算法实验二

17学年—18学年第 1学期算法设计与实践实验报告专业名称：数字媒体技术课程名称：算法设计与实践实验题目：3.5 设有n种不同面值的硬币，第i种硬币的币值是vk(其中v1=1),重量是wi,i=1,2……n,且现在购买某些总价值为y的商品，需要用这些硬币付款，如果每种钱币使用的个数不限，那么如何选择付款的方法是的付出钱币的总重量最轻？问题的实例：V1=1, v2=4 ,v3=6 ,v4=8 ,w1=1,w2=2,w3=4,w4=6,y=123.10 把0-1背包问题加以推广，设有n种物品，第i种物品的价值是vi，重量wi，体积是ci，且装入背包的重量限制是W，体积是V,问如何选择装入背包的物品使得其总重不超过W，总体积不超过V且价值达到最大？实验环境： Visual Studio 2015实验程序：3.5// Money.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//#include<iostream>using namespace std;#define MAX_NUM 20int main(){int weight[MAX_NUM] = { 0,1,2,4,6 };int value[MAX_NUM] = { 0,1,4,6,8 };int y = 12;int n = 5;int F[MAX_NUM][MAX_NUM] = { 0 };int t[MAX_NUM][MAX_NUM] = { 0 };int i, j;//初始化for (int j = 1; j <= y; j++) {F[1][j] = j*weight[1];t[1][j] = 1;}//迭代更新for (int i = 2; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= y; j++) {F[i][j] = F[i - 1][j];t[i][j] = t[i - 1][j];if (F[i][j - value[i]] + weight[i] <= F[i - 1][j]) {F[i][j] = F[i][j - value[i]] + weight[i];t[i][j] = i;}}}printf("钱币的总重量为：%d", F[5][12]);system("pause");}3.10// backpakage.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//#include"stdafx.h"#include<iostream>using namespace std;const int N = 4;template<class Type>int Knapsack(int n, Type c, Type v[], Type w[], int **p, int x[]); template<class Type>void Traceback(int n, Type w[], Type v[], Type **p, int *head, int x[]);int main(){int c = 8;int v[] = { 0,2,1,4,3 }, w[] = { 0,1,4,2,3 };//下标从1开始int x[N + 1];int **p = new int *[50];for (int i = 0;i<50;i++){p[i] = new int[2];}cout <<"待装物品重量分别为："<< endl;for (int i = 1; i <= N; i++){cout << w[i] <<" ";}cout << endl;cout <<"待装物品价值分别为："<< endl;for (int i = 1; i <= N; i++){cout << v[i] <<" ";}cout << endl;cout <<"背包能装的最大价值为："<< Knapsack(N, c, v, w, p, x) << endl; cout <<"背包装下的物品编号为："<< endl;for (int i = 1; i <= N; i++){if (x[i] == 1){cout << i <<" ";}}cout << endl;for (int i = 0;i<50;i++){delete p[i];}delete[] p;system("pause");return 0;}template<class Type>int Knapsack(int n, Type c, Type v[], Type w[], int **p, int x[]){ int *head = new int[n + 2];head[n + 1] = 0;p[0][0] = 0;//p[][0]存储物品重量p[0][1] = 0;//p[][1]存储物品价值，物品n的更新点（0，0）// left 指向p[i+1]的第一个更新点，right指向最后一个int left = 0, right = 0, next = 1;//next即下一个更新点要存放的位置head[n] = 1;//head[n]用来指向第n个物品第一个更新点的位置for (int i = n; i >= 1; i--){int k = left;//k指向p[ ]中更新点,移动k来判断p[]与p[]+（w v）中的受控点for (int j = left; j <= right; j++){if (p[j][0] + w[i]>c) break;//剩余的空间不能再装入i，退出for循环;Type y = p[j][0] + w[i], m = p[j][1] + v[i];//计算p[ ]+（w v）//若p[k][0]较小则(p[k][0] p[k][1])一定不是受控点，将其作为p[i]的更新点存储while (k <= right && p[k][0]<y){p[next][0] = p[k][0];p[next++][1] = p[k++][1];}//如果 p[k][0]==y而m<p[k][1]，则（y m）为受控点不存if (k <= right && p[k][0] == y){if (m<p[k][1]) { //对（p[k][0] p[k][1]）进行判断m = p[k][1];}k++;}// 若p[k][0]>=y且m> =p[k][1],判断是不是当前i的最后一个更新点的受控点//若不是则为i的更新点存储if (m>p[next - 1][1]){p[next][0] = y;p[next++][1] = m;}//若是，则对下一个元素进行判断。

while (k <= right && p[k][1] <= p[next - 1][1]){k++;}}while (k <= right){p[next][0] = p[k][0];p[next++][1] = p[k++][1];//将i+1剩下的更新点作为做为i的更新点存储}left = right + 1;right = next - 1;// 第i-1个物品第一个更新点的位置 head[0]指第0个物品第一个更新点的位置head[i - 1] = next;}Traceback(n, w, v, p, head, x);return p[next - 1][1];}//x[]数组存储对应物品0-1向量,0不装入背包，1表示装入背包template<class Type>void Traceback(int n, Type w[], Type v[], Type **p, int *head, int x[]){//初始化j,m为最后一个更新点对应的第0列及第1列//如上例求出的最后一个更新点为（8 15）j=8,m=15Type j = p[head[0] - 1][0], m = p[head[0] - 1][1];for (int i = 1; i <= n; i++){x[i] = 0;// 初始化数组；for (int k = head[i + 1]; k <= head[i] - 1;k++) { // 初始k指向p[2]的第一个更新点（0 0）//判断物品i是否装入，如上例与更新点(6 9)相加等于（8 15）所以1装入if (p[k][0] + w[i] == j && p[k][1] + v[i] == m) {x[i] = 1;//物品i被装入，则x[i]置1j = p[k][0];// j和m值置为满足if条件的更新点对应的值m = p[k][1];// 如上例j=6,m=9break;//再接着判断下一个物品}}}}实验结果：(截图)实验总结：3.5 实验：1、由线性条件约束的线性函数取最大或最小的问题2、 Fk(y)：装前 k 种物品, 总重、价值不超过 y, 背包的最小质量3、 ik(y)：装前 k 种物品, 总价值不超过 y, 背包达最小质量时装入物品的最大标号4、确定递推方程、边界条件、标记函数3.10实验：例：n=5，c=10，w={2，2，6，5，4}，v={6，3，5，4，6}。

更新点的计算过程如下：初始时p[6]={(0,0)}，(w5,v5)=(4,6)。

因此，q[6]=p[6]⊕(w5,v5)={(4,6)}。

p[5]={(0,0),(4,6)}。

q[5]=p[5]⊕(w4,v4)={(5,4),(9,10)}。

从更新点p[5]与q[5]的并集p[5]∪q[5]={(0,0),(4,6),(5,4),(9,10)}中看到更新点(5,4)受控于更新点(4,6)。

将受控更新点(5,4)清除后，得到p[4]={(0,0),(4,6),(9,10)}q[4]=p[4]⊕(6，5)={(6，5)，(10，11)}p[3]={(0，0)，(4，6)，(9，10)，(10，11)}q[3]=p[3]⊕(2，3)={(2，3)，(6，9)}p[2]={(0，0)，(2，3)，(4，6)，(6，9)，(9，10)，(10，11)}q[2]=p[2]⊕(2，6)={(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}p[1]={(0，0)，(2，6)，(4，9)，(6，12)，(8，15)}p[1]的最后的那个更新点(8,15)给出所求的最优值为m(1,c)=15。