掌门人一对一全套资料高一数学1-5指数与指数函数
2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)指数及其运算(解析版)
第14讲指数及其运算模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质；能利用根式的性质对根式进行运算；2．理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化；3．了解指数幂由有理数扩充到无理数的过程；理解指数幂的运算性质；能进行指数幂(实数幂）的运算.知识点1根式1、n 次方根的定义与性质（1）定义：一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n ∈N ．（2）性质：①当n 是奇数时，0,00,0>>⎧⎨<<⎩a x a x ，x；②当n 是偶数，0>a 时，x的有两个值，且互为相反数，记为；0<a 时，x 不存在；③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）；④0的任何次方根都是00(,1)n N n +=∈>．2、根式的定义与性质（1n 叫做根指数，a 叫做被开方数．（2）性质：（1n >，且n *∈N）n =a；,,,.⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数n a n a n 知识点2指数幂1、分数指数幂（1）正分数指数幂：规定：mn a=()0,,,1a m n n *>∈>N （2）负分数指数幂：规定：1mn m naa-==()0,,,1a m n n *>∈>N （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【要点辨析】分数指数幂的注意事项：①分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂mna 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．化成分数指数幂的形式时，不要轻易对mn进行约分．③在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如()235-=()345-=就没有意义．2、实数指数幂的运算性质①(0,,)+=>∈r s r s a a a a r s R ．②()=sra rs a (0,,)a r s >∈R ．③()=r ab r r a b (0,0,)a b r >>∈R ．3、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α（0a >，α为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点3指数幂运算解题方法与技巧1、指数幂的运算中常用的乘法公式（1）完全平方公式：222()2a b a ab b -=-+；222()2a b a ab b +=++；（2）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（5）完全立方公式：33223()33a b a a b ab b -=-+-；33223()33a b a a b ab b +=+++．2、条件求值问题的解题思路（1）将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；（2）当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；（3）适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁．考点一：根式的概念及辨析例1．（23-24高一上·全国·专题练习）若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是（）AB C D 【答案】D【解析】A.R a ∈有意义；B.R a ∈有意义；C.R a ∈有意义；D.a<0无意义；故选：D【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）R a ∈，下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．14a C ．23a D ．0a【答案】C【解析】对于A ，当0a =时，2a -无意义，A 不是；对于B ，当a<0时，14a 无意义，B 不是；对于C ，23a =C 是；对于D ，当0a =时，0a 无意义，D 不是.故选：C【变式1-2】（2023高一·江苏·a 的取值范围是（）A ．0a ≥B ．1a ≥C ．2a ≥D ．Ra ∈【答案】B有意义，得102R a a -≥⎧⎨-∈⎩，解得1a ≥，所以a 的取值范围是1a ≥.故选：B【变式1-3】（223-24高一下·贵州遵义·月考）若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为【答案】1(,)2-∞【解析】由34(12)x --120x ->，解得12x <，故答案为：1(,2-∞．考点二：利用根式的性质化简求值例2.（23-24高一上·北京·期中）下列各式正确的是（）A 3=-Bx=C 2=D ．01a =【答案】C【解析】A 3=，故A 错误；B x =，故B 错误；C2=，故C 正确；D ：01a =，当0a ≠时成立，故D 错误；故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州贵阳·月考）若0ab <，则化简）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】=a b a b ⎛=+ ⎝因为0ab <，所以,a b 异号，0a b a b +=，所以0a b a b a b a b a b++==，所以，0=.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·全国·+【答案】6-6(446-+=-．【变式2-3】（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若412x<-3的结果可能为（）A ．210x -B ．46x -C ．24x -+D ．