1圆的有关概念
初中数学圆的知识点总结3篇
初中数学圆的知识点总结3篇初中数学圆的知识点总结11.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;同圆或等圆的半径相等。
2.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。
3.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4.圆是定点的距离等于定长的点的汇编。
5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的汇编;圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的汇编。
6.不在同一直线上的三点确定一个圆。
7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
8.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那它们所对应的其余各组量都相等。
9.定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
10.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
11.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
12.切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
13.经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点14.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
15.圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角。
16.如果两个圆相切，那切点一定在连心线上。
17.①两圆外离d>R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交d>R-r)④两圆内切d=R-r(R>r)⑤两圆内含d=r)18.定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
19.定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
1 圆
等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
三、点和圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种:点在圆外,点在圆上,点在圆内.设☉O的半径为r,
点P到圆心的距离OP=d,则
(1)点P在圆外⇔d >
r;
(2)点P在圆上⇔d = r;
(3)点P在圆内⇔d <
r.
探究点一:圆的有关概念
【例1】 下列说法正确吗?若不正确,请说明理由. (1)圆是指圆面; (2)直径是弦; (3)弦是直径; (4)半圆是弧,但弧不一定点 的距离等于 定长 的所有点组成的图形叫做圆.定 点是 圆心 ,定长是半径.以点O为圆心的圆记作☉O,读作“圆O”. 二、圆的有关概念 1.弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦. 直径:经过圆心的弦叫做直径.
2.圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧.
半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 3.等圆:能够 重合 的两个圆叫做等圆.
(2)若要让点A和点C有且只有一个点在圆B内,则圆B的半径应满足什么条件? 【导学探究】 2.点C在圆B内,则r >3 ,点A在圆B外,则r <5 .
解:(2)设圆B的半径为r, 当3<r<5时,点A和点C有且只有一个点在圆B内.
判断点与圆的位置关系的方法: (1)先确定点与圆心的距离; (2)再判断它与半径的大小关系.
1.等于 2 圆周的弧叫做( C ) 3
(A)劣弧 (B)半圆 (C)优弧 (D)圆 2.(2019武侯区模拟)在平面直角坐标系中,以原点O为圆心,5为半径作圆,若 点P的坐标是(3,4),则点P与☉O的位置关系是( C ) (A)点P在☉O外 (B)点P在☉O内 (C)点P在☉O上 (D)点P在☉O上或在☉O外
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
1圆的有关概念
圆的面积公式：S=πr²，其中r为圆的半径 面积计算方法：利用圆的半径计算出圆的面积 面积与周长的关系：圆的面积与圆的半径的平方成正比，而圆的周长与圆的半径成正比 面积的几何意义：表示圆所占平面的大小
定义：圆上任意两点间的弧线长度 计算公式：L = θ/360° × 2πr，其中θ为圆心角，r为半径 应用：用于计算圆的周长、弧长等 与圆周长的关系：当θ=360°时，弧长等于圆的周长
应用：在几何、代数、三角函 数等领域有广泛应用
举例：将一个圆沿水平方向向 右平移5个单位长度，得到一 个新的圆
定义：将圆绕其圆心旋转一定的角度 性质：旋转前后的圆是全等的 旋转矩阵：表示圆心和旋转角度的矩阵 应用：在几何、代数、三角函数等领域有广泛应用
定义：将图形 按照一定的比 例放大或缩小， 形状不变，大
分类：根据两个圆的公共点的个数，可以分为一般的相交和特殊的相交（即切线与圆 的交点）
定义：两个圆心距 离大于两圆半径之 和，两圆为外离
性质：两圆没有 公共点
判定：d>R+r
圆的标准方程 为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
其中，D、E、 F为常数，
D^2 + E^2 4F > 0
当F=0时，方程变为x^2 + y^2 + Dx + Ey = 0，此时圆心坐标为(-D/2,0)，半径为 sqrt(D^2/4 - D^2)
参数方程的定义 参数方程的表示方法 参数方程的应用场景 参数方程与直角坐标系的关系
定义：将图形沿某一方向等距 离移动一定的距离
性质：图形的大小和形状不变， 只改变位置
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01.
