人教版八年级上册数学-多边形的内角和课件
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人教版八年级数学上册同步课件：11.3.2多边形的内角和 2
2、答对者小组获得相应的分数。答错者将答题 权转给对方。
3、积分最高者为优胜组。
闯关一：基础过关
1、快速抢答，熟悉公式
(1)、8边形的内角和是 1080° 。（10分）
(2)、一个多边形的内角和是1440°它是 10 边 形。 （10分） (3)、正五边形的每一个外角等于_7_2_°.每一个内角 等于_1_0_8__（10分） (4)、°如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是__1_2__ （10分）
=n•180°-180°- n•180°+360° = 180° 内角和增加180°
闯关四：综合应用
4、 一个多边形除一个内角外其余各内角和 1999°,求这个多边形的变数 （50分）
最后一关：我的学习收获
1.n边形的内角和: (n-2)×180° 2.多边形的外角和是 360° 3.数学思想方法: 转化与化归
三角形
1 3
2
3×180o-(3-2)×180o=360o
四边形
五边形 …
n边形
1
2
4
3
1
2
5
34
…
4×180o-(4-2)×180o=360o
5×180o-(5-2)×180o=360o
……
n×180o-(n-2)×180o=360o
闯关练习---分组抢答竞赛：
1、在老师示意开始抢答时，各小组举手抢答， 举手最多的小组获得答题权。
闯关二：能力提升
2、在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B： ∠C：∠D = 3：4：5，求∠B= 60° ， ∠C = 80° ， ∠D = 100°。（20分）
3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另 一组对角的关系是 互补 。 （20分）
3、积分最高者为优胜组。
闯关一：基础过关
1、快速抢答，熟悉公式
(1)、8边形的内角和是 1080° 。（10分）
(2)、一个多边形的内角和是1440°它是 10 边 形。 （10分） (3)、正五边形的每一个外角等于_7_2_°.每一个内角 等于_1_0_8__（10分） (4)、°如果一个多边形的每一个外角等于30°,则这 个多边形的边数是__1_2__ （10分）
=n•180°-180°- n•180°+360° = 180° 内角和增加180°
闯关四：综合应用
4、 一个多边形除一个内角外其余各内角和 1999°,求这个多边形的变数 （50分）
最后一关：我的学习收获
1.n边形的内角和: (n-2)×180° 2.多边形的外角和是 360° 3.数学思想方法: 转化与化归
三角形
1 3
2
3×180o-(3-2)×180o=360o
四边形
五边形 …
n边形
1
2
4
3
1
2
5
34
…
4×180o-(4-2)×180o=360o
5×180o-(5-2)×180o=360o
……
n×180o-(n-2)×180o=360o
闯关练习---分组抢答竞赛：
1、在老师示意开始抢答时，各小组举手抢答， 举手最多的小组获得答题权。
闯关二：能力提升
2、在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B： ∠C：∠D = 3：4：5，求∠B= 60° ， ∠C = 80° ， ∠D = 100°。（20分）
3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另 一组对角的关系是 互补 。 （20分）
人教版上册八年级数学多边形及其内角和
多边形及其内角和
知识点1：三角形内角定理
定义：每两条相交直线所夹的角位 于三角形内部的那一个角就是三角形的 内角
A
B
C
知识பைடு நூலகம்2：三角形的外角
定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角
探究：你发现下面的图形里， 哪些角的和是１８０°？
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
巩固练习
1. m边形的一个顶点有7条对角线，n边 形没有对角线，k边形对角线条数等于边数， 则 m+n+k=________ ． ．
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
2. 若一个正多边形的一个外角是40°， 则这个正多边形的边数是_______
40°
A
C D
75°
B
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
巩固练习： 1.如图4：∠1+∠2+∠3+∠4等于 =_______
No Image
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
n
n
• 故 m2 4
n2
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
多边形内角的度数与镶嵌的关系 ① 用同一种正多边形镶嵌时，要求这种正多边形
的每个内角都能够整除360°
．
② 拼接在同一个点的各个角的和等于360°
知识点1：三角形内角定理
定义：每两条相交直线所夹的角位 于三角形内部的那一个角就是三角形的 内角
A
B
C
知识பைடு நூலகம்2：三角形的外角
定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角
探究：你发现下面的图形里， 哪些角的和是１８０°？
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
巩固练习
1. m边形的一个顶点有7条对角线，n边 形没有对角线，k边形对角线条数等于边数， 则 m+n+k=________ ． ．
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
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2. 若一个正多边形的一个外角是40°， 则这个正多边形的边数是_______
40°
A
C D
75°
B
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
巩固练习： 1.如图4：∠1+∠2+∠3+∠4等于 =_______
No Image
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
n
n
• 故 m2 4
n2
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
人教版上册八年级数学 11.1.3多边形及其内角和(16张PPT )
多边形内角的度数与镶嵌的关系 ① 用同一种正多边形镶嵌时，要求这种正多边形
的每个内角都能够整除360°
．
② 拼接在同一个点的各个角的和等于360°
人教版八年级数学课件-多边形及其内角和
1
作 第2、3、4、5、6題.