410x --【答案】AC 【解析】由题意知412x <-，即4102x-<-，即202x x +>-，故(2)(2)0,2x x x +->∴<-或2x >，3|2|3x =+-3523210,23523352324,2x x x x x x x x x x ----=->⎧=--+-=⎨-+++-=-+<-⎩，故选：AC考点三：根式与分数指数幂互化例3.（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列关于nm a -(),m n *∈N 的形式的运算正确的是（）A．538-=B．538-=C．538-=D ．()328--【答案】A【解析】由于5353818-==A 正确，B ，C 错误；()328--=D 错误，故选：A【变式3-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）（多选）下列各式正确的是（）A ．46a=B 5=-C．(36=D ．23a -=【答案】AC【解析】对于A ：4263a a ==A正确；对于B 5=，故B 错误；对于C：(2636===，故C 正确；对于D：23231aa-==D 错误.故选：AC【变式3-2】（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（）A ．)130xx -=≠B()120a a =≥C．21320,0)x y x y -=>>D ．3142(0)x x ⎤=->【答案】BC【解析】对选项A ：)130xx -=≠，错误；对选项B()1313220a a a ⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，正确；对选项C22133212(0,0)y x y x y x-==>>，正确；对选项D：33214432(0)x x x⎛⎫==>⎪⎝⎭，错误；故选：BC【变式3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.154m⋅【答案】(1)14b；(2)1【解析】（1=111224b b⎛⎫===⎪⎝⎭.（2）154m⋅11111532423651641m m m m mm m+-⋅⋅====⋅.考点四：利用指数幂运算性质化简例4.（23-24高一上·全国专题练习）下列等式一定成立的是（）A．1332a a a⋅=B．11220⋅=a a C．329()a a=D．111362a a a÷=【答案】D【解析】对于A：11311333262a a a a+⋅==，故A错误；对于B：11212221⋅==a a a a，故B错误；对于C：326()a a=，故C错误；对于D：1111132362a a a a÷==，故D正确；故选：D【变式4-1】（23-24高一上·广东江门·期中）102x=，103y=，则10x y+=．【答案】6【解析】102x=Q，103y=，101010236x y x y+∴=⋅=⨯=，故答案为：6．【变式4-2】（23-24高一上·河南·期中）若a b =，则()2312222a b ab ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【答案】1【解析】由题意，0,0a b >>，所以()()231222232246a b ab a b a b -----⎡==⎤⎢⎥⎣⎦，又11322,2a b --===，所以原式6411223222221----⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1.【变式4-3】（23-24高一上·江西九江·期中）化简或计算下列各式．(1)121121332a b a b ---⎛⎫ ⎪；(2)()10.52332770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)1a；(2)0.09【解析】（1）原式2111111111532322132623615661ab a baba aa b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭---+--⋅====.（2）原式22333273550.0910001033⨯⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.考点五：解简单的指数方程例5.（23-24高一·全国·专题练习）方程11416x -=的解为（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．1【答案】C 【解析】∵1214416x --==，∴x ﹣1＝﹣2，∴x ＝﹣1．故选：C ．【变式5-1】（22-23高一上·河北沧州·期中）关于x 的方程112250x x +--+=的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】解：原方程即222502xx ⨯-+=，化简可得()2225220x x ⨯+⨯-=，令2(0)x t t =>，可得22520t t +-=，该方程有且只有一个正根，由于2x t =单调递增，所以t 与x 一一对应，即原方程只有一个解.故选：B .【变式5-2】（23-24高一上·北京顺义·期中）关于x 的方程422x x -=的解为．【答案】1x =【解析】由422x x -=可得()22220x x --=，即()()21220x x+-=，因为20x >，可得22x =，故1x =.所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.【变式5-3】（22-23高三·全国·对口高考）方程(2522xx x -+=的解为．【答案】5x =或12x =【解析】由题意可得(2599222222xxx x x -+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以25922x x x -+=，即221150x x -+=，解得5x =或12x =，故答案为：5x =或12x =考点六：整体换元法解决条件求值例6.（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知12a a+=，则1122a a -+等于（）A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】A【解析】112221()2224a a a a-+=++=+=，所以11222a a -+=.故选：A.【变式6-1】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223a a -+=，则33221122a a a a--++的值为．