历年上海高考试题(圆锥曲线)

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上海历年高考文科数学试题及答案汇编九圆锥曲线

上海历年高考文科数学试题及答案汇编九圆锥曲线（2008-2016）试题1、6．（4分）（2008上海）若直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点，则实数a= ．2、12．（4分）（2008上海）设p是椭圆上的点．若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|+|PF2|等于（）A．4 B．5 C．8 D．103、9．（4分）（2009上海）过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线y2=2x交于M、N 两点，则|MN|= ．4、12．（4分）（2009上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= ．5、15．（4分）（2009上海）已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0平行，则k的值是（）A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或26、17．（4分）（2009上海）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=17、7．（4分）（2010上海）圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d= ．8、8．（4分）（2010上海）动点P到点F（2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则P的轨迹方程为．9、13．（4分）（2010上海）在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是．10、5．（4分）（2011上海）若直线l过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线l的方程为．11、12．（4分）（2013上海）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．12、18．（5分）（2013上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）．C．213、4．（4分）（2014上海）若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．14、14．（4分）（2014上海）已知曲线C ：x=﹣，直线l ：x=6，若对于点A （m ，0），存在C 上的点P 和l 上的Q 使得+=，则m 的取值范围为．15、7. （4分）（2015上海）抛物线22y px =(0)p >上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_____.16、12. （4分）（2015上海）已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为2214x y -=.若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为__________. 17、3．（4分）（2016上海）已知平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1，l 2的距离． 18、13．（4分）（2016上海）设a ＞0，b ＞0．若关于x ，y 的方程组无解，则a+b的取值范围是．解答题1、20．（16分）（2008上海）已知双曲线．（1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点M 的坐标为（0，1）．设P 是双曲线C 上的点，Q 是点P 关于原点的对称点．记．求λ的取值范围；（3）已知点D ，E ，M 的坐标分别为（﹣2，﹣1），（2，﹣1），（0，1），P 为双曲线C 上在第一象限内的点．记l 为经过原点与点P 的直线，s 为△DEM 截直线l 所得线段的长．试将s 表示为直线l 的斜率k 的函数．2、22．（16分）（2009上海）已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为，一条渐近线m ：x+y=0，设过点A （﹣3，0）的直线l 的方向向量e=（1，k ），（1）求双曲线C 的方程；（2）若过原点的直线a ∥l ，且a 与l 的距离为，求k 的值；（3）证明：当k ＞时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为．3、23．（18分）（2010上海）已知椭圆Γ的方程为，A （0，b ）、B（0，﹣b ）和Q （a ，0）为Γ的三个顶点．（1）若点M 满足，求点M 的坐标；（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若，证明：E为CD的中点；（3）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（﹣8，﹣1），若椭圆Γ上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标．4、22．（16分）（2011上海）已知椭圆C：=1 （常数m＞1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．5、21．（14分）（2012上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图，现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？6、22．（16分）（2012上海）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2﹣y2=1．（1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；（2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；（3）设斜率为k（）的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．7、23．（18分）（2013上海）如图，已知双曲线C 1：，曲线C 2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1，C 2都有公共点，则称P 为“C 1﹣C 2型点”（1）在正确证明C 1的左焦点是“C 1﹣C 2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx 与C 2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C 1﹣C 2型点”；（3）求证：圆x 2+y 2=内的点都不是“C 1﹣C 2型点”8、22．（16分）（2014上海）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1、P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证：点A （1，2），B （﹣1，0）被直线x+y ﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2﹣4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为曲线E 的分隔线． 9、22.（本题满分16分）（2015上海）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D .记AOC △的面积为S .(1) 设()11,A x y ，()22,C x y .用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-；(2) 设1l ：y kx =，C ，13S =，求k 的值；(3) 设1l 与2l 的斜率之积为m .求m 的值，使得无论1l 与2l 如何变动，面积S 保持不变. 10、21．（14分）（2016上海）双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点．（1）若l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设b=，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．答案1、解：直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F（1，0），则a+1=0∴a=﹣1．故答案为：﹣12、解：由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10，故选D．3、解：∵θ=，∴k=1，∴直线方程为y=x﹣1，联立方程解得：M（），N（），所以MN=，故答案为．4、解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．5、解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．当k﹣3≠0时，由=≠，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，故选 C．6、解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．7、解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：38、解：由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线，其开口方向向右，且=2，解得p=4，所以其方程为y2=8x．故答案为y2=8x9、解：因为、是渐近线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又，∴a=2，b=1双曲线方程为，=（2a+2b，a﹣b），∴，化简得4ab=1．故答案为4ab=1．10、解：直线的法向量是（1，2），直线的方向向量为：（﹣2，1），所以直线的斜率为：﹣，所以直线的方程为：y﹣4=﹣（x﹣3），所以直线方程为：x+2y﹣11=0．故答案为：x+2y﹣11=0．11、解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．12、解：把椭圆得，椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴x+y=2cosθ+sinθ，∴（x+y）max==．∴M n==2．故选D．13、解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣214、解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．15、答案：2解：抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离.∴当动点Q 到焦点的距离最小时，有距离12Q p d x =+=，当且仅当0Q x =时距离最小，此时12p=即2p =. 16、答案：22144x y -= 解：双曲线1C 、2C 的顶点重合∴在双曲线2C 中2a =.又 2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的2倍.即得21222C b = 22C b ∴=.故2C 的方程为22144x y -=. 17、解：平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1，l 2的距离：=．故答案为：．18、解：∵关于x ，y 的方程组无解，∴直线ax+y ﹣1=0与直线x+by ﹣1=0平行， ∴﹣a=﹣，且．即a=且b ≠1．∵a ＞0，b ＞0．∴a+b=b+＞2．故答案为：（2，+∞）．解答题1、解：（1）在双曲线，把1换成0，所求渐近线方程为（2）设P 的坐标为（x 0，y 0），则Q 的坐标为（﹣x 0，﹣y 0），=∵∴λ的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）若P 为双曲线C 上第一象限内的点，则直线l 的斜率由计算可得，当；当∴s表示为直线l的斜率k的函数是2、（1）解：由题意知，c=，=，再由c2=a2+b2，a=，b=1，∴双曲线方程为：﹣y2=1．（2）解：直线l的方程y﹣0=k（x+3），即 kx﹣y+3k=0．∵过原点的直线a∥l，∴直线a方程为：kx﹣y=0，两平行线间的距离，∴k=±．（3）证明：设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当k＞时，d＞．又双曲线C的渐近线为x±y=0，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于，故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．3、解：（1）∵，∴M是B（0，﹣b）和Q（a，0）的中点，∴．（2）由方程组，消y得方程（a2k12+b2）x2+2a2k1px+a2（p2﹣b2）=0，因为直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2﹣p2＞0，设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），则，由方程组，消y得方程（k2﹣k1）x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；（3）因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据（2）可得直线l的斜率，从而得直线l的方程．，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2﹣2x﹣48=0，解得P1（﹣6，﹣4）、P2（8，3），或P1（8，3）、P2（﹣6，﹣4），．4、解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则m=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（﹣，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1﹣，|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=﹣4x+5；又由﹣3≤x≤3，根据二次函数的性质，分析可得，x=﹣3时，|PA|2=﹣4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=﹣4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x﹣2）2+y2=x2﹣4x+4+y2=（x﹣）2﹣+5，且﹣m≤x≤m；当x=m时，|PA|取得最小值，且＞0，则≥m，且m＞1；解得1＜m≤1+．（1）t=0.5时，P的横坐标x P=7t=，代入抛物线方程中，得P的纵坐标y P=3． (2)5、解：分由|AP|=，得救援船速度的大小为海里/时．由tan∠OAP=，得∠OAP=arctan，故救援船速度的方向为北偏东arctan弧度． (6)分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t2）．由vt=，整理得．因为，当且仅当t=1时等号成立，所以v2≥144×2+337=252，即v≥25．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．6、解：（1）双曲线C1：的左焦点F（﹣），设M（x，y），则|MF|2=（x+）2+y2，由M点是右支上的一点，可知x≥，所以|MF|==2，得x=，所以M（）．（2）左焦点F（﹣），渐近线方程为：y=±x．过F与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=，所以，解得．所以所求平行四边形的面积为S=．（3）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故，即b2=k2+1…①，由，得（2﹣k2）x2﹣2bkx﹣b2﹣1=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，又y1y2=（kx1+b）（kx2+b）．所以=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2==．由①式可知，故PO⊥OQ．7、（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．8、解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（3）设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．对任意的y 0，（0，y 0）不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点．又曲线E 上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y 轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y 轴分隔，所以y 轴为曲线E 的分隔线． 9、(1)直线1l ：110y x x y -=，点C 到1l的距离d =因为OA =所以12211122S OA d x y x y ==- . (2)由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得21211+2x k =.由(1),122112S x y x y =-113x kx =-=13=，解得15k =-或1-.(3)设1l ：y kx =，则2l ：my x k =.设()11,A x y ，()22,C x y .由22,21,y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k=+，同理2222221212()k x m k m k==++.由(1),122112S x y x y =- 122112x mx x kx k =- 21212k m x x k -==，整理24222222(81)(4162)(81)0S k S S m m k S m -++++-=.由题意知，S 与k 无关，则2222810,41620,S S S m m ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩得21,81.2S m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，12m =-. 10、解：（1）若l 的倾斜角为，△F 1AB 是等边三角形，把x=c=代入双曲线的方程可得点A 的纵坐标为b 2，由tan ∠AF 1F 2=tan ==，求得b 2=2，b=，故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±x ，即双曲线的渐近线方程为y=±x ．（2）设b=，则双曲线为 x 2﹣=1，F 2（2，0），若l 的斜率存在，设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ﹣0=k （x ﹣2），即y=kx ﹣2k ，联立，可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，由直线与双曲线有两个交点，则3﹣k2≠0，即k．△=36（1+k2）＞0．x1+x2=，x1•x2=．∵|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=4，化简可得，5k4+42k2﹣27=0，解得k2=，求得k=．∴l的斜率为．。

圆锥曲线高考试题汇编(上海2003～2007)

圆锥曲线高考试题汇编（上海2003～2007）2003年4、在极坐标系中，定点1,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθρθ+=上运动。

当线段AB 最短试，点B 的极坐标是34π⎫⎪⎪⎝⎭。

解：将极坐标系转化为直角坐标系，有()0,1A ，点B 在直线0x y +=上运动。

过点A 且与直线0x y +=垂直的直线方程为1y x =+。

联立方程01x y y x +=⎧⎨=+⎩⇒11,22B ⎛⎫- ⎪⎝⎭⇒B 的极坐标是34π⎫⎪⎪⎝⎭。

12、给出问题：设1F 、2F 是双曲线2211620x y -=的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，求点P 到焦点2F 的距离。

某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，则128PF PF -=，即298PF -=，得21PF =或17。

