()()23f x a f x +≥，则实数a 的最大值为_____．【答案】【解析】写出函数()y f x =的解析式，判断出函数()y f x =在R 上单调递减，由)()3ff x =，结合())2f x a f +≥，可得出2x a +≤在区间[]1,1a a -+上恒成立，于是得出))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，从而解出实数a 的取值范围，得出a 的最大值. 【详解】由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()()22f x f x x x =--=--=-，()22,0,0x x f x x x ⎧≤∴=⎨->⎩，易知函数()y f x =在R 上单调递减，又)()3ff x =，由()())23f x a f x f +≥=，得2x a +≤，即)21a x ≤在[]1,1x a a ∈-+上恒成立，则))()min2111a x a ⎡⎤≤=-⎣⎦，化简得()31a ≤-，解得a ≤，因此，实数a 的最大值为故答案为：3-. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题，解题时要充分分析函数单调性与奇偶性，并将不等式转化为()()12f x f x ≤，利用函数()y f x =的单调性求解，考查化归与转化思想的应用，属于难题.16．对于定义在R 上的函数()f x ，如果存在实数a ，使得()()1f a x f a x +⋅-=对任意实数x ∈R 恒成立，则称()f x 为关于a 的“τ函数”．已知定义在R 上的函数()f x 是关于0和1的“τ函数”，且当[]0,1x ∈时，()f x 的取值范围为[]1,2，则当[]2,2x ∈-时，()f x 的取值范围为________． 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据题意列出()()1f x f x ⋅-=和()()111f x f x +⋅-=再代换求出函数的周期,再将自变量转换到[]0,1x ∈内分析即可. 【详解】当1a =时, ()()111f x f x +⋅-=,所以()()21f x f x +⋅-=.当0a =时, ()()1f x f x ⋅-=,故()()2f x f x +=,故函数()f x 是以2为周期的周期函数.又当[]1,2x ∈时, []20,1x -∈,所以()[]221,f x -∈. 又()()21f x f x +⋅-=,所以()[]1,11(,(21,2)2)f x f x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦=∈-.所以当[]0,2x ∈时, 1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦,结合周期性知, 当[]2,2x ∈-时1,22()f x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查抽象函数的周期性运用,需要代换自变量到合适的区间进行周期性的判定以及函数范围的判定.属于中等题型.17．已知,x y R ∈满足()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，若对任意的0t >，k t x y t +≥+恒成立，则实数k 的最小值为________． 【答案】4【解析】观察()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-,分析其性质得出,x y 的关系再进行不等式恒成立的运用即可.【详解】设3()(2)2019(2)f x x x =-+-,则()f x 为3()2019g x x x =+往右平移两个单位得来.又3()2019g x x x =+为单调递增的奇函数,且关于(0,0)对称. 故3()(2)2019(2)f x x x =-+-为单调递增的函数且关于(2,0)对称.又()()()()3322019212201921x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩可知(,1),(,1)x y -关于(2,0)对称.故22x y += , 即4x y +=.又对任意的0t >,4kt x y t+≥+=恒成立.即240t t k -+≥恒成立.故判别式2440k ∆=-≤,得4k ≥.故k 的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查函数的对称性与恒成立问题.其中构造函数3()(2)2019(2)f x x x =-+-进行分析是关键,属于难题.三、解答题18．设全集U =R ,集合{}|14A x x =<≤，{}22|560B x x ax a =++≤,（1）若1a =-，求B A ⋂，U B C A ⋂； （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]2,3B A ⋂=,U B C A ⋂=∅，(2）4132a -<≤- 【解析】试题分析：（1）代入1a =-，得到集合B ，即可求解集合B A ⋂和U B C A ⋂； （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，分类0a =，0a >和0a <讨论，即可求解实数a 的取值范围.试题解析：（1）当1a =-时，此时{}2|560{|23}B x x x x x =-+≤=≤≤， 所以{|23}B A x x ⋂=≤≤，又{|1U C A x x =<或4}x ≥，所以U B C A φ⋂=. （2）由A B A ⋃=，则B A ⊆，当0a =时，{}{}2|00B x x =≤=，此时不满足题意，舍去；当0a >时，{|32}B x a x a =-≤≤-，此时不满足题意，舍去；当0a <时，{|23}B x a x a =-≤≤-，则满足2134a a -≥⎧⎨-<⎩，解得1243a a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩，即1423a -≤<-，综上所述，实数a 的取值范围是1423a -≤<-. 19．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 与投资x 成正比，其关系如图甲，B 产品的利润y 与投资x 的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位为万元).()1分别将A ，B 两种产品的利润y 表示为投资x 的函数关系式；()2该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产.问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）()()1,04f x x x =≥，()()0g x x =≥， （2）当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为6516万元。
浙江省宁波市余姚中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题参考答案
余姚中学2024学年第一学期期中测试高一数学学科参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．CCCBDBAD二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.BC10.ACD11．ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(1,2]-13.（1）12（2）1114.1(,1)(,0)(1,)2-∞--+∞ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设命题:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足302x x -≤-．（1）若1a =，且p 是真命题，求实数x 的取值范围；（2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由命题:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，当1a =时，即命题()():130p x x --<，解得13x <<........................6分(2)命题:p 实数x 满足()()30x a x a --<，解得3a x a <<，命题:q 实数x 满足302x x -≤-，解得23x <≤．..........................9分因为q 是p 的充分不必要条件，则满足233a a ≤⎧⎨>⎩，解得12a <≤，所以实数a 的取值范围为(1,2]．..........................13分16.据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加．（1）求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；（2）写出y （珍稀鸟类的个数）关于x （经过的年数）的函数关系式；（3）约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上？（结果为整数）(参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈)解:（1）依题意，两年后这种鸟类的个数为21000(18%)1166⋅+≈...........................4分（2）由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1000只，并以平均每年8%的速度增加，则所求的函数关系式为1000 1.08x y =⨯，x ∈N ..........................8分（3）令10001.0831000x ⨯≥⨯，得：1.083x ≥两边取常用对数得：lg1.08lg3x ≥，.......................................................4分即lg1.08lg3x ≥考虑到lg1.080>，故lg 3lg1.08x ≥，故lg 3lg 3108lg1082lg 100x ≥=-因为32lg108lg(32)3lg32lg 2=⨯=+所以lg 30.477114.33lg 32lg 2230.477120.3012x ≥≈≈+-⨯+⨯-........................14分约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上..................15分17.已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求,a b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围.解：（1）因为()f x 在定义域R 上是奇函数.所以(0)0f =，即102b a-+=+，所以1b =．又由(1)(1)f f -=-，即111214a a-+-=++，所以2a =，检验知，当2a =，1b =时，原函数是奇函数...............4分（2）()f x 在R 上单调递减.