【答案】6【解析】因为11223a a-+=，所以2112223a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即129a a -++=，所以17a a -+=，所以3333112222a aa a --⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111222222a a a a a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()11122371181a a a a --⎛⎫=++=⨯- ⎝-=⎪⎭，所以332211221863a a a a--+==+．【变式6-2】（23-24高一上·全国·专题练习）已知11223x x -+=，计算：22111227x x x x x x---+-+++.【答案】4【解析】因为11223x x-+=，所以211229x x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以129x x -++=，所以17x x -+=，所以()2127x x -+=，即22249x x -++=，所以2247x x -+=，所以22111227477473x x x x x x---+--==++++.【变式6-3】（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知11223a a -+=，求下列各式的值：(1)1a a -+；(2)33222232a a a a --+-+-．【答案】(1)7；(2)13【解析】（1）由题意11223a a-+=，所以21112222327a a a a --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭.（2）由题意11223a a -+=，所以()()1111212233222222213371331512744534a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⨯--+-⎝⎭⋅⎝⎭==-==+--+++-.一、单选题1．（23-24高一上·青海海南·期中）已知R a ∈，则下列各式一定有意义的是（）A ．2a -B ．13a C ．12a D ．0a 【答案】B【解析】对于A ，由221aa -=可知，0a =时表达式无意义；对于B ，根据幂函数性质可知，R a ∈时，表达式13a 恒有意义；对于C，易知12a =a<0时，表达式无意义；对于D ，当0a =时，0a 无意义；故选：B2．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）化简32的结果为（）A ．5BC ．5-D．【答案】A【解析】332232232332555⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，故选：A3．（23-24高一上·北京大兴·月考）已知0a >=（）A ．12a B ．32a C ．2a D ．3a 【答案】A12a ==，故选：A4．（23-24高一上·安徽淮南·月考改编）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（）A()120a a =>B．)340xx -=>C．)21320,0x y x y -=>>D ．()32140x x =>【答案】B【解析】对于A()1313220a a a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B选项，)334410xx x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，)21321210,0x y x y x-=>>，故C 正确；对于D ，)()33321444320x x x ⎛⎫===> ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：B ．5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知14x x -+=，则22x x -+等于（）A ．6B ．12C ．14D ．16【答案】C【解析】由14x x -+=可得：()2122216x x x x --+=++=，则2214x x -+=.故选：C.6．（23-24高一上·四川德阳·月考）010.256371.586-⎛⎫⨯-++= ⎪⎝⎭（）A ．110B ．109C ．108D ．100【答案】A【解析】原式()11133333112344131442222223221083331210810231-⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯-=⨯+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.二、多选题7．（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（）AB ．C ．D【答案】BCD 【解析】对于Aπ44π=-=-，不合题意；对于B ，2=，符合题意；对于C ，()22=--=，符合题意；对于D 22=-=，符合题意.故选：BCD8．（23-24高一上·浙江·月考）已知0a >，0b >，则下列各式正确的是（）A π3=-B 1=C ．m na-=D ．121133332463b ab a b ---⎛⎫÷-=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】A 选项：由π30->π3=-，A 选项正确；B ()11111123612312600222221a b b a ab a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤====⎢⎥⎣⎦，B 选项正确；C 选项：m na-=C 选项错误；D 选项：112121101333333331246663b ab a a b a b b ⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫÷-=-=-=- ⎪⎝⎭，D 选项正确；故选：ABD.三、填空题9．（22-23高一上·上海奉贤·期末）化简()222a b ⋅=（其中0a >，0b >）．【答案】4ab【解析】()((42222222a b ab ab ⨯⋅=⋅=.