第二十四章圆(完整知识点)人教版九年级数学上册
第二十四章 圆一、圆的有关概念及表示方法 （一）圆的定义1、描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
2、集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。
（二）圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⨀O ，读作“圆O ”。
（三）圆具有的特性1、圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）。
2、到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
注：（1）确定一个圆需要两个因素：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心[三点不共线(直径)]构成的三角形都是等腰三角形。
（四）圆的有关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
以AC 为端点的弦，记作：弦AC 。
注：圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦，但弦不一定是直径。
2、弧2.1圆上任意两点间的部分叫做圆弧、简称弧。
以A 、B 为端点的弧记作⨀AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
2.2圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的⨀ABC 。
小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的⨀AC。
注：（1）在一个圆中，任意一条弦都对着两条弧，任意一条弧只对着一条弦。
（2）弧包括优弧、劣弧、半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧。
3、同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。
4、等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
5、同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。
二、圆的有关性质 （一）垂直于弦的直径1、圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
名称 文字语言 符号语言 图示垂径 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
圆的概念和性质
圆的概念和性质知识目标模块一圆的有关概念易错总结判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．（2）过圆心的线段是直径．（3）直径只有一条．（4）过圆内一点只能作一条直径．（5）半圆是弧，弧是半圆．（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（7）长度相等的弧是等弧．例1（1）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，︒∠的度数为．BOC，AD∥OC，则A O D∠110=B （2）如图，在ABC∠70C，则BOD=∠的度数为．=∆中，AB为⊙O的直径，︒∠60B，︒（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为 .【练习】（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为．AE（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为 ．HFCGO【拓展】（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．模块二 圆的有关性质垂径定理“知二求三”：BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．（2）如图，在Rt△ABO中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，则PB= .A【练习】如图，在⊙O中，AB为直线，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN= .A【例3】（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：BDAC ．（2）如图，AB是⊙O的直径，P是AB上一点，且PB平分∠CPD，求证：PC=PD.【练习】如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPO.P【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒AC 的中点，AB MN ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．N AO（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．M题型二圆周角定理二、圆周角定理四、圆周角导角思路： 1.利用同弧或等弧转化角2.利用直径构造直角三角形转化角3.利用圆的内接四边形转化角4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角. 【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为 ．（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为 ．（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为 ．（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝ ．【例6】（1）如图，AB是半圆O的直径，D为弧AC的中点，∠B＝40°，则∠C的度数为．（2）如图，△ABC内接于⊙O，CH AB于H，连OC，若∠HCB＝15°，则∠ACO＝．（3）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，直径AB交CD于点E，已知∠C＝57°，∠D＝45°，则∠CEB＝．A（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC于E，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠AEB ＝．【例7】（1）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为．（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为．（3）如图，⊙O的半径为1，弦AB ACB＝．（4）如图，⊙O的半径为1，弦ABAC，则∠BOC＝．圆的概念和性质A基础巩固1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为2．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BOD ＝90°，则∠BCD 的度数为3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足是E ，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE 的值为4．如图，CD 为⊙O 的直径，CD AB ⊥于E ，8=DE ，2=CE ，则=AB．C5.如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为径，弦CD ⊥AB ，垂足是E，连接OC ，若OC ＝5，CD ＝8，则AE ，则⊙O 1的半径为6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为CB 综合训练9．如图，AB 、CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 、ON ．如果AB=CD ，求证：OM =ON ．A B10.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于E 、F ，且AE=BF ，求证：OE=OF11.已知：如图，在△ANBC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连接EB 交OD 于点F.（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长.BAC数学故事蝴蝶定理蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。
初三《圆》章节知识点汇总
《圆》章节知识点汇总一、圆的概念 集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2、直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点；3、直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒R r d R r -<<+；内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-；内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；A图2图4图5图1五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
高二必修一数学圆的知识点
高二必修一数学圆的知识点圆是我们学习数学中的一个重要几何图形，也是高二必修一数学课程中的一个重点内容。
本文将围绕圆的基本概念、圆的性质以及常见的圆相关问题展开讲述。
1. 圆的基本概念圆是平面上一组与给定点距离相等的点的集合。
其中，给定点称为圆心，距离称为半径。
用字母O表示圆心，r表示半径。
