高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案
12、函数模型及其应用(含答案)
12函数模型及其应用1.七类常见函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．5．解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．2．建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．练习一1.有一组试验数据如表所示：A．y＝2x＋1－1 B．y＝x2－1C．y＝2log2x D．y＝x3答案 B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是y＝x2－1.2.物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案 B解析B中，Q的值随t的变化越来越快．故选B.3.有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为200－x4m，则S＝x·200－x4＝14(－x2＋200x)＝－14(x－100)2＋2500.当x＝100时，S max＝2500 m2.4．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是( )答案 B解析当h＝H时，体积为V，故排除A，C；由H→0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.5．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为( )答案 D解析 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ， 则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)， 显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D. 6.某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散．设f (t )表示学生注意力指标．该小组发现f (t )随时间t (分钟)的变化规律(f (t )越大，表明学生的注意力越集中)如下：f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－600≤t ≤10，34010<t ≤20，－15t ＋64020<t ≤40(a >0且a ≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ 解 (1)由题意得，当t ＝5时，f (t )＝140， 即100·a510－60＝140，解得a ＝4. (2)因为f (5)＝140，f (35)＝－15×35＋640＝115， 所以f (5)>f (35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中． (3)①当0<t ≤10时，由(1)知，f (t )＝100·4t 10－60≥140，解得5≤t ≤10；②当10<t ≤20时，f (t )＝340>140恒成立； ③当20<t ≤40时，f (t )＝－15t ＋640≥140， 解得20<t ≤1003. 综上所述，5≤t ≤1003. 故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟． 7．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元答案 A解析 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎨⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5，故选A.8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．答案 24解析 由题意得⎩⎨⎧e b＝192，e22k ＋b＝48，即⎩⎨⎧e b ＝192，e11k＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．9．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)如图，作PQ ⊥AF 于点Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4， 在△EDF 中，EQ PQ ＝EF FD， 所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}． (2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．10．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析 根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.11．已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10；③假设科学家将B 菌的个数控制为5万，则此时5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号)答案 ③解析 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A＝lg n A ＝lg 2＋5.又lg 2≈0.3，∴P A ≈5.3，则5<P A <5.5，即③正确．12．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎨⎧50x －1153≤x ≤6，x ∈Z ，－3x 2＋68x －1156<x ≤20，x ∈Z .(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185； 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．13.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 2≈0.3010)( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，∴x ≥1lg 2≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.14．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 对于A 中的函数，当x ＝3或4时，误差较大．对于B 中的函数，当x ＝4时误差较大．对于C 中的函数，当x ＝1,2,3时，误差为0，x ＝4时，误差为10，误差很小．对于D 中的函数，当x ＝4时，据函数式得到的结果为300，与实际值790相差很远．综上，只有C 中的函数误差最小．15．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y (只)与时间x (年)近似地满足关系y ＝a log 3(x ＋2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为( )A ．4000只B ．5000只C ．6000只D ．7000只答案 C 解析 当x ＝1时，由3000＝a log 3(1＋2)，得a ＝3000，所以到2020年冬，即第7年，y ＝3000×log 3(7＋2)＝6000，故选C.15.某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．无法判断盈亏情况C ．没有盈利也没有亏损D ．略有亏损答案 D解析 由题意可得(1＋10%)3(1－10%)3＝0.993≈0.97<1.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损．16．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x 年后，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 D解析 设某地区起始年的绿化面积为a ，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x 年后，绿化面积g (x )＝a (1＋18%)x ，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y ，则y ＝f (x )＝g x a＝(1＋18%)x ＝1.18x ，因为y ＝1.18x 为底数大于1的指数函数，故可排除A ，C ，当x ＝0时，y ＝1，可排除B ，故选D.17．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t (单位：min)后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )⎝ ⎛⎭⎪⎫12t h，其中T a 称为环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min ，那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃，还需要________ min.答案 8解析 由题意知T a ＝21 ℃.