高三理科数学第一轮复习§7.5：直线、平面垂直的判定及其性质
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(新课标)高考数学一轮总复习 第七章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：
文字语言 判 如果一个平面过另 定 一个平面的一条 图形语言 符号语言
垂线 ，则这两个 定 _____
理 平面互相垂直.
l ⊥α ______ ⇒α⊥β l ⊂ β _____
性 质 定 理
如果两个平面互相 垂直，那么在一个 平面内垂直于它们 α⊥β l⊂β ⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
5 ． 将 正 方 形 ABCD 沿 AC 折 成 直 二 面 角 后 ， ∠ DAB ＝
________. [ 解析]
如图，取 AC 的中点 O，连接 DO，
BO，BD，则 DO⊥AC，BO⊥AC，故∠DOB 为 二面角的平面角，从而∠DOB＝90° .设正方形边 2 长为 1，则 DO＝BO＝ 2 ，所以 DB＝1，故△ ADB 为等边三角形，所以∠DAB＝60° .
(2)线面角 θ
3．平面与平面垂直
(1) 二面角的有关概念：
①二面角的定义．从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做 二面角的面． 如图，记作：二面角 α － l － β 或二面角 α － AB － β 或二面角 P －
AB－Q.
②二面角的平面角．在二面角 α － l － β 的棱 l 上任取一点
性 质 定 理
a ⊥α _____ ⇒a∥b b⊥α _____
2．直线与平面所成的角
(1)定义
射影 所成的_____ 锐角 ，叫做 平面的一条斜线和它在平面上的_____ 这条直线和这个平面所成的角． 如图，
∠PAO 就是斜线 AP 与平面 α 所成的角． _______
π 0， . 2 的范围：______.
高考数学一轮复习 7.5直线、平面垂直的判定及其性质课件 文
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49
(1)求解空间几何体的体积的关键是确定线面的位置关系和 数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不 能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法 进行求解．
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50
(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧 面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
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15
解析：如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则 有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥ β时才存在．
答案：C
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16
2．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于 A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC
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35
(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN. 【思路启迪】 (1)利用线线平行证明线面平行；(2)证明 MN⊥平面EFG.
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36
【证明】 (1)取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝12AB.
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37
又AB∥CD，CD＝12AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四边形DCEH是平行四边形． 所以CE∥DH. 又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以平面EFG⊥平面EMN.
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40
证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可 简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体 现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种 转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是 解决这类问题的关键．
高考数学第一轮知识点总复习 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
解 (1)当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC,………2′ 又∵PA⊥底面ABCD,BD 平面ABCD,∴BD⊥PA, 又∵PA∩AC=A,…………………………………….3′ ∴BD⊥平面PAC. 故当a=2时,BD⊥平面PAC……………………….4′
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、 MN……..5′ ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′ ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′ 即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′ 故(3当)设aM=4是时B,CBC边边上的符中合点题M设使的P点MM⊥, DM. ∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′ 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所 求…………….12′
ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的
取值范围是
.
解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，
由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图
1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且
DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,
AK DA
AD ， t DF 1
分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面 PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知 ABCD为正方形. （2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知， M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.
(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连接AM、DM、 MN……..5′ ∵四边形ABMN和四边形DCMN都是正方形,…………………………………..6′ ∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,…………………………………..7′ 即DM⊥AM.又∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DM,∴DM⊥面PAM，得PM⊥DM,………………………………………..9′ 故(3当)设aM=4是时B,CBC边边上的符中合点题M设使的P点MM⊥, DM. ∵PA⊥底面ABCD,∴DM⊥AM………………………………………………11′ 因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的交点,则AD≥2AB,即a≥4为所 求…………….12′
ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t，则t的
取值范围是
.
解析: 如图2，过K作KM⊥AF于M点，连接DM，
由平面ABD⊥平面ABC易得DM⊥AF，与折前的图
1对比，可知在折前的图形中D、M、K三点共线且
DK⊥AF，于是△DAK∽△FDA,
AK DA
AD ， t DF 1
分析 （1）本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面 PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知 ABCD为正方形. （2）若PM⊥DM,易知DM⊥面PAM，得DM⊥AM,由AB=2，a=4知， M为BC的中点时得两个全等的正方形，满足DM⊥AM.