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果填在下列空格内217PF =。

解：由题意，4a =，6c =，则2c a -=，10c a +=。

因为1210PF <<，所以点P 位于靠近焦点1F 的一支上。

从而，有2128PF PF a -==，又19PF = 所以，217PF =。

20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为lh S 4π=，柱体体积为：底面积乘以高。

本题结果精确到0.1米）解：（1）如图建立直角坐标系。

设隧道拱线所在的椭圆方程为12222=+by a x （0a b >>），其中6b =。

圆锥曲线历年高考题集锦及答案

历届高考中的“椭圆”试题精选、选择题:(2002春招北京文、理)已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点. 使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( ) (A )圆 (B )椭圆 (C )双曲线的一支(D )抛物线(2004福建文、理)已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过R 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于二、填空题:则该椭圆的离心率 e ___________________ .10. (2006上海理)已知椭圆中心在原点，一个焦点为倍，则该椭圆的标准方程是 ___________________________11. (2007江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 顶点A( 4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭2 2圆』L 1上，则弘A sinC ________________________25 9 sin B12.(2001春招北京、内蒙、安徽文、理) 椭圆x 2 4y 2 4长轴上一个顶点为 A 以A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________ .-历届高考中的“双曲线”试题精选1.(2007 (A )安徽文)椭圆X 22(B ) 342. (2008 上海文 ) A . 4(2005广东) 4y 2)设p 是椭圆B . 52x25 1的离心率为(2(C )2y 16C. 8若焦点在x 轴上的椭圆B.(2006全国n 卷文、理)点，且椭圆的另外一个焦点在(B) 6 2(D )-31上的点. x 2D. 2yC.已知△ ABC 勺顶点B BC 边上，则△(C 4 3 (A ) 2 3 (2003北京文)如图，直线l : x 2y 2 F 1和一个顶点B,该椭圆的离心率为(1 25 2, 5 A. B . - C .D .-5 555若F" F 2是椭圆的两个焦点， 1011的离心率为一，则m=(2D.-3X 22C 在椭圆_ + y = 1上，顶点 ABC 勺周长是()D ) 120过椭圆的左焦点)则PF 』| PF ?等 A 是椭圆的一个焦如果延长F i P 到Q,A 、B 两点，若△ ABF 是正三角形，^2爲(A ) (B ) -338. (2007重庆文)已知以F 1 个交点，则椭圆的长轴长为( 则这个椭圆的离心率是( ) 2 (22 2),F 2 (2,0 )为焦点的椭圆与直线 x < 3y 4 0有且仅有 ) (C ) (-2,0 26(C ) 2、、79.(2008 全国I 卷文)在厶 ABC 中，A 90o , ta nB•若以A , B 为焦点的椭圆经过点 C ,F (- 2 3 , 0)，且长轴长是短轴长的 2、选择题:（2005全国卷n文, 2004春招北京文、理）2.2x3(2006全国I卷文、A 1B .4(A) y理）4(B) y -x9双曲线mx2（2000春招北京、安徽文、理）双曲线双曲线的离心率是（(C)4x24. ( (2007全国I文、理) )2 2(A)x_ 14 125. (2008辽宁文)6. ( 2005全国卷2双曲线—43y 2x(D)1的渐近线方程是（）1的虚轴长是实轴长的2y~2a2已知双曲线的离心率为2,2(B)—12已知双曲线9y2)B.IIIuuuur UUULTMF 1 MF 2 0,则点C.文、理）已知双曲线M到x轴的距离为（B. 532 27 . （2008福建文、理）双曲线务占a b9x42倍，则m ()1的两条渐近线互相垂直，那么该焦点是（-4 ,2 2(0 2x_ y_ 110 60） , （4, 0）,则双曲线方程为2 2(0冬上16 101（m 0）的一个顶点到它的一条渐近线的距离为D. 42—1的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且2）C.兰31 (a>0, b> 0)点，且| PR | 2 | PF2 |，则双曲线离心率的取值范围为（A. （1,3）B. （1,3] c. （3,）2 2x r8.（2007安徽理）如图，F1和F2分别是双曲线—2a b 的两个焦点为F I,F2，若P为其上的一)D. [3,1(a 0,b 0）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF」为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且厶F2AB是等边三角形，(A) .3 (B) ,5 则双曲线的离心率为（二（D）1 32(C)二、填空题:9. ( 2008安徽文)10. (2006上海文)2 _—一1的离心率是3。

历年上海高考试题（圆锥曲线）

历年上海高考试题(圆锥曲线) 班级班级学号学号学号姓名姓名姓名1.(01上海)若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____ 2.（02上海）曲线îíì+=-=1212t y t x （t 为参数）的焦点坐标是为参数）的焦点坐标是3.（02上海）抛物线(y-1)22=4(x+1) 的焦点坐标是的焦点坐标是4.（03上海春）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是截得线段的中点坐标是 . 5.（03上海理）在极坐标系中，定点A ),2,1(p点B 在直线0sin cos =+q r q r 上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标是的极坐标是 . 6.（04上海春）过抛物线y 2=4x 的焦点F 作垂直于x 轴的直线,交抛物线于A 、B 两点,则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是为直径的圆方程是7.（04上海）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为则它的焦点坐标为8.（04上海理）在极坐标系中,点M(4,3p)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= . 9.(03上海)给出问题：F 1、F 2是双曲线201622y x -=1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF 1|－|PF 2||=8，即|9－|PF 2||=8，得|PF 2|=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内. 10.(04上海)教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 . 11.（05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(215,0),则椭圆的标准方程是1208022=+y x12.（05上海理）若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的方程是______1922=-y x ____。