令T 0＝85 ℃，T ＝37 ℃，得37－21＝(85－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1216h ，∴h ＝8.令T 0＝37 ℃，T ＝29 ℃，则29－21＝(37－21)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 8，∴t ＝8.18．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2， 即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．19．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120.设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f (x )最大？ 解 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5. (2)由题知，f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250， 依题意得⎩⎨⎧ x ≥20，200－x ≥20，解得20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t 2＝x ，t ∈[25，65]， y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，y 取得最大值282，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．。
高一必修一数学函数模型的应用实例测试题(带答案)
高一必修一数学函数模型的应用实例测试题（带答案）高一必修一数学函数模型的应用实例测试题（带答案）函数与方程是考试重点，快来做一些同步练习吧!精品小编为你准备了高一必修一数学函数模型的应用实例测试题，具体请看以下内容。
高一数学函数模型的应用实例测试题(带答案新人教A版必修1)一、选择题1.随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例函数关系. 当x=36 kPa时，y=108 g/m3，则y与x的函数解析式为()A.y=3x(x≥0)B.y=3xC.y=13x(x≥0)D.y=13x[答案] A2.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y=5x+4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本日产手套量至少为()A.200副B.400副C.600副D.800副[答案] D[解析] 由10x-y=10x-(5x+4000)≥0，得x≥800.[解析] 由表知自变量x变化1个单位时，函数值y变化2个单位，所以为一次函数模型.6.一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是()[答案] C[解析] 从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A;从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B;从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.高一必修一数学函数模型的应用实例测试题就介绍到这，更多内容请关注查字典数学网!。
(10)函数模型及其应用 Word版含答案
寒假作业（10）函数模型及其应用1、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010.则下列各数中与M N 最接近的是( )(参考数据:lg30.48≈) A.3310 B.5310 C.7310 D.93102、一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽 车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追t 汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5米D.人追不上汽车，其间距最少为7米3、某市原来的民用电价为0.52元()/kW h ⋅,换装分时电表后,峰时段的电价为0.55元()/kW h ⋅,谷时段的电价为0.30元()/kW h ⋅.对于一个平均每天用电量为15kW h ⋅的家庭,要使节省的电费不少于原来电费的20%,则这个家庭每天在峰时段的平均用电量至多为( )A. 6.5kW h ⋅B. 6.96kW h ⋅C. 7.5kW h ⋅D. 8kW h ⋅4、据调査，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普 通车存车数为x 辆次，存车费总收人为y 元，则y 关于的x 函数关系式为( )A.0.1800(04000)y x x =+≤≤B.0.11200(04000)y x x =+≤≤C.0.1800(04000)y x x =-+≤≤D.0.11200(04000)y x x =-+≤≤5、生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为1()2202C x x x 2=++ (万元).一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月生产该商品数量应为( ) A.18万件 B.20万件 C.16万件 D.8万件6、某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的函数解析式为540000y x =+,而手套出厂价格为每双10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为( )A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双7、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位:万元)分别为21 5.06 1.5L x x =-，22L x =， 其中x 为销售量（单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）A.45. 606万元B.45. 6万元C.46. 8 万元D.46. 806 万元8、某乡镇企业有一个蔬菜生产基地共有8位工人，过去每人年薪为1万元，从今年起，计划每人每年的工资比上一年增加20%，并且每年新招3位工人，每位新工人第一年年薪为8千元，第二年开始拿与老工人一样数额的年薪，那么第n 年付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数为( )A.(35) 1.2 2.4n y n =+⨯+B.8 1.2 2.4n y n =⨯+C.(38) 1.2 2.4n y n =+⨯+D.1(35) 1.2 2.4n y n -=+⨯+9、乙从A 地到B 地，途中前一半时间的行驶速度为1v ，后一半时间的行驶速度是2v （12v v <），则乙从A 地到B 地所走过的路程s 与时间t 的关系图示为( )A. B. C. D.10、某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进，如果购买的苹果为x 千克，小王付款后的剩余现金为y 元，则y 与x 之间的函数解析式为( )A.3000 2.5(1001200)y x x =-≤≤B.3000 2.5(1001200)y x x =-<<C.3000 2.5(01200)y x x =-<<D.3000 2.5(01200)y x x =-≤≤11、已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份x 满足关系()0.5x y a b =⋅+,现已知该厂今年1月2月生产该产品分别为1万件、1.5万件,则此厂3 月份该产品产量为__________。
2024-2025年北师大版数学必修第一册5.2.2用函数模型解决实际问题(带答案)
2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练知识点一已知函数模型的实际应用1．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(6－x)，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．知识点二未知函数模型的实际应用2．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝12x (x ∈N *) B ．y ＝x 12 (x ∈N *)C ．y ＝2x (x ∈N *)D ．y ＝12x (x ∈N *)3．有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．知识点三 分段函数模型的实际应用4．北京冬奥会举世瞩目，树立了中国形象，同时也带动了中国冰雪运动器械的蓬勃发展，张家口某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x 千件，需另投入成本C (x )万元．当年产量低于30千件时，C (x )＝14 x 2＋10x ；当年产量不低于30千件时，C (x )＝50x ＋4 500x －15 －1 300.每千件产品的售价为30万元，且生产的产品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式．