故答案为：4ab .10．（23-24高一上·全国·单元测试）方程2129240x x +-⋅+=的解集是．【答案】{1,2}-【解析】令2x t =，则0t >，方程可化为22940t t -+=，解得12t =或4t =，所以，122x=或24x =，解得=1x -或2x =.所以，方程的解集为{1,2}-.故答案为：{1,2}-.11．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=（填数值）【答案】2【解析】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯+-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2四、解答题12．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）化简求值：(1)()12120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【答案】(1)52；(2)0【解析】（1）()120120.344⎛⎫+ ⎪⎝⎭1293511422⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭.（2）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222364493322220273444-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷=-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．（23-24高一上·辽宁丹东·期中）已知正实数a 满足11221a a --=.(1)求1a a -+的值；(2)求33221122a a a a---+的值.【答案】(1)3；(2)5【解析】（1）将11221a a --=两边平方得121a a -+-=，所以13a a -+=.（2）因为a 是正实数，令1122(0)a a x x -+=>，则2125x a a -=++=，所以x =可得()33111222214a aa a a a ---⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭，所以33221122a a a a---==+。
重点高中数学知识点完整结构图-掌门1对1
高中数学知识点完整结构图-掌门1对 1高中数学知识点1 集合函数附：一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；余切函数cot y x =中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法五、函数单调性的常用结论： 1、若(),()f xg x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数 2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
高一数学指数函数ppt课件
图像法
运算性质法
利用指数函数的运算性质，如乘法公 式和指数法则，推导出奇偶性的判断 方法。例如，若f(x)和g(x)都是奇函数， 则f(x)*g(x)也是奇函数。
通过观察指数函数的图像，判断其是 否关于原点对称或关于y轴对称，从而 确定函数的奇偶性。
06 典型例题解析与 课堂互动环节
典型例题选讲及思路点拨
指数函数的图像关于y轴对称。
当a>1时，函数在定义域内单调递增，图 像上升；当0<a<1时，函数在定义域内单 调递减，图像下降。
指数函数图像特点 函数图像过定点（0,1）。
指数函数性质探讨
指数函数的单调性
01
当a>1时，函数在R上单调递增；当0<a<1时，函数在R上单调
递减。
指数函数的周期性
02
指数函数不是周期函数。
应用举例
$3^4 = (frac{3}{2})^4 times 2^4$
对数转换
当底数不同且难以直接 计算时，可通过对数转 换为相同底数进行计算。
应用举例
比较 $7^{10}$ 和 $10^7$ 的大小，可转 换为比较 $10 times
log7$ 和 $7 times log10$。
复杂表达式化简技巧
利用指数函数构建可持续增长模型，可以预测未来经济发展的趋势和可能遇到的问 题，帮助学生了解经济增长的复杂性和不确定性。
05 指数函数图像变 换与性质变化规 律
平移、伸缩变换对图像影响
平移变换
指数函数图像沿x轴或y轴平移，不改 变函数的形状和周期性，只改变函数 的位置。
伸缩变换
通过改变函数的参数，实现对指数函 数图像的横向或纵向伸缩，从而改变 函数的周期和振幅。
掌门人一对一全套资料高一数学1-5指数与指数函数
已知函数 f(x)＝2x，等差数列{an}的公差为 2，若 f(a2 ＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，则 log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)] ＝________.
2019/12/24
解析：∵f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，f(x)＝2x， ∴a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝2， ∵{an}为公差 d＝2 的等差数列， ∴a1＋a2＋…＋a10＝2(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－5d＝－ 6. ∴log2[f(a1)·f(a2)·…·f(a10)] ＝log2[2a1·2 a2·…·2 a10]＝log22a1＋a2＋…＋a10＝－6.
2019/12/24
解析：令 t＝ax，则 y＝t2＋2t－1，对称轴方程为 t＝ －1，
若 a>1，∵x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， y 最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a>0，∴a＝3.
若 0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a， y 最大值＝1a2＋21a－1＝14， ∵0<a<1，∴a＝13，∴a＝3 或13.
