运筹学建模.ppt
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第二章——运筹学建模方法
1第二章、运筹学建模方法综述2定义问题和收集数据 数学建模模型求解 检验模型 准备应用模型 实施3运筹学研究小组首先要做的是研究相关系统，并使被研究的问题得到明确的说明。
包括确定合适的目标、实际的限制条件、研究领域和组织的其他领域间的相互关系、可选择的行动路线、制定决策的时间限制等。
2.1定义问题和收集数据4针对美国企业的大量调查发现，管理层趋向于采取满意利润目标和其他目标相结合的方式代替长期收益最大化。
典型地，其他目标包括维持稳定收益、增加市场份额、实现产品多样化、维持稳定价格、提高员工士气、维持企业的家族控制以及提高企业声望。
另外，存在包含与盈利动机不相吻合的社会责任的其他考虑。
2.1定义问题和收集数据5商业企业一般涉及以下五个方面所用者（股东等），追求盈利员工，期望合理工资水平上的稳定雇佣 客户，期望以合理的价格获得可靠的产品 供应商，期望声誉以及产品的合理出售价格政府以及国家，期望公正的税收和考虑国家利益6例：在为旧金山警察局所开展的运筹学研究中，建立了一个优化调度和配置巡警的计算机系统。
这个新系统每年为警察局节约1100万美元，同时增加了300万美元的交通管理收入，并且将反映时间减少了20%。
在评估该项研究的合适目标时，确定了三个基本目标：(1). 维持高水平的居民安全(2). 维持高水平的警员士气(3). 最小化运作成本7收集数据通常，研究小组会花费大量的时间收集问题的数据。
大部分数据既用于获得对问题的充分理解，又为下一阶段研究建立的数学模型提供所需的输入。
82.2 数学建模商业问题的数学模型，是描述问题实质的方程和相关数学表达式的系统。
n 个相关的可量化的决策，称为决策变量(decision variables)(x 1, x 2, …x n )绩效（如收益）的合理度量被表示成这些决策变量的数学函数（例如，P =3x 1+2x 2+…+5x n ），这个函数称为目标函数(objective function)9 任何对决策变量值的约束也能够被数学表示，通常是通过等式或不等式（例如：x 1+3x 1x 2+2x 2≤10），这些用于限制的数学表达式称为约束(constraints)。
运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
运筹学-第四章-运输问题和指派问题 PPT课件
A1 A2 A3 销量
B1
B2
B3
B4
1
32
11 4 3
3 10
3 1 3 9 1 2 -1 8
4
7
6 4 12 10 3 5
3
6
5
6
产量
7 4 9 20
检验数<0表示：例如（A2,B4）如果增加A2到B4的1单位产 品，将会降低1单位的运费，所以，该解不是最优解。
13
解的改进
（1）以 xij 为换入变量，找出它在运输表中的闭回路；
B2 4 11 29
4
6
B3 3
22
3 10
5
B4 产量 10 7
8
4
65
9
5
6
20
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西
B1
B2
B3
B4 产量
北 角
A1 3
34
11
3
10 7
方
A2
12
92
2
8
4
法
A3
7
43
10 6 5
9
初 始
需求量
3
6
5
6
20
解
x11 3, x12 4, x22 2, x23 2, x33 3, x34 6
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
n表示物资的n个销地 m表示物资的m个产地
供给约束
需求约束
非负约束
18
问题分析
决策变量 目标函数 约束条件：产量约束、销量约束、非负
《运筹学建模》课件
ห้องสมุดไป่ตู้ 致谢
感谢您的耐心学习，希望这门课程能为您的工作和学习带来帮助。
《运筹学建模》PPT课件
在本课程中，我们将探讨运筹学建模的基础知识和实际应用，介绍常用的数 学建模方法并通过案例分析和实践操作，帮助您掌握运筹学建模的基本方法。
课程介绍
课程目标和重要性
了解运筹学建模的基础知识，掌握数学建模方 法，应用于实际问题中。
课程内容概述
学习运筹学基础知识，数学建模方法以及案例 分析和实践操作。
模型，规划模型和分类模型。
3
优化模型
掌握最优化方法，了解规划和线性 规划等优化模型。
案例分析与实践
通过案例分析掌握运筹学建模的基本方法
通过典型案例，让学生了解运筹学建模的基本方法。
联系实际问题进行实践操作
通过实际问题，让学生实践运筹学建模的技巧。
课程总结与展望
总结课程的学习内容和收获
回顾主要的课程内容和知识点，总结学习内容 和收获。
展望运筹学建模在未来的发展
讨论运筹学建模在未来的应用和发展，探讨新 的研究方向和趋势。
QA
什么是运筹学建 模？
运筹学建模是运用数学建 立数学模型对复杂问题进 行求解的过程。
运筹学模型有哪 些类型？
运筹学模型主要有优化模 型、规划模型和分类模型 等。
如何学好运筹学 建模？
通过理论学习和实际操作 相结合，不断实践和提高 建模技能。
运筹学基础知识
1 运筹学的定义和背景
掌握运筹学的定义和起源，了解当前运筹学的研究热点和趋势。
2 运筹学在实际生活与工作中的应用
通过典型案例，介绍运筹学在各个领域的实际应用。
数学建模方法
1
建模的步骤和方法论
运筹学教学课件(全)
实用举例
某公司通过市场调研，决定生产高中档新型拉杆箱。 某分销商决定买进该公司3个月内的全部产品。拉杆箱生 产需经过原材料剪裁、缝合、定型、检验和包装4过程。