(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？关键能力综合练1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x2．冈珀茨模型(y＝kk k k)是由冈珀茨(Gompertz)提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律．已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：y＝k0·e1.4e－0.125k (当t＝0时，表示2020年初的种群数量)，请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量将不足2022年初种群数量的一半( )(ln 2≈0.7)A．2031 B．2020C．2029 D．20283．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是( )4．赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．赣南脐橙年产量达百万吨，原产地江西省赣州市已经成为脐橙种植面积世界第一，年产量世界第三，全国最大的脐橙主产区．假设某赣南脐橙种植区的脐橙产量平均每年比上一年增长20%，若要求该种植区的脐橙产量高于当前脐橙产量的6倍，则至少需要经过的年数为( )(参考数据：取lg 2＝0.3，lg 3＝0.48)A．9 B．10C．11 D．125．如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)，经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )6.有一批材料可以建成360 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)7．(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________． 8．(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a ＞2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域． (2)当AE 为何值时，绿地面积y 最大？核心素养升级练1．(多选题)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0， 且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．以下结论正确的是( )A．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B．当x∈[－6，6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D．到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间2．(情境命题—生活情境)在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求：在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x(m)，总造价为y(元).(1)将y表示为关于x的函数；(2)当x取何值时，总造价最低．2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练1．解析：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2 ＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(6－x ). 设商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )元， 则f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(6－x )]＝2＋10(x －3)(6－x )＝－10x 2＋90x －178 ＝－10(x －92 )2＋492(3＜x ＜6).当x ＝92 时，函数f (x )在定义域(3，6)上取得最大值，最大值为492 ，即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 2．答案：D解析：由题意可得，剩下的部分依次为12 ，14 ，18，…，因此x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为y ＝12x (x ∈N *)，故选D.3．解析：设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ， 则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ， 所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2 x 2＋4xy ＝π2 x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6 x 2＋23 lx ＝－36＋π6 ·(x －2l 36＋π )2＋2l23（36＋π） .要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π ＜l9＋π ，所以当x ＝2l 36＋π ，y ＝l －（9＋π）x 6 ＝l （18－π）6（36＋π）， 即x y ＝1218－π 时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l 23（36＋π）.4．解析：(1)当0<x <30时，L ＝30x －14 x 2－10x －100＝－14 x 2＋20x －100；当x ≥30时，L ＝30x －⎝ ⎛⎭⎪⎫50x ＋4 500x －15－1 300 －100＝－20x －4 500x －15 ＋1 200. 所以L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2＋20x －100，0<x <30，－20x －4 500x －15＋1 200，x ≥30.(2)当0<x <30时，函数的对称轴为x ＝40，所以此时该函数是单调递增函数，因此有L <－14×900＋20×30－100＝275，当x ≥30时，L ＝－20x －4 500x －15 ＋1 200＝－20×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15＋225x －15＋15 ＋1 200≤－20()2225＋15 ＋1 200＝300，当且仅当x ＝30时，等号成立．因为300>275，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元．关键能力综合练1．答案：C解析：当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C. 2．答案：D 解析：∵y ＝k 0·e 1.4e－0.125k，当t ＝0时，y ＝k 0·e 1.4， ∴当t ＝m 时，y ＝k 0·e 1.4e－0.125k，∵m (m ∈N )年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半， ∴k 0·e 1.4e－0.125k<12k 0·e 1.4， 由题可知，k 0是大于0的常数，即2·e1.4e－0.125m<e 1.4，两边取对数可得，ln 2＋1.4e－0.125m<1.4， ∵ln 2≈0.7， ∴e－0.125m<12，两边取对数可得，－0.125m <－ln 2≈－0.7，解得m >5.6，m ∈N *， 故m 的最小值为6.故选D. 3．答案：B解析：设AD 长为x ，则CD 长为16－x ，又∵要将点P 围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12. 则矩形ABCD 的面积S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64. 若0＜a ＜8，当且仅当x ＝8时，S max ＝u ＝64； 若8≤a ＜12，S max ＝u ＝a (16－a ).故函数u ＝f (a )的解析式为u ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0＜a ＜8，a （16－a ），8≤a ＜12， 画出函数图象可得其形状与B 接近，故选B.4．答案：B解析：假设当前该种植区的脐橙产量为1，经过x 年该种植区的脐橙产量为(1＋20%)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65 x ，由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫65 x≥6，得到x ≥log 656，又因为log 656＝lg 6lg 65＝lg 6lg 6－lg 5 ＝lg 2＋lg 3lg 2＋lg 3－()1－lg 2 ＝lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3－1 ＝0.3＋0.480.6＋0.48－1 ＝0.780.08＝9.75，所以x >9.75，故至少需要经过的年数为10.故选B. 5．答案：C解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性．