高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲简单几何体的再认识(表面积与体积)课件理北师大版
(2)(2016· 河北省衡水中学模拟 )如图是某四棱锥的三视图， 则 该几何体的表面积等于( A ) A． 34＋ 6 5 B． 6＋ 6 5＋ 4 3 C． 6＋ 6 5＋ 4 13 D． 17＋ 6 5
解析 : (1) 由三视图知该几何体为如 图所示的多面体 ABCDEF，由左视 图为正三角形可知左视图的高为 3 3 ，即点 F 到底面 ABCD 的距离 FO 为 ，过 F 分别向 2 2 1 BC，AB 作垂线，垂足分别为 H，G，显然有 OH＝OG＝ ， 2 1 所以 FH＝FG＝1，于是该几何体的表面积为 2×1＋2× (1 2 1 ＋2)×1＋2× ×1×1＝6. 2
简单几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题， 关键是分析三视 图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系． (2)多面体的表面积是各个面的面积之和； 组合体的表面积问 题注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
1.(1)(2016· 山西、河南、河北三 省质检)某几何体的三视图如图所示，若其主 视图为等腰梯形，左视图为正三角形，则该几何体的表面积 为( B ) A．2 3＋2 C．4 3＋2 B．6 D．8
3． 某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 ( B )
A． 6 C． 2 3
B． 3 3 D． 3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为 侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视图的 长为三棱柱的高，故 h＝ 3，所以该几何体的体积 V＝ S· h＝
1× 2× 3 × 3＝ 3 3. 2
2. 求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算． (2)等积法： 根据体积计算公式， 通过转换空间几何体的底面 和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等． (3)割补法： 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分 割或补形，转化为可计算体积的几何体．
3．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， ①若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； ②若球为正方体的内切球，则 2R＝ a； ③若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半 径为 R，则 2R＝ a ＋ b ＋ c . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶ 1.
2． (2015· 高考陕西卷 )一个几何体的三视图如图所示，则该 几何体的表面积为 ( D )
A． 3π C． 2π ＋ 4
B． 4π D． 3π ＋ 4
解析：
由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所 示． 1 2 表面积为 2× 2＋ 2× ×π × 1 ＋π × 1× 2＝ 4＋ 3π . 2
解析：由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以 1 其外接球的半径 r＝ ×2 3＝ 3(cm)，所以 V 2 4 ＝ π ×3 3＝4 3π (cm3)． 3 4 3 球＝ π ×r 3
考考全国卷Ⅰ改编 ) 圆柱被一 个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如 图所示．若该几何体的表面积为 16＋20π ，则 r ＝( B ) A．1 C．4 B．2 D．8
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆 柱
圆 锥
圆 台
侧面
展开图
侧面 积公式
S圆柱侧＝ 2πrl ________
S圆锥侧＝ πrl ________
S圆台侧 π(r＋r′)l ＝________
2.空间几何体的表面积与体积公式
名 称 几何体 柱 体 (棱柱和圆柱)
表面积 S表面积＝S侧＋2S底 S表面积＝S侧＋S底 S表面积＝S侧 ＋S上＋S下 4πR2 S＝________
体 积 S底h V＝________
1 S 底h V＝________ 3
1 V＝ (S 上＋S 下 3 ＋ S上 S下 )h
锥 体
(棱锥和圆锥) 台 体 (棱台和圆台) 球
4 π R3 V＝________ 3
1．辨明两个易误点 (1)求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理． (2)底面是梯形的四棱柱侧放时， 容易和四棱台混淆， 在识别 时要紧扣定义，以防出错．
(2)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角 梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为 12 ＋ 12 ＝ 2，所以底面周长为 4＋ 2，侧面 1 积为 2×(4＋ 2)＝ 8＋ 2 2， 两底面的面积和为 2× × 1×(1＋ 2) 2 ＝ 3，所以该几何体的表面积为 8＋ 2 2＋ 3＝ 11＋ 2 2.
2 2 2
1．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为 全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1， 那么这个几何体的体积为( D ) A． 1 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 6
1 1 1 解析： 由三视图可知， 该几何体为三棱锥，V＝ Sh＝ × × 3 3 2 1 1× 1× 1＝ ，故选 D. 6
(2)(2015· 高考福建卷改编)某几何体的三视图如图所示， 则该 几何体的表面积等于( B )
A．8＋2 2 C．14＋2 2
B．11＋2 2 D．15
[解析] (1)如图，该几何体是一个半球与 一个半圆柱的组合体， 球的半径为 r， 圆 1 柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S＝ ×4π r2＋π r2 2 ＋4r2＋π r· 2r＝(5π ＋4)r2.又 S＝16＋20π ， 所以(5π ＋4)r2 ＝16＋20π ，所以 r2＝4，r＝2.