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用 7/10小时剪裁、5/10小时缝合、1小时定型、1/10小时检 验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时缝合、 2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产能力有限， 3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、缝合部600 小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
D {x | Ax b, x (x1,, xi ,, xn ) 0}
是凸集（凸多面体）。
引理2.1：线性规划的可行解 x (x1 ,, xn )T 为基本可行解的 充分必要条件是x的正分量所对应的系数列向量是线性无关的， 即每个正分量都是一个基变量。
定理2.2：线性规划问题的基本可行解x对应于可行域的顶点
通过分析生产过程，得出：生产中档拉杆箱需要用
7/10小时可剪裁以、通5/1过0小线时性缝合规、划1小求时定解型！、1/10小时
检验包装；生产高档拉杆箱则需用1小时剪裁、5/6小时 缝合、2/3小时定型、1/4小时检验包装。由于公司生产 能力有限，3月内各部的最大生产时间为剪裁部630小时、 缝合部600小时、定型部708小时、检验包装部135小时。
x2
L1：x1=6 L3：2x1+3x2=18
B 可行域
L2：x2=4 最优解
x1
4x1+3x2
解的特殊情况——解的特殊情况——无界解
线性规划的基本性质
若线性规划有最 优解，则最优解必在可 行域的顶点上达到。
X
可行域内部的点 • 可行解? 是 • 最优解? 不
《运筹学建模》PPT课件
线性规划一般模型
• 其它形式
n
M a x f c j x j j 1
s. t.
n j 1
aij x
j
bi
i 1,
,m
xj 0
j 1,
,n
M ax f C T X
s
.t
.
A
X X
b 0
线性规划中的一些名词和术语
• 线性规划模型三要素： • 决策变量 • 约束条件 • 目标函数
限制，满足于
线性规划例
• 求解方法一：图解法
线性规划例
• 求解方法二：单纯形法
Max f 1500 x1 2500 x2
3x1 2 x2 x3
65
s.
t.
2
x1
x2 3x2
x4
40
x5 75
x j 0, j 1, 2, 3, 4, 5
线性规划例
• 第一次迭代：
运筹学分支
• 运筹学一般包含：线性规划，非线性规 划，整数规划，目标规划，动态规划， 随机规划，模糊规划；
• 图论与网络，排队论，存贮论，对策论， 搜索论，维修更新理论，排序与运筹方 法等。
运筹学定义
• （1）为决策机构在对其控制下的业务活动进 行决策时，提供以数量化为基础的科学方法 （P.M.Morse 和G.E.Kimball给出的）。
对偶问题
产品 设备
A1
A2
A3 总工时限
制/h
甲
2
1
3
70
乙
4
2
2
80
丙
3
0
1
15
丁
2
2
0
50
单位利润 8
运筹学线性规划数学模型PPT课件
• 线性规划（概论）
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
第3页/共31页
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
第4页/共31页
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
第1页/共31页
• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
第3页/共31页
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
第4页/共31页
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
第1页/共31页
• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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返回
第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
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对偶问题
• 由上面的表可知，生产一件产品A1需要各设 备台时分别为2h，4h，3h，2h，如果将2h， 4h，3h，2h不用于生产产品A1，而是用于出 租，租费应满足（为了不蚀本，租费不能少 于利润，否则还不如自己生产产品合算呢！） 2 y1+4y2+3 y3+2 y4≥8，依次可分析得线性规划 模型如下
• （3）出基变量为当进基变量增大时， 首先下降为零的基变量，本例为x5
线性规划例
• 第二次迭代
（1）取x2，x3，x4为基变量，x1，x5为非 基变量 ，可行解为（0，25，15，15， 0），f＝62500
f 62500 1500x1 2500x5 / 3
x2 x3
线性规划中的一些名词和术语
• 可行解——满速线性规划全部约束条件 的解
• 可行域——全体可行解的集合 • 最优解——使得目标函数实现最小值
（或最大值）的可行解 • 最优值——最优解的目标函数值
线性规划模型标准型
• LP
n
min f c j x j j 1
s.t.