选项A ，B ，D 由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C ，后面是直线增加，不满足题意，故选C.6．答案：8 100解析：如图，设每个小矩形的长为a m ，则宽为b ＝13(360－4a )m ，记面积为S m 2.则S ＝3ab ＝a (360－4a )＝－4a 2＋360a (0＜a ＜90). ∴当a ＝45时，S max ＝8 100(m 2). ∴围成场地的最大面积为8 100 m 2. 7．答案：①②③解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故③正确，④错误．8．易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响．本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值．解析：(1)由题可得S △AEH ＝S △CFG ＝12 x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝12 (a －x )(2－x )，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △BEF ＝2a －x 2－(a －x )(2－x ) ＝－2x 2＋(a ＋2)x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，a －x ＞0，2－x ＞0，a ＞2，得0＜x ＜2.当x ＝2时，点H ，F 分别与点D ，B 重合，y ＝2a －4，满足y ＝－2x 2＋(a ＋2)x .综上，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，定义域为(0，2].(2)由(1)得y ＝－2(x －a ＋24)2＋（a ＋2）28，0＜x ≤2.当a ＋24 ＜2，即2＜a ＜6时，最大值在x ＝a ＋24 时取得，即y max ＝（a ＋2）28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x 在(0，2]上是增函数，则x ＝2时，y max＝2a －4.综上所述，当2＜a ＜6，AE ＝a ＋24 时，绿地面积取最大值（a ＋2）28 ；当a ≥6，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.核心素养升级练1．答案：AD解析：由题意知当x ＝4时，t ＝16，∴24k ＋6＝16＝24，∴4k ＋6＝4，∴k ＝－12，∴当x ＞0时，t ＝2－x2＋6，故当x ＝6时，t ＝23＝8，故A 正确． 由题知当x ≤0时，t ＝64，故B 不正确． 由题图知此日13时，室外温度为10 ℃，当x ＝10时，t ＝2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C 不正确，D 正确．故选A 、D.2．解析：(1)因为矩形区域的面积为200 m 2，故矩形的宽为200x，绿化的面积为2×2×x ＋2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫200x －4 ＝4x ＋800x －16， 中间区域硬化地面的面积为(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫200x －4 ＝216－4x －800x ， 故y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋800x －16 ×200＋⎝⎛⎭⎪⎫216－4x －800x ×100， 整理得到y ＝400x ＋80 000x ＋18 400，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0200x－4>0 可得4<x <50， 故y ＝400x ＋80 000x＋18 400，4<x <50. (2)由基本不等式可得400x ＋80 000x＋18 400≥400×2200 ＋18 400＝8 0002 ＋18 400， 当且仅当x ＝102 时等号成立，故当x ＝102 时，总造价最低．。
函数模型及其应用Word版含答案
函数模型及其应用【课前回顾】1．几类函数模型(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：【课前快练】1．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案：B2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得： a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ， 所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数x (km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )．当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)． 答案：2 500考点一 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用1．解题入口——准确构建函数模型(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解．(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决．(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．2．解题过程——谨防3种失误(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．【典型例题】牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．[学审题]①空闲率是指“1－xm ”；②利用(1)的函数关系求羊群年增长量的最大值；③构造一个关于k 的含参数m 的不等式，解不等式后即可求出k 的取值范围．解：(1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为xm ，故空闲率为1－xm ，由此可得y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0＜x ＜m )． (2)由(1)知y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m ＝－km (x 2－mx ) ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0＜x ＋y ＜m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km4，所以0＜m 2＋km4＜m ，解得－2＜k ＜2.又因为k ＞0，所以0＜k ＜2. 故k 的取值范围为(0,2)．【针对训练】为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y 关于x 的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0.解得x ≥2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20.故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z)， 显然当x ＝6时，y max ＝185.对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z)，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．考点二 函数y ＝ax ＋bx 模型的应用1．应用函数y ＝ax ＋bx模型的2个关键点(1)明确对勾函数是由正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝bx 叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋bx 的模型，有时可以将所列函数解析式转化为f (x )＝ax ＋bx的形式．2．谨防2种失误(1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．【典型例题】某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[构建模型]因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )元．从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥2300x ·3x ＋357＝417， 当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【针对训练】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝__________米．解析：设横段面的高为h ， 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )·32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2＞0，得2≤x ＜6.