证明：由（1）知11211()22221xx xf x +-==+++，任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，因为函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <，所以12220x x -<，又()()1221210x x++>，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递减......................................9分（3）因为()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)(12)f kx f x f x >--=-，...........................................10分因为()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，.........................11分即对一切1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有212x k x -<恒成立，设221211()2()x g x x x x -==-⋅，令1t x =，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦则有2()2h t t t =-，1,23t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以min min ()()(1)1g x h t h ===-，所以1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-....................................15分18.已知a R ∈，函数()||f x x x a =-.（1）当2a =时，求使()f x x ≥成立的x 的集合；（2）若()y f x =在区间[12]，的最大值为2，求实数a 的值;（3）求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.（1）222,22,()22,2x x x a f x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-+<⎪⎩..........1分（2）2y x ax=-(i)当(1)12f a =-=时，13a =-或1a =-时，2()f x x x =+在区间[12]，的最大值(2)6f =，舍3a =时，2()3f x x x =-在区间[12]，的最大值39()24f =，舍...............6分（ii ）当(2)422f a =-=时，13(a a ==或舍）1a =时2()f x x x =-在区间[12]，的最大值(2)2f =，成立..................7分（iii）222()2,[1,2],[2,4]24242a a a a af a =-==∈∈时28,a a ==，此时2()f x x =-在区间[12]，的最大值2f =，成立...........................9分1a ∴=或....................................10分................................11分.......................12分 (14)分........................................16分min1,13()0,1224,23a a a f x a a a -≤≥⎧⎪∴=<<⎨⎪-≤<⎩或........................17分19.已知函数2()log (41)x f x ax =++是偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若函数22222xx f x g x m +⋅﹣（）（）＝的最小值为﹣3，求实数m 的值；（3）若关于x 的方程20[1[12]4]f x k f x k k k +-++（）-（）-＝有两根，求实数k 的取值范围.解：（1），而∴2ax +2x ＝0⇒a ＝﹣1；...................................4分（2），∴，故函数g （x ）＝22x +2﹣2x+m （2x +2﹣x ）的最小值为﹣3，令2x +2﹣x ＝t （t ≥2），...........................................6分故h （t ）＝t 2+mt ﹣2（t ≥2）的最小值为﹣3，则，或，...............................8分解得；..........................................9分（3）由，令，故当x ≥0时，函数f （x ）单调递增，由函数f （x ）为偶函数，可知函数f （x ）的增区间为[0，+∞），减区间为（﹣∞，0），令n ＝f （x ）﹣1，有n ≥f （0）﹣1＝log 22﹣1＝0，方程[f （x ）﹣1+k ][f （x ）﹣1﹣4k ]+2k 2+k ＝0（记为方程①）可化为（n +k ）（n ﹣4k ）+2k 2+k ＝0，整理为n 2﹣3kn ﹣2k 2+k ＝0（记为方程②），.............................11分Δ＝9k 2﹣4（﹣2k 2+k ）＝17k 2﹣4k ，（i ）当Δ＝0时，k ＝0时，方程②的解为n ＝0，可得方程①仅有一个解为x ＝0；时，方程②的解为，可得方程①有两个解； (13)分（ii ）当Δ＞0时，可得或k ＜0，令()g n =n 2﹣3kn ﹣2k 2+k ，则()g n 一正一负两根，2(0)20g k k =-+<102k k ∴><或.............................................16分∴或k ＜0或......................................17分（若令(),f x n =则22()(32)241h n n k n k k =-+-++，方法类似）。
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x∈Z|−2⩽x<3},B={0,2,4}，则A∩B=()A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2.已知函数f(x)=lg(x−1)+x−3，则函数f(x)的零点所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)3.已知f(x)是奇函数，且当x≥0时，f(x)=−x2+x，则不等式xf(x)<0的解集为()A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)4.关于函数f(x)=log3x，下列说法正确的是()A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 图象关于x轴对称D. 图象关于点对称5.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2) x2−m在上单调递增，则m的值为()A. −1B. −1或3C. 1或−3D. −36.下列函数是奇函数且在区间(1,+∞)上单调递增的是()A. f(x)=−x3B. f(x)=√xC. f(x)=x+1x D. f(x)=ln1−x1+x7.常见的三阶魔方约有4.3×1019种不同的状态，将这个数记为A，二阶魔方有560×38种不同的状态，将这个数记为B，则下列各数与AB 最接近的是()(参考数据：log310≈2.1，4.3560≈0.6×3−4)A. 0.6×3−28B. 0.6×1028C. 0.6×328D. 0.6×3328.已知函数f(x)=lnx+(a−2)x−a+3，(a>0)，若f(x)>0有且只有一个整数解，则a的取值范围是()A. (0,1−ln2)B. (0,1−ln2]C. [1−ln2,2)D. (1−ln2,2)9.已知x>0，函数f(x)=(e x−a)2+(e−x+a)2e x−e−x的最小值为6，则a=()A. −2B. −1或7C. 1或−7D. 210.若f(x)是偶函数，则f(x)=f(−x)=f(|x|).()A. 正确B. 错误二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.计算：_______ ；e0+√(1−√2)2−816=_______．12.函数f(x)=x−43−x的值域为______ ．13.函数f(x)=log a(6−ax)在[1,3]上单调递减，则实数a的取值范围是______。
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合A ={x|1<x <2}，B ={x|x <a}，若A ⊆B ，则a 的范围是( ) A.a ≥1 B.a ≥2 C.a ≤2 D.a ≤12. “关于x 的不等式x 2−2ax +a >0的解集为R ”的一个必要不充分条件是（ ） A.0<a <13B.0<a <1C.a <0或a >13D.0≤a ≤13. 把根式x √−x 化成分数指数幂是（ ） A.−(−x)32B.(−x)32C.x 32D.−x 324. 若−1<x <0，那么下列各不等式成立的是（ ）A.2x <0.2x <2−xB.2−x <2x <0.2xC.0.2x <2−x <2xD.2x <2−x <0.2x5. 下列函数中值域为(0, +∞)的是( ) A.y =(13)1−xB.y =512−xC.y =√(12)x −1D.y =√1−2x6. 已知偶函数f(x)的图象经过点(−1, −3)，且当0≤a <b 时，不等式f(b)−f(a)b−a<0恒成立，则使得f(x −2)+3<0成立的x 的取值范围为（ ） A.(1, 3) B.(3, +∞)C.[1, 3]D.(−∞, 1)∪(3, +∞)7. 设f(x)={k 2x +a 2−k(x ≥0)x 2+(a 2+4a)+3(3−a)2，其中a ∈R ．若对任意的非零实数x 1，存在唯一的非零实数x 2(x 1≠x 2)，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则k 的取值范围为（ ） A.[−4, 0] B.RC.[−33, −9]D.[9, 33]8. 已知关于x 的不等式组{x 2−2x −8>02x 2+(2k +7)x +7k <0仅有一个整数解，则k 的取值范围为（ ）A.[−5, 3)∪(4, 5]B.(−5, 3)∪(4, 5)C.(−5, 3]∪[4, 5)D.[−5, 3]∪[4, 5]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−∞, −2)∪(3, +∞)，则（ ） A.不等式bx +c >0的解集是{x|x <−6} B.a >0 C.a +b +c >0D.不等式cx 2−bx +a <0的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.