業
已知一個多邊形除了一個內
角外，其餘各內角的和是
2750°，求這個多邊形的
邊數.
1
1
問題3：你能類比三角形的組成要
素，說一說下麵圖形各部分的名稱
是什麼？
頂點
邊
內角 外角 對角線
1
連接多邊形不相鄰的兩個頂點 的線段叫做多邊形的對角線.
練習：畫出五邊形ABCDE的所有對角線. A E
B
C
D
1
問題4：我們現在研究的是如圖1所
示的多邊形，是凸多邊形； 如圖2所示 的多邊形，是凹多邊形，但不在現在研 究的範圍中.比較這兩種多邊形的區別是 什麼？
從一個頂點出發所有 的對角線（條）
0 1 2 3…
n－3
從一個頂點出發分成 三角形（個）
1234
…
n－2
對角線總數（條）
0
2
5
9
… n(n 3) 21
練習測試
1、 課本81頁練習第1、2題. 2、（1）一個多邊形自一個頂點出發的 對角線把它分成6個三角形，則它是＿＿邊 形.
（2）下列圖形哪些是凸多邊形，哪些 不是？
6
2
A1B
內角有什麼關係？
（3）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得
總和是多少？
（4）上述總和與六邊形的內角和、外角和有什麼關
係？ 1
例3 三角形、六邊形的外角和都是360°，那
麼n邊形的外角和（n是不小於3的任意整數）
還是360°嗎？若是，證明你的結論；若不是， 請說明你的理由．
n 180 (n 2) 180 2 180 360
1
3．達標測評
作 第2、3、4、5、6題.
業
已知一個多邊形除了一個內
角外，其餘各內角的和是
2750°，求這個多邊形的
邊數.
1
1
問題3：你能類比三角形的組成要
素，說一說下麵圖形各部分的名稱
是什麼？
頂點
邊
內角 外角 對角線
1
連接多邊形不相鄰的兩個頂點 的線段叫做多邊形的對角線.
練習：畫出五邊形ABCDE的所有對角線. A E
B
C
D
1
問題4：我們現在研究的是如圖1所
示的多邊形，是凸多邊形； 如圖2所示 的多邊形，是凹多邊形，但不在現在研 究的範圍中.比較這兩種多邊形的區別是 什麼？
從一個頂點出發所有 的對角線（條）
0 1 2 3…
n－3
從一個頂點出發分成 三角形（個）
1234
…
n－2
對角線總數（條）
0
2
5
9
… n(n 3) 21
練習測試
1、 課本81頁練習第1、2題. 2、（1）一個多邊形自一個頂點出發的 對角線把它分成6個三角形，則它是＿＿邊 形.