所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)， y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x2＝63，当且仅当18x ＝3x2，即x ＝23时取等号．故所求防洪堤的腰长为23米． 答案：2 3考点三 指数、对数函数模型的应用1．谨记解决这类问题的2个关键(1)准确理解题意(有时为了叙述背景的需要，这类问题的题干有点长，因而认真审题，准确理解题意显得尤为重要)．(2)根据具体情境确定相关解题策略(如解决给出函数图象的实际应用问题，关键在于准确识图；而对于典题领悟这类指数函数、对数函数模型的实际应用问题，关键在于充分利用幂与对数的运算，以及指数函数、对数函数的图象与性质分析、解决问题)．2．掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．【典型例题】候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．【针对训练】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． 【课后演练】1．下列函数中，随x 的增大，y 的增大速度最快的是( ) A ．y ＝0.001e x B ．y ＝1 000ln x C ．y ＝x 1 000D ．y ＝1 000·2x解析：选A 在对数函数，幂函数，指数函数中，指数函数的增长速度最快，故排除B 、C ；指数函数中，底数越大，函数增大速度越快，故选A.2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米解析：选A 设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．故选A.3．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 将x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；将x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 210－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为( )A ．240吨B ．200吨C ．180吨D ．160吨解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx ≥2x 10·4 000x －30＝10，当且仅当x 10＝4 000x ，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0<x ≤503. 因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D 根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．7．(2018·西安八校联考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：208．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：99.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x＝6时，y ＝1909.答案：190910．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为______个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k ，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024. 答案：1 02411．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C 如x ＝1时，应付费2元， 此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.12．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n (n ∈N *)个“半衰期”后的含量为⎝⎛⎭⎫12n ，由⎝⎛⎭⎫12n ＜11 000得n ≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.13.如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )解析：选D 由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x2＝4－x ， 所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分， 且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3,4)，故选D.14．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80. 答案：(1)120 (2)8015．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．解析：由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N)．则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x )＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房月租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．答案：3 30016．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7，假设该产品产销平衡，根据上述统计数据规律求：(1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？ 解：依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0，解得3＜x ＜10.5. 所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内． (2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5， 故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大．17．某厂为巴西奥运会生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)．当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450.每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)由题意可得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x ＋250，当x ≥80时，L (x )＝0.05×1 000x －⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450＋250， 即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，为950.当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ≤1 200－2 x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，为1 000.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．18. (2017 ·辽宁抚顺一模)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， 故f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。
高一数学函数模型及其应用试题