圆上的任意一点到圆心的距离都等于半径，即OA=OB=OC=r。
2. 圆的性质（1）圆的直径圆的直径是通过圆心且两个端点在圆上的线段，直径的长度等于半径的两倍。
记作d=2r。
（2）圆的弦圆的弦是连接圆上两点的线段。
圆的直径也是一种特殊的弦，长度等于圆的直径。
（3）圆的弧圆上的弧是由两个端点和圆上的一段弧线组成的，弧上的点到圆心的距离与半径相等。
（4）圆的周长圆的周长是圆上边长的总和，也可以理解为圆的一周。
圆的周长公式为C=2πr，其中π是一个无理常数，约等于3.14159。
（5）圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域。
圆的面积公式为A=πr²，也就是圆的半径平方乘以π。
3. 圆的相关问题（1）判定两条线段是否相交于圆上如果两条线段的其中一条的两个端点都在圆上，那么这两条线段相交于圆上。
（2）求圆内接四边形的面积在一个圆内，有且只有一个内接四边形，它的四个顶点都在圆上。
求解内接四边形的面积可以使用海伦公式。
（3）求解圆与直线的交点当给定一个圆和一条直线时，可以通过联立圆的方程和直线的方程来求解交点的坐标。
（4）判断一个点是否在圆内如果一个点到圆心的距离小于半径，那么这个点在圆内；如果一个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上；如果一个点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外。
（5）求解切线与圆的交点切线是与圆只有一个交点的直线，而半径是与圆有两个交点的直线。
求解切线与圆的交点可以通过计算切线的斜率和圆心到切点的距离。
综上所述，圆是数学中的一个基础图形，具有许多特点和性质。
通过对圆的基本概念、性质和相关问题的学习，我们能够在实际问题中更好地应用圆的知识，解决各种与圆相关的数学问题。
圆的概念及性质(一)讲义
注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角
a形，根 据 垂径定理与勾股定理有：r2?d2?()2，根据此公式，在a，r，d2
三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量． ③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相
（一）圆的相关概念及性质
一 知识梳理
1. 圆的有关概念和性质
（1）圆的有关概念
①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径． ②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣
弧．
③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．
（2）圆的有关性质：
①圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心． ②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
推论1：a .平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
c .平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
等，那么 它们所对应的其余各组量都分别相等．
推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角
所对的弦是直径．
④三角形的内心和外心
a：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
b：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆
心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
c：பைடு நூலகம்角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形
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1．阅读材料 引入新知
我国古代，半坡人就已经会造圆形的房顶了．大约 在同一时代，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮 子——圆的木轮．很早之前，人们将圆的木轮固定在木 架上，这样就成了最初的车子． 2 000 多年前，墨子给 出圆的定义“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心， 圆心到圆周的长都相等．这个定义比古希腊数学家欧几 里得给圆下的定义要早很多年．
• 学习重点： 圆的有关概念．
1．阅读材料 引入新知
古代人最早是从太阳，阴历十五的月亮得到圆的概 念的．那么是什么人做出第一个圆的呢？18 000 年前的 山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从 另一面钻，石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径， 这样以同一个半径和圆心一圈圈地转，就可以钻出一个 圆的孔．到了陶器时代，许多陶器都是圆的，圆的陶器 是将泥土放在一个转盘上制成的．
2．合作交流，学习新知
2．合作交流，学习新知
圆的概念 如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
固定的端点 O 叫做圆心；
A
线段 OA 叫做半径；
r
以点 O 为圆心的圆，记作 ⊙O，读作“圆O”．
· O
2．合作交流，学习新知
确定一个圆的两个要素: 一是圆心， 二是半径．
弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
A O●
B
若∠AOB=60°， 则△AOB是_____三角形.
C 1.如图,半径有:______________
2.如图,弦有:______________
3．与圆有关的概念
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为端点的弧记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
24.1 圆的有关性质（第1课时）
课件说明
• 圆是继三角形、四边形等基本图形后的又一个重要内 容，圆的有关概念为今后学习圆的知识奠定了基础．
课件说明
• 学习目标： 1．通过观察实验操作，感受圆的定义，结合图形认 识弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣 弧等有关概念； 2．在具体情景中，通过探究、交流、反思等活动获 得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法．
C
A
o
B
D
2.如图，AC、BD是⊙O的两条互相垂直的直径。 ⑴ 试判断四边形ABCD是什么特殊的四边形？为什么？ ⑵ 若⊙O的半径r=2㎝，求四边形ABCD的面积。
D
A
C O
B
3.如图，点A,D,G,M在半圆O上，四边形ABOC， DEOF，HMNO都是矩形，设BC = a，EF = b， NH = c，则下列各式正解的是( )
O A
C
B
E
D
下列命题是否正确？为什么？ ①直角三角形的三个顶点在同一个圆上； ②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③平行四边形的四个顶点在同一个圆上； ④菱形四条边的中点在同一个圆上。
5. 若⊙O所在的平面内有一点A，这一点A到⊙O上的 点的最大距离为m，最小距离为n，则此圆的半径.
O·
A．a>b>c
B．a=b=c
C．c >a>b
D． b>c> a
G
E
D
M
H
B
A
N
O FC
如图，CD是⊙O的直径，A是DC延长线 上一点，E在⊙O上， ∠EOD=78°，AE 交⊙O于点B，且AB=OC，求∠A的度数。
E
B
D
O
C
A
变式练习 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB、 CD的延长线交于点E。已知 AB = 2DE， ∠E = 18°，求∠AOC的度数．
√
（3）过圆心的线段是直径；
×
（4）半圆是最长的弧；
×
（5）圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆；×
（6）半径相等的两个半圆是等弧． √
4．应用拓展，培养能力
2．写出图中的弧、弦． A
O
B
C
4．应用拓展，培养能力
求证：直径是最大的弦
4．应用拓展，培养能力
1.如图，AB、CD 为⊙O的直径，请判断 AD、BC的关系，并说明理由。
O
同心圆 圆心相同，半径不同
等圆 半径相同，圆心不同
2．合作交流，学习新知
动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
A r · O
静态：圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成是所有到 定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
3．与圆有关的概念
D
F
O
A
B
I
E
C
3．与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
B O A
B’
O1 A’
3．与圆有关的概念
等弧
B O A
O’
B’ A’
3．与圆有关的概念
等弧 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧．
B O A
B’
O1 A’
4．应用拓展，培养能力
1．判断下列说法的正误：
（1）弦是直径；
×
（2）半圆是弧；
B
O A
3．与圆有关的概念
弧 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧都叫做半圆．
B
O
ห้องสมุดไป่ตู้
A
C
3．与圆有关的概念
劣弧与优弧 小于半圆的弧（如图中的 AC）叫做劣弧． 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC） 叫做优弧．
B
O
A
C
如图，用正确的方式表示出以点A为端点的优 弧及劣弧.