n j 1
• 解：设xj为第j种（甲、乙）产品的生产 件数 j＝1，2 ，则由题意知，问题可转 化为
线性规划例
Max f 1500x1 2500x2
3x1 2x2 65
s.
t.
2 x1
x2 3x2
40 75
x1, x2 0
• 注：Max为Maximize求f的最大值，s.t. 为Subject to约束，限制，满足于
欧美，在20世纪前叶，1914年提出了军 事运筹学中的兰彻斯特（Lanchester） 战斗方程；1917年排队论的先驱者丹麦 工程师爱尔朗（Erlang）在哥本哈根电
话公司研究电话通信系统时，提出了排 队论的一些著名公式；20世纪20年代初 提出了存贮论的最优批量公式；20世纪 30年代，在商业方面列温逊已经运用运
求线性规划方法－软件
LINDO软件包首先由Linus Schrage开 发，现在，美国的LINDO系统公司 （LINDO System Inc.）拥有版权，是 一种专门求解数学规划（优化问题）的 软件包。它能求解线性规划、（0，1） 规划、整数规划、二次规划等优化问题， 并能同时给出灵敏度分析、影子价格以 及最优解的松弛分析，非常方便实用。
25 15
3x1
x5 2x5
/3 /3
x4 15 2x1 x5 / 3
线性规划例
• （2）选择进基变量：方法同第一次迭 代，本例为x1
• （3）出基变量：方法同第一次迭代， 本例为x3
线性规划例
• 第三次迭代：
（1）取x1，x2，x4为基变量，x3，x5为非 基变量 ，可行解为（5，25，0，5，0）， f＝70000
• 约束条件： a11x1 a12x2
s.
t.
a21x1
a22
x2
a1n xn b1 a2n xn b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 , , xn 0
称xj为决策变量，cj为价值系数和费用系数， aij为约束系数或技术系数，bi为资源系数。
线性规划例
引例：某工厂拥有A、B、C三种类型的设备， 生产甲、乙两种产品，每种产品在生产中需 要占用的设备机时数，每件产品可以获得的 利润以及三种设备可利用的机时数如下表
设备A 设备B 设备C 利润（元/件）
产品甲 3 2 0
1500
产品乙 设备能力（h）
2
65
1
40
3
75
2500
线性规划例
• 问：工厂应如何安排生产可获得最大的 总利润？
线性规划一般模型
• 其它形式
n
Max f c j x j j 1
s.
t.
n j 1
aij x j
bi
i 1,
,m
xj 0
j 1,
,n
Max f CT X
s.t.
AX X
b 0
线性规划中的一些名词和术语
• 线性规划模型三要素： • 决策变量 • 约束条件 • 目标函数
f 70000 500x3 500x5
x1 x2
5 25
x3
/
3
2x5 x5 /
/ 3
9
x4 5 2x1 / 3 x5 / 9
线性规划例
• 2）选择进基变量：已无 ，因此该可行 解即为最优解，结束。
线性规划一般模型
• 目标函数： Max f c1x1 c2 x2 cn xn
aij x j
bi
i 1,
,m
xj 0
j 1,
,n
min f CT X
AX b
s.t.