圆锥曲线(解析版)--2024年高考真题和模拟题数学好题汇编

圆锥曲线1(新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C ：x 2+y 2=16(y >0)，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为()A.x 216+y 24=1(y >0)B.x 216+y 28=1(y >0)C.y 216+x 24=1(y >0)D.y 216+x 28=1(y >0)【答案】A【分析】设点M (x ,y )，由题意，根据中点的坐标表示可得P (x ,2y )，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M (x ,y )，则P (x ,y 0),P (x ,0)，因为M 为PP 的中点，所以y 0=2y ，即P (x ,2y )，又P 在圆x 2+y 2=16(y >0)上，所以x 2+4y 2=16(y >0)，即x 216+y 24=1(y >0)，即点M 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y >0).故选：A2(全国甲卷数学(理))已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的上、下焦点分别为F 10,4 ,F 20,-4 ，点P -6,4 在该双曲线上，则该双曲线的离心率为()A.4B.3C.2D.2【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】由题意，F 10,-4 、F 20,4 、P -6,4 ，则F 1F 2 =2c =8，PF 1 =62+4+4 2=10，PF 2 =62+4-4 2=6，则2a =PF 1 -PF 2 =10-6=4，则e =2c 2a =84=2.故选：C .3(新高考天津卷)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2．△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为()A.x 28-y 22=1B.x 28-y 24=1C.x 22-y 28=1D.x 24-y 28=1【答案】C【分析】可利用△PF 1F 2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF 2 =m ，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，∠F 1PF 2=90°，设PF 2 =m ，∠PF 2F 1=θ1,∠PF 1F 2=θ2，由k PF 2=tan θ1=2，求得sin θ1=25，因为∠F 1PF 2=90°，所以k PF 1⋅k PF 2=-1，求得k PF 1=-12，即tan θ2=12，sin θ2=15，由正弦定理可得：PF 1 :PF 2 :F 1F 2 =sin θ1:sin θ2:sin90°=2:1:5，则由PF 2 =m 得PF 1 =2m ,F 1F 2 =2c =5m ，由S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 =12m ⋅2m =8得m =22，则PF 2 =22,PF 1 =42,F 1F 2 =2c =210,c =10，由双曲线第一定义可得：PF 1 -PF 2 =2a =22，a =2,b =c 2-a 2=8，所以双曲线的方程为x 22-y 28=1.故选：C4(新课标全国Ⅰ卷)(多选)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.【详解】对于A：设曲线上的动点P x,y，则x>-2且x-22+y2×x-a=4，因为曲线过坐标原点，故0-22+02×0-a=4，解得a=-2，故A正确.对于B：又曲线方程为x-22+y2×x+2=4，而x>-2，故x-22+y2×x+2=4.当x=22,y=0时，22-22×22+2=8-4=4，故22,0在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2=16x+22-x-22，取x=32，则y2=6449-14，而6449-14-1=6449-54=256-24549×4>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点x0,y0在曲线上时，由C的分析可得y20=16x0+22-x0-22≤16x0+22，故-4x0+2≤y0≤4x0+2，故D正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.5(新课标全国Ⅱ卷)(多选)抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A:x2+(y-4)2=1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则()A.l与⊙A相切B.当P，A，B三点共线时，|PQ|=15C.当|PB|=2时，PA⊥ABD.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个【答案】ABD【分析】A选项，抛物线准线为x=-1，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，P,A,B三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据PB=2先算出P的坐标，然后验证k PA k AB=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，PB=PF，于是问题转化成PA=PF的P点的存在性问题，此时考察AF的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P点坐标进行求解.【详解】A选项，抛物线y2=4x的准线为x=-1，⊙A的圆心(0,4)到直线x=-1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标y P=4，由y2P=4x P，得到x P=4，故P(4,4)，此时切线长PQ=PA2-r2=42-12=15，B选项正确；C选项，当PB=2时，xP=1，此时y2P=4x P=4，故P(1,2)或P(1,-2)，当P(1,2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-20-1=-2，k AB=4-20-(-1)=2，不满足k PA k AB=-1；当P(1,-2)时，A(0,4),B(-1,2)，k PA=4-(-2)0-1=-6，k AB=4-(-2)0-(-1)=6，不满足k PA k AB=-1；于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB=PF，这里F(1,0)，于是PA=PB时P点的存在性问题转化成PA=PF时P点的存在性问题，A(0,4),F(1,0)，AF中点12,2，AF中垂线的斜率为-1kAF =14，于是AF的中垂线方程为：y=2x+158，与抛物线y2=4x联立可得y2-16y+30=0，Δ=162-4×30=136>0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得PA=PF，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设Pt24,t，由PB⊥l可得B-1,t，又A(0,4)，又PA=PB，根据两点间的距离公式，t416+(t-4)2=t24+1，整理得t2-16t+30=0，Δ=162-4×30=136>0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选：ABD6(新课标全国Ⅰ卷)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为．【答案】3 2【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出AF2，结合双曲线第一定义求出AF1，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.【详解】由题可知A ,B ,F 2三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1得y =±b 2a ，即A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，故AB =2b 2a =10，AF 2 =b 2a=5，又AF 1 -AF 2 =2a ，得AF 1 =AF 2 +2a =2a +5=13，解得a =4，代入b 2a=5得b 2=20，故c 2=a 2+b 2=36,，即c =6，所以e =c a =64=32.故答案为：327(新高考北京卷)已知抛物线y 2=16x ，则焦点坐标为．【答案】4,0【分析】形如y 2=2px ,p ≠0 的抛物线的焦点坐标为p2,0，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为y 2=16x ，所以其焦点坐标为4,0 .故答案为：4,0 .8(新高考北京卷)已知双曲线x 24-y 2=1，则过3,0 且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．【答案】±12【分析】首先说明直线斜率存在，然后设出方程，联立双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.【详解】联立x =3与x 24-y 2=1，解得y =±52，这表明满足题意的直线斜率一定存在，设所求直线斜率为k ，则过点3,0 且斜率为k 的直线方程为y =k x -3 ，联立x 24-y 2=1y =k x -3 ，化简并整理得：1-4k 2x 2+24k 2x -36k 2-4=0，由题意得1-4k 2=0或Δ=24k 2 2+436k 2+4 1-4k 2 =0，解得k =±12或无解，即k =±12，经检验，符合题意.故答案为：±12.9(新高考天津卷)(x -1)2+y 2=25的圆心与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为．【答案】45/0.8【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆(x -1)2+y 2=25的圆心为F 1,0 ，故p2=1即p =2，由x -12+y 2=25y 2=4x可得x 2+2x -24=0，故x =4或x =-6(舍)，故A 4,±4 ，故直线AF :y =±43x -1 即4x -3y -4=0或4x +3y -4=0，故原点到直线AF 的距离为d =45=45，故答案为：4510(新高考上海卷)已知抛物线y 2=4x 上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】42【分析】根据抛物线的定义知x P =8，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由y 2=4x 知抛物线的准线方程为x =-1，设点P x 0,y 0 ，由题意得x 0+1=9，解得x 0=8，代入抛物线方程y 2=4x ，得y 20=32，解得y 0=±42，则点P 到x 轴的距离为42．故答案为：42．11(新课标全国Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【分析】(1)代入两点得到关于a ,b 的方程，解出即可；(2)方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设B x 0,y 0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线y =kx +3，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设PB :y -32=k (x -3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12，所以e=1-b2a2=1-912=12.(2)法一：k AP=3-320-3=-12，则直线AP的方程为y=-12x+3，即x+2y-6=0，AP=0-32+3-3 22=352，由(1)知C:x212+y29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B 23cos θ,3sin θ ，其中θ∈0,2π ，则有23cos θ+6sin θ-6 5=1255，联立cos 2θ+sin 2θ=1，解得cos θ=-32sin θ=-12或cos θ=0sin θ=-1，即B 0,-3 或-3,-32，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时B 0,-3 ，S △PAB =12×6×3=9，符合题意，此时k l =32，直线l 的方程为y =32x -3，即3x -2y -6=0，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32 k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k 2x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，其中Δ=8k 23k -322-43+4k 2 36k 2-36k -27 >0，且k ≠-12，则3x B =36k 2-36k -273+4k 2,x B =12k 2-12k -93+4k 2，则S =12AQ x P -x B =123k +32 12k +183+4k 2=9，解的k =12或k =32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.12(新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C :x 2-y 2=m m >0 ，点P 15,4 在C 上，k 为常数，0<k <1．按照如下方式依次构造点P n n =2,3,... ，过P n -1作斜率为k 的直线与C 的左支交于点Q n -1，令P n 为Q n -1关于y 轴的对称点，记P n 的坐标为x n ,y n .(1)若k =12，求x 2,y 2；(2)证明：数列x n -y n 是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n 为△P n P n +1P n +2的面积，证明：对任意的正整数n ，S n =S n +1.【答案】(1)x 2=3，y 2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出P 2的坐标即可；(2)根据等比数列的定义即可验证结论；(3)思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明S n 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】(1)由已知有m =52-42=9，故C 的方程为x 2-y 2=9.当k =12时，过P 15,4 且斜率为12的直线为y =x +32，与x 2-y 2=9联立得到x 2-x +322=9.解得x =-3或x =5，所以该直线与C 的不同于P 1的交点为Q 1-3,0 ，该点显然在C 的左支上.故P 23,0 ，从而x 2=3，y 2=0.(2)由于过P n x n ,y n 且斜率为k 的直线为y =k x -x n +y n ，与x 2-y 2=9联立，得到方程x 2-k x -x n +y n 2=9.展开即得1-k 2 x 2-2k y n -kx n x -y n -kx n 2-9=0，由于P n x n ,y n 已经是直线y =k x -x n +y n 和x 2-y 2=9的公共点，故方程必有一根x =x n .从而根据韦达定理，另一根x =2k y n -kx n 1-k 2-x n =2ky n -x n -k 2x n1-k 2，相应的y =k x -x n +y n =y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW =c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW =12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k 2x n +y n=1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k -921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k1+k的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m.这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.13(全国甲卷数学(理)(文))设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，点M 1,32 在C 上，且MF ⊥x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点P 4,0 的直线与C 交于A ,B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ ⊥y 轴．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【分析】(1)设F c ,0 ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.(2)设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立直线方程和椭圆方程，用A ,B 的坐标表示y 1-y Q ，结合韦达定理化简前者可得y 1-y Q =0，故可证AQ ⊥y 轴.【详解】(1)设F c ,0 ，由题设有c =1且b 2a =32，故a 2-1a =32，故a =2，故b =3，故椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)直线AB 的斜率必定存在，设AB :y =k (x -4)，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由3x 2+4y 2=12y =k (x -4) 可得3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0，故Δ=1024k 4-43+4k 2 64k 2-12 >0，故-12<k <12，又x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2，而N 52,0 ，故直线BN :y =y 2x 2-52x -52 ，故y Q =-32y 2x 2-52=-3y 22x 2-5，所以y 1-y Q =y 1+3y 22x 2-5=y 1×2x 2-5 +3y 22x 2-5=k x 1-4 ×2x 2-5 +3k x 2-42x 2-5=k 2x 1x 2-5x 1+x 2 +82x 2-5=k2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+82x 2-5=k128k 2-24-160k 2+24+32k 23+4k 22x 2-5=0，故y 1=y Q ，即AQ ⊥y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.14(新高考北京卷)已知椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过0,t t >2 的直线l 与椭圆交于A ，B ，C 0,1 ，连接AC 交椭圆于D ．(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t ．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【分析】(1)由题意得b =c =2，进一步得a ，由此即可得解；(2)说明直线AB 斜率存在，设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立椭圆方程，由韦达定理有x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，而AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，令x =0，即可得解.【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)显然直线AB 斜率存在，否则B ,D 重合，直线BD 斜率不存在与题意不符，同样直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t ，化简并整理得1+2k 2x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.15(新高考天津卷)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC=12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k 2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t-3≤t ≤32 ，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.16(新高考上海卷)已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1,(b >0),左右顶点分别为A 1,A 2，过点M -2,0 的直线l 交双曲线Γ于P ,Q 两点.(1)若离心率e =2时，求b 的值．(2)若b =263,△MA 2P 为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标．(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若A 1R ⋅A 2P=1，求b 的取值范围．【答案】(1)b =3(2)P 2,22 (3)0,3 ∪3,303【详解】(1)由题意得e =c a =c1=2，则c =2，b =22-1=3．(2)当b =263时，双曲线Γ:x 2-y 283=1，其中M -2,0 ，A 21,0 ，因为△MA 2P 为等腰三角形，则①当以MA 2为底时，显然点P 在直线x =-12上，这与点P 在第一象限矛盾，故舍去；②当以A 2P 为底时，MP =MA 2 =3，设P x ,y ，则 x 2-3y 28=1(x +2)2+y 2=9, 联立解得x =-2311y =-81711 或x =-2311y =81711或x =1y =0 ，因为点P 在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；(或者由双曲线性质知MP >MA 2 ，矛盾，舍去)；③当以MP 为底时，A 2P =MA 2 =3，设P x 0,y 0 ，其中x 0>0,y 0>0，则有x 0-1 2+y 20=9x 20-y 2083=1，解得x 0=2y 0=22，即P 2,22 ．综上所述：P 2,22 .(3)由题知A 1-1,0 ,A 21,0 ，当直线l 的斜率为0时，此时A 1R ⋅A 2P=0，不合题意，则k l ≠0，则设直线l :x =my -2，设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，根据OQ 延长线交双曲线Γ于点R ，根据双曲线对称性知R -x 2,-y 2 ，联立有x =my -2x 2-y 2b2=1⇒b 2m 2-1 y 2-4b 2my +3b 2=0，显然二次项系数b 2m 2-1≠0，其中Δ=-4mb 2 2-4b 2m 2-1 3b 2=4b 4m 2+12b 2>0，y 1+y 2=4b 2m b 2m 2-1①，y 1y 2=3b 2b 2m 2-1②，A 1R =-x 2+1,-y 2 ,A 2P=x 1-1,y 1 ，则A 1R ⋅A 2P=-x 2+1 x 1-1 -y 1y 2=1，因为P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 在直线l 上，则x 1=my 1-2，x 2=my 2-2，即-my 2-3 my 1-3 -y 1y 2=1，即y 1y 2m 2+1 -y 1+y 2 3m +10=0，将①②代入有m 2+1 ⋅3b 2b 2m 2-1-3m ⋅4b 2m b 2m 2-1+10=0，即3b 2m 2+1 -3m ⋅4b 2m +10b 2m 2-1 =0化简得b 2m 2+3b 2-10=0，所以 m 2=10b 2-3, 代入到 b 2m 2-1≠0, 得 b 2=10-3b 2≠1, 所以 b 2≠3,且m 2=10b 2-3≥0，解得b 2≤103，又因为b >0，则0<b 2≤103，综上知，b 2∈0,3 ∪3,103 ，∴b ∈0,3 ∪3,303．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设l :x =my -2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.一、单选题1(2024·福建泉州·二模)若椭圆x 2a 2+y 23=1(a >0)的离心率为22，则该椭圆的焦距为()A.3B.6C.26或3D.23或6【答案】D【分析】分焦点在x 轴或y 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数a ，再求椭圆的焦距.【详解】若椭圆的焦点在x 轴，则离心率e =a 2-3a =22，得a 2=6，此时焦距2c =26-3=23，若椭圆的焦点在y 轴，则离心率e =3-a 23=22，得a 2=32，此时焦距2c =23-32=6，所以该椭圆的焦距为23或6.故选：D2(2024·河北衡水·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)，圆O 1:(x -2)2+y 2=4与圆O 2:x 2+(y -1)2=1的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为()A.3B.2C.5D.6【答案】C【详解】因为O 1:(x -2)2+y 2=4，O 2:x 2+(y -1)2=1，所以两圆方程相减可得y =2x ，由题意知C 的一条渐近线为y =2x ，即ba =2，双曲线C 的离心率e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a2=5．故选：C ．3(2024·北京·三模)已知双曲线E :3mx 2-my 2=3的一个焦点坐标是0,2 ，则m 的值及E 的离心率分别为()A.-1,233B.-1,2C.1，2D.102,10【答案】A【详解】依题意，双曲线E :3mx 2-my 2=3化为：y 2-3m -x 2-1m=1，则-3m +-1m =22，解得m =-1，双曲线y 23-x 2=1的离心率e =23=233.故选：A4(2024·贵州贵阳·三模)过点A (-3,-4)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=9相交于不同的两点M ，N ，则线段MN 的中点P 的轨迹是()A.一个半径为10的圆的一部分B.一个焦距为10的椭圆的一部分C.一条过原点的线段D.一个半径为5的圆的一部分【答案】D【详解】设P (x ,y )，根据线段MN 的中点为P ，则CP ⊥MN ，即CP ⊥AP ，所以CP ⋅AP =0，又A (-3,-4),C (3,4),AP =(x +3,y +4),CP =(x -3,y -4)，所以(x +3)(x -3)+(y +4)(y -4)=0，即x 2+y 2=25，所以点P 的轨迹是以(0,0)为圆心，半径为5的圆在圆C 内的一部分，故选：D .5(2024·湖南·模拟预测)已知点A 1,0 ，点B -1,0 ，动点M 满足直线AM ，BM 的斜率之积为4，则动点M 的轨迹方程为()A.x 24-y 2=1B.x 24-y 2=1(x ≠±1)C.x 2-y 24=1D.x 2-y 24=1(x ≠±1)【答案】D【详解】设动点M (x ,y )由于A 1,0 ，B -1,0 ，根据直线AM 与BM 的斜率之积为4．整理得y x +1⋅y x -1=4，化简得：x 2-y 24=1(x ≠±1)．故选：D6(2024·陕西榆林·三模)在平面直角坐标系xOy 中，把到定点F 1-a ,0 ,F 2a ,0 距离之积等于a 2(a >0)的点的轨迹称为双纽线.若a =2，点P x 0,y 0 为双纽线C 上任意一点，则下列结论正确的个数是()①C 关于x 轴不对称②C 关于y 轴对称③直线y =x 与C 只有一个交点④C 上存在点P ，使得PF 1 =PF 2 A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【详解】①设M x ,y 到定点F 1-2,0 ,F 22,0 的距离之积为4，可得(x +2)2+y 2.(x -2)2+y 2=4，整理得x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，即曲线C 的方程为x 2+y 2 2=8x 2-y 2 ，由x 用-x 代换，方程没变，可知曲线C 关于y 轴对称，由y 用-y 代换，方程没变，可知曲线C 关于x 轴对称，由x 用-x 代换，y 用-y 同时代换，方程没变，可知曲线C 关于原点对称，图象如图所示：所以①不正确，②正确；③联立方程组x 2+y 2 2=8x 2-y 2y =x，可得x 4=0，即x =0，所以y =0，所以直线y =x 与曲线C 只有一个交点O (0,0)，所以③正确.④原点O 0,0 满足曲线C 的方程，即原点O 在曲线C 上，则OF 1 =OF 2 ，即曲线C 上存在点P 与原点O 重合时，满足PF 1 =PF 2 ，所以④正确.故选:C .7(2024·福建泉州·二模)双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点，与其两条渐近线分别交于R ，S 两点，则下列命题正确的是()A.存在直线l ，使得BQ ⎳OSB.当且仅当直线l 平行于x 轴时，|PR |=|SQ |C.存在过(0,b )的直线l ，使得S △ORB 取到最大值D.若直线l 的方程为y =-22(x -a ),BR =3BS ，则双曲线C 的离心率为3【答案】D【详解】解：对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线l :y =kx +t ，与双曲线联立y =kx +tx 2a2-y 2b2=1，得：b 2-a 2k 2 x 2-2a 2ktx -a 2t 2+a 2b 2 =0，其中b 2-a 2k 2≠0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，由根与系数关系得：x 1+x 2=2a 2kt b 2-a 2k 2,x 1x 2=-a 2b 2+a 2t 2b 2-a 2k 2，所以线段PQ 中点N x 1+x 22,y 1+y 22 =a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，将直线l :y =kx +t ，与渐近线y =b a x 联立得点S 坐标为S at b -ak ,btb -ak，将直线l :y =kx +t 与渐近线y =-b a x 联立得点R 坐标为R -at b +ak ,btb +ak ，所以线段RS 中点M a 2kt b 2-a 2k 2,a 2k 2tb 2-a 2k2+t，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合．所以，对任意的直线l ，都有|PR |=|PQ |-|RS |2=|SQ |，故B 项不正确；对于C 项：因为|OB |为定值，当k 越来越接近渐近线y =-b a x 的斜率-ba 时，S △ORB 趋向于无穷，所以S △ORB 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线y =bax ，解得Sa 22b +a ,ab2b +a，联立直线l 与渐近线y =-b a x ，解得R a 2-2b +a ,ab2b -a由题可知，BR =3BS ，3y S =y R +2y B ,3ab2b +a =ab2b -a ，解得b =2a ，所以e =1+b 2a2=1+(2a )2a 2=3，故D 项正确．故选：D ．【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a ,c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；②齐次式法：由已知条件得出关于a ,c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.8(2024·河南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,O 为坐标原点，焦距为82，点P 在双曲线C 上，OP =OF 2 ，且△POF 2的面积为8，则双曲线的离心率为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【详解】因为△POF 2的面积为8，所以△PF 1F 2的面积为16.又OP =OF 2 ，所以OP =OF 2 =OF 1 =12F 1F 2，所以△PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2.设PF 1 =m ，PF 2 =n ，所以m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2，所以mn =m 2+n 2 -(m -n )22=4c 2-4a 22=2b 2，所以S △PF 1F 2=12mn =b 2=16，又b >0，所以b =4.焦距为2c =82，所以c =42，则a 2=c 2-b 2=(42)2-16=16，所以a =4，则离心率e =424=2.故选：C .9(2024·重庆·三模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限，点O 为坐标原点，且S △AOF =2S △BOF ，则直线l 的斜率为()A.22B.3C.1D.-1【答案】A 【详解】如图：设直线倾斜角为α，抛物线的准线l ：x =-1作AM ⊥l 于M ，根据抛物线的定义，AM =AF =DF +AF ⋅cos α=2+AF ⋅cos α，所以|AF |=21-cos α，类似的|BF |=21+cos α.由S △AOF =2S △BOF 知|AF |=2|BF |，得cos α=13，故k =tan α=22.故选：A10(2024·黑龙江齐齐哈尔·三模)设F 为抛物线C :y =ax 2的焦点，若点P (1,2)在C 上，则|PF |=()A.3B.52C.94D.178【答案】D【详解】依题意，2=a ×12，解得a =2，所以C :x 2=y 2的准线为y =-18，所以|PF |=2+18=178，故选:D ．11(2024·山东泰安·二模)设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过抛物线上点P 作准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则PQ =()A.43B.433C.3D.233【答案】A【详解】如图所示：设 M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且PF =PQ ，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM ⎳PQ ，所以∠QFM =30°，而在Rt△QMF中，QF=FMcos30°=232=433，所以PF=PQ=QF2÷cos30°=233÷32=43.故选：A.二、多选题12(2024·江西·模拟预测)已知A-2,0，B2,0，C1,0，动点M满足MA与MB的斜率之积为-3 4，动点M的轨迹记为Γ，过点C的直线交Γ于P，Q两点，且P，Q的中点为R，则()A.M的轨迹方程为x24+y23=1B.MC的最小值为1C.若O为坐标原点，则△OPQ面积的最大值为32D.若线段PQ的垂直平分线交x轴于点D，则R点的横坐标是D点的横坐标的4倍【答案】BCD【详解】对于选项A，设M x,y，因为A-2,0，B2,0，所以k MA⋅k MB=yx+2⋅yx-2=-34，化简得x24+y23=1x≠±2，故A错误；对于选项B，因为x24+y23=1x≠±2，则a=2，b=3，则c=a2-b2=1，所以C1,0为椭圆的右焦点，则MCmin=a-c=2-1=1，故B正确；对于选项C，设PQ的方程 x=my+1，代入椭圆方程，得3m2+4y2+6my-9=0，设P x1,y1,Q x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，Δ=36m2+363m2+4>0，所以S△OPQ=12OCy1-y2=12y1+y22-4y1y2=12-6m3m2+42+363m2+4=6m2+13m2+4，令m2+1=t≥1，则S△OPQ=6t3t2+1=63t+1t，令g t =3t+1tt≥1，则S△OPQ=6g t，t≥1,g t =3-1t2=3t2-1t2>0，g t 在1,+∞为增函数，g t ≥g1 =4，g t min=4，所以S△OPQmax=64=32，当且仅当t=1时即m=0等号成立，故C正确；对于选项D，因为Rx1+x22,y1+y22，x1+x22=m y1+y22+1=-3m23m2+4+1=43m2+4，y1+y22=-3m3m2+4，所以R43m2+4,-3m3m2+4，则x R=43m2+4，设D x D ,0 ，则k PQ ⋅k RD =1m ⋅3m3m 2+4x D -43m 2+4=-1，则x D =13m 2+4，所以x R x D=43m 2+413m 2+4=4，则R 点的横坐标是D 点的横坐标的4倍，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用面积公式得出面积表达式，结合导数得出最值；二是根据垂直平分得出点之间的关系.13(2024·江苏常州·二模)双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线E :x 24-y 26=1的左、右焦点分别为F 1,F 2，从F 2发出的两条光线经过E 的右支上的A ,B 两点反射后，分别经过点C 和D ，其中AF 2 ,BF 2共线，则()A.若直线AB 的斜率k 存在，则k 的取值范围为-∞,-62 ∪62,+∞ B.当点C 的坐标为210,10 时，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为6C.当AB ⋅AD =AB 2时，△BF 1F 2的面积为12D.当AB ⋅AD =AB 2时，cos ∠F 1F 2A =-1010【答案】ABD【详解】如图所示，过点F 2分别作E 的两条渐近线的平行线l 1,l 2，则l 1,l 2的斜率分别为62和-62，对于A 中，由图可知，当点A ,B 均在E 的右支时，k <-62或k >62，所以A 正确；对于B 中，光线由F 2经过点A 到达点C 所经过的路程为F 2A +AC =F 1A -2a +AC =F 1C -2a =(210+10)2+(10-0)2-4=6，所以B 正确；对于C 中，由AB ⋅AD =AB 2，得AB ⋅AD -AB =0，即AB ⋅BD=0，所以AB ⊥BD ，设BF 1 =n ，则BF 2 =n -2a =n -4，因为∠ABD =π2，所以n 2+(n -4)2=(2c )2=40，整理得n 2-4n -12=0，解得n =6或n =-2(舍去)，所以BF 1 =6，BF 2 =2，所以△BF 1F 2的面积S =12BF 1 ⋅BF 2 =6，所以C 错误；对于D 项，在直角△F 1BF 2中，cos ∠F 1F 2B =BF 2 F 1F 2=2210=1010，所以cos ∠F 1F 2A =-cos ∠F 1F 2B =-1010，所以D 正确．故选：ABD ．14(2024·重庆·三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 216=1(a >0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,P 为双曲线C 上点，且△PF 1F 2的内切圆圆心为I (3,1)，则下列说法正确的是()A.a =3B.直线PF 1的斜率为14C.△PF 1F z 的周长为643D.△PF 1F 2的外接圆半径为6512【答案】ACD【详解】如图1，由条件，点P 应在双曲线C 的右支上，设圆I 分别与△PF 1F 2的三边切于点M ､N ､A ，则由题A 3,0 ，且PM =PN ,F 1M =F 1A ，F 2N =F 2A ，又∵PF 1 -PF 2 =F 1M -F 2N =AF 1 -F 2A =x A +c -c -x A =2x A =2a ∴a =x A =3，A 选项正确；由选项A 得F 1-5,0 ,F 25,0 ，连接IF 1、IF 2、IA ，则tan ∠IF 1A =IA AF 1=18，所以k PF 1=tan ∠PF 1A =tan2∠IF 1A =2tan ∠IF 1A 1-tan 2∠IF 1A=1663，B 选项错误；同理，tan ∠PF 2A =tan2∠IF 2A =43，∴tan ∠F 1PF 2=-tan ∠PF 1A +∠PF 2A =-125，∴⇒tan∠F 1PF 22=32，所以由焦三角面积公式得S △F 1PF 2=b 2tan∠F 1PF 22=323，又S △F 1PF 2=PF 1+PF 2+F 1F 2 r2，故得PF 1 +PF 2 +F 1F 2 =643，∴△PF 1F 2的周长为643，C 选项正确；由tan ∠F 1PF 2=-125⇒sin ∠F 1PF 2=1213，由正弦定理F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2R 得R =6512，D 选项正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：求直线PF 1的斜率、△PF 1F z 的周长、△PF 1F 2的外接圆半径的关键是根据已知条件F 1A 、F 2A 、IA 以及与各个所需量的关系即可求出∠PF 1A =2∠IF 1A 、∠PF 2A =2∠IF 2A 和∠F 2PF 1.15(2024·湖北襄阳·二模)抛物线C :x 2=2py 的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到(t ,1)时，|PF |=2，直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，下列结论正确的是()A.抛物线的方程为：x 2=8yB.抛物线的准线方程为：y =-1。