（2）下列圖形哪些是凸多邊形，哪些 不是？
6
2
A1B
內角有什麼關係？
（3）六邊形的6個外角加上與它們相鄰的內角，所得
總和是多少？
（4）上述總和與六邊形的內角和、外角和有什麼關
係？ 1
例3 三角形、六邊形的外角和都是360°，那
麼n邊形的外角和（n是不小於3的任意整數）
還是360°嗎？若是，證明你的結論；若不是， 請說明你的理由．
n 180 (n 2) 180 2 180 360
1
3．達標測評
人教版数学八年级上册1多边形的内角和与外角和课件
(1)小明每从一条街道转到下一条街道 时，身体转过的角是哪个角？在图中 标出它们.
1A
5
B
E
2
4
C
D
3
多边形的外角和
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 360°
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？
你是怎样得到的？
360°
B
在多边形的每个顶点处取这个多
2
边形的一个外角，它们的和叫做
11.3.2 多边形的内角和 与外角和
八年级上册
学习目标
1、了解多边形内角和与外角和的探究过程。 2、掌握多边形内角和与外角和定理。 3、提高学生运用数学的能力和了解转化的数学思想。
学习重难点
重点 理解多边形内角含义，多边形内角和公式。
难点 多边形内角和公式的探索过程；利用多边形内角和公式解决
实际问题。
2
2
∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)＝100°.
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.
应用拓展
(3)请直接写出∠A与∠BDC之间的数量关系(不必说明理由)．
解：∠BDC＝90°＋ 1 ∠A 2
应用拓展
3．探究与发现：如图①，有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF 的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.请写出∠BDC与∠A＋∠ABD＋ ∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
应用拓展
7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB， AC上，将△ABC沿着DE所在直线折叠压平，使点A与点N重合． (1)若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数；
1A
5
B
E
2
4
C
D
3
多边形的外角和
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 360°
(3)在上图中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小吗？
你是怎样得到的？
360°
B
在多边形的每个顶点处取这个多
2
边形的一个外角，它们的和叫做
11.3.2 多边形的内角和 与外角和
八年级上册
学习目标
1、了解多边形内角和与外角和的探究过程。 2、掌握多边形内角和与外角和定理。 3、提高学生运用数学的能力和了解转化的数学思想。
学习重难点
重点 理解多边形内角含义，多边形内角和公式。
难点 多边形内角和公式的探索过程；利用多边形内角和公式解决
实际问题。
2
2
∴∠ABC＋∠ACB＝2(∠DBC＋∠DCB)＝100°.
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝80°.
应用拓展
(3)请直接写出∠A与∠BDC之间的数量关系(不必说明理由)．
解：∠BDC＝90°＋ 1 ∠A 2
应用拓展
3．探究与发现：如图①，有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，三角板DEF 的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C.请写出∠BDC与∠A＋∠ABD＋ ∠ACD之间的数量关系，并说明理由．
应用拓展
7．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别在边AB， AC上，将△ABC沿着DE所在直线折叠压平，使点A与点N重合． (1)若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数；
人教八年级数学上学期《多边形的内角和》课件
对角线的总条数：
例2：小明在进行多边形内角和计算时，求得内角和 为2750°，当他发现错了之后，重新检查发现少加了一 个内角.求这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
解析：因为多边形的内角和一定是180°的整数，多边形 的每一个内角大于0°而小于180°. 解：设边数为n，这个内角的度数为x°，
探究一：多边形的内角和
1.如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边 形ABCD被分为△ABC和△ACD，我们能否利用三角形的 内角和求四边形的内角和呢?
探究一：多边形的内角和
2.过五边形的一个顶点，可以作多少条对角线？它 将五边形分成多少个三角形？由此能得出其内角和吗？
3.仿照五边形，你能求出六边形的内角和吗？n边形 的内角和吗？
依题意得：（n－2）·180°＝2750°＋x°，
n227 5x01 5x50 18 0 18 0
∵n－2是正整数，且0°＜x°＜180°，
∴x°＝130°，n＝18.
答：这个内角是130°，多边形的边数是18.
D C D
30°
150°
解： 设多边形的边数为n， （n－2）·180°＝360°×2， ∴n＝6.