X 0
min{CT X | AX b, X 0}
求线性规划方法－单纯形法
G.B.Danting在1947年提出了求解线性 规划问题的方法——单纯形法(simplex method)，其原理是：如果（LP）的可 行域K不是空集，我们从K的某一顶点 X0出发，判别它是否为最优解？若不是， 沿着边界找它邻近的另一个顶点，它应 比原来的顶点优，看它是否为最优解？ 若不是，再沿着边界找它邻近的顶点。 通过逐次迭代，直至找出最优解。
对偶问题
产品 设备
A1
A2
A3 总工时限
制/h
甲
2
1
3
70
乙
4
2
2
80
丙
3
0
1
15
丁
2
2
0
50
单位利润 8
10
2
/千元
对偶问题
• 解：设xj为产品Aj的生产件数 j＝1,2,3，则由 题意知，问题可转化为如下的线性规划问题
Max f 8x1 10x2 2x3
2x1 x2 3x3 70
运筹学的来源和组成
• 运筹学的三个来源：军事、管理和经济。 • 运筹学的三个组成部分：运用分析理论、
竞争理论和随机服务理论（排队论）
运筹学分支
线性规划是由美国运筹学工作者 G.B.Dantzig在1947年发表的结果，提出 单纯形法。列昂杰夫在1932年提出了投 入产出模型；冯·诺伊曼（Von Neumman）和O.Moogenstern合著 （1944年）的《对策论与经济行为》是 对策论的奠基作，同时该书已隐约地提 出了对策论与线性规划对偶理论地紧密 联系。
cj
j 1,
,n
yi 0 i 1, , m
设 yˆ* ( y1*, y2*, , ym* )T 为对偶问题（D）的最优解，
则称 为y原i* 有问题（P）第i个约束对应的影子价格 （Shadow Price）
对偶规划－影子价格
• 影子价格的经济含义：（1）影子价格是对现 有资源实现最大效益的一种估价。根据上例， 企业可以根据现有资源的影子价格，对资源 的使用有两种考虑：第一，是否将设备用于 出租，若租费高于某设备的影子价格，可考 虑出租该设备，否则不宜出租；第二，是否 将投资用于购买设备，以扩大生产能力，若 市价低于某设备的影子价格，可考虑买进该 设备，否则不宜买进。
对偶问题
Min f 70 y1 80 y2 15y3 50 y4
2 y1 4 y2 3y3 2 y4 8
s. t. 3y1y122y2y22yy33
10 2
y1, y2 , y3 0
• 说明：企业为了能够得到租用设备的用户， 使出租设备的计划成交，在价格满足约束条
筹思想来分析商业广告和顾客心里等； 20世纪30年代末，美英对付德国……， 20世纪50年代中期，我国著名的科学家
钱学森、许国志等将运筹学从西方引入 中国……。
运筹学在管理方面的应用
• 生产运作，物资库存管理，物资运输， 组织人事管理，市场营销，财务管理和 会计，计算机应用和信息系统开发，城 市管理等。
• 4.运输问题 ：m个物资产地B1, B2, …, Bm，n个物资销地A1, A2,…, An，si为 产地Bi产量，dj为销地Aj的销量，cij表 示把物资从产地Bi运到销地Aj的单位 运价，xij表示把物资从产地Bi运到销 地Aj的运输量，问应如何运输才能使
运费最小？
对偶问题
• 引例：某工厂计划在下一生产周期生产3种 产品A1, A2, A3，这些产品都要在甲、乙、 丙、丁4种设备上加工，根据设备性能和以 往的生产情况知道单位产品的加工工时、 各种设备的最大加工工时限制，以及每种 产品的单位利润，如下表。问如何安排生 产计划，才能使工厂得到最大利润？
• （2）运筹学是一门应用科学，它广泛应用现 有的科学技术知识和数学方法，解决实际中 提出的专门问题，为决策者选择最优决策提 供定量依据。
• （3）运筹学是给出问题坏的答案的艺术，否 则的话问题的结果会更坏。
运筹学的原则
为了有效地应用运筹学，必须遵循下列六 条原则：
（1）合伙原则 （2）催化原则 （3）互相渗透原则 （4）独立原则 （5）宽容原则 （6）平衡原则
（1）取x3，x4，x5为基变量，x1，x2为非 基变量 ，基本可行解为（0，0，65，40， 75），f＝0
f 1500x1 2500x2
x3 x4
65 3x1 2x2 40 2x1 x2
x5 75
3x2