2017高考十年高考文数分项版——专题09 圆锥曲线(上海专版)(解析版) 含解析

【2015/2016】1.【2015高考上海文数】抛物线)0(22>=p px y 上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p .【答案】2【解析】依题意，点Q 为坐标原点，所以12=p ，即2=p .【考点定位】抛物线的性质，最值。

【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小. 2。

已知双曲线1C 、2C 的顶点重合,1C 的方程为1422=-y x ,若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍,则2C 的方程为 .【答案】14422=-y x【考点定位】双曲线的性质,直线的斜率。

【名师点睛】在双曲线的几何性质中,应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3)渐近线的斜率与离心率的关系,如k ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

3.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分,第3小题6分. 已知椭圆1222=+y x，过原点的两条直线1l 和2l 分别于椭圆交于A 、B 和C 、D ,设AOC ∆的面积为S .（1)设),(11y x A ，),(22y x C ,用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S -=；（2）设kx y l =:1，)33,33(C ，31=S ,求k 的值； (3）设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l与2l 如何变动,面积S 保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）1-=k 或51-=k ；(3)21-=m 。

(3）设kx y l =:1，则x kmy l =:2，设),(11y x A ，),(22y x C , 由⎩⎨⎧=+=1222y x kxy ，的221211k x +=，同理2222222)(211m k k km x +=+=，【考点定位】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．当直线（斜率为k）与圆锥曲线交于点A（x1,y1)，B（x2，y2)时，则|AB|＝1＋k2·｜x1－x2｜＝错误!|y1－y2|，而|x1－x2｜＝错误!，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．4。

【备战2019】(上海版)高考数学分项汇编专题09 圆锥曲线含解析理

专题09 圆锥曲线一．基础题组1. 【2014上海,理3】若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-.【考点】椭圆与抛物线的几何性质.2. 【2013上海,理9】设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4π.若AB ＝4，BC Γ的两个焦点之间的距离为______．【答案】33. 【2011上海,理3】设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线22=19y x m -的一个焦点，则m ＝______. 【答案】164. 【2010上海,理3】若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________；【答案】x y 82=【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82=.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题.5. 【2010上海,理13】如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于1E ，2E 两点，记11OE e =，22OE e =.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是；【答案】41ab =【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.6. (2009上海,理9)已知F 1、F 2是椭圆C:12222=+by a x (a ＞b ＞0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且21PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b=______________.【答案】37. (2009上海,理14)将函数2642--+=x x y (x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线 C.若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________.【答案】32arctan8. 【2007上海,理8】已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____9. 【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是．【答案】141622=+y x10. 【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.【答案】1922=-y x11. 【2005上海,理15】过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在【答案】B二．能力题组1. 【2013上海,理22】如图，已知双曲线C 1：22x －y 2＝1，曲线C 2：|y |＝|x |＋1.P 是平面内一点，若存在过点P 的直线与C 1、C 2都有公共点，则称P 为“C 1C 2型点”．(1)在正确证明C 1的左焦点是“C 1C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y ＝kx 与C 2有公共点，求证|k |＞1，进而证明原点不是“C 1C 2型点”； (3)求证：圆x 2＋y 2＝12内的点都不是“C 1C 2型点”．【答案】(1) x ＝y ＝(k x ，其中|k |≥3. (2) 参考解析;(3)参考解析2. 【2012上海,理22】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．;(2)参考解析; (3)参考解析【答案】(1)83. 【2010上海,理23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知椭圆Γ的方程为22221x y a b+=（0a b >>），点P 的坐标为（b a ,-）.（1）若直角坐标平面上的点M 、(0,)A b -，(,0)B a 满足1()2PM PA PB =+，求点M 的坐标；（2）设直线1l ：1y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线2l ：2y k x =于点E .若2122b k k a ⋅=-，证明：E 为CD 的中点；（3）对于椭圆Γ上的点(cos ,sin )Q a b θθ（0θπ<<），如果椭圆Γ上存在不同的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，写出求作点1P、2P 的步骤，并求出使1P 、2P 存在的θ的取值范围.【答案】（1）)2,2(b aM -;（2）参考解析;（3）(0,4π+【点评】今年以解析几何为压轴题，意图与全国大多数考区的试卷接轨.本题是具有一定深度的探究题，然而从研究问题的一般方法入手，可以从具体到一般地层层深入，即可获得各小题的部分分值是我们对不少考生的期望．4. 【2008上海,理18】(6’+9’)已知双曲线22: 14xC y-=，P为C上的任意点.（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为(3,0)，求||PA的最小值；【答案】（1）参考解析;（2）55. 【2008上海,理20】(3’+5’+8’)设P(a,b)（b≠0）是平面直角坐标系x O y中的点，l是经过原点与点(1,b )的直线，记Q 是直线l 与抛物线x 2＝2py （p ≠0）的异于原点的交点⑴ 若a ＝1，b ＝2，p ＝2，求点Q 的坐标⑵ 若点P(a ,b )（ab ≠0）在椭圆x 24+y 2＝1上，p ＝12ab ，求证：点Q 落在双曲线4x 2－4y 2＝1上 ⑶ 若动点P(a ,b )满足ab ≠0，p ＝12ab，若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由.【答案】⑴(8,16);⑵参考解析;⑶参考解析6. 【2007上海,理21】已知半椭圆()222210x y x a b +=≥与半椭圆()222210y x x b c+=≤组成的曲线称为“果圆”，其中222,0,0a b c a b c =+>>>.如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，（1）若三角形012F F F 是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若11A A B B >，求ba的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦.是否存在实数k ，使得斜率为k 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）参考解析;（2）4()25;（3）参考解析7. 【2006上海,理20】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）参考解析;（2）假命题8. (本题满分16分)(2009上海,理21)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分8分.已知双曲线C:1222=-y x ,设过点A(23-,0)的直线l 的方向向量e =(1,k). (1)当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时,求直线l 的方程及l 与m 的距离; (2)证明:当22>k 时,在双曲线C 的右支上不存在点Q,使之到直线l 的距离为6.【答案】(1) 0232=+±y x 参考解析9. 【2005上海,理19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【答案】（1）3(2；（2。