(a +b)(1a+1b )≥4B.a +b +√ab≥2√2C.22√ab≥2√abD.2aba+b>√ab已知函数f(x)={ax,x ≥0x 2−ax ，x <0，若函数的值域为[0, +∞)，则下列的a 值满足条件的是（ ）A.a =−3B.a =12C.a =0D.a =4已知函数f(x)=22x −2x+1+2，定义域为M ，值域为[1, 2]，则下列说法中一定正确的是（ ） A.M ⊆(−∞, 1]B.M =[0, 2]C.0∈MD.1∈M三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{﹣1，0，2，4}，N ＝{0，2，3，4}，则M ∪N 等于（ ） A ．{0，2} B ．{2，4}C ．{0，2，4}D ．{﹣1，0，2，3，4}2．设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知扇形的周长为30cm ，圆心角为3rad ，则此扇形的面积为（ ） A ．9cm 2 B ．27cm 2C ．48cm 2D ．54cm 24．函数f(x)=|x 2−1|x的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知函数f （x ）＝log 2（2﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （2x ）的定义域为（ ） A ．[0，+∞）B ．[0，2）C ．[0，1）D ．（﹣∞，1）6．某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，为使产品达到市场要求，至少应过滤的次数为（ ）提示：lg 2≈0.3010、lg 3≈0.4771． A ．6B ．7C ．8D ．97．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，若a ＝f （log 153•log 155），b =f(cos 11π4)，c ＝f （50.1），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知函数f(x)={ln(x +1)+m ，x ≥0ax −b +1，x ＜0(m ＜−1)，对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f（s ）＝f （t ），且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m 2)有3个不相等的实数根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+x 2﹣x 3的取值范围是（ ） A ．（1﹣e 2，+∞） B ．（﹣∞，1﹣e 2） C ．(12−e 2，0)D ．(−∞，12−e 2)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．π10化成角度是18° B ．﹣120°化成弧度是−56π C ．﹣330°与750°的终边相同D ．若sinθ⋅cosθ=12，则tanθ+cosθsinθ=2 10．用二分法求函数f （x ）＝x 3+x 2﹣2x ﹣2的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝﹣2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈﹣0.984，f （1.375）≈﹣0.260，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在（1.25，1.5）上有零点 B ．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.3125）D ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.4375）11．函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)，以下四个结论正确的是（ ） A ．f （x ）的值域是（﹣1，1）B ．函数y ＝f （x ）的图像与函数g(x)=log 2x+1x−1图像的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…，（x m ，y m ），则x 1+x 2+x 3+…+x m ＝2C ．若规定f 1（x ）＝f （x ），f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则对任意的n ∈N *，f n (x)=x1+n|x| D ．对任意的x ∈[﹣1，1]，若函数f(x)≤t 2−2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≤﹣2或t ≥2 12．已知x ，y ＞0，x +2y +xy ﹣6＝0，则（ ） A ．xy 的最大值为√2B ．x +2y 的最小值为4C ．x +y 的最小值为4√2−3D ．（x +2）2+（y +1）2的最小值为16三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角α的终边经过点（m ，2m ）（m ＞0），则sin α＝ ． 14．lg25+23lg8−3log 23×log 32+2log 23= ． 15．已知函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x（a ＜103且a ≠3）是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 ．16．若定义在区间[﹣2021，2021]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）﹣2023，且x ＞0时，有f （x ）＞2023，f （x ）的最大值为M ，最小值为N ，则f （0）＝ ，M +N 的值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合M ={x|18＜2x ＜32}，N ＝{x |0＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ＜2a ﹣1}． （1）求M ∩N ；（2）若M ∪C ＝M ，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知tanα+1tanα=52，α∈(0，π4)． （1）求tan α的值；（2）求2sin 2(3π−α)−3cos(π2+α)sin(3π2−α)+2的值． 19．（12分）已知函数f(x)={1−1x ，x ≥1，1x−1，0＜x ＜1．（1）若关于f （x ）的方程f （x ）＝a 有解，求实数a 的取值范围；（2）若存在正实数a ，b （a ＜b ），使得函数f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求实数m 的取值范围．20．（12分）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，如表显示的是某企业几年来利润y （百万元）与年投资成本x （百万元）变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝﹣x +b ；②y ＝ab x （a ≠0，b ＞0，且b ≠1）；③y ＝log a （x +b ）（a ＞0，且a ≠1）．（1）选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润6百万元时，该企业是否要考虑转型．21．（12分）已知函数f（x）＝log2（4x+1）．（1）解关于x的方程[f（x）+1][f（x）﹣1]＝3；（2）设函数g（x）＝2f（x）+12f(x)−1−2b(2x+2−x)−1+b2(b∈R)，若g（x）在1≤x≤2上的最小值为2，求b的值．22．（12分）已知函数g(x)=lg(√x2+a−x)，若g（x）是定义在R上的奇函数．（1）求实数a的值；（2）判断函数g（x）的单调性，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f(x)=1−2|x−12|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．2023-2024学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{﹣1，0，2，4}，N ＝{0，2，3，4}，则M ∪N 等于（ ） A ．{0，2} B ．{2，4}C ．{0，2，4}D ．{﹣1，0，2，3，4}解：∵集合M ＝{﹣1，0，2，4}，N ＝{0，2，3，4}，∴M ∪N ＝{﹣1，0，2，3，4}． 故选：D ．2．设x ∈R ，则“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：由x 2﹣5x ＜0，得0＜x ＜5；由|x ﹣1|＜1，得﹣1＜x ﹣1＜1，即0＜x ＜2． ∵（0，5）⊃（0，2），由“|x ﹣1|＜1”⇒“x 2﹣5x ＜0”，反之不成立． ∴“x 2﹣5x ＜0”是“|x ﹣1|＜1”的必要不充分条件． 故选：B ．3．已知扇形的周长为30cm ，圆心角为3rad ，则此扇形的面积为（ ） A ．9cm 2B ．27cm 2C ．48cm 2D ．54cm 2解：令扇形的半径为r ，则2r +3r ＝5r ＝30⇒r ＝6cm ， 所以此扇形的面积为12×3×62=54cm 2．故选：D ． 4．函数f(x)=|x 2−1|x的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．解：因为函数f(x)=|x 2−1|x的定义域{x |x ≠0}， f （﹣x ）=−|x 2−1|x=−f （x ）， 所以f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ； 当x ＞0时，f （x ）＞0，排除选项C ； 当x →+∞时，f （x ）→+∞，排除选项B ． 故选：D ．5．已知函数f （x ）＝log 2（2﹣x ）的值域为（﹣∞，1]，则函数f （2x ）的定义域为（ ） A ．[0，+∞）B ．[0，2）C ．[0，1）D ．（﹣∞，1）解：由f （x ）＝log 2（2﹣x ）值域为（﹣∞，1]，得0＜2﹣x ≤2， 故0≤x ＜2，即f （x ）的定义域为[0，2），令0≤2x ＜2得0≤x ＜1，故f （2x ）的定义域为[0，1）． 故选：C ．6．某工厂引用某海水制盐需要对海水过滤某杂质，按市场要求，该杂质含量不能超过0.01%，若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，为使产品达到市场要求，至少应过滤的次数为（ ）提示：lg 2≈0.3010、lg 3≈0.4771． A ．6B ．7C ．8D ．9解：由题意可知0.2%×(23)n ≤0.01%，即(23)n ≤120， 两边取对数化为：n ≥lg 120lg 23=−1−lg2lg2−lg3≈7.4，则至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 故选：C ．7．