高一数学函数模型及其应用试题1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2【答案】D【解析】画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.2.今有一组数据，如表所示：()A．指数函数 B．反比例函数C．一次函数 D．二次函数【答案】C【解析】画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．3.某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是()A．增加7.84%B．减少7.84%C．减少9.5%D．不增不减【答案】B【解析】设该商品原价为a，四年后价格为a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.9216a.所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来减少了7.84%.4.如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的()【答案】C【解析】设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.5.现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．【答案】甲【解析】图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．6.某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：①前3年总产量增长速度越来越快；②前3年中总产量增长速度越来越慢；③第3年后，这种产品停止生产；④第3年后，这种产品年产量保持不变．以上说法中正确的是________．【答案】①④【解析】观察图中单位时间内产品产量y变化量快慢可知①④.7.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示．(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式；(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】(1) y＝－x＋1000(500≤x≤800)(2) 销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件【解析】解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中，得解得所以，y＝－x＋1000(500≤x≤800)．(2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y代入求毛利润的公式，得S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)．所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．8.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．无法判断【答案】A【解析】∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－)，∴b＝a×，∴b＜a.(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们9.某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只【答案】A(x＋1)，得y＝300.【解析】由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog210.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过10 m3，按每立方米x元收取水费；每月用水超过10 m3，超过部分加倍收费，某职工某月缴费16x元，则该职工这个月实际用水为()A．13 m3B．14 m3C．18 m3D．26 m3【答案】A【解析】设用水量为a m3，则有10x＋2x(a－10)＝16x，解得a＝13.。
函数模型及其应用高一数学总结练习含答案解析C
3.4.2 函数模型及其应用一、解决实际问题的程序实际问题→①建立 →②得到 →解决实际问题.其中 ③ 是关键. 二、常见几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) 指数函数模型f(x)=ba x +c(a,b,c 为常数,a>0且a≠1,b≠0)分段函数模型f(x)={f 1(x ),x ∈D 1f 2(x ),x ∈D 2…f n (x ),x ∈D n建立函数模型解决实际问题的方法:(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系; (2)利用待定系数法确定具体的函数模型;(3)对选定的函数模型进行适当的评价、比较,并选择最恰当的模型; (4)根据实际问题对模型进行适当的修正.函数模型的应用1.(2014江苏海门中学检测,★☆☆)某公司是一家专做产品A 国内外销售的企业,每一批产品A 上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图所示,其中图(1)中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图(2)中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系;图(3)中的折线表示每件产品A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同).(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)(万件)、国外市场的日销售量g(t)(万件)与第一批产品A 的上市时间t 的关系式;(2)第一批产品A上市后,求日销售利润Q(t)(万元)的解析式.思路点拨(1)根据函数图象即可求出函数解析式;(2)日销售利润就是日销售量和每件产品销售利润的乘积,日销售量是国内外市场日销售量的总和.2.(2014江苏扬州大学附中单元检测,★★☆)在一条直线形的工艺流水线上有3个工作台,将工艺流水线用如图所示的数轴表示,各工作台的坐标分别为x1,x2,x3,每个工作台上有若干名工人.现要在x1与x3之间修建一个零件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短.(1)若每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置;(2)设工作台从左到右的人数依次为2,1,3,试确定供应站的位置,并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.思路点拨设供应站的坐标为x,将各工作台上所有工人到供应站的距离之和用含x的式子表示,并求函数的最小值.3.(2014江苏常州中学检测,★★☆)我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示,但在实际测量时,常用声音的强度水平LI 表示,满足以下公式:LI=10·lg II0(单位为分贝,LI ≥0,其中I=1×10-12 W/m2,这是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答以下问题:(1)树叶沙沙声的强度是1×10-12 W/m2,耳语的强度是1×10-10 W/m2,恬静的无线电广播的强度是1×10-8 W/m2,试分别求出它们的强度水平;(2)在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下(不包括50分贝),试求声音强度I的范围是多少.思路点拨准确审题后,把握函数模型,解决问题.一、填空题1.如下图,某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a千米,休息了一段时间,又沿原路返回b千米(b<a),再前进c千米,则此人离起点的距离s与时间t的关系的示意图是.(填序号)2.某企业各年总产值预计以10%的速度增长,若2012年该企业总产值为1 000万元,则预计2015年该企业总产值为.3.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式是.4.某商人购货,进价已按原价a元扣去25%,他希望对货物定一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价的25%的纯利,则此商人卖出这种货物的件数x与按新价让利总额y元之间的函数关系式是.5.一种商品的成本原来是a元,今后几年内,预计可使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是年数x的函数(0<x<m),其函数关系式是.6.某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有种.7.以墙为一边,用篱笆围成一个长方形的场地,如下图,已知篱笆的总长为定值l,则这块场地面积y与场地一边长x的关系式为.8.某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有可筑墙的某种材料,其总长度为l米.如果要使围出的场地面积最大,则场地的最大面积为平方米.9.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an共n个数据,我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a= .10.把长为12 cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值为.11.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,原来按成本价出售,由于市场销售发生变化,甲产品连续两次提价,每次提价都是20%;同时乙产品连续两次降价,每次降价都是20%,结果都以92.16元出售,此时厂家同时出售甲、乙产品各一件盈亏的情况是.12.光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为a,通过x块玻璃后强度为y,则y关于x的函数关系式为;至少通过块玻璃后,光线强度减弱到原来的13以下.(lg 3≈0.477 1)二、解答题13.一个自来水厂的蓄水池中有450吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水量为160√5t吨,现在开始向水池中注水并同时向居民小区供水.(1)问多少小时后蓄水池中水量最少?(2)当蓄水池中水量少于150吨时,就会出现供水紧张现象,问每天有几小时供水紧张?14.