2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集 (学生版+解析版)

2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3． 2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值；（2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．6．（2021•甲卷）抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M （2，0），且⊙M 与l 相切．（1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值． 9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值． 11．（2021•上海）（1）团队在O 点西侧、东侧20千米处设有A 、B 两站点，测量距离发现一点P 满足|P A |﹣|PB |＝20千米，可知P 在A 、B 为焦点的双曲线上，以O 点为原点，东侧为x 轴正半轴，北侧为y 轴正半轴，建立平面直角坐标系，P 在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P 点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C 、D 两站点，测量距离发现|QA |﹣|QB |＝30千米，|QC |﹣|QD |＝10千米，求|OQ |（精确到1米）和Q 点位置（精确到1米，1°） 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分．（1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2；（3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．17．（2020•海南）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点M （2，3），点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12．（1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．18．（2020•山东）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程；（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．19．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程． 20．（2020•新课标Ⅱ）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合，过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点．若|MF |＝5，求C 1与C 2的标准方程． 21．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点． 22．（2020•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 225+y 2m 2=1（0＜m ＜5）的离心率为√154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP |＝|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积． 23．（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2＝1（a ＞1）的左、右顶点，G 为E的上顶点，AG →•GB →=8．P 为直线x ＝6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点．24．（2020•上海）已知抛物线y2＝x上的动点M（x0，y0），过M分别作两条直线交抛物线于P、Q两点，交直线x＝t于A、B两点．（1）若点M纵坐标为√2，求M与焦点的距离；（2）若t＝﹣1，P（1，1），Q（1，﹣1），求证：y A•y B为常数；（3）是否存在t，使得y A•y B＝1且y P•y Q为常数？若存在，求出t的所有可能值，若不存在，请说明理由．25．（2019•全国）已知点A1（﹣2，0），A2（2，0），动点P满足P A1与P A2的斜率之积等于−14，记P的轨迹为C．（1）求C的方程；（2）设过坐标原点的直线l与C交于M，N两点，且四边形MA1NA2的面积为2√2，求l的方程．26．（2019•江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD ＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．27．（2019•上海）已知椭圆x28+y24=1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF 1交y 轴于M ，直线BF 1交y 轴于N ，是否存在直线l ，使得S△F 1AB=S△F 1MN ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．28．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知√3|OA |＝2|OB |（O 为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x ＝4上，且OC ∥AP ．求椭圆的方程． 29．（2019•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若|ON |＝|OF |（O 为原点），且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率． 30．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．31．（2019•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为C上的点，O 为坐标原点．（1）若△POF 2为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，且△F 1PF 2的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．32．（2019•浙江）如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2．（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 的坐标．33．（2019•新课标Ⅱ）已知点A （﹣2，0），B （2，0），动点M （x ，y ）满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12．记M 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．（i ）证明：△PQG 是直角三角形；（ii ）求△PQG 面积的最大值．34．（2019•北京）已知抛物线C ：x 2＝﹣2py 经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝﹣1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．35．（2019•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的右焦点为（1，0），且经过点A （0，1）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线l ：y ＝kx +t （t ≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P 、Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ．若|OM |•|ON |＝2，求证：直线l 经过定点． 36．（2019•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2：（x ﹣1）2+y 2＝4a 2交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．37．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =x 22，D 为直线y =−12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E （0，52）为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．38．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．39．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |＝4，求l 的方程；（2）若AP →=3PB →，求|AB |．40．（2019•上海）已知抛物线方程y 2＝4x ，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF||FQ|．（1）当P(−1，−83)时，求d （P ）；（2）证明：存在常数a ，使得2d （P ）＝|PF |+a ；（3）P 1，P 2，P 3为抛物线准线上三点，且|P 1P 2|＝|P 2P 3|，判断d （P 1）+d （P 3）与2d （P 2）的关系．41．（2018•全国）双曲线x 212−y 24=1，F 1、F 2为其左右焦点，C 是以F 2为圆心且过原点的圆．（1）求C 的轨迹方程；（2）动点P 在C 上运动，M 满足F 1M →=2MP →，求M 的轨迹方程．42．（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1（x ＜0）上的动点，求△P AB 面积的取值范围．43．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→．证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．44．（2018•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点（√3，12），焦点F 1（−√3，0），F 2（√3，0），圆O 的直径为F 1F 2．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△OAB 的面积为2√67，求直线l 的方程．45．（2018•新课标Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M （1，m ）（m ＞0）．（1）证明：k ＜−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →+FA →+FB →=0→，证明：2|FP →|＝|FA →|+|FB →|． 46．（2018•上海）设常数t ＞2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F （2，0），直线l ：x ＝t ，曲线Γ：y 2＝8x （0≤x ≤t ，y ≥0）．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设t ＝3，|FQ |＝2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设t ＝8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 47．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＜0）与椭圆交于P ，Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值． 48．（2018•天津）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为（b ，0），且|FB |•|AB |＝6√2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l ：y ＝kx （k ＞0）与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若|AQ||PQ|=5√24sin ∠AOQ （O 为原点），求k 的值． 49．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√63，焦距为2√2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若k ＝1，求|AB |的最大值；（Ⅲ）设P （﹣2，0），直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q （−74，14）共线，求k ．50．（2018•新课标Ⅰ）设椭圆C ：x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B两点，点M 的坐标为（2，0）．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB ．51．（2018•北京）已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM →=λQO →，QN →=μQO →，求证：1λ+1μ为定值．52．（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k （k ＞0）的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．53．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：∠ABM ＝∠ABN ．54．（2018•上海）已知a ∈R ，双曲线Γ：x 2a2−y 2=1（1）若点（2，1）在Γ上，求Γ的焦点坐标（2）若a ＝1，直线y ＝kx +1与Γ相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值55．（2018•上海）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射灯的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OC⊥AB于C，AB＝3米，OC＝4.5米（1）求抛物线的焦点到准线的距离（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）2018-2021年高考真题圆锥曲线解答题全集（学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），右焦点为F （√2，0），且离心率为√63．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．【解答】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率ca =√63，又c =√2，所以a =√3，则b 2＝a 2﹣c 2＝1，故椭圆的标准方程为x 23+y 2=1；（Ⅱ）证明：先证明必要性，若M ，N ，F 三点共线时，设直线MN 的方程为x ＝my +√2，则圆心O （0，0）到直线MN 的距离为d =√2√m +1=1，解得m 2＝1，联立方程组{x =my +√2x 23+y 2=1，可得(m 2+3)y 2+2√2my −1=0，即4y 2+2√2my −1=0，所以|MN|=√1+m 2⋅√8m 2+164=√2×√244=√3；所以必要性成立；下面证明充分性，当|MN |=√3时，设直线MN 的方程为x ＝ty +m ，此时圆心O （0，0）到直线MN 的距离d =√t +1=1，则m 2﹣t 2＝1，联立方程组{x =ty +mx 23+y 2=1，可得（t 2+3）y 2+2tmy +m 2﹣3＝0，则△＝4t 2m 2﹣4（t 2+3）（m 2﹣3）＝12（t 2﹣m 2+3）＝24，因为|MN|=√1+t 2⋅√24t 2+3=√3，所以t 2＝1，m 2＝2，因为直线MN 与曲线x 2+y 2＝b 2（x ＞0）相切，所以m ＞0，则m =√2，则直线MN 的方程为x =ty +√2恒过焦点F （√2，0），故M ，N ，F 三点共线，所以充分性得证．综上所述，M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=√3．2．（2021•上海）已知Г：x 22+y 2＝1，F 1，F 2是其左、右交焦点，直线l 过点P （m ，0）（m ≤−√2），交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 在x 轴上方，点A 在线段BP 上．（1）若B 是上顶点，|BF 1→|＝|PF 1→|，求m 的值；（2）若F 1A →•F 2A →=13，且原点O 到直线l 的距离为4√1515，求直线l 的方程；（3）证明：对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条．【解答】解：（1）因为Г的方程：x 22+y 2＝1，所以a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以F 1（﹣1，0），F 2（1，0），若B 为Г的上顶点，则B （0，1），所以|BF 1|=√1+1=√2，|PF 1|＝﹣1﹣m ，又|BF 1|＝|PF 1|，所以m =−1−√2；（2）设点A （√2cos θ，sin θ），则F 1A →⋅F 2A →=(√2cosθ+1)(√2cosθ−1)+sin 2θ=2cos 2θ−1+sin 2θ=13，因为A 在线段BP 上，横坐标小于0，解得cosθ=−√33，故A(−√63，√63)，设直线l 的方程为y =kx +√63k +√63(k ＞0)，由原点O 到直线l 的距离为4√1515，则d =|√63k+√63|√1+k =4√1515，化简可得3k 2﹣10k +3＝0，解得k ＝3或k =13，故直线l 的方程为y =13x +4√69或y =3x +4√63（舍去，无法满足m ＜−√2），所以直线l 的方程为y =13x +4√69；（3）联立方程组{y =kx −kmx 22+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k 2mx +2k 2m 2﹣2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k 2m 1+2k2，x 1x 2=2k 2m 2−21+2k2，因为F 1A →∥F 2B →，所以（x 2﹣1）y 1＝（x 1+1）y 2，又y ＝kx ﹣km ，故化简为x 1−x 2=−21+2k2，又|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√16k 2−8k 2m 2+81+2k2=|−21+2k2|，两边同时平方可得，4k 2﹣2k 2m 2+1＝0，整理可得k 2=−14−2m 2，当m ＜−√2时，k 2=−14−2m 2＞0，因为点A ，B 在x 轴上方，所以k 有且仅有一个解，故对于任意m ＜−√2，使得F 1A →∥F 2B →的直线有且仅有一条． 3．（2021•北京）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），以四个顶点围成的四边形面积为4√5．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P （0，﹣3）的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB 、AC 交y ＝﹣3于点M 、N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【解答】解：（1）因为椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）过点A （0，﹣2），则b ＝2，又因为以四个顶点围成的四边形面积为4√5，所以12×2a ×2b =4√5，解得a =√5，故椭圆E 的标准方程为x 25+y 24=1；（2）由题意，设直线l 的方程为y ﹣（﹣3）＝k （x ﹣0），即y ＝kx ﹣3，当k ＝0时，直线l 与椭圆E 没有交点，而直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，所以k ≠0，设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），联立方程组{y =kx −3x 25+y 24=1，可得（4+5k 2）x 2﹣30kx +25＝0，则△＝（﹣30k ）2﹣4×25（4+5k 2）＞0，解得|k |＞1，所以x 1+x 2=30k 4+5k2，x 1x 2=254+5k2，则y 1y 2＝（kx 1﹣3）（kx 2﹣3）＝k 2x 1x 2﹣3k （x 1+x 2）+9=−20k 2+364+5k2，y 1+y 2＝（kx 1﹣3）+（kx 2﹣3）＝k （x 1+x 2）﹣6=−244+5k2，直线AB 的方程为y ﹣（﹣2）=y 1−(−2)x 1−0(x −0)，即y =y 1+2x 1x −2，直线AC 的方程为y ﹣（﹣2）=y 2−(−2)x 2−0(x −0)，即y =y 2+2x 2x −2，因为直线AB 交y ＝﹣3于点M ，所以令y ＝﹣3，则x M =−x 1y 1+2，故M(−x 1y 1+2，−3)，同理可得N(−x2y 2+2，−3)，注意到x 1x 2=254+5k2＞0，所以x 1，x 2同号，因为y 1+2＞0，y 2+2＞0，所以x M ，x N 同号，故|PM |+|PN |＝|x M |+|x N |＝|x M +x N |，则|PM |+|PN |=|x 1y 1+2+x2y 2+2|=|x 1(y 2+2)+x 2(y 1+2)(y 1+2)(y 2+2)| =|x 1(kx 2−3)+x 2(kx 1−3)+2(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2kx 1x 2−(x 1+x 2)y 1y 2+2(y 1+y 2)+4|=|2k⋅254+5k 2−30k 4+5k2−20k 2+364+5k 2−484+5k2+4|＝5|k |，故|PM |+|PN |＝5|k |，又|PM |+|PN |≤15，即5|k |≤15，即|k |≤3，又|k |＞1，所以1＜|k |≤3，故k 的取值范围为[﹣3，﹣1）∪（1，3]． 4．（2021•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为2√55，且|BF |=√5．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．【解答】解：（1）因为离心率e =2√55，|BF |=√5所以{c a =2√55a =√5a 2=b 2+c 2，解得a =√5，c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 25+y 2＝1．（2）设M （x 0，y 0），则切线MN 的方程为x 0x 5+y 0y ＝1，令x ＝0，得y N =1y 0，因为PN ⊥BF ，所以k PN •k BF ＝﹣1，所以k PN •（−12）＝﹣1，解得k NP ＝2，设P （x 1，0），则k NP =1y 00−x 1=2，即x 1=−12y 0，因为MP ∥BF ，所以k MP ＝k BF ，所以y 0x 0+12y 0=−12，即﹣2y 0＝x 0+12y 0，所以x 0＝﹣2y 0−12y 0，又因为x 025+y 02＝1，所以4y 025+25+120y 02+y 02＝1，解得y 0＝±√66，因为y N ＞0，所以y 0＞0，所以y 0=√66，x 0=−√63−3√6=−5√66，所以−5√66x 5+√66y ＝1，即x ﹣y +√6=0．