已知函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，若a ＝f （log 153•log 155），b =f(cos 11π4)，c ＝f （50.1），则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b解：因为0＜log 153＜12，0＜log 155＜log 1515＝1， 所以0＜log 153•log 155＜12， 因为cos11π4=cos(2π+3π4)=cos 3π4=−√22，50.1＞50＝1， 又因为函数y ＝f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以b =f(cos 11π4)=f(−√22)=f(√22)， 又因为对任意 x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1＞0成立，所以函数y ＝f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且 50.1＞√22＞log 153•log 155， 所以a ＜b ＜c ． 故选：A ．8．已知函数f(x)={ln(x +1)+m ，x ≥0ax −b +1，x ＜0(m ＜−1)，对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f（s ）＝f （t ），且s ≠t ，若关于x 的方程|f(x)|=f(m2)有3个不相等的实数根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则x 1+x 2﹣x 3的取值范围是（ ） A ．（1﹣e 2，+∞） B ．（﹣∞，1﹣e 2） C ．(12−e 2，0)D ．(−∞，12−e 2)解：由题意可知f （x ）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m ，+∞），∵对于任意s ∈R ，且s ≠0，均存在唯一实数t ，使得f （s ）＝f （t ），且s ≠t ， ∴f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，值域为（m ，+∞）， ∴a ＜0，且﹣b +1＝m ，即b ＝1﹣m ．∵|f(x)|=f(m2)有3个不相等的实根x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3）， ∴f(m2)=−m⇒a •m 2+m ＝﹣m ⇒a ＝﹣4，x 1=m2，x 2＝0，ln （x 3+1）+m ＝﹣m ⇒x 3=e −2m −1，∴x 1+x 2−x 3=m 2−1e2m +1， 又h （m ）=m 2−1e 2m +1(m ＜−1)是增函数，ℎ(−1)=12−e 2， ∴x 1+x 2﹣x 3的取值范围是(−∞，12−e 2)． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．π10化成角度是18° B ．﹣120°化成弧度是−56π C ．﹣330°与750°的终边相同D ．若sinθ⋅cosθ=12，则tanθ+cosθsinθ=2 解：因为π10rad =18°，所以选项A 正确；因为−120°=−2π3rad ，所以选项B 不正确； 750°﹣（﹣330°）＝3×360°，所以两个角的终边相同，故C 正确； 原式=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112=2，故D 正确． 故选：ACD ．10．用二分法求函数f （x ）＝x 3+x 2﹣2x ﹣2的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f （1）＝﹣2，f （1.5）＝0.625，f （1.25）≈﹣0.984，f （1.375）≈﹣0.260，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在（1.25，1.5）上有零点 B ．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值 C ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.3125）D ．没有达到精确度，应该接着计算f （1.4375） 解：∵f （1.25）f （1.5）≈﹣0.984×0.625＜0，∴由函数零点存在定理知，方程x 3+x 2﹣2x ﹣2＝0在区间（1.25，1.5）有实根， 而1.5﹣1.375＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f （1.4375）． 故选：AD ．11．函数f(x)=x1+|x|(x ∈R)，以下四个结论正确的是（ ） A ．f （x ）的值域是（﹣1，1）B ．函数y ＝f （x ）的图像与函数g(x)=log 2x+1x−1图像的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…，（x m ，y m ），则x 1+x 2+x 3+…+x m ＝2C ．若规定f 1（x ）＝f （x ），f n +1（x ）＝f （f n （x ）），则对任意的n ∈N *，f n (x)=x1+n|x|D ．对任意的x ∈[﹣1，1]，若函数f(x)≤t 2−2at +12恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≤﹣2或t ≥2 解：A ．∵0≤|x |＜1+|x |，∴0≤|x|1+|x|＜1， ∴x 1+|x|∈(−1，1)，∴f （x ）的值域为（﹣1，1），故A 正确；B ．f(x)=x1+|x|的定义域为R ，关于原点对称， 又f(−x)=−x 1+|−x|=−x1+|x|=−f(x)，∴f(x)=x1+|x|为奇函数，g(x)=log 2x+1x−1也是奇函数， ∴x 1+x 2+x 3+⋯+x m ＝0，故B 错误； C ．当n ＝1时，f 1(x)=f(x)=x 1+|x|，f 2(x)=x1+2|x|， f 3(x)=x1+3|x|，以此类推，则f n (x)=x1+n|x|，故C 正确； D ．由B 可知，∀x ∈[﹣1，1]，f （x ）为增函数，∴f （x ）max =f(1)=12，要使f(x)≤t 2−2at +12恒成立， 则t 2−2at +12≥12，∴t 2﹣2at ≥0． 设h （a ）＝﹣2ta +t 2，当a ∈[﹣1，1]时，{ℎ(1)=−2t +t 2≥0ℎ(−1)=2t +t 2≥0，则{t ≥2或t ≤0t ≥0或t ≤−2，∴t ≤﹣2或t ＝0或t ≥2，故D 错误．故选：AC ．12．已知x ，y ＞0，x +2y +xy ﹣6＝0，则（ ） A ．xy 的最大值为√2B ．x +2y 的最小值为4C ．x +y 的最小值为4√2−3D ．（x +2）2+（y +1）2的最小值为16解：A ，由x +2y +xy ﹣6＝0，得x +2y ＝6﹣xy ≥2√2xy ，当且仅当x ＝2y 时等号成立， 令√xy =t （t ＞0），则t 2+2√2t ﹣6≤0，解得0＜t ≤√2． 所以√xy ≤√2，即xy ≤2．所以xy 的最大值为2，A 错误， B ，由基本不等式得x +2y ≥2√2xy ，则(x+2y)28≥xy ，又x +2y +xy ﹣6＝0，得xy ＝6﹣（x +2y ），所以(x+2y)28≥6﹣（x +2y ），所以（x +2y ）2+8（x +2y ）﹣48≥0，解得x +2y ≥4或x +2y ≤﹣12（舍去），当且仅当x ＝2、y ＝1时等号成立，则x +2y 的最小值为4，B 正确，C ，令x +y ＝m ，则m ＞0，所以y ＝m ﹣x ，故x +2y +xy ﹣6＝0可化为x +2（m ﹣x ）+x （m ﹣x ）﹣6＝0，整理得x 2+（1﹣m ）x +6﹣2m ＝0，由Δ≥0，得（1﹣m ）2﹣4×（6﹣2m ）≥0，即m 2+6m ﹣23≥0，解得m ≥4√2−3或m ≤﹣4√2−3（舍去），C 正确，D ，∵（x +2）2+（y +1）2≥2（x +2）（y +1）＝2（xy +x +2y +2）＝16，当且仅当y ＝x +1时等号成立，D 正确， 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知角α的终边经过点（m ，2m ）（m ＞0），则sin α＝ 2√55．解：∵角α的终边经过点P （m ，2m ），∴x ＝m ，y ＝2m ，r =|OP|=√m 2+(2m)2=√5m ， ∴sinα=y r =2√55． 故答案为：2√55．14．lg25+23lg8−3log 23×log 32+2log 23= 2 ． 解：原式＝lg 25+lg 4﹣3log 23×log 32+3＝lg 100﹣3+3＝2． 故答案为：2．15．已知函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x（a ＜103且a ≠3）是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围为 {a |a ＜2或3＜a ＜103} ． 解：因为函数f(x)=(10−3a)(a2−6a+8)x(a ＜103)是定义在R 上的增函数，所以{10−3a ＞1a 2−6a +8＞0或{0＜10−3a ＜1a 2−6a +8＜0，解得a ＜2或3＜a ＜103，故实数a 的取值范围为{a |a ＜2或3＜a ＜103}． 故答案为：{a |a ＜2或3＜a ＜103}．16．若定义在区间[﹣2021，2021]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）﹣2023，且x ＞0时，有f （x ）＞2023，f （x ）的最大值为M ，最小值为N ，则f （0）＝ 2023 ，M +N 的值为 4046 ．解：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，都有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）﹣2023， 令x 1＝x 2＝0，得f （0）＝2023，再令x 1+x 2＝0，则f （x ）+f （﹣x ）＝f （0）+2023＝4046， 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2021，2021]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）＝f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2023， 所以f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2023＞2023， 又f （﹣x 1）＝4046﹣f （x 1），所以可得f （x 2）＞f （x 1），即函数f （x ）是严格增函数， 所以f （x ）max ＝f （2021），f （x ）min ＝f （﹣2021）， 又因为f （2021）+f （﹣2021）＝4046， 所以M +N 的值为4046． 故答案为：2023；4046．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合M ={x|18＜2x ＜32}，N ＝{x |0＜x ＜8}，C ＝{x |a ＜x ＜2a ﹣1}． （1）求M ∩N ；（2）若M ∪C ＝M ，求实数a 的取值范围．