∴bb··aa＝ 3＝624 ②
①
②÷①得 a2＝4，
又 a>0，且 a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
2019/12/24
(2)由(1)知 a＝2，b＝3，∴(1a)x＋(1b)x－m≥0 在(－∞， 1]上恒成立，即 m≤(12)x＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．
2019/12/24
答案：D
2019/12/24
指数函数的单调性
[例 3] 已知 log1 b<log1 a<log1 c，则( )
清华掌门人一对一全套资料高一数学1-2 函数及其表示
2019/4/17
③反函数法 ——利用函数和它的反函数的定义域与 值域的关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值 cx＋ d 域． 形如 y＝ (a≠ 0)的函数的值域， 均可使用反函数 ax＋ b 法． 此外， 这种类型的函数值域也可使用“分离常数法” 求解．
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④判别式法 —— 把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x， y)＝0，通过方程有实根，判别式 Δ≥0，从而求得 a1x2＋ b1x＋ c1 原函数的值域． 形如 y＝ 2 ( a1 ， a2 不同时为零 ) a2x ＋ b2x＋ c2 的函数的值域常用此法求解． 前提条件：函数的定义域应为 R；分子、分母没有 公因式．
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(3)求函数值域的方法 求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方 法和模式．常用的方法有： ①直接法 ——从自变量 x 的范围出发，通过观察和 代数运算推出 y＝ f(x)的取值范围； ②配方法 ——配方法是求“二次型函数”值域的基 本方法， 形如 F(x)＝ af 2(x)＋ bf(x)＋ c 的函数的值域问题， 均可使用配方法．
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(2)基本初等函数的值域 ① y＝ kx＋ b(k≠ 0)的值域为 R. ② y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)的值域是：当 a>0 时，值域
4ac－ b2 为 ，＋∞ ；当 4a
a<0
2 4 ac － b 时，值域为 . －∞， 4a
2019/A 到 B 的映射， 且 a∈A， b∈ B，如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫 做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象．
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2．函数 (1)定义 设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定的数 f(x)和它对应， 那么就称 f：A→ B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y＝ f(x)，x∈ A.其中，x 叫做 自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值
高一数学1到5章知识点
高一数学1到5章知识点高中数学是学生们面临的一门必修课程。
从高一开始，学生将逐步接触到数学的不同领域和知识点。
本文将讨论高一数学的1到5章知识点，包括函数、三角函数、数列与数学归纳法、排列与组合以及概率等内容。
1. 函数在高中数学的1章中，学生首先学习了函数的概念和表示方法。
函数是一种对应关系，将自变量的取值映射到因变量的取值。
函数的表示方法有多种形式，如函数表、函数图像和函数式。
在学习函数的过程中，学生将接触到函数的定义域、值域和奇偶性等概念。
2. 三角函数在高一数学的2章中，学生开始学习三角函数的知识。
三角函数是与角度相关的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
学生需要掌握三角函数的定义、性质和图像等内容。
此外，学生还需要学习三角函数的基本关系式和解三角方程的方法。
3. 数列与数学归纳法在高一数学的3章中，学生将学习数列与数学归纳法的知识。
数列是一系列有序的数按照一定规律排列而成的。
学生需要掌握常见数列的定义、性质和求和公式等内容。
同时，数学归纳法是一种证明方法，通过证明某个命题在满足初始条件的情况下对所有自然数成立，从而得出结论。
4. 排列与组合在高一数学的4章中，学生开始学习排列与组合的知识。
排列与组合是数学中的一类问题，涉及到从一组元素中选择若干个进行排列或组合的方式。
学生需要了解排列与组合的定义、计算公式和应用等内容。
此外，学生还需要掌握排列与组合之间的互相转化关系。
5. 概率在高一数学的5章中，学生将学习概率的知识。
概率是研究随机事件发生的可能性的数学方法。
学生需要了解概率的定义、性质和计算方法等内容。
在学习概率的过程中，学生还将接触到事件的互斥与独立性、条件概率和贝叶斯定理等概念。
通过学习这些知识点，学生将逐渐建立起数学的基础，为后续的学习打下坚实的基础。
高中数学不仅仅是考试的内容，更是培养学生思维能力和解决问题的能力的重要工具。
因此，学生需要通过不断的练习和思考来巩固和应用所学知识，才能真正理解数学的魅力和应用的价值。
高一数学指数及指数函数基础知识
高一数学指数及指数函数1•根式的性质(3)负数没有偶次方根 (4)零的任何正次方根都是零2•幕的有关概念 (1)正整数指数幕：naa a a ..… n...... a (n N )(2)零指数幕a 01(a 0)1⑶负整数指数幕 a p-(a 0.p N )a pm(4)正分数指数幕a nnma (a0, m, n N ,且 n 1) (5)负分数指数幕a m1 nm(a0, m, n N ,且 n 1)a 石(6)0的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕无意义3•有理指数幕的运算性质rr s⑶(ab) a a ,(a0,b 0, r Q)4、指数函数的定义：函数y a% 0且a °叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R 。