高三数学一轮复习 第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理 新人教A版
又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB＝AD， ∠BAD＝60°，所以△ABD为 正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因 为 平 面 PAD⊥ 平 面 ABCD ， BF⊂ 平 面 ABCD ， 平 面 PAD∩平面ABCD＝AD，
个平面的两个平面可能平行，也可能相交．
1．(人教A版教材习题改编)已知直线a，b和平面α，且 a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为( )
A．b⊂α
C．b⊂α或b∥α 【解析】 α相交． 【答案】 C
B．b∥α
D．b与α相交
由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与
2．边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面 角，则 AC 的长为( ) 2 3 A. 2a B. a C. a D．a 2 2
2．面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据， 其核心是其中一个面内的直线与交线垂直．在其中一个面内 作交线的垂线，这是常作的辅助线． 3．空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂
直或平行问题常常互相转化，将空间问题化归为平面问题是
处理立体几何问题的重要思想．
如图7－5－6所示，平行 四边形ABCD中，∠DAB ＝60°，AB＝2，AD＝4， 将△CBD沿BD折起到△EBD 的位置，使平面EDB⊥平面ABD. (1)求证：AB⊥DE；
垂线 (2)判定定理：一个平面过另一个平面的______，则这两 个平面垂直． 垂直于交线 (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内__________ 的直线与另一个平面垂直．
4．直线和平面所成的角
平面上的射影 (1)平面的一条斜线和它在_____________所成的锐角叫 做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定 90°和0° 直线和平面所成的角分别为_________．
2023版高考数学一轮总复习：直线平面垂直的判定及性质课件理
3
考向1
线面垂直的判定与性质
方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);
(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
考向1
解析
线面垂直的判定与性质
(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,
故B1C1⊥BE.(线面垂直的性质的应用)
又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B1C1⊂平面EB1C1,EC1⊂平面EB1C1,所以BE⊥平面
2
,平面B1DC分三棱柱
2
考向1
线面垂直的判定与性质
解析 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,
又BC⊂平面ABC,∴BB1⊥BC.(利用线面垂直的性质证明线线垂直)
∵平面BCC1B1⊥平面A1ABB1,平面BCC1B1∩平面A1ABB1=BB1,BC⊂平面BCC1B1,
图形语言
符号语言
l⊥α
直,则该直线与此平面
垂直.
性质定理
同一个
垂直于________平面的
两条直线平行.
a∥b
考点1
直线与平面平行的判定与性质
规律总结
垂直关系中常用的6个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂
直的一个重要方法).
(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
考向1
线面垂直的判定与性质
方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理(a⊥b,a⊥c,b∩c=M,b⊂α,c⊂α⇒a⊥α);
(2)利用面面垂直的性质定理(α⊥β,α∩β=l,a⊥l,a⊂β⇒a⊥α);
(3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β⇒a⊥β);
(4)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.
考向1
解析
线面垂直的判定与性质
(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,
故B1C1⊥BE.(线面垂直的性质的应用)
又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,B1C1⊂平面EB1C1,EC1⊂平面EB1C1,所以BE⊥平面
2
,平面B1DC分三棱柱
2
考向1
线面垂直的判定与性质
解析 (1)∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,∴BB1⊥平面ABC,
又BC⊂平面ABC,∴BB1⊥BC.(利用线面垂直的性质证明线线垂直)
∵平面BCC1B1⊥平面A1ABB1,平面BCC1B1∩平面A1ABB1=BB1,BC⊂平面BCC1B1,
图形语言
符号语言
l⊥α
直,则该直线与此平面
垂直.
性质定理
同一个
垂直于________平面的
两条直线平行.
a∥b
考点1
直线与平面平行的判定与性质
规律总结
垂直关系中常用的6个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂
直的一个重要方法).
(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.
高考人教版数学(理)一轮复习课件：7.5直线、平面垂直的判定和性质3
解析：(1)证明：因为 AP＝CP＝AC＝4，O 为 AC 的中点， 所以 OP⊥AC，且 OP＝2 3.
如图，连接 OB.因为 AB＝BC＝ 22AC，所以△ABC 为等腰 直角三角形，
且 OB⊥AC，OB＝12AC＝2. 由 OP2＋OB2＝PB2 知，OP⊥OB. 由 OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O 且都属于平面 ABC 知， PO⊥平面 ABC.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ ＝23DA，求三棱锥 Q－ABP 的体积．
解析：(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，即 BA⊥AC. 又 BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC. (2)由已知可得， DC＝CM＝AB＝3， DA＝3 2. 又 BP＝DQ＝23DA， 所以 BP＝2 2.