5．（2021•浙江）如图，已知F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |＝2．（Ⅰ）求抛物线的方程：（Ⅱ）设过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若斜率为2的直线l 与直线MA ，MB ，AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且满足|RN |2＝|PN |•|QN |，求直线l 在x 轴上截距的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，p ＝2，故抛物线的方程为y 2＝4x ；（Ⅱ）由题意得，直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB ：y ＝k （x ﹣1），将直线AB 方程代入抛物线方程可得，k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2＝0，则由韦达定理有，x A +x B =2+4k2，x A x B=1，则y A y B ＝﹣4，设直线AM ：y ＝k 1（x +1），其中k 1=yA x A+1，设直线BM ：y ＝k 2（x +1），其中k 2=yB x B +1，则k 1+k 2=y A x A+1+yBx B +1=y A x B +y A +y B x A +y B(x A +1)(x B +1)=k(x A −1)x B +k(x A −1)+k(x B −1)x A +k(x B −1)(x A +1)(x B +1)=0(x A +1)(x B +1)=0， k 1k 2=y A y B (x A +1)(x B +1)=−41+2+4k 2+1=−k21+k 2，设直线l ：y ＝2（x ﹣t ），联立{y =2(x −t)y =k(x −1)，可得x R =k−2t k−2，则|x R −t|=|k−2t k−2−t|=|k−kt k−2|，联立{y =2(x −t)y =k 1(x +1)，可得x P =k 1+2t 2−k 1，则|x P −t|=|k 1+2t 2−k 1−t|=|k 1+k 1t 2−k 1|，同理可得，x Q =k 2+2t 2−k 2，|x Q −t|=|k 2+k 2t2−k 2|，又|RN |2＝|PN |•|QN |，∴|k−kt k−2|2=|k 1+k 1t 2−k 1⋅k 2+k 2t 2−k 2|，即(k−kt k−2)2=k 2(1+t)23k 2+4，∴(1+t)2(t−1)2=3k2+4(k−2)2=3(k−2)2+12(k−2)+16(k−2)2=16(k−2)2+12k−2+3=(4k−2+32)2+3 4≥34（t≠1），∴4（t2+2t+1）≥3（t2﹣2t+1），即t2+14t+1≥0，解得t≥4√3−7或t≤−7−4√3（t≠1）；当直线AB的斜率不存在时，则直线AB：x＝1，A（1，2），B（1，﹣2），M（﹣1，0），∴直线MA的方程为y＝x+1，直线MB的方程为y＝﹣x﹣1，设直线l：y＝2（x﹣t），则P（1+2t，2+2t），Q(2t−13，−2t+23)，R（1，2﹣2t），N（t，0），又|RN|2＝|PN|•|QN|，故(1−t)2+(2−2t)2=√(1+t)2+(2+2t)2⋅√(2t−13−t)2+(−2t+23)2，解得t满足(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．∴直线l在x轴上截距的取值范围为(−∞，−7−4√3]∪[4√3−7，1)∪(1，+∞)．6．（2021•甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为：y2＝2px（p＞0），令x＝1，则y=±√2p，根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在X轴下方，故P(1，√2p)，Q(1，−√2p)，因为OP⊥OQ，故1+√2p×(−√2p)=0⇒p=1 2，抛物线C的方程为：y2＝x，因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M：（x﹣2）2+y2＝1．（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）．当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时（假设A1为坐标原点时），设直线A1A2方程为kx﹣y＝0，根据点M（2，0）到直线距离为1可得√1+k2=1，解得k=±√33，联立直线A 1A 2与抛物线方程可得x ＝3，此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系为相切，当A 1，A 2，A 3都不是坐标原点时，即x 1≠x 2≠x 3，直线A 1A 2的方程为x −（y 1+y 2）y +y 1y 2＝0，此时有，12√1+(y 1+y 2)2=1，即(y 12−1)y 22+2y 1y 2+3−y 12=0，同理，由对称性可得，(y 12−1)y 32+2y 1y 3+3−y 12=0，所以y 2，y 3是方程(y 12−1)t 2+2y 1t +3−y 12=0 的两根，依题意有，直线A 2A 3的方程为x −（y 2+y 3）y +y 2y 3＝0，令M 到直线A 2A 3的距离为d ，则有d 2=(2+y 2y 3)21+(y 2+y 3)2=(2+3−y 12y 12−1)21+(−2y 1y 12−1)2=1，此时直线A 2A 3与⊙M 的位置关系也为相切，综上，直线A 2A 3与⊙M 相切．7．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1（−√17，0），F 2（√17，0），点M 满足|MF 1|﹣|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |•|TB |＝|TP |•|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，M 的轨迹C 是双曲线的右支，设C 的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，x ≥1，根据题意{c =√172a =2c 2=a 2+b 2，解得{a =1b =4c =√17，∴C 的方程为x 2−y 216=1(x ≥1)；（2）（法一）设T(12，m)，直线AB 的参数方程为{x =12+tcosθy =m +tsinθ，将其代入C 的方程并整理可得，（16cos 2θ﹣sin 2θ）t 2+（16cos θ﹣2m sin θ）t ﹣（m 2+12）＝0，由参数的几何意义可知，|TA |＝t 1，|TB |＝t 2，则t 1t 2=m 2+12sin 2θ−16cos 2θ=m 2+121−17cos 2θ，设直线PQ 的参数方程为{x =12+λcosβy =m +λsinβ，|TP |＝λ1，|TQ |＝λ2，同理可得，λ1λ2=m 2+121−17cos 2β，依题意，m 2+121−17cos 2θ=m 2+121−17cos 2β，则cos 2θ＝cos 2β，又θ≠β，故cos θ＝﹣cos β，则cos θ+cos β＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．（法二）设T(12，t)，直线AB 的方程为y =k 1(x −12)+t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设12＜x 1＜x 2，将直线AB 方程代入C 的方程化简并整理可得，(16−k 12)x 2+(k 12−2tk 1)x −14k 12+k 1t −t 2−16=0，由韦达定理有，x 1+x 2=k 12−2k 1t k 12−16，x 1x 2=−14k 12+k 1t−t 2−1616−k 12，又由A(x 1，k 1x 1−12k 1+t)，T(12，t)可得|AT|=√1+k 12(x 1−12)，同理可得|BT|=√1+k 12(x 2−12)，∴|AT||BT|=(1+k 12)(x 1−12)(x 2−12)=(1+k 12)(t 2+12)k 12−16，设直线PQ 的方程为y =k 2(x −12)+t ，P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，设12＜x 3＜x 4，同理可得|PT||QT|=(1+k 22)(t 2+12)k 22−16，又|AT ||BT |＝|PT ||QT |，则1+k 12k 12−16=1+k 22k 22−16，化简可得k 12=k 22，又k 1≠k 2，则k 1＝﹣k 2，即k 1+k 2＝0，即直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． 8．（2021•乙卷）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ →=9QF →，求直线OQ 斜率的最大值．【解答】（1）解：由题意知，p ＝2， ∴y 2＝4x ．（2）由（1）知，抛物线C ：y 2＝4x ，F （1，0），设点Q 的坐标为（m ，n ），则QF →=（1﹣m ，﹣n ）， PQ →=9QF →=(9−9m ，−9n) ∴P 点坐标为（10m ﹣9，10n ），将点P 代入C 得100n 2＝40m ﹣36，整理得m =100n 2+3640=25n 2+910， ∴K =nm =10n25n 2+9=1025n+9n≤13，当n =35时取最大值．故答案为：13．9．（2021•甲卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2√2cos θ．（1）将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A 的直角坐标为（1，0），M 为C 上的动点，点P 满足AP →=√2AM →，写出P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点．【解答】解：（1）由极坐标方程为ρ＝2√2cos θ，得ρ2＝2√2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2+y 2＝2√2x ，即(x −√2)2+y 2＝2，表示圆心为C （√2，0），半径为√2的圆．（2）设点P 的直角坐标为（x ，y ），M （x 1，y 1），因为A （1，0），所以AP →=（x ﹣1，y ），AM →=（x 1﹣1，y 1），由AP →=√2AM →，即{x −1=√2(x 1−1)y =√2y 1，解得{x 1=√22(x −1)+1y 1=√22x ，所以M （√22（x ﹣1）+1，√22y ），代入C 的方程得[√22(x −1)+1−√2]2+(√22y)2=2，化简得点P 的轨迹方程是(x −3+√2)2+y 2＝4，表示圆心为C 1（3−√2，0），半径为2 的圆；化为参数方程是{x =3−√2+2cosθy =2sinθ，θ为参数；计算|CC 1|＝|（3−√2）−√2|＝3﹣2√2＜2−√2，所以圆C与圆C1内含，没有公共点．10．（2021•乙卷）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．（1）求p；（2）若点P在M上，P A，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△P AB面积的最大值．【解答】解：（1）点F(0，p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|−1=p2+4−1=4，解得p＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为x2＝4y，即y=14x2，则y′=12x，设切点A（x1，y1），B（x2，y2），则易得l PA：y=x12x−x124，l PB：y=x22x−x224，从而得到P(x1+x22，x1x24)，设l AB：y＝kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理可得x2﹣4kx﹣4b＝0，∴△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0，且x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4b，∴P（2k，﹣b），∵|AB|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅√16k2+16b，d p→AB=|2k2+2b|√k+1，∴S△PAB=12|AB|d=4(k2+b)32①，又点P（2k，﹣b）在圆M：x2+（y+4）2＝1上，故k2=1−(b−4)24，代入①得，S△PAB=4(−b 2+12b−154)32，而y p＝﹣b∈[﹣5，﹣3]，∴当b＝5时，(S△PAB)max=20√5．11．（2021•上海）（1）团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点，测量距离发现一点P满足|P A|﹣|PB|＝20千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60°处，求双曲线标准方程和P点坐标．（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点，测量距离发现|QA|﹣|QB|＝30千米，|QC|﹣|QD|＝10千米，求|OQ|（精确到1米）和Q点位置（精确到1米，1°）【解答】解：（1）由题意可得a＝10，c＝20，所以b2＝300，所以双曲线的标准方程为x 2100−y 2300=1，直线OP ：y =√33x ，联立双曲线方程，可得x =15√22，y =5√62，即点P 的坐标为（15√22，5√62）．（2）①|QA |﹣|QB |＝30，则a ＝15，c ＝20，所以b 2＝175，双曲线方程为x 2225−y 2175=1；②|QC |﹣|QD |＝10，则a ＝5，c ＝15，所以b 2＝200，所以双曲线方程为y 225−x 2200=1，两双曲线方程联立，得Q （√1440047，√297547），所以|OQ |≈19米，Q 点位置北偏东66°． 12．（2020•天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个顶点为A （0，﹣3），右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC →=OF →，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3，由a 2＝b 2+c 2，可得a 2＝18， ∴椭圆的方程为x 218+y 29=1，（Ⅱ）：∵直线AB 与C 为圆心的圆相切于点P ， ∴AB ⊥CP ，根据题意可得直线AB 和直线CP 的斜率均存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ﹣3，由方程组{y =kx −3x 218+y 29=1，消去y 可得（2k 2+1）x 2﹣12kx ＝0，解得x ＝0，或x =12k2k 2+1，依题意可得点B 的坐标为（12k 2k 2+1，6k 2−32k 2+1），∵P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为（0，﹣3）， ∴点P 的坐标为（6k2k 2+1，−32k 2+1），由3OC →=OF →，可得点C 的坐标为（1，0），故直线CP 的斜率为−32k 2+16k2k 2+1−1=32k 2−6k+1，∵AB ⊥CP ， ∴k •32k 2−6k+1=−1，整理可得2k 2﹣3k +1＝0，解得k =12或k ＝1，∴直线AB 的方程为y =12x ﹣3或y ＝x ﹣3． 13．（2020•北京）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （﹣4，0）的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线x ＝﹣4于点P ，Q ．求|PB||BQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1过点A （﹣2，﹣1），且a ＝2b ，则{4a 2+1b 2=1a =2b，解得b 2＝2，a 2＝8，∴椭圆方程为x 28+y 22=1，（Ⅱ）由题意可得直线l 的斜率存在，设直线方程为y ＝k （x +4），由{y =k(x +4)x 28+y 22=1，消y 整理可得（1+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣8＝0， ∴△＝﹣32（4k 2﹣1）＞0，解得−12＜k ＜12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=−32k21+4k2，x 1x 2=64k 2−81+4k2，则直线AM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2（x +2），直线AN 的方程为y +1=y 2+1x 2+2（x +2），分别令x ＝﹣4，可得y P =−2(y 1+1)x 1+2−1=−(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2，y Q =−(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2∴|PB |＝|y P |＝|(2k+1)x 1+(8k+4)x 1+2|，QB |＝|y Q |＝|(2k+1)x 2+(8k+4)x 2+2|，∴|PB||BQ|=|[(2k+1)x 1+(8k+4)](x 2+2)[(2k+1)x 2+(8k+4)](x 1+2)|＝|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|∵（2k +1）x 1x 2+（4k +2）（x 1+x 2）+8（2k +1）=32k 2(2k+1)1+4k2，∴|(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 2(2k+1)x 1x 2+(4k+2)(x 1+x 2)+8(2k+1)+(4k+2)x 1|＝|(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 2)(2k+1)(32k 24k 2+1+2x 1)|＝|−(x 1+x 2)+2x 2−(x 1+x 2)+2x 1|＝1，故|PB||BQ|=1．14．（2020•上海）已知双曲线Γ1：x 24−y 2b 2=1与圆Γ2：x 2+y 2＝4+b 2（b ＞0）交于点A （x A ，y A ）（第一象限），曲线Γ为Γ1、Γ2上取满足x ＞|x A |的部分．（1）若x A =√6，求b 的值；（2）当b =√5，Γ2与x 轴交点记作点F 1、F 2，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且|PF 1|＝8，求∠F 1PF 2；（3）过点D （0，b 22+2）斜率为−b2的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b表示OM →•ON →，并求OM →•ON →的取值范围．【解答】解：（1）由x A =√6，点A 为曲线Γ1与曲线Γ2的交点，联立{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b 2，解得y A =√2，b ＝2；（2）由题意可得F 1，F 2为曲线Γ1的两个焦点，由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝8，2a ＝4，所以|PF 2|＝8﹣4＝4，因为b =√5，则c =√4+5=3，所以|F 1F 2|＝6，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1|⋅|PF 2|=64+16−362×8×4=1116，由0＜∠F 1PF 2＜π，可得∠F 1PF 2＝arccos1116；（3）设直线l ：y =−b2x +4+b22，可得原点O 到直线l 的距离d =|4+b 22|√1+b4=√4+b 2，所以直线l 是圆的切线，设切点为M ，所以k OM =2b ，并设OM ：y =2bx 与圆x 2+y 2＝4+b 2联立，可得x 2+4b2x 2＝4+b 2，可得x ＝b ，y ＝2，即M （b ，2），注意直线l 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当y A ＞2时，直线l 才能与曲线Γ有两个交点，由{x A 24−y A 2b2=1x A 2+y A 2=4+b2，可得y A 2=b4a+b2，所以有4＜b44+b2，解得b 2＞2+2√5或b 2＜2﹣2√5（舍去），因为OM →为ON →在OM →上的投影可得，OM →•ON →=4+b 2，所以OM →•ON →=4+b 2＞6+2√5，则OM →•ON →∈（6+2√5，+∞）．15．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP →•QP →的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．【解答】解：（1）由椭圆的标准方程可知，a 2＝4，b 2＝3，c 2＝a 2﹣b 2＝1，所以△AF 1F 2的周长＝2a +2c ＝6．（2）由椭圆方程得A （1，32），设P （t ，0），则直线AP 方程为y =321−t (x −t)，椭圆的右准线为：x =a 2c =4，所以直线AP 与右准线的交点为Q （4，32•4−t 1−t），OP →•QP →=（t ，0）•（t ﹣4，0−32•4−t1−t）＝t 2﹣4t ＝（t ﹣2）2﹣4≥﹣4，当t ＝2时，（OP →⋅QP →）min ＝﹣4．（3）若S 2＝3S 1，设O 到直线AB 距离d 1，M 到直线AB 距离d 2，则12×|AB |×d 2=12×|AB |×d 1，即d 2＝3d 1，A （1，32），F 1（﹣1，0），可得直线AB 方程为y =34（x +1），即3x ﹣4y +3＝0，所以d 1=35，d 2=95，由题意得，M 点应为与直线AB 平行且距离为95的直线与椭圆的交点，设平行于AB 的直线l 为3x ﹣4y +m ＝0，与直线AB 的距离为95，所以√9+16=95，即m ＝﹣6或12，当m ＝﹣6时，直线l 为3x ﹣4y ﹣6＝0，即y =34（x ﹣2），联立{y =34(x −2)x 24+y 23=1，可得（x ﹣2）（7x +2）＝0，即{x M =2y N =0或{x M =−27y M =−127，所以M （2，0）或（−27，−127）．当m ＝12时，直线l 为3x ﹣4y +12＝0，即y =34（x +4），联立{y =34(x +4)x 24+y 23=1，可得214x 2+18x +24＝0，△＝9×（36﹣56）＜0，所以无解，综上所述，M 点坐标为（2，0）或（−27，−127）． 16．（2020•浙江）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）p =116，则p 2=132，则抛物线C 2的焦点坐标（132，0），（Ⅱ）直线l 与x 轴垂直时，此时点M 与点A 或点B 重合，不满足题意，设直线l 的方程为y ＝kx +t ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），由{x 22+y 2=1y =kx +t，消y 可得（2k 2+1）x 2+4ktx +2t 2﹣2＝0， ∴△＝16k 2t 2﹣4（2k 2+1）（2t 2﹣2）＞0，即t 2＜1+2k 2， ∴x 1+x 2=−4kt 1+2k2，∴x 0=12（x 1+x 2）=−2kt 1+2k 2，∴y 0＝kx 0+t =t 1+2k2，∴M （−2kt 1+2k2，t1+2k 2），∵点M 在抛物线C 2上，∴y 2＝2px ，∴p =y 22x =t 2(1+2k 2)22⋅−2kt 1+2k2=t −4k(1+2k 2)，联立{y 2=2px y =kx +t ，解得x 1=t(1+2k 2)−2k 3，y 1=t −2k2，代入椭圆方程可得t 2(1+2k 2)28k 6+t 24k 4=1，解得t 2=8k6(1+2k 2)2+2k2。