4．直角三角形三边长分别是3 cm、4 cm、5 cm，绕两直角 边旋转一周分别形成两个几何体，则其侧面积分别为 20π cm2 、___________. 15π cm2 __________
5．(必修2P50习题1－7A组T4改编)一个棱长为2 cm的正
3. 4 3π 方体的顶点都在球面上，则球的体积为________cm
高考数学一轮复习： 第7章 立体几何 第5节 简单几何体的表面积与体积
第五节 简单几何体的表面积与体积[考纲传真] (教师用书独具)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．(对应学生用书第117页)[基础知识填充]1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体 表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3[(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)棱长为a 的正四面体，其高H ＝63a ，则其外接球半径R ＝34H ，内切球半径R ＝14H .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( )(5)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (6)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) [答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD ．32cm B [S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4， ∴r ＝2(cm)．]3．(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12πB ．323πC ．8πD ．4πA [设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A ．]4．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图751所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )图751A ．π2＋1B ．π2＋3C ．3π2＋1D ．3π2＋3A [由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体， 所以该几何体的体积V ＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.故选A ．]5．已知某几何体的三视图如图752所示，则该几何体的体积为________．图752163π [由三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥，其体积为π×22×2－13π×22×2＝163π.](对应学生用书第118页)简单几何体的表面积(1)(2018·石家庄一模)某几何体的三视图如图753所示(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )图753A ．48B ．54C ．64D ．60(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图754，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )图754A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π(1)D (2)A [(1)根据三视图还原直观图，如图所示，则该几何体的表面积S ＝6×3＋12×6×4＋2×12×3×5＋12×6×5＝60，故选D.(2)由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的14，得到的几何体如图．设球的半径为R ，则43πR 3－18×43πR 3＝283π，解得R ＝2.因此它的表面积为78×4πR 2＋34πR 2＝17π.故选A ．][规律方法] 简单几何体表面积的求法 1以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.必须还原出直观图.2多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )图755A ．48＋4πB ．72＋4πC ．48＋6πD ．72＋6πD [由三视图可得该几何体是棱长为4的正方体截去底面是边长为2的正方形、高为4的长方体，再补上14个底面圆半径为2、高为4的圆柱，则该几何体的表面积为16×2＋2(12＋π)＋8×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选D.]简单几何体的体积(1)(2017·全国卷Ⅱ)如图756，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )图756A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)(2018·深圳二调)一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图757所示，则该几何体的体积为( )图757A ．24B ．48C ．72D ．96(1)B (2)B [(1)法一：(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A 处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V ＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.故选B.法二：(估值法)由题意知，12V 圆柱＜V 几何体＜V 圆柱．又V 圆柱＝π×32×10＝90π，所以45π＜V 几何体＜90π.观察选项可知只有63π符合．故选B.(2)由三视图知，该几何体是由长、宽、高分别为6,4,4的长方体被一个平面截去所剩下的部分，如图所示，其中C ，G 均为长方体对应边的中心，该平面恰好把长方体一分为二，则该几何体的体积为V ＝12×6×4×4＝48，故选B.][规律方法] 简单几何体体积问题的常见类型及解题策略 1若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. 2若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. 3若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的底面积和高，一般不需画直观图.[跟踪训练] (1)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A B 1DC 1的体积为( )【导学号：79140239】A ．3B ．32C ．1D ．32(2)(2017·山东高考)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图758，则该几何体的体积为________．图758(1)C (2)2＋π2 [(1)由题意可知，AD ⊥平面B 1DC 1，即AD 为三棱锥A B 1DC 1的高，且AD ＝32×2＝3， 易求得S △B 1DC 1＝12×2×3＝3，所以VA B 1DC 1＝13×3×3＝1.(2)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，所以V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.]与球有关的切、接问题(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3B [由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－102＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.故选B.]1．若本例中的条件变为“直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．[解] 将直三棱柱补形为长方体ABEC A 1B 1E 1C 1， 则球O 是长方体ABEC A 1B 1E 1C 1的外接球， 所以体对角线BC 1的长为球O 的直径． 因此2R ＝32＋42＋122＝13， 故S 球＝4πR 2＝169π.2．若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．[解] 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt△AFO 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2，解得r ＝94，则球O 的体积V 球＝43πr 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝243π16.[规律方法] 与球有关的切、接问题的求解方法1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体①利用2R ＝a 2＋b 2＋c 2求R . ②确定球心位置，把半径放在直角三角形中求解.3一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱.同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B ．3π4C ．π2D ．π4(2)(2018·深圳二调)已知三棱锥S ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥的外接球的表面积为( )【导学号：79140240】A ．64πB ．68πC ．72πD ．100π(1)B (2)D [(1)设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1， 由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4.故选B.(2)由于△ABC 是直角三角形，则对应的截面圆的圆心为AB 的中点，截面圆半径r ＝4，且球心就在过截面圆的圆心且垂直于截面的直线上，且球心到平面ABC 的距离等于SC 的一半，故三棱锥的外接球的半径R ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，故三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝100π，故选D.]。
2025版高考数学一轮总复习第七章立体几何7.1基本立体图形简单几何体的表面积与体积课件
= 2 + 2 = 8 + 1 = 3 = ，所以四边形为菱形
（如图所示）.则原图形的面积为 = × = 6 2.故选C.