① 若a 0，则当x 0时，『0；当x 0时，a x 无意义.1 1② 若a 0，则对于X 的某些数值，可使a 无意义•如(2)，这时对于 4，2，等等，在实数范围内函数值不存在•③ 若a 1，则对于任何x R ，a x 1，是一个常量，没有研究的必要性• 对于任何x R ，「都有意义，且『0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(°)有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y 『k (a 0且 a 1，k Z )；x有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y a (a 0且a 1)，因为它可 x1 1 1 0 1 a ，其中a ，且a(1)当n 为奇数时，有n a na(2)当n 为偶数时，有；a" a a, (a 0) a, (a 0)r sr s .八 亠、(1) a a a ,(a 0, r, s Q)/ r、srs , -亠、⑵(a )a ,(a 0,r,s Q)以化为y5、函数的图象(1)①特征点：指数函数y = a x (a > 0且a ^ 1) 的图象经过两点(0 , 1)和(1,a).②指数函数y = a x (a > 0且a 工1)的图象中，y = 1 反映了它的分布特征；而直线x = 1 与指数函数图象的交点(1,a)的纵坐 标则直观反映了指数函数的底数特 征，称直线x = 1和y = 1为指数函 数的两条特征线•(2)、函数的图象单调性当a > 1时，函数在定义域范围内 呈单调递增； 当0v a v 1时，函数在定义域范围 内呈单调递减； 推论：(1)底互为倒数的两个函数图像关于y 轴对称(2)当a > 1时，底数越大，函数图象越靠近丫轴；当0v a v 1时，底数越小， 函数图象越靠近丫轴。
高一数学《指数函数与对数函数》PPT课件
(1)
1 x 2
1
x2
2
x2
x 1
5
1
1
x2 x 2 5
1
(2)（x 2
)3
1
(x 2
)3
1
(x 2
1
x 2 )[(x
x 1 ) 1]
x x 1 3 x 0
5(3 1)
6. 4
3
36 3
81 9 2
7. 2 3 3 1.5 6 12 6
8．设 mn>0，x= m n ，化简：A= 2 x2 4 .
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围。
（1）定义域为{x|x≠1}；
1
0 x 1
值域为{y|y>0且y≠1}
1
⑴ y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
（2）
定义域为{x|
x
1 5
}
值域为{y|y≥1}
5x 1 ≥0
BC A
A’ B’ C’
f(a)=SAA’C’C-SAA’B-SB’C’C
(f2()af)(a)1 g(a) 1a(a2
2
2
ag(a2) 2 aa11)
1 [( a 2 a 1) ( a 1 a )] 2
1(
1
1
)0
2 a 2 a 1 a 1 a
7. (★★★★)当a≠0时，y=ax+b 和 y=bax
y 1 x 2
y 1 x
1
2
把 y 轴右边的图形翻折到 y 轴的左边
3. 作出函数 y= │ 2x -1│的图像
y= │ 2x -1│
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；
a2＝
|a|
；
n
an＝
a |a|
，n为奇数， ，n为偶数.
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(3)分数指数幂
m
an
＝n
am
；
－
a
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
(a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈R)
∴bb··aa＝ 3＝624 ②
①
②÷①得 a2＝4，
又 a>0，且 a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
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(2)由(1)知 a＝2，b＝3，∴(1a)x＋(1b)x－m≥0 在(－∞， 1]上恒成立，即 m≤(12)x＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．
令 g(x)＝(12)x＋(13)x， 则 g(x)在(－∞，1]上单调递减， ∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56， 故所求实数 m 的取值范围是(－∞，56]．
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化简：(1) 51＋2－( 3－1)0－ 9－4 5＝________；
2
1
1
1
1
5
(2)(2a 3 b 2 )( － 6a 2 b 3 )÷( － 3a 6 b 6 ) ＝
__________.(a>0，b>0)
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解析：(1)原式＝ 5－2－1－ 5－22 ＝( 5－2)－1－( 5－2)＝－1.
解析：0<a<1 时，f(x)＝ax 在[1,2]上单调递减， ∴a－a2＝a3，∴a＝23； a>1 时，f(x)＝ax 单调递增，∴a2－a＝a3， ∴a＝43. 答案：43或23
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三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般 先区分正、负(与 0 比)；正数再与 1 比较，找出大于 1 的 和小于 1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性； 底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂 式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对
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解析：令 t＝ax，则 y＝t2＋2t－1，对称轴方程为 t＝ －1，
若 a>1，∵x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， y 最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a>0，∴a＝3.
若 0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a， y 最大值＝1a2＋21a－1＝14， ∵0<a<1，∴a＝13，∴a＝3 或13.