解：（1）因为M ={x|18＜2x ＜32}={x|−3＜x ＜5}， 又因为N ＝{x |0＜x ＜8} 所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜5}； （2）由M ∩C ＝C ，可得C ⊆M ， 当C ＝∅时，a ≥2a ﹣1，解得a ≤1， 当C ≠∅且C ⊆M 时，∴{a ≥−3a ＜2a −1，2a −1≤5解得1＜a ≤3，综上所述：a 的取值范围是{a |a ≤3}．18．（12分）已知tanα+1tanα=52，α∈(0，π4)． （1）求tan α的值；（2）求2sin 2(3π−α)−3cos(π2+α)sin(3π2−α)+2的值．解：（1）因为tanα+1tanα=52，所以2tan 2α﹣5tan α+2＝0，解得tanα=12或tan α＝2， 又α∈(0，π4)，0＜tan α＜1， 所以tanα=12；（2）2sin 2(3π−α)−3cos(π2+α)sin(3π2−α)+2 =2sin 2(π−α)+3cos(π2+α)sin(π2−α)+2 ＝2sin 2α﹣3sin αcos α+2=2sin 2α−3sinαcosαsin 2α+cos 2α+2=2tan 2α−3tanαtan 2α+1+2=2×(12)2−3×12(12)2+1+2=65．19．（12分）已知函数f(x)={1−1x ，x ≥1，1x−1，0＜x ＜1．（1）若关于f （x ）的方程f （x ）＝a 有解，求实数a 的取值范围；（2）若存在正实数a ，b （a ＜b ），使得函数f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]（m ≠0），求实数m 的取值范围．解：（1）当x ≥1时，y =1−1x在[1，+∞）单调递增，所以y ≥0， 当0＜x ＜1时，y =1x −1在（0，1）单调递减，所以y ＞0， 所以f （x ）的值域为[0，+∞），故a ∈[0，+∞）．（2）若存在实数a ，b （a ＜b ），使得函数y ＝f （x ）的定义域为[a ，b ]时，值域为[ma ，mb ]． 则a ＞0，m ＞0．当此时得a ，b 异号，不符合题意，所以a ，b 不存在．a ，b ∈（0，1）时，由于f （x ）在（0，1）上是减函数，故{31a −1=mb41b −1=ma，当a ∈（0，1），b ∈[1，+∞）时，易知0在值域内，值域不可能是[ma ，mb ]，所以a ，b 不存在．故只有a ，b ∈[1，+∞）∵f （x ）在[1，+∞）上是增函数， ∴{f(a)=maf(b)=mb即{1−1a =ma 1−1b =mb，1，b 是方程mx 2﹣x +1＝0的两个根．即关于x 的方程mx 2﹣x +1＝0有两个大于1的实根．设这两个根为x 1，x 2． 则x 1+x 2=1m ，x 1x 2=1m∴{Δ＞0(x 1−1)+(x 2−1)＞0(x 1−1)(x 2−1)＞0即{1−4m ＞01m−2＞0解得0＜m ＜14，故m 的取值范围是（0，14）．20．（12分）某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，如表显示的是某企业几年来利润y （百万元）与年投资成本x （百万元）变化的一组数据：给出以下3个函数模型：①y ＝﹣x +b ；②y ＝ab x （a ≠0，b ＞0，且b ≠1）；③y ＝log a （x +b ）（a ＞0，且a ≠1）．（1）选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系，并求出其解析式； （2）试判断该企业年利润6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：（1）由表格中的数据可知，年利润y 是随着投资成本x 的递增而递增， 而①y ＝﹣x +b 是单调递减， 所以不符合题意，将（3，1），（5，2）代入y ＝ab x （a ≠0，b ＞0，且b ≠1），得{ab 3=1ab 5=2，解得{a =√24b =√2，∴y =√24⋅(√2)x =2x−32．当x ＝9时，y ＝23＝8， 所以不符合题意，将（3，1），（5，2）代入y ＝log a （x +b ）（a ＞0，且a ≠1）， 得{log 2(3+b)=1log a (5+b)=2， 解得{a =2b =−1，∴y ＝log 2（x ﹣1）， 当x ＝9时，y ＝log 28＝3， 当x ＝17时，y ＝log 216＝4， 所以符合题意，故可用③来描述x ，y 之间的关系； （2）令log 2（x ﹣1）＝6， 则x ＝65， ∵年利润665≈9.2%＜10%，即年利润低于10%， ∴该企业要考虑转型．21．（12分）已知函数f （x ）＝log 2（4x +1）． （1）解关于x 的方程[f （x ）+1][f （x ）﹣1]＝3； （2）设函数g （x ）＝2f （x ）+12f(x)−1−2b(2x +2−x )−1+b 2(b ∈R)，若g （x ）在1≤x ≤2上的最小值为2，求b 的值．解：（1）∵f(x)=log 2(4x +1)≥0．∴由方程[f （x ）+1][f （x ）﹣1]＝3，可得f （x ）＝2， ∴log 2(4x +1)=2，则4x ＝3，得x ＝log 43； （2）∵2f（x ）＝4x +1，∴函数g(x)=2f(x)+12f(x)−1−2b(2x +2−x )−1+b 2(b ∈R)=4x +14x −2b(2x +12x )+b 2=(2x +12x )2−2b(2x +12x )+b 2−2，令t =2x +12x ，（1≤x ≤2），则t ∈[52，174]， 则h （t ）＝t 2﹣2bt +b 2﹣2＝（t ﹣b ）2﹣2，t ∈[52，174]． 当b ≤52时，g （x ）在[1，2]上的最小值为ℎ(52)=2， 整理可得4b 2﹣20b +9＝0，解答b =92（舍）或b =12； 当b ≥174时，g （x ）在[1，2]上的最小值为ℎ(174)=2， 整理可得16b 2﹣136b +225＝0，解得b =94（舍）或b =254； 当2＜b ＜52时，g （x ）在[1，2]上的最小值为h （b ）＝﹣2≠2． 综上所述，实数b 的值为12或254．22．（12分）已知函数g(x)=lg(√x 2+a −x)，若g （x ）是定义在R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）判断函数g （x ）的单调性，若g （bx 2+2）＞g （2x +1）在[2，3]上有解，求实数b 的取值范围； （3）若函数f(x)=1−2|x −12|，判断函数y ＝f [f （x ）]﹣g （﹣x ）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．解：（1）∵g （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴g （0）＝0，∴lg √a =0，解得a ＝1．（2）g （x ）在R 上单调递减，证明如下：令u(x)=√x 2+1−x ，易知u （x ）＞0恒成立，则g （x ）＝lgu （x ）， 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， 则u(x 1)−u(x 2)=√x 12+1−x 1−√x 22+1+x 2=(√x 12+1−√x 22+1)−(x 1−x 2)=1222√x 1+1+√x 2+1−(x 1−x 2)=(x 1−x 2)(12√x 1+1+√x 2+1−1)，∵x 1＜x 2，∴x 1﹣x 2＜0，又∵√x 12+1＞|x 1|，√x 22+1＞|x 2|，∴12√x 12+1+√x 22+1≤12√x 12+1+√x 22+11，12√x 12+1+√x 22+1−1＜0，∴(x 1−x 2)(12√x 1+1+√x 2+1−1)＞0，∴u （x 1）﹣u （x 2）＞0，即u （x 1）＞u （x 2）， 又∵x 1＜x 2，∴u(x)=√x 2+1−x 在R 上单调递减． 又∵lgu 在（0，+∞）上单调递增，u （x ）∈（0，+∞）， ∴g （x ）在R 上单调递减．由g （bx 2+2）＞g （2x +1），且g （x ）在R 上单调递减， 可得bx 2+2＜2x +1，即bx 2＜2x ﹣1， 也即b ＜2x −1x 2有解，令1x=t ，由x ∈[2，3]可知t ∈[13，12]． ∴b ＜2t ﹣t 2≤（2t ﹣t 2）max 2t ﹣t 2＝﹣（t ﹣1）2+1， ∵t ∈[13，12]， ∴(2t −t 2)max =34， ∴{b |b ＜34}；（3）易知g(−x)=lg(√x 2+1+x)，f(x)=1−2|x −12|={2−2x ，x ≥12，2x ，x ＜12．， f(f(x))=1−2|f(x)−12|={2−2f(x)，f(x)≥122f(x)，f(x)＜12．∴当x ∈[0，1]时可知：f(f(x))={ 4x ，0≤x ≤14，2−4x ，14＜x ≤12，4x −2，12＜x ≤34，4−4x ，34＜x ≤1． ∵f （f （0））＝g （0）＝0，f(f(34))=1，而g(−34)=lg2＜1． 易知：两个函数图像之间有四个公共点．∴函数y ＝f [f （x ）]﹣g （﹣x ）在[0，1]上有且只有四个零点．。
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)质检数学试卷(10月份)
2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）质检数学试卷（10月份）试题数：20，总分：01.（单选题，0分）已知集合A={x|x2=4}，B={x|x2=2x}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{2}C.{-2，0，2}D.{-2，2}2.（单选题，0分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A.∀x∈（-∞，0），x3+x＜0B.∀x∈（-∞，0），x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥03.（单选题，0分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，0分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab|的图象大致为（）5.（单选题，0分）函数y= 4xx2+1A.B.C.D.6.（单选题，0分）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a+c＞b+dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc-ad＞0，ca - db＞0⇒ab＜0D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ √ad ＞√bc7.（单选题，0分）下列各组函数是同一函数的是（）① f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；② f（x）=x与g(x)=√x2；③ f（x）=x0与g(x)=1x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ②B. ① ③C. ③ ④D. ① ④8.