本课时学习了n边形的内角和公式(n-2)·180°以 及外角和等于360°.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月202籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
例2：小明在进行多边形内角和计算时，求得内角和 为2750°，当他发现错了之后，重新检查发现少加了一 个内角.求这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？
解析：因为多边形的内角和一定是180°的整数，多边形 的每一个内角大于0°而小于180°. 解：设边数为n，这个内角的度数为x°，
探究一：多边形的内角和
1.如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边 形ABCD被分为△ABC和△ACD，我们能否利用三角形的 内角和求四边形的内角和呢?
探究一：多边形的内角和
2.过五边形的一个顶点，可以作多少条对角线？它 将五边形分成多少个三角形？由此能得出其内角和吗？
3.仿照五边形，你能求出六边形的内角和吗？n边形 的内角和吗？
依题意得：（n－2）·180°＝2750°＋x°，
n227 5x01 5x50 18 0 18 0
∵n－2是正整数，且0°＜x°＜180°，
∴x°＝130°，n＝18.
答：这个内角是130°，多边形的边数是18.
D C D
30°
150°
解： 设多边形的边数为n， （n－2）·180°＝360°×2， ∴n＝6.
本课时学习了n边形的内角和公式(n-2)·180°以 及外角和等于360°.
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月202籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
人教版八年级数学上册教学课件-11.3.2多边形的内角和132
方法三：
A D
12 4 33
B
C
小结：在四边形内任取一点，连接它与各个顶点，
将四边形分割成4个三角形，不是四边形内角 的角组成了一个周角，故四边形内角和等于 4×180°-360°
12
第九页，编辑于星期一：一点 三十二分。
多边形 三角形 四边形
从一个
点出发
0
引对角
线的条
数
分割成 三角形 1 的个数
4×180°-180°
例1 如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊 ∴∠1＋∠2＝270°.
若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2的度数是多少？
若沿图中虚线剪去∠B，则∠1＋∠2的度数是多少？
到一般的认识问题的方法． （n-2）×180°进行有关计算．
A
B
C
D
A
B
A
C
D
D
B
C
123
第六页，编辑于星期一：一点 三十二分。
课堂导学
方法一：
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
人教版八年级第十一章第三节
A
1．通过三角形向四边形、五边形…的转化，体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊到一般的认识问题的方法．
D．八边形
3．下列四个选项中，不是多边形内角和的是( )
A．360° B．540°
C
C．600° D．2160°
第十四页，编辑于星期一：一点 三十二分。
例1 如果四边形的一组对角互补，那么另一
八年级上册11.3.2多边形的内角和(共26张PPT)
12 ∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= ×720°=360°
拓展：一个六边形如图，已知 BA∥DE ，∠B= ∠ E，∠C=∠F
（1）求证：CD∥AF （2）求∠A＋∠C＋∠E的度数．
E F
D
1 2
C
43
A
B
这节课你学到了什么? 还有什么困惑？
小结:
1.“三个一”（一个定义、一个公式和一个性质）
三角形的内角和是180°，那么四边 形的内角和是多少呢？五边形呢？你 是如何得到这个结论的？
探究
请你利用分割的方
A
法探索五边形的内
角是多少？
E
B D
C 5边形内角和=3×180°=540°
方法2
B
A
180°× 5=900°？ 五边形内角和540°？？
O
E
D C 180°× 5 – 360°= 540°
3、填空(求边数)
1、已知一个多边形的内角和为1080°， 则它的边数为＿8＿。
2、已知一个多边形的每一个内角都是 156°，则它的边数为＿15＿。
例： 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，
CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
解：如图所示，连结AD，
E
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
（2）已知一个多边形的内角和为720o ，则这个 多边形是__6____边形 （3）在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且 ∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为__8_0_o___
过多边形一个顶点的所有对角线将这个 多边形分成3个三角形,求:
(1)这个多边形的边数.
(2)这个多边形内角和的度数.
D
1 2Biblioteka ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4（两 F
《多边形的内角和》PPT教学课文课件
150
4. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
8 9
5.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内
角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发
现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的
是几边形的内角和？
6.已知一个多边形的每个内角与相邻外角的比都是
7∶2，求这个多边形的边数.