中国移动通信公司拥有“全球通”“神州行”“动感地带”三大著名客户品牌.某地“全球通”收费标准是月租费50元,通话1分钟话费为0.4元;“神州行”不交月租费,本地接听和主叫均为0.6元/分钟,长途为0.8元/分钟;“动感地带”的最大卖点在于其短信套餐,分别为每月支付20元可发300条短信或者每月支付30元可发500条短信(假设选择第一种套餐),一条不到一毛钱,拨打本地电话为0.4元/分钟,拨打长途为0.6元/分钟,免交月租.若一个月通话x分钟(仅考虑均拨打本地电话的情况),三种方式的费用分别为y1元、y2元和y3元.(1)一个月内通话多少分钟时,“全球通”与“神州行”的通信费用相同?(2)某人估计一个月内通话300分钟,应选择哪种通信方式合算?15.某地投资建印染厂,为了保护环境,需制订治污方案.甲方案为永久性治污方案,需一次投入100万元;乙方案为分期治污方案,需每月投资5万元.若投资额按复利计算,月利率为1%,试比较投产几个月后甲方案与乙方案的优势.(必要时可用以下数据:lg 1.010≈0.004 3,lg 1.253≈0.098,lg 1.250≈0.096 9,lg 1.235≈0.091 7)注:1+q+q2+…+q n=1-q n+11-q(q≠1).16.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要增加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台,销售收入的函数为R(x)=5x-x 22(万元)(0≤x≤5),其中x是年生产机器的数量(单位:百台).(1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时,工厂所得的利润最大?(3)年产量是多少时,工厂才不会亏本?一、填空题1.(2015江苏淮阴中学检测,★☆☆)一个水池每小时注入的水量是全池的110,水池还没有注水部分的总量y随时间x变化的关系式为.2.(2015江苏海门中学训练,★★☆)某学校要装备一个实验室,需要购置实验设备若干套,与厂家协商后厂家同意按出厂价结算,若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠.如果按出厂价购买应付a元,但再多买11套就可以按优惠价结算,恰好也付a元(价格为整数),则a的值为.3.(2014江苏姜堰期中,★★☆)某人定做了一批地砖,每块地砖(如图1所示)是边长为40 cm的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD上,△CFE,△ABE和四边形AEFD分别由单一材料制成,且制成△CFE,△ABE 和四边形AEFD的三种材料的每平方厘米价格依次为3元,2元,1元.若将此种地砖按图2所示的方式铺设,能使中间的深色阴影部分构成四边形EFGH,则当CE= cm时,定做这批地砖所需的材料费用最少.图1 图2二、解答题4.(2015江苏无锡期末检测,★☆☆)某IT企业上年度生产某种型号的电脑,每台所需成本为4 000元,每台售价为4 500元,年销量为2 000台.根据市场调研反馈,本年度计划生产一种升级版的电脑,需要适度增加投入.若每台电脑成本增加的比例为x(0<x<1),则每台电脑的售价相应提高的比例为0.8x,同时年销量增加的比例为1.1x.(1)写出本年度预计的年利润y(万元)与x的函数关系式;(2)为了使本年度预计的年利润比上一年度有所增加,问x应控制在什么范围内?5.(2015江苏苏州期末测试,★★☆)某厂生产某种产品x百台,总成本为C(x)万元,其中固定成本为2万元,每生产1百台,成本增加1万元,销售收入函数为R(x)={4x-12x2-12,0≤x≤4,7.5,x>4.假定该产品产销平衡.(1)若要该厂不亏本,产量x应控制在什么范围内?(2)该厂年产多少台时,可使利润最大?(3)求该厂利润最大时产品的售价.6.(2014江苏阜宁中学调研,★★☆)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段,已知跳水板AB长为2 m,跳水板距水面CD的高BC为3 m,CE=5 m,CF=6 m,为保证安全和使空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面的最大高度4 m.以直线CD为横轴,直线CB为纵轴建立直角坐标系.(1)当h=1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF内入水才能达到压水花的训练要求,求达到压水花的训练要求时h的取值范围.7.(2014江苏扬州期末,★★☆)我国加入WTO后,根据达成的协议,若干年内某产品关税与市场供应量P的关系允许近似地满足y=P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈[0,12),x为市场价格,b、k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.(1)根据图象求b、k的值;(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-x2.当P=Q时的市场价格称为市场平衡价格,为使市场平衡价格不低于9元,求税率t的最小值.8.(2013江苏江浦中学期末,★★☆)经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数,且销售量近似地满足f(t)=-2t+200(1≤t≤50,t∈N).前30天的价格为t+30(1≤t≤30,t∈N),后20天的价格为g(t)=45(31≤t≤50,t∈N).g(t)=12(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系式;(2)求日销售额S的最大值.知识清单一、①数学模型②数学结果③建立数学模型链接高考1.解析(1)当0≤t≤30时,设f(t)=kt,由60=30k解得k=2,则f(t)=2t.当30<t≤40时,设f(t)=at+b,由解得则f(t)=-6t+240.所以,国内市场的日销售量(单位:万件)f(t)=设g(t)=mt(t-40),由60=20m(20-40)解得m=-.所以,国外市场的日销售量(单位:万件)g(t)=-t2+6t(0≤t≤40).(2)设每件产品A的销售利润为q(t)元,由题图(3)易得q(t)=从而这家公司的日销售利润Q(t)(万元)的解析式为Q(t)=q(t)·[f(t)+g(t)]=2.解析设供应站的坐标为x,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d(x).(1)由题设知,x1≤x≤x3,所以d(x)=x-x1+|x-x2|+x3-x=|x-x2|-x1+x3,故当x=x2时,d(x)取最小值,此时供应站的位置为x=x2.(2)由题设知,x1≤x≤x3,所以d(x)=2(x-x1)+|x-x2| +3(x3-x)=因此,函数d(x)在区间[x1,x2)上是减函数,在区间[x2,x3]上是常数函数,且易知d(x)在[x1,x3]上的图象连续,故供应站的位置位于区间[x2,x3]上任意一点时,均能使函数d(x)取得最小值,且最小值为3x3-x2-2x1.3.解析(1)∵树叶沙沙声的强度是I1=1×10-12 W/m2,∴=1,∴=10lg 1=0(分贝), 即树叶沙沙声的强度水平为0分贝;耳语的强度是I2=1×10-10 W/m2,则=102,∴=10lg 102=20(分贝),即耳语的强度水平为20分贝;恬静的无线电广播的强度是I3=1×10-8 W/m2,则=104,∴=10lg 104=40(分贝),即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.(2)由题意知:0≤LI<50,即0≤10lg<50,∴1≤<105,即10-12≤I<10-7.∴新建的安静小区的声音强度I大于或等于10-12 W/m2,同时应小于10-7 W/m2.基础过关一、填空题1.答案③解析由于有“休息一段时间”,所以图象①不符;图象②在沿原路返回时没有花费时间(体现在平行于s轴的那一段),也不符合现实;图象④没有“原路返回”.2.答案 1 331万元解析预计2015年该企业总产值为1 000×(1+10%)3=1 331(万元).3.答案y=20-2x(5<x<10)解析三角形的周长等于三角形三边长之和,故y=20-2x.由2x>y得2x>20-2x,所以x>5.由20-2x>0得x<10,故填y=20-2x(5<x<10).4.答案y=x(x∈N*)解析设新价为b元,则售价为b(1-20%)元,因为原价为a元,所以进价为a(1-25%)元,依题意得b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=a,所以y=b·20%x=x(x∈N*).5.答案y=a(1-p%)x(0<x<m)解析每年成本=上一年成本×(1-p%),故得y=a(1-p%)x(0<x<m).6.答案7解析设购买软件x片,磁盘y盒,依题意得60x+70y≤500,其中x∈N且x≥3,y∈N且y≥2,则有共7种选购方式.7.答案y=x·(l-2x)解析长方形的面积=长×宽.8.答案解析设矩形场地的长为x米,则宽为(l-2x)米,所以矩形场地的面积(单位:平方米)为S=x·=-x2+x=-+.因为所以0<x<,当x=时,Smax=.此时这个矩形场地的宽为×=米,故当这个矩形场地是边长为米的正方形场地时,场地的面积最大.9.答案(a1+a2+…+an)解析此题应排除物理因素的干扰,抓准题中的数量关系,将问题转化成函数求最值问题.由题意可知所求a应使y=(a-a1)2+(a-a2)2+…+(a-an)2最小,由于y=na2-2(a1+a2+…+an)a+(++…+),若把a看成自变量,则y是关于a的二次函数,于是问题转化为求二次函数的最小值.