（单选题，0分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0．则满足f（2x-1）＜f（1）的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）∪（-∞，0）C.（-∞，0）D.（0，1）9.（多选题，0分）已知集合A={x|ax 2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a 可以取（ ）A.a≥1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤110.（多选题，0分）设S 为实数集R 的非空子集，若对任意x ，y∈S ，都有x+y ，x-y ，xy∈S ，则称S 为封闭集．则下列说法中正确的是（ ）A.集合S={a+b √3 |a ，b 为整数}为封闭集B.若S 为封闭集，则一定有0∈SC.封闭集一定是无限集D.若S 为封闭集，则满足S⊆T⊆R 的任意集合T 也是封闭集11.（填空题，0分）函数f （x ）= √4−x x−1 的定义域为 ___ ．12.（填空题，0分）已知函数f （x ）=-ax 3-bx+3a+b （a ，b∈R ）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a-1，2a]，那么a=___ ，b=___ ．13.（填空题，0分）设p ：-1＜a-x ＜1，q ： 12＜x ＜32 ，若p 的一个充分不必要条件是q ，则实数a 的取值范围是 ___ ．14.（填空题，0分）设 a ＞12 ，b ＞0，若a+b=2，则 12a−1+2b 的最小值为___ ．15.（填空题，0分）已知函数 f (x )={−x 2−ax −5，(x ≤1)a x (x ＞1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___ ．16.（问答题，0分）已知集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}．（1）当a=1时，求集合A 和A∪B ；（2）若B⊆（∁R A ），求实数a 的取值范围．17.（问答题，0分）已知函数f （x ）为奇函数，当x ＞0时， f (x )=x 2+2x ．（1）求f （-1）的值，并求出f （x ）在x ＜0时的解析式；（2）判断f （x ）在（1，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．18.（问答题，0分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）= {400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400，其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f （x ）表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？19.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-x+1．（1）求出f （x ）在x∈[1，3]上的最大值和最小值，并指出取到最值时x 的取值；（2）当x∈[m ，m+1]（m∈R ）时，求f （x ）的最小值g （m ）．20.（问答题，0分）设函数f （x ）=x 2+2ax+2-a ，（a∈R ）．（1）解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2-a ；（2）若至少有一个x∈[1，2]，使得f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）质检数学试卷（10月份）参考答案与试题解析试题数：20，总分：01.（单选题，0分）已知集合A={x|x2=4}，B={x|x2=2x}，则A∩B=（）A.{0，2}B.{2}C.{-2，0，2}D.{-2，2}【正确答案】：B【解析】：可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-2，2}，B={0，2}，∴A∩B={2}．故选：B．【点评】：本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.（单选题，0分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A.∀x∈（-∞，0），x3+x＜0B.∀x∈（-∞，0），x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【正确答案】：C【解析】：全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】：解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．【点评】：本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．3.（单选题，0分）命题p：三角形是等边三角形；命题q：三角形是等腰三角形．则p是q （）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：由等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，即可判断出结论．【解答】：解：∵等边三角形一定是等腰三角形，反之不成立，∴p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了简易逻辑的判定方法、等边三角形与等腰三角形的关系，考查了推理能力，属于基础题．4.（单选题，0分）下列不等式恒成立的是（）A.a2+b2≤2abB.a2+b2≥-2abC.a+b≥-2 √|ab|D.a+b≤2 √|ab|【正确答案】：B【解析】：对于A和B，分别根据完全平方差和完全平方和公式即可得解；对于C和D，举出反例即可得解．【解答】：解：对于A，由（a-b）2≥0，知a2+b2≥2ab，即A错误；对于B，由（a+b）2≥0，知a2+b2≥-2ab，即B正确；对于C，当a=0，b=-1时，a+b=-1，-2 √|ab| =0，此时a+b＜-2 √|ab|，即C错误；对于D，当a=0，b=1时，a+b=1，2 √|ab| =0，此时a+b＞-2 √|ab|，即D错误，故选：B．【点评】：本题考查不等式的性质，属于基础题．5.（单选题，0分）函数y= 4xx2+1的图象大致为（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】：解：函数y= 4xx2+1的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y=f（x）= 4xx2+1，则f（-x）=- 4xx2+1=-f（x），则函数y=f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y=f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6.（单选题，0分）已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（）A.若a＞b，c＜d⇒a+c＞b+dB.若a＞b，c＞d⇒ac＞bdC.若bc-ad＞0，ca - db＞0⇒ab＜0D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒ √ad ＞√bc【正确答案】：D【解析】：根据不等式的性质判断即可．【解答】：解：对于A，若a＞b，c＜d，则-c＞-d，则a-c＞b-d，故A错误，对于B，若a＞b，c＞d，则ac＞bd，故B错误，对于C：若bc-ad＞0，ca - db＞0，则ab＞0，故C错误，对于D，若a＞b＞0，则c＞d＞0，则√ad ＞√bc，故D正确．故选：D．【点评】：本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．7.（单选题，0分）下列各组函数是同一函数的是（）① f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；② f（x）=x与g(x)=√x2；③ f（x）=x0与g(x)=1x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ②B. ① ③C. ③ ④D. ① ④【正确答案】：C【解析】：确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案．【解答】：解：① f（x）= √−2x3 = |x|√−2x与y= x√−2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．② g(x)=√x2 =|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③ f（x）=x0与g(x)=1x0都可化为y=1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③ ④ ．故选：C．【点评】：本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据．8.（单选题，0分）定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0．则满足f（2x-1）＜f（1）的x的取值范围是（）A.（-1，0）B.（1，+∞）∪（-∞，0）C.（-∞，0）D.（0，1）【正确答案】：B【解析】：由题意可知函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数可知，f（2x-1）＜f（1）可转化为|2x-1|＞1，从而求解．【解答】：解：∵f（x）满足：在x∈[0，+∞）上，图象上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）满足（x2-x1）（y2-y1）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2x-1）＜f（1）可转化为|2x-1|＞1，解得x＜0或x＞1．故选：B．【点评】：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，绝对值不等式的解法，属于中档题．9.（多选题，0分）已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则实数a可以取（）A.a≥1B.a=0C.a≤-1D.-1≤a≤1【正确答案】：ABC【解析】：根据集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，讨论集合A中的方程ax2-2x+a=0的根的情况，求解若ax2-2x+a=0为一元一次方程和一元二次方程至多含有一个根的情况，符合题意时可得实数a可以取为：a=0，a≥1或a≤-1．