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第五节
指数与指数函数
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重点难点 重点：①指数幂的运算法则． ②指数函数的概念、图象与性质． 难点：①根式与分数指数幂的运算． ②a>1 与 0<a<1 时，指数函数图象、性质的区别． ③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不 等式的求解．
答案：D
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(文)(2011·杭州月考)函数 y＝a|x|(a>1)的图象是( )
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解析：y＝a|x|＝aax－x
x≥0 ，当 x≥0 时，与指数 x<0
函数 y＝ax(a>1)的图象相同；当 x<0 时，y＝a－x 与 y＝ax
的图象关于 y 轴对称，由此判断 B 正确．
∵49<34，
∴49
3 2
3 3 <4 2
，∴23
3<34
3 2
.
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二、分类讨论的思想 [例 2] 函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值 比最小值大a3，则 a 的值为________．
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解析：∵y＝log1 x 为减函数，log1 b<log1 a<log1 c
2
2
2
2
∴b>a>c
又 y＝2x 为增函数 ∴2b>2a>2c 故选 A.
答案：A
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已知集合 M＝{－1,1}，N＝{x|12<2x<4，x∈Z}，则
M∩N 等于( )
A．{－1,1}
B．{－1}
x<0
a>1
y>1
0<y<1
0<a<1
0<y<1
y>1
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误区警示 1．忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的值 域致误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数 相等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性 或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意 中间量 0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底 大图高(逆时针方向底数依次变大)．
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(文)若关于 x 的方程 25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m＝0 有实 根，则实数 m 的取值范围是________．
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解析：令 t＝5－|x＋1|知 t2－4t＝m， 则有 m＝t2－4t＝(t－2)2－4. ∵t∈(0,1]，∴m∈[－3,0)．
答案：[－3,0)
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知识归纳 1．整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝ am＋n ，(am)n＝ am·n ， (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z)
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(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
n (
a)n＝
a
因此应有||22ab－－11||＝＝ab ，解得ab＝ ＝01 ， 所以有 a＋b＝1，选 A.
答案：A
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点评：本题解题的关键在于首先由函数的值域推出 b>a≥0，从而避免了对 a、b 的各种可能存在情况的讨论， 然后根据函数的单调性，建立关于 a、b 的方程组求解．
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3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
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一、数形结合的思想
[例 1]
比较233 与34
3 2
的大小．
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解析：在同一直角坐标系中作出函数 y＝49x 与 y＝34
x 的图象，考察 x＝32时 y 值大小，
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数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式 或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或 化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．
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2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如 af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为 f(x)＝g(x) 求解； (2)形如 af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的方程， 两边取对数； (3)形如 a2x＋b·ax＋c＝0 的方程，用换元法令 ax＝t 化为二次方程求解．
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2．指数函数的图象和性质
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
图象
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指数函数
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过(0,1)点，即 x＝0 时，y＝1. 性 (4)当 a>1 时，在 R 上是增函数； 质 当 0<a<1 时，在 R 上是减函数．
x>0
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2．(文)若 log2a<0，12b<1，则(
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指数幂的运算
[例 1] 化简：
4 (1)(1－a)
a－1 13＝________；
3 (2) xy2· xy－1· xy＝________；
(3)0.25－0.5＋217－
1 3
－6250.25＝________.
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解析：(1)原式＝(1－a)(a－1)
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答案：D
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指数函数的单调性
[例 3] 已知 log1 b<log1 a<>2a>2c
B．2a>2b>2c
C．2c>2b>2a
D．2c>2a>2b
分析：可先由对数函数 y＝log1 x 的单调性得出 a、b、
2
c 的大小，再由 y＝2x 的单调性得出结论．
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一、选择题
1．已知 f(x)＝2x＋2－x，若 f(a)＝3，则 f(2a)＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
[答案] B
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[解析] ∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a) ＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.
－
3 4
＝－(a－1)(a－1)
－
3 4
＝－(a－1)
4
＝－4
a－1.
(2)原式＝[xy2(xy－1)
11
]2 3
1
(xy) 2
＝(xy x y ) x y 2
1 2
11 -2 3
1 2
1 2
3 31
11
11