因为n>0,所以二次函数的图象开口方向向上,当a=×(a1+a2+…+an)时,y取最小值,所以a=(a1+a2+…+an)即为所求.10.答案 2 cm2解析设其中一个正三角形的边长为a cm,则另一个正三角形的边长为(4-a)cm(0<a<4),所以S=[a2+(4-a)2]=(2a2-8a+16)=(a2-4a+8)=[(a-2)2+4],所以Smin=×4=2(cm2).11.答案亏损23.68元解析设甲产品原价为a元,则a(1+20%)2=92.16,∴a=64.设乙产品原价为b元,则b(1-20%)2=92.16,∴b=144.由2×92.16-(a+b)=-23.68知,如果厂家同时出售甲、乙产品各一件,则亏损23.68元.12.答案y=a·0.9x(x∈N*);11解析由题意得y=a(1-10%)x=a·0.9x(x∈N*).因为y<a,所以a·0.9x<a,所以0.9x<,x>log0.9=≈10.4,又x∈N*,所以x≥11.二、解答题13.解析(1)设t小时后蓄水池中水量为y吨,则y=450+80t-160.设x=,则t=,则y=16x2-160x+450=16(x-5)2+50.当x=5,即t=5时,y取最小值,所以5小时后蓄水池中水量最少.(2)依题意得450+80t-160<150,由(1)得16x2-160x+450<150,即4x2-40x+75<0,解得<x<,即<t<,-=10,所以每天有10小时供水紧张.14.解析(1)y1=50+0.4x,y2=0.6x,y3=20+0.4x,由y1=y2解得x=250,所以一个月内通话250分钟时,“全球通”与“神州行”的通信费用相同.(2)当x=300时,y1=170,y2=180,y3=140,所以使用“动感地带”合算些.15.解析设经过x个月后,甲、乙两方案的本息和分别为y万元、z万元,则y=100(1+1%)x, z=5[1+(1+1%)+(1+1%)2+…+(1+1%)x-1]==500(1.01x-1).令100(1+1%)x<500(1.01x-1),得1.01x>,两边取常用对数得x>≈≈22.53.故工厂投产23个月后甲方案优于乙方案,而投产1至22个月时,乙方案优于甲方案.16.解析(1)当0≤x≤5时,产品能售出x百台;当x>5时,只能售出5百台,设成本函数为C(x),故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)==(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x-0.5x2-0.5=-0.5(x-4.75)2+10.781 25,当x=4.75时,L(x)max=10.781 25,当x>5时,L(x)=12-0.25x为减函数,此时L(x)<10.75,∴年生产475台时利润最大.(3)由或得5≥x≥4.75-≈0.11或5<x≤48,∴0.11≤x≤48,∴产品年产量在11台至4 800台时,工厂才不会亏本.三年模拟一、填空题1.答案y=1-,x∈[0,10]解析设满池为1,则有水的部分为1-y,于是1-y=·x,即y=1-,x∈[0,10].2.答案 6 600解析设按出厂价y元购买x(x≤50)套应付a元,则a=xy.再多买11套就可以按优惠价结算,恰好也付a元,则a=(x+11)(y-30)(x+11>50).∴xy=(x+11)(y-30)(39<x≤50).∴x=y-30,39<x≤50.又由已知得x∈N,y∈N,∴x=44,y=150,∴a=44×150=6 600.3.答案10解析设CE=x cm,则FC=x cm,BE=(40-x)cm(0<x<40),设△CFE,△ABE和四边形AEFD的面积分别为S1cm2,S2 cm2,S3cm2,地砖的总费用为y元,则y=3S1+2S2+S3=x2+402-40x+402-x2-20×40+20x=x2-20x+2 400,二次函数图象开口向上,其对称轴为x=10,所以当x=10,即CE=10 cm时,费用最少.二、解答题4.解析(1)本年度生产每台电脑的成本为0.4(1+x)万元, 每台售价为0.45(1+0.8x)万元,年销量为2 000(1+1.1x)台, 由题意得y=2 000(1+1.1x)[0.45(1+0.8x)-0.4(1+x)]=2 000(1+1.1x)(0.05-0.04x)=2(10+11x)(5-4x)=-88x2+30x+100(0<x<1).(2)由题意得-88x2+30x+100>(0.45-0.4)×2 000,∴-88x2+30x>0,又0<x<1,∴0<x<.所以x应在内.5.解析由题意得,成本函数为C(x)=2+x,从而利润函数L(x)=R(x)-C(x)=(1)要使该厂不亏本,只要L(x)≥0即可,当0≤x≤4时,L(x)≥0⇒3x-0.5x2-2.5≥0⇒1≤x≤5,又0≤x≤4,∴1≤x≤4.当x>4时,L(x)≥0⇒5.5-x≥0⇒x≤5.5,∴4<x≤5.5.综上,1≤x≤5.5.所以若要该厂不亏本,则产量x应控制在100台到550台之间.(2)当0≤x≤4时,L(x)=-0.5(x-3)2+2,=2(万元).故当x=3时,L(x)max当x>4时,L(x)<1.5<2.综上,当年产300台时,可使利润最大,(3)由(2)知x=3时,利润最大,此时的售价为P==≈2.33(万元/百台)=233元/台.6.解析(1)由题意知最高点坐标为(2+h,4),h≥1,设抛物线方程为y=a[x-(2+h)]2+4,当h=1时,最高点坐标为(3,4),方程为y=a(x-3)2+4,将(2,3)代入,得3=a(2-3)2+4,解得a=-1.∴当h=1时,跳水曲线所在的抛物线方程为y=-(x-3)2+4.(2)将(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,得ah2=-1,所以a=-.由题意知方程a[x-(2+h)]2+4=0在区间[5,6]内有一解.令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-[x-(2+h)]2+4,则f(5)=-(3-h)2+4≥0,且f(6)=-·(4-h)2+4≤0.又h≥1,解得1≤h≤.故达到压水花的训练要求时h的取值范围为.7.解析(1)∵函数图象过点(5,1),(7,2),∴∴解得(2)当P=Q时,=,即(1-6t)·(x-5)2=11-,化简得1-6t==·=·,令m=(x≥9),∴m∈,设f(m)=17m2-m,m∈,则其图象的对称轴为直线m=,=f=,∴当m=时,1-6t取到最大值,最大值为×,即1-6t≤×,解得t≥,即市场平衡价格不低于9∴f(m)max元时,税率t的最小值为.8.解析(1)根据题意,得S==(2)①当1≤t≤30,t∈N时,S=-(t-20)2+6 400,∴当t=20时,S取最大值6 400;②当31≤t≤50,t∈N时,S=-90t+9 000为减函数,∴当t=31时,S取最大值6 210.∵6 210<6 400,∴当t=20时,日销售额S取最大值6 400.。
人教版数学高一单元测试卷第30课时函数模型应用举例含解析
课时目标解析：设隔墙的长为x
·－4x 2
的蓄水量如图丙所示．给出以下4个说法，正确的是( )
点只进水不出水
点不进水只出水
点不进水不出水
＋x－2＝
上，即2<x≤3
AP2＝AD2＋DP
＋－x2＝
上，即3<x≤4时，有
所以所求的函数关系式为
)
，在两地之间距A城市
两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为
10 t.
30x－t
e x
(25≤
时，y 100e30x－
e x
＝
＝x－y＝e x－26的图象(如图所示)．
的解为x＝26，
26元时，该工厂的利润为100e4元．
能力提升
某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠的增加值分别为万公顷，则下列选项中与沙漠增加数y(公顷)关于年数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意;
二次函数在对称轴的两侧有增也有降;
而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”;
因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.
2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x123…
y138…
则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()
A.y=2x-1
B.y=x2-1
C.y=2x-1
D.y=1.5x2-2.5x+2
解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果的函数，故选D.
3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时;
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者.
其中正确信息的序号是()
A.①②③
B.①③
C.②③
D.①②
解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确.
4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积，此时
x=________，面积S=________.
解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12
=-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212.
答案：1 1212。