【解答】：解：已知集合A={x|ax2-2x+a=0}中至多含有一个元素，则讨论集合A中的方程ax2-2x+a=0的根的情况，① 若ax2-2x+a=0为一元一次方程，则a=0，解得x=0，符合题意；② 若ax2-2x+a=0为一元二次方程，则a≠0，方程至多含有一个根，△=4-4a2≤0，解得a≥1或a≤-1，符合题意；故实数a可以取为：a=0，a≥1或a≤-1．故选：ABC．【点评】：本题主要考查元素与集合的关系，一元二次方程根的情况，分类讨论思想，属于基础题．10.（多选题，0分）设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是（）A.集合S={a+b √3 |a，b为整数}为封闭集B.若S为封闭集，则一定有0∈SC.封闭集一定是无限集D.若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集【正确答案】：AB【解析】：根据封闭集的定义，任意x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，可逐一判断．【解答】：解：集合S={a+b √3 |a，b为整数}，在集合A中任意取两个元素，x=a+b√3，y=c+d√3，其中a，b，c，d为整数，则x+y=a+c+(b+d)√3，x−y=a−c+(b−d)√3，xy=ac+3bd+(ad+bc)√3，均为整数加上根号三的整数倍的形式，故A正确；因为x，y是集合中任意的元素，所以x与y可以是同一个元素，故0一定在封闭集中，故B正确；封闭集不一定是无限集，例如{0}，故C错误；S={0}，T={0，1}，也满足D选项，但是集合T不是一个封闭集，故D不正确；故选：AB．【点评】：本题考查了集合的新概念，抽象概括能力，运算能力．的定义域为 ___ ．11.（填空题，0分）函数f（x）= √4−xx−1【正确答案】：[1]{x|x≤4且x≠1}【解析】：根据分式有意义的条件，分母不能为0，偶次根式，被开方数大于等于0，可求出函数的f（x）的定义域．【解答】：解：∵ f(x)=√4−xx−1∴ {4−x≥0x−1≠0解得x≤4且x≠1即函数f(x)=√4−xx−1的定义域为{x|x≤4且x≠1}故答案为：{x|x≤4且x≠1}【点评】：本题主要考查了函数的定义域及其求法，解题的关键是注意分母不能为0，偶次根式被开方数大于等于0，属于基础题．12.（填空题，0分）已知函数f（x）=-ax3-bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，若它的定义域为[a-1，2a]，那么a=___ ，b=___ ．【正确答案】：[1] 13; [2]-1【解析】：根据题意，有f（x）为奇函数，由奇函数的定义域关于原点对称可得（a-1）+2a=0，解可得a的值，由奇函数定义可得f（x）+f（-x）=0，变形分析可得b的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，函数f（x）=-ax3-bx+3a+b（a，b∈R）的图象关于原点对称，即f （x）为奇函数，若它的定义域为[a-1，2a]，则有（a-1）+2a=0，解可得a= 13，则f（x）=- 13 x3-bx+1+b，f（-x）= 13x3+bx+1+b，则有f（-x）+f（x）=2+2b=0，解可得b=-1，故答案为：13，-1．【点评】：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意奇偶函数的定义域的特点，属于基础题．13.（填空题，0分）设p：-1＜a-x＜1，q：12＜x＜32，若p的一个充分不必要条件是q，则实数a的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][ 12，32]【解析】：根据充分不必要条件的定义，转化为集合的真子集关系进行求解即可．【解答】：解：由-1＜a-x ＜1得a-1＜x ＜a+1， ∵q 是p 的充分不必要条件，∴q 对应的集合是p 对应集合的真子集， ∴（ 12 ， 32 ）⫋（a-1，a+1）， 则 {a −1≤12a +1≥32 ，得 12 ≤a≤ 32， 即实数a 的取值范围是[ 12， 32]． 故答案为：[ 12， 32]．【点评】：本题主要考了充分条件和必要条件的定义，进行转化是解决本题的关键，属于基础题．14.（填空题，0分）设 a ＞12 ，b ＞0，若a+b=2，则 12a−1+2b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]3【解析】：由已知可得 12a−1+2b = 12a−1+42b = 13 （ 12a−1+42b ）（2a-1+2b ），展开后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为 a ＞12 ，b ＞0，a+b=2， 所以2a-1+2b=3，则 12a−1+2b = 12a−1+42b = 13 （ 12a−1+42b ）（2a-1+2b ）= 13 [5+ 2b2a−1+4(2a−1)2b ] ≥13(5+4) =3，当且仅当 2b2a−1=4(2a−1)2b且a+b=2即a=b=1时取等号，故答案为：3【点评】：本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑． 15.（填空题，0分）已知函数 f (x )={−x 2−ax −5，(x ≤1)a x (x ＞1) 是R 上的增函数，则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][-3，-2]【解析】：要使函数在R 上为增函数，须有f （x ）在（-∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且 −12−a ×1−5≤a1 ，由此可得不等式组，解出即可．【解答】：解：要使函数在R 上为增函数，须有f （x ）在（-∞，1]上递增，在（1，+∞）上递增，且 −12−a ×1−5≤a 1，所以有 { −a2≥1a ＜0−12−a ×1−5≤a 1 ，解得-3≤a≤-2，故a 的取值范围为[-3，-2]． 故答案为：[-3，-2]．【点评】：本题考查函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属中档题． 16.（问答题，0分）已知集合A={x|x 2-x-2＜0}，B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}． （1）当a=1时，求集合A 和A∪B ； （2）若B⊆（∁R A ），求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出集合A ，B ，由此能求出A∪B ．（2）求出∁U A={x|x≤-1或x≥2}，B⊆（∁R A ），当B=∅时，a=3a ，当a ＜0时，B={x|3a ＜x ＜a}，当a ＞0时，B={x|a ＜x ＜3a}，由B⊆（∁R A ），能求出实数a 的取值范围．【解答】：解：（1）集合A={x|x 2-x-2＜0}={x|-1＜x ＜2}=（-1，2）， 当a=1时，B={x|（x-1）（x-3）＜0}={x|1＜x ＜3}， A∪B={x -|1＜x ＜3}=（-1，3）．（2）∵B={x|（x-a ）（x-3a ）＜0，a∈R}． ∁U A={x|x≤-1或x ≥2}，B⊆（∁R A ）， ∴当B=∅时，a=3a ，解得a=0， 当a ＜0时，B={x|3a ＜x ＜a}， 由B⊆（∁R A ），得a≤-1， 当a ＞0时，B={x|a ＜x ＜3a}， 由B⊆（∁R A ），得a≥2．综上，实数a的取值范围是{a|a=0或a≤-1或a≥2}．【点评】：本题考查集合、并集的求法，考查并集、补集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．17.（问答题，0分）已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f(x)=x2+2x．（1）求f（-1）的值，并求出f（x）在x＜0时的解析式；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并用函数单调性的定义进行证明．【正确答案】：【解析】：（1）由奇函数的性质可得f（-1）=-f（1），根据函数奇偶性的性质，将x＜0转化为-x＞0，即可求出函数的解析式；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，利用增函数的定义证明即可．【解答】：解：（1）∵当x＞0时，f(x)=x2+2x．∴f（1）=3，由函数f（x）为奇函数，可得f（-1）=-f（1）=-3．令x＜0，则-x＞0，f（-x）=x2- 2x，由函数f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），∴f（x）=-f（-x）=-x2+ 2x，即x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=-x2+ 2x．（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明如下：任取1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）= x12 + 2x1 - x22 - 2x2=（x1-x2）（x1+x2- 2x1x2）∵1＜x1＜x2，故x1-x2＜0，x1+x2＞2，- 2x1x2＞-2，则x1+x2- 2x1x2＞0，故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（1，+∞）上单调递增．【点评】：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数解析式的求法，利用单调性的定义证明函数的单调性，属于中档题．18.（问答题，0分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R （x ）= {400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400 ，其中x 是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润） （1）将利润f （x ）表示为月产量x 的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【正确答案】：【解析】：（1）根据利润=收益-成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x ＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．【解答】：解：（1）由于月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f （x ）= {300x −12x 2−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400；（2）当0≤x≤400时，f （x ）=300x- 12x 2 -20000=- 12（x-300）2+25000， ∴当x=300时，有最大值25000；当x ＞400时，f （x ）=60000-100x 是减函数， ∴f （x ）=60000-100×400＜25000． ∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．