名称
图形
从多边形的一顶点 分割出的三
多边形内角和
引出的对角线条数 角形个数
三角形
0
1
1×180°=180°
四边形
1
2
2×180°=360°
五边形
2
3
3×180°=540°
六边形
3
4
4×180°=720°
···
···
···
n-3
n-2
( n - 2 )·180°
···
n 边形
总结
多边形的内角和公式
人教版数学八年级上册
第十一章 三角形
多边形的内角和
教学目标
1.
1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；
（重点）
2. 学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
1.三角形的内角和是多少？
180°
2.四边形的内角和是多少？
360
°
3.你能证明它吗？
他们的概念是什么？
又该如何去做呢？
和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋
∠2等于（
）．
A
A．140°
B．40°
C．260°
D．不能确定
3. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，
4. 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 的度数.
8 9
5.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内
角和为 1125°，当他发现错了以后，重新检查，发
现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的
是几边形的内角和？
6.已知一个多边形的每个内角与相邻外角的比都是
7∶2，求这个多边形的边数.
名称
图形
从多边形的一顶点 分割出的三
多边形内角和
引出的对角线条数 角形个数
三角形
0
1
1×180°=180°
四边形
1
2
2×180°=360°
五边形
2
3
3×180°=540°
六边形
3
4
4×180°=720°
···
···
···
n-3
n-2
( n - 2 )·180°
···
n 边形
总结
多边形的内角和公式
人教版数学八年级上册
第十一章 三角形
多边形的内角和
教学目标
1.
1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式；
（重点）
2. 学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
（难点）
1.三角形的内角和是多少？
180°
2.四边形的内角和是多少？
360
°
3.你能证明它吗？
他们的概念是什么？
又该如何去做呢？
和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋
∠2等于（
）．
A
A．140°
B．40°
C．260°
D．不能确定
3. 如图所示，小华从点 A 出发，沿直线前进 10 米后左转 24°，
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解：设此多边形的内角和为x，
则有1125°＜x＜1125°＋180°，
即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
2x°,根据题意，得 7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
即这个多边形是九边形.
还有其他 解法吗？
新课讲解
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意，得
180n 2 7 ,
360 2 解得n=9. 即这个多边形是九边形.
新课讲解
解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
新课讲解
例6 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是
7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为
n -2 （ n -2 ）·180º
多边形
分割
三角形
分割点与多边 形的位置关系
总结归纳
顶点
边上 内部 外部
▼多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 °
新课讲解
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8. ∴多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°. ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为 1080°÷8=135°.
都是360°.
问题3： 猜想任意四边形的内角和是多少度？
新课讲解
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 ： 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
D A 方法1：如图，连接AC,
则该四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
新课讲解
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE、DE，
即如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
新课讲解
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
新课讲解
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ 1∠EAB.
2
同理可得∠ABP＝
1
∠ABC.
2
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组
y x 60, x y 180,
解得
x y
60, 120.
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
新课讲解
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不 对，说明理由.
解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3……90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4.
∴∠CDF+∠EBF=90°.
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
新课讲解
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
E
A
A
F
B
DB
E
C
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
随堂即练
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是_1_5_0_____米．
4.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540 °
C.720 °
随堂即练
D.810 °
思考：n边形的外角和又是多少呢？
n边形外角和 =n个平角-n边形内角和 = n×180 °－(n－2) × 180° =360 °
n边形的外角和等于360°.
A2 1 2 A3 3
A1 n
An 4 A4
与边数无关
新课讲解
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
由特殊到一般
新课讲解
边数 三角形
图形
从多边形的一顶点 引出的对角线条数
分割出三角 形的个数
多边形内角和
0
1
1×180º=180º
四边形
1
2
2×180º=360º
五边形
2
3
3×180º=540º
六边形 ······ n 边形
······
3 ······ n -3
4
4×180º=720º
······
······
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
一、基本目标 【知识与技能】 1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2．能正确判断正多边形的对角线条数． 【过程与方法】 通过类比三角形的概念归纳多边形的概念，能从实物中辨别寻找出几何图形， 并由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识． 【情感态度与价值观】 了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学． 二、重难点目标 【教学重点】 多边形、正多边形的概念． 【教学难点】 解决有关多边形对角线条数的问题．
新课讲解
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
新课讲解 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求 得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现 少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形 的内角和？ 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.