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历年上海高考试题（圆锥曲线）班级 _________ 学号_____ 姓名___________1. （01上海）若双曲线的一个顶点坐标为（3, 0）,焦距为10,则它的标准方程为_______x t2 12. （02上海）曲线（t为参数）的焦点坐标是y 2t 13. （02上海）抛物线（y-1）2=4（x+1）的焦点坐标是_______24. （03上海春）直线y x 1被抛物线y 4x截得线段的中点坐标是 _____________ .5. （03上海理）在极坐标系中，定点A（1,—）,点B在直线COS sin 0上运动，2当线段AB最短时，点B的极坐标是_________________ .6. （04上海春）过抛物线y2=4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心、AB为直径的圆方程是_________________________7. （04上海）设抛物线的顶点坐标为（2,0）,准线方程为x= —1,则它的焦点坐标为___8. （04上海理）在极坐标系中，点M（4,）到直线I: p （2cos 0 +sin的距=4 d= ________ .32 29. （03上海）给出问题：F1、F2是双曲线- —=1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦16 20点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1 —|PF2||=8，即|9—|PF2||=8,得|PF2|=1 或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内.10. （04上海）教材中坐标平面上的直线”与圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是_____________________________________________ .11. （05上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是（2门5,0）,则椭圆的标2 2准方程是—L 180 2012. （05上海理）若双曲线的渐近线方程为y 3x，它的一个焦点是（门0,0），则双曲2线的方程是 _______ x 2 J 1913. （06上海文）已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0），且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是 ________________________ .14. （ 06上海理）已知椭圆中心在原点，一个焦点为 F （— 2j 3 , 0）,且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 __________________________________ .515. （ 06上海理）在极坐标系中，O 是极点，设点A （4, 一），B （5,———）,则厶OAB36的面积是 _________ .16. （07上海春）在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线y 2 4x 上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6,则点P 的横坐标x _____________抛物线方程是 ______________________________ 18. （06上海春）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（）A. （0,1）B.（1,0）C. （0,2）D. （2,0）219. （05上海）过抛物线 y 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B ）A .有且仅有一条B .有且仅有两条C .有无穷多条D .不存在2x20. （01上海）设F 1、F 2为椭圆一92 2xy21. （02上海春）已知 F 1、F 2为双曲线 — 21（a>0,b>0）的焦点，过F 2作垂直于x轴17. （ 07上海文）以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的1的两个焦点，P 为椭圆上的一点.已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|> |PF 2|,求匹PF 2 的值.a b的直线交双曲线点P且/ PF1 F2=30。

，求双曲线的渐近线方向22. (02上海)已知点A( 3,0)和B( . 3,0)，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y x 2交于D、E两点，求线段DE的长。

2 2X y23. (03上海春)设F I,F2分别为椭圆21(a b 0)的左、右两个焦点•a b(1) 若椭圆C上的点A(1,3)到F I,F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程；2(2) 设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3) 已知椭圆具有性质：若M , N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K PM，K PN时，那么K PM K PN是2 2与点P位置无关的定值•试对双曲线笃当1写出具有类似特性的性质，并加以证明•a b24. ( 03上海文)如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽I是多少?(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽I，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？(半个椭圆的面积公式为S -lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到40.1 米)25. (04上海春)已知倾斜角为45。