考点二 空间多面体的面积、体积
命题角度1 空间多面体的面积
例2 《九章算术》中将正四棱台称为“方亭”.现有一方亭，高为2，上底面边长为2，下
括(
)
A.一个圆柱、一个圆锥
√
B.一个圆柱、两个圆锥
C.一个圆台、一个圆柱
D.两个圆柱、一个圆台
解：直角梯形可以分割成一个矩形和一个直角三角形，矩形绕其一边旋转一周
得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥.可得几何体包括一个圆柱、一个圆
锥.故选A.
3.【多选题】如图，长方体 − 1 1 1 1 被一个平面截成两个
合）的直观图.
【教材梳理】
1.棱柱、棱锥、棱台
类别
图形
棱柱
棱锥
棱台
续表
类别
棱柱
互相平行
有两个面__________，其
四边形
余各面都是________，并
定义 且相邻两个四边形的公共
互相平行
边都__________，由这些
面所围成的多面体
结构特
征
棱锥
棱台
有一个面是多边形，其
平行
用一个______于棱锥
3.立体图形的直观图
（1）概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体
平行投影
几何中通常是在__________下得到的平面图形.
（2）斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画
高考数学一轮复习空间几何体的表面积与体积精品课件理新人教A版
在直角梯形O1ODD1中,
O1O= DD12 - (OD - O1D1 )2 = 4 3
∴棱台的高为 4 3cm.
【评析】求解有关多面体表面积的问题，关键是找 到其特征几何图形，如圆柱中的矩形，棱台中的直角 梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、 边长等几何元素的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系.
点，则CP+PA1的最小值
为
.
【分析】将所求最值问题转化为熟悉的平面上的最
值问题，易解决.
【解析】由直三棱柱的性质得A1B=2 ,又 ∠A1C1B=90°,A1C1=6,BC1=2,
将△A1C1B与△BC1C沿BC1折放在同一平面内，则 A1C为所求.
A1C = 62 + ( 2)2 - 2× 6× 2·cos135 = 5 2.
AP=DP= ，1 在Rt△AGE中， E G = 2，1 A E = 1 ，
2
∴AG=
3 2
,在Rt△APG中，GP=
2.
2
∴S△AGD = 42,VAGD—BHC=
1
= 3 S△AGD ·EG=
2，
24
∴V=VAGD—BHC+2VE—AGD=
2，VE—AGD=VF—BHC
4
2 .故应选A.）
3
考点四 旋转体的体积
V圆柱下=Sh=π×42×1=16π(cm3).
所以此组合体体积V=V圆锥+V圆柱中+V圆柱下
= 8π +40π+16π= 17π6 (cm3).
3
3
考点五 曲面最值
（湛江市11年高三调研）如图，
在直三棱柱ABC—
高中数学一轮复习 空间几何体的表面积与体积55页PPT
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高中数学一轮复习 空间几何体的表面 Байду номын сангаас与体积
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
基本立体图形、简单几何体的表面积与体积课件-2025届高三数学一轮复习
第一节 基本立体图形、简单几 何体的表面积与体积
课程标准
1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特 征描述现实生活中简单物体的结构．
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用 公式解决简单的实际问题．
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、圆柱、圆锥、棱柱 及其简单组合体)的直观图．
√A．π
B. 3π 4
C.
2π 3
D.
π 2
如图，将圆台补成圆锥 CO，则 O1B＝2，AO＝4，BD＝2 3，所以 AD＝ 2，AB＝ AD2＋BD2＝4，由圆锥的结构特征可知 AC＝2AB＝8，而扇环 所对外圆弧的长为 l＝2π·AO＝8π，所以侧面展开成的扇环所对的圆心角 为 α＝AlC＝π.故选 A.
练透教材典题
1．[多选题]下列结论错误的是
√A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
B．用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
√C．菱形的直观图仍是菱形 √D．两个球的体积之比等于它们的半径比的平方
2．如图所示，长方体ABCD -A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则 剩下的几何体是
BCD.
规律方法
空间几何体结构特征的判断技巧 1.紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据
条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关 系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． 2.通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只 需举出一个反例即可．
角度2 直观图 例2 已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图， 其中O′A′∥B′C′，∠O′A′B′＝90°，O′A′＝1，B′C′＝2，则原四边形OABC的 面积为