【点评】：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键． 19.（问答题，0分）已知函数f （x ）=x 2-x+1．（1）求出f （x ）在x∈[1，3]上的最大值和最小值，并指出取到最值时x 的取值； （2）当x∈[m ，m+1]（m∈R ）时，求f （x ）的最小值g （m ）．【正确答案】：【解析】：（1）利用二次函数的开口方向与对称轴，结合x 的范围，求解函数的最值，以及x 的值．（2）利用二次函数的图象及性质，分类讨论即可得解；【解答】：解：（1）函数f （x ）=x 2-x+1，开口向上，对称轴为：x= 12 ， ∵ 12 ∉[1，3]，所以函数在x∈[1，3]上是增函数，x=1时，f （x ）min =f （1）=1，x=3时，f （x ）max =f （3）=7． （2）由题意，画出函数f （x ）图象如下：由题意及图， ① 当m+1≤ 12，即m≤- 12时，f （x ）min =f （m+1）=m 2+m+1； ② 当m≤ 12 ＜m+1，即- 12 ＜m≤ 12 时，f （x ）min =f （ 12 ）= 34 ； ③ 当m ＞ 12 时，f （x ）min =f （m ）=m 2-m+1．综上所述，可得：f （x ）的最小值 g (m )={m 2+m +1，m ≤−1234，−12＜m ＜12m 2−m +1，m ≥12．【点评】：本题考查函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.（问答题，0分）设函数f （x ）=x 2+2ax+2-a ，（a∈R ）． （1）解关于x 的不等式f （x ）＞（1-a ）x 2-a ；（2）若至少有一个x∈[1，2]，使得f （x ）＞0成立，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）原不等式化为ax2+2ax+2＞0，讨论a=0，a＞0，a＜0，结合二次方程的两根和二次函数的图象可得所求解集；（2）由题意可得f（1）＞0或f（2）＞0，解不等式，求并集，可得所求范围．【解答】：解：（1）不等式x2+2ax+2-a＞（1-a）x2-a，化为ax2+2ax+2＞0，由a≥2或a＜0，可令x1=−a−√a2−2aa ，x2=−a+√a2−2aa，当a＜0时，x2＜x1，原不等式的解集为（x2，x1）；当a=0时，2＞0，则原不等式的解集为R；当0＜a＜2时，△＜0，原不等式的解集为R；a≥2时，x1＜x2，原不等式的解集为（-∞，x1）∪（x2，+∞）．（2）至少有一个x∈[1，2]，使得f（x）＞0成立，可得f（1）＞0或f（2）＞0，即1+2a+2-a＞0或4+4a+2-a＞0，即a＞-3或a＞-2，所以a＞-3，则a的取值范围是（-3，+∞）．【点评】：本题考查含参数不等式的解法和不等式成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。
浙江省余姚中学高一数学上学期期中试题
浙江省余姚中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题(时间：120分钟 满分：150分)( 本场考试不准使用计算器 )一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ▲ ）．A.2x y = B.xx y 2= C.)10(log ≠>=a a a y x a 且 D.x a a y log =2．下列表示图形中的阴影部分的是（ ▲ ）． A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()AB C3．函数()(ln 2f x x = 的奇偶性是（ ▲ ）．A.奇函数B. 偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数D. 既是奇函数也是偶函数 4．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ▲ ）．A. 60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D. 60.70.7log 60.76<<5．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ▲ ）． A ．21x x + B ．212x x +- C ．212x x + D ．21x x+-6．已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是（ ▲ ）． A ． 1(0,)3 B ．[11,)73 C ．11(,)73 D ．[1,1)77．定义在()1,1- 上的函数 ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1；当()()1,00.x f x ∈->时若()111,,05112P f f Q f R f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；则,,P Q R 的大小关系为（ ▲ ）． A ．R Q P >> B. R P Q >> C. P R Q >> D. Q P R >>8．已知()f x 是定义在[4,4]-上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-+，则不等式[()]()f f x f x <的解集为（ ▲ ）．A BCA ．(](3,0)3,4-UB ．(4,3)(1,2)(2,3)--U UC ．(1,0)(1,2)2,3-（）U UD ．(4,3)(1,0)(1,3)---U U二、填空题：本大题共7小题，第9-12题每小题6分，第13-15题每小题4分，共36分,请将答案填 在相对应空格．9.已知集合22{|430},{|log 1}M x x x N x x =-+<=<，则M N = ▲ ，M N = ▲ ,R C M = ▲ ．10．函数212log (32)y x x =--的单调增区间为 ▲ ，值域为 ▲ ．11．已知函数(1)y f x =-的定义域为[2,3)-，值域是[1,2)-，则(2)f x +的值域是 ▲ ，2(log )f x 的定义域是 ▲ ．12．已知122,0()|log |,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则((1))f f -= ▲ ，方程()4f x =的解是 ▲ ．13．已知幂函数()f x过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知函数31,0(),9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩若关于x 的方程2(2)f x x a +=有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. （本小题满分14分）计算：(1) 4132161)()9--++；(2) 2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭．17. （本小题满分15分）设全集2,{|200},{||25|7}U R A x x x B x x ==+-<=+>，22{|320}C x x mx m =-+<． (1)若()C A B ⊆，求m 的取值范围；(2)若()()U U C A C B C ⊆，求m 的取值范围．18. （本小题满分15分）已知函数32()32x xx xf x ---=+． (1)判断()f x 的奇偶性；(2)判断并证明()f x 的单调性，写出()f x 的值域．19.（本小题满分15分）已知函数2()||21f x ax x a =-+- (a 为实常数)． （1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若0a >，设()f x 在区间[1,2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式； （3）设()()f x h x x=，若函数()h x 在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分15分）已知函数22()(2)(2)x x f x a a -=-++，[1,1]x ∈-． (1)求()f x 的最小值（用a 表示）；(2)关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．余姚中学高一数学期中测试参考答案7.【解析】令0x y ==，则可得(0)0f =，令0x =，则()()f y f y -=-，即()f x 为奇函数，令10x y >>>，则01x yxy ->-，所以()()01x y f x f y f xy ⎛⎫--=< ⎪-⎝⎭，即()()0,1x f x ∈时递减，又1111112511()1151151171511P f f f f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪+⨯⎝⎭，因2172<，所以21()()72f f >，即0P Q >>，故选B 。
2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市余姚中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，2}B ．{0，2，4}C ．{0，4}D ．{0，1，2，4}2．已知f （x ）＝x 2+6x +c 有零点，但不能用二分法求出，则c 的值是（ ） A ．9B ．8C ．7D ．63．设a 为实数，则“a ＞1a 2”是“a 2＞1a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f （x ）=e x −e −xx 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若正实数x ，y 满足（x +1）（4y +1）＝9，则x +4y 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．265D ．4256．已知函数f(x)=a 2x2−x（a ＞0，且a ≠1），若f （x ）＞1对于任意x ∈(0，12)恒成立，则函数f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．(12，+∞)B ．(14，+∞)C ．(0，14)D ．(−∞，14)7．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ） A ．20%B ．23%C ．28%D ．50%8．给出定义：若m −12＜x ≤m +12（其中m 为整数），则m 叫作关于x 的“网红数”，记作{x }，即{x }＝m ．例如：{1.2}＝1，{2.8}＝3．给出下列关于函数f （x ）＝x ﹣{x }的四个命题： ①f(−12)=12； ②f （3.4）＝﹣0.4； ③f(−14)＜f(14)；④f （x ）的定义域是R ，值域是[−12，12)． 正确的有（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。