的直线I过点A(1, —2)和点B,B在第一象限,AB =3 2 .(1) 求点B的坐标;(4分)2x(2) 若直线I与双曲线C :丐y2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为a(4,1),求a的值;(6分)(3) 对于平面上任一点P当点Q在线段AB上运动时，称PQ 的最小值为P与线段AB的距离•已知点P在x轴上运动，写出点p(t,O)到线段ab的距离h关于t的函数关系式.(8分)126. (04上海文)如图,直线y= — x与抛物线2于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线占八、、-(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时，求△ OPC面积的最大值27. ( 05上海春)(1)求右焦点坐标是(2, 0)，且经过点(2, .2)的椭圆的标准方程;2(2)已知椭圆C的方程是仔1 (a b 0).设斜率为k的直线I，交椭圆C于aA、B两点，AB的中点为M•证明: 当直线I平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心［解］(1)［证明］(2)［解］(3)28. (05上海文)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y 轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程；⑵过M作MN丄FA,垂足为N,求点N的坐标；(06上海理)在平面直角坐标系 x o y 中，直线l 与抛物线y 2 = 2X 相交于A 、B 两点. (1) 求证：如果直线l 过点T (3, 0),那么OA OB = 3”是真命题； (2) 写出(1 )中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.⑶以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,O)是x 轴上一动点时，丫讨论直线AK 与圆 M 的位置关系.2 x29.( 05上海理)如图,点A 、B 分别是椭圆一36 2y 201长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点.点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA 丄PF.(1)求点P 的坐标;⑵设M 椭圆长轴AB 上的一点,M 至煩线AP 的距离等于 MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离d 的最小值.30. (06上海春)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航2 2天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为 — 仝=1,100 25变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M(0, 64)为顶点的抛物线的实线部分降落点为D(8,0).观测点A(4,0)、B(6,0)同时跟踪航天器.(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;(2)试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时, 应向航天器发出变轨指令？31. (06上海文)已知在平面直角坐标系个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(1点为D(2,0)，设点A 1,丄.2(1)求该椭圆的标准方程;(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程;(3) 过原点O 的直线交椭圆于点B,C ，求ABC 面积的最大值。

两个焦点分别为 F i 、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线圆C 相交，其中一个交点为 M ...2, 1 • (1)求椭圆C 的方程；⑵设椭圆C 的一个顶点为 B(0, b)，直线BF 2交椭圆于另一点N ，求△ F 1BN 的面积.成的曲线称作果圆”，其中a 2 b 2如图，设点F 。

，F 1 , F 2是相应椭圆的焦点， A 1 ,(1 )若厶F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，求该2 2(2)设P 是果圆”的半椭圆每笃 1b cP 在点B 1, B 2或A 1处;(3)若P 是果圆”上任意一点，求 PM 取得最小值时点 P 的横坐标.32. ( 07上海春)如图，在直角坐标系xOy 中,b 21 (a b 0)的左右(x < 0)上任意一点.求证：当PM 取得最小值时，2x33.(07上海文)我们把由半椭圆 —a2y b 2(x > 0)与半椭圆2y b 22 x 2c(x < 0)合轴的交点，M 是线段A 1A 2的中点.果圆”的方程;yx参考答案［解］(1)设 F2 (c,O)(c>O),P(c,yO),则在直角三角形 PF 2F 1中，/ PF I F 2=30 解法一：丨 F F 2 | =6| PF | ,黑訂_ 21应右K 即R2将c 2=a 2+b 2代入，解得X=2a 2. 解法二： | PF | =2 | PF ,由双曲线定义可知 | PF |- | PF | =2a 得 | PF | =2a. 21,潮⑴第1位聃工解金屮吕第注职工的奖金斫存-啊第3位职工的奖金烏（】-护, ” 1位职工的奖金y 扣- £）卜収［解］设点 C (x,y )，则 |CA| |CB| 2根据双曲线的定义，可知点 C 的轨迹是双曲线2 X 2a由 2a 2,2c | AB | 2、3,得a 21,b 22即 A( - 4,— 2),B(8,4),从而 AB 的中点为 M(2,1).卫Dm 陀1,b 20 ,• m 2 b 2 a 2k 2，即b 2 a 2k 2m ■ b 2 a 2k 21 1 由k AB ==—，直线AB 的垂直平分线方程 y —仁一(x — 2).22令 y= — 5,得 x=5, ••• Q(5, — 5) 1 2⑵直线OQ 的方程为x+y=O,设P(x,x 2— 4).8••• P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点，且P 不在直线OQ 上, ••— 4< x<4 3 — 4 或 4— 4<x < 8.•••函数y=x 2+8x — 32在区间［—4,8］上单调递增 •••当x=8时，△ OPQ 的面积取到最大值 30.2 2［解］(1)设椭圆的标准方程为务 ^2a b解得b 4或b 2 (舍),(2)设直线I 的方程为y kx m ,y kx m则有兰yL 1，a 2b 2解得(b 2 a 2k 2)x 2 2a 2kmx a 2m 2•••点P 到直线0Q 的距离 d=x 1x 2 48——x 8J28x 32OQ1 -S △ OPCF—25OQd 亠 x 2168x 32 .a 2b 24，即椭圆的方程为x 2 b 2 42yb 2•••点(2,、2 )在椭圆上，•4 b 2 4由此得a 28，即椭圆的标准方程为1.与椭圆C 的交点A (X 1,%)、B (X 2,y 2).a 2b 22•点P 的坐标是(3,口)2 2⑵ 直线AP 的方程是x —、3y+6=0.|m 6|设点M(m,0),则M 到直线AP 的距离是 --------则 X-］ X 22a 2km b 2 a 2k 2' y 1y 2 kx 1 m kx 2 m2b 2m b 2 __0^7，••• AB 中点M 的坐标为a 2km ~2 2~2 , b a k.2b m~22~2b a k11分•••线段AB 的中点M 在过原点的直线 b 2 x a 2 k y13分(3)如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ，并分别取AB 、CD 的中点M 、N ,连接直线MN ;又作两条平行直线 (与前两条直线不平行)分别交椭圆于A 1、B 1和D 1，并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1，连接直线 M 1N 1，那4么直线MN 和M J N J 的交点O 即为椭圆中18分［解］(1)由已知可得点 A( — 6,0),F(0,4)设点 P(x,y),则 AP ={x+6,y}, FP ={x — 4,y},由已知可得2 2x- L 1 36 20(x+6)(x — 4)+y 2=023 .则 2x 2+9x — 18=0,x= 一或x= — 6.由于y>0,只能x= 3,于是25「3iL=1(1)100 25椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 有9I —由于一 6< m<当x= 时,d 取得最小值• 152［解］(1)抛物线y 2=2px 的准线为x=--汙是4+-=5, A p=2.2 2•••抛物线方程为 ,=4x.(2) •••点A 是坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2),4 3 又••• F(1,0), • k FA = ;MN 丄 FA, • k MN =-,3 4、4 、3 、8 4 则FA 的方程为y= (x-1),MN 的方程为y-2=- x,解方程组得x= ,y=,3455一 8 4• N 的坐标(一，).5 5(1)由题意得，，圆M.的圆心是点(0,2),半径为2,当m=4时，直线AK 的方程为x=4,此时，直线AK 与圆M 相离. 4y= (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0,4 m2 m 8d= J 2，令 d>2,解得 m>1.16 (m 4)•••当m>1时，AK 与圆M 相离; 当m=1时，AK 与圆M 相切; 当m<1时，AK 与圆M 相交.641由题意可知，0=a?64+, • a=-_、1 2 64•曲线方程为y=-x 2+.,又—6< m < 解得 m=2.d 2=(x — 2)2+y 2=x — 4X 2+4+20 —5x 2=4(x —纤+15,9 9 2当nmM 时，直线AK 的方程为圆心M(0,2)到直线AK 的距离［解］(1)设曲线方程为 2y=ax 2 64+ —7L=1(1)100 257 7(2)设变轨点为C(x,y),根据题意可知—6,9y=4或y=-(不合题意,舍去)••• y=4..... 9分4得x=6或x=-6(不合题意,舍去). • C 点的坐标为(6,4),……11分AC 2岳 BC 4,答：当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为2 •一 514分1)设过点T(3,0)的直线I 交抛物线y 2=2x 于点 A(x 1,y 1)、B(X 2,y 2).,直线I 的方程为x=3，此时，直线I 与抛物线相交于点y 2 2xo由得 ky 2 2y 6k 0y k(x 3)f1 21 2 又••• x 12y 1 ,x 2 2y 2，OA|OB综上所述，命题如果直线l 过点T(3,0)，那么OA OB =3”是真命题;⑵逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点，如果OA OB =3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.1例如：取抛物线上的点 A(2,2) , B( ,1),此时2直线AB 的方程为：y 2(x 1)，而T(3,0)不在直线AB 上;3说明：由抛物线 y 2=2x 上的点A (X 1,y 1)、B (X 2,y 2)满足OA OB =3，可得1 2 64 y=- — X + ----77 (2)得 4y 2-7y-36=0,A(3, 6 )、B(3, —、6 ).OA OB =3;当直线l 的钭率存在时，设直线l 的方程为y k(x 3)，其中 k 0, 4时，应向航天器发出变轨指当直线I 的钭率不存在时y°26y*2 3 ,xg y°2 才(y“2)2=3,或y1y2=2，如果y1y2= —6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2，可证—6,2AB 过点(一1,0),而不过点(3,0).解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= .. 3，则半短轴 2x 又椭圆的焦点在x 轴上，•椭圆的标准方程为一4• △ ABC 的面积 S A ABC = 1|AB d得直线⑵设线段PA 的中点为 x=M(x,y)，点 P 的坐标是(x o ,y o ),X o 12x -1j y=1 y o 1 22由，点P 在椭圆上,得(2x° 4(2y1)2 1,2)2心1.⑶当直线BC 垂直于x 轴时,BC=2,因此△ ABC 的面积S S BC =1.•••线段PA 中点M 的轨迹方程是 (X 2当直线BC 不垂直于x 轴时，说该直线方程为y=kx ，代入 — 4y 2 1解得B(4k 22k21)，C(― 4厂12k),则BC4—-k 〔,又点 • 1 4k 2A到直线BC 的距离J k 2,b=1.y 2 12k 1 1 4k 2是S A ABC = 4k24k 14k2 14k4k2 12b 244由一^亠1,得S ^ABC <■ 2，其中，当k=—-时,等号成立•4k 212•I S A ABC 的最大值是、J 2 •所求椭圆方程为4［解法二］由椭圆定义可知(1)[解法一 ] I x 轴,F 2的坐标为 .2,2由题意可知 a 22 a1J b 2 1, 2,2ab 24, 2.MFj |MF 2 2a .由题意MF 2 MF 12a 1.又由Rt △ MF 1F 2可知(2a 1)22.2 2 解:（ 1）a 2，又 a 2b 2椭圆C 的方程为直线BF 2的方程为y 2 x4F 1F 22，得 b 22J 1.22.x 、、2, 2七1, 2,2，F °(c, 0)，得点N 的纵坐标为 F 1BN2、22分6分 8分10分14分F , 0，b 2，F 20，b 2 c 21, F 1F 22 b 2 c 22c 2212x〔AM | |MA 2| ,且B 1和B 2同时位于果圆”的半椭圆-2a1( x > 0)上的情形即可.| PM |2最小值在x a 时取到，此时 P 的横坐标是a .a 2 (a c)综上所述，若 a w 2c ,当|PM |取得最小值时，点 P 的横坐标是；若a 2c ,当|PM |取得最小值时，点 P 的横坐标是a 或 c .和半椭圆 2 2 y x.221 (xw 0)上，b c所以, 由( 2 )知，只需研究 P 位于果圆”的半椭圆所求果圆”方程为4x 2 y 27(2)设 P(x, y)，则(X > 0),-x 2 1 (x w 0).3,2| PM \a c ""2b 2 cx 2(ac)2 4b 2,c w x w 0 ,b 2 1— c|PM |2的最小值只能在c 处取到.即当PM 取得最小值时,P 在点B i , B 2或A 处.(3)2y1 (x > 0) b此时P 的横坐标是2 /t a (a当x2 2c 22cXaa 2 (a 2c 2a 2(a 2c)2c 2即a < 2c 时, c)b 2|PM (a c)2 42 2a (a c) |2的最小值在X° a ，即a 2c 时，由于|PM |2在x 4c 2a 2(a c) e”时取到,2a 时是递减的，|PM |的。