如图，过点 Q 作 QE⊥AC，垂足为 E，则 QE 綊13DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面 ABC， 所以 QE⊥平面 ABC，QE＝1. 因为，三棱锥 Q－ABP 的体积为 VQ－ABP＝13×S△ABP×QE＝13×12×3×2 2sin45°×1＝1.
悟·技法 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化， 不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要 据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值， 这是解决翻折问题的主要方法.
答案：C
4．PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于 A，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面 PAC C．AC⊥PB D．PC⊥BC
(全国版)高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及性质课件
解 (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)如图，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E. 由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，AB⊥AD， 可得 PE⊥平面 ABCD.
∵CG⊥平面 ABC，∴VG－ABC＝13S△ABC×CG＝43. 由(1)知 AB⊥BG，CG＝2＝BC， BG＝ BC2＋CG2＝ 22＋22＝2 2， ∴S△ABG＝12AB×BG＝2 2. 设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ∴VC－ABG＝13S△ABG·h＝23 2h＝VG－ABC＝34， ∴h＝ 2. 即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.
2．[2018·浙江模拟]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
解析 对于选项 A，B，D，均能举出 m⊥α 的反例； 对于选项 C，若 m⊥β，n⊥β，则 m∥n，又 n⊥α，∴m⊥α. 故选 C.
所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF∥BC1. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，EF⊄平面 BB1C1C， 所以 EF∥平面 BB1C1C.
(2)在矩形 BCC1B1，BC＝ 2BB1， 所以 tan∠CBC1＝ 22，tan∠B1MB＝ 2. 所以 tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以 BC1⊥B1M. 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥B1M. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC⊥平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，AB＝AC，所以 AM⊥BC. 因为平面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC，
高三数学(理)一轮复习(课件)第七章 立体几何7-5
因为 SA＝SB，所以△SAB 为等腰三角形， 所以 SE⊥AB。 又 SE∩DE＝E，所以 AB⊥平面 SDE。 又 SD⊂平面 SDE，所以 AB⊥SD。 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点， 所以 SD⊥AC。 又 AC∩AB＝A，所以 SD⊥平面 ABC。 (2)由于 AB＝BC，则 BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面 ABC，又 BD⊂平面 ABC， 所以 SD⊥BD， 又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC。
1．证明面面垂直的常用方法：(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面 垂直的判定定理，转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线，即 证明线面垂直。
2．两个平面垂直问题，通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂 直”的过程来实现的。
【变式训练】 (2019·唐山市摸底考试)如图，在四棱锥 P－ABCD 中， PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD ＝2，E 是 PB 的中点。
考点三 开放型问题 【例 3】如图所示，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，DB＝BC， DB⊥AC，点 M 是棱 BB1 上一点。
(1)求证：B1D1∥平面 A1BD。 (2)求证：MD⊥AC。 (3)试确定点 M 的位置，使得平面 DMC1⊥平面 CC1D1D。
解 (1)证明：由直四棱柱，得 BB1∥DD1，且 BB1＝DD1，
(1)如图，连接 OA，OB，OC，OP，在 Rt△POA，Rt△POB 和 Rt△POC 中，PA＝PB＝PC，所以 OA＝OB＝OC，即 O 为△ABC 的外心。
(2)如图，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G。因为 PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以 PC⊥平面 PAB，又 AB⊂平面 PAB， 所以 PC⊥AB，因为 AB⊥PO，PO∩PC＝P，所以 AB⊥平面 PGC，又 CG ⊂平面 PGC，所以 AB⊥CG，即 CG 为△ABC 边 AB 上的高。同理可证 BD， AH 分别为△ABC 边 AC，BC 上的高，即 O 为△ABC 的垂心。
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第七章：立体几何初步 §7.5：直线、平面垂直的判定及其性质
第七章：立体几何初步 §7.5：直线、平面垂直的判定及其性质
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第七章：立体几何初步 §7.5：直线、平面垂直的判定及其性质
第七章：立体几何初 §7.5：直线、平面垂直的判定及其性质
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