能力提升
拓展 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋ ∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.
课堂总结
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
情境引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类 天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
1 多边形的内角和
问题1 ：三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°.
新课讲解
问题2 ：你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
随堂即练
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
多边形 外 角 的内角 和
和
正多 边形
多边形的外角和等于360°
内角= (n 2)180 ，外角= 360
n
n
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
•
E
B C
新课讲解
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
A P•
B
D
这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解.
新课讲解
例7 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数．
解：由题意得 ∠A ∠AED 5 2 180°=108°，
5 AB=AE,所以∠AEB= 1 (180°-∠A)=36°，
2 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
则有1125°＜x＜1125°＋180°，
即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
2x°,根据题意，得 7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
即这个多边形是九边形.
还有其他 解法吗？
新课讲解
解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意，得
180n 2 7 ,
360 2 解得n=9. 即这个多边形是九边形.
新课讲解
解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
新课讲解
例6 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是
7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为
n -2 （ n -2 ）·180º
多边形
分割
三角形
分割点与多边 形的位置关系
总结归纳
顶点
边上 内部 外部
▼多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 °
新课讲解
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8. ∴多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°. ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为 1080°÷8=135°.
都是360°.
问题3： 猜想任意四边形的内角和是多少度？
新课讲解
猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 ： 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
D A 方法1：如图，连接AC,
则该四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
新课讲解
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE、DE，
即如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
新课讲解
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
新课讲解
解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ 1∠EAB.
2
同理可得∠ABP＝
1
∠ABC.
2
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组
y x 60, x y 180,
解得
x y
60, 120.
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
新课讲解
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不 对，说明理由.
解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3……90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4.
∴∠CDF+∠EBF=90°.
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
新课讲解
问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
E
A
A
F
B
DB
E
C
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
随堂即练
3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是_1_5_0_____米．
4.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540 °
C.720 °
随堂即练
D.810 °
思考：n边形的外角和又是多少呢？
n边形外角和 =n个平角-n边形内角和 = n×180 °－(n－2) × 180° =360 °
n边形的外角和等于360°.
A2 1 2 A3 3
A1 n
An 4 A4
与边数无关
新课讲解
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
由特殊到一般
新课讲解
边数 三角形
图形
从多边形的一顶点 引出的对角线条数
分割出三角 形的个数
多边形内角和
0
1
1×180º=180º
四边形
1
2
2×180º=360º
五边形
2
3
3×180º=540º
六边形 ······ n 边形
······
3 ······ n -3
4
4×180º=720º
······
······
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
一、基本目标 【知识与技能】 1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2．能正确判断正多边形的对角线条数． 【过程与方法】 通过类比三角形的概念归纳多边形的概念，能从实物中辨别寻找出几何图形， 并由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识． 【情感态度与价值观】 了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学． 二、重难点目标 【教学重点】 多边形、正多边形的概念． 【教学难点】 解决有关多边形对角线条数的问题．
新课讲解
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
新课讲解 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求 得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现 少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形 的内角和？ 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.
能力提升
拓展 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋ ∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.
课堂总结
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
情境引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类 天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
1 多边形的内角和
问题1 ：三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°.
新课讲解
问题2 ：你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
随堂即练
6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
多边形 外 角 的内角 和
和
正多 边形
多边形的外角和等于360°
内角= (n 2)180 ，外角= 360
n
n
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
•
E
B C
新课讲解
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
A P•
B
D
这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解.
新课讲解
例7 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数．
解：由题意得 ∠A ∠AED 5 2 180°=108°，
5 AB=AE,所以∠AEB= 1 (180°-∠A)=36°，
2 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.