八年级上册数学知识点归纳：多边形及其内角和
八年级上册数学重点知识点总结：多边形及其内角和
八年级上册数学重点知识点总结：多边形及
其内角和
1、多边形的定义
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
(1)多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
(2)在定义中应注意：
①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数);
②首尾顺次相连，二者缺一不可;
③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间
多边形
2、多边形的分类:
(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形
的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形(见图1).本章所讲的多边形都是指凸多边形.
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八年级数学上册 11.3《多边形及其内角和》多边形的内角和知识点解读素材 新人教版(2021学年)
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知识点解读：多边形的内角和知识点一:多边形的内角和定理(重点）多边形的定义：由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的定义:从n边形的一个顶点出发,可以引(n—３)条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形,ｎ边形的内角和等于１8０°×（n—2)．知识详析：观察上图可得：(1)从五边形的一个顶点出发，可以引2条对角线，它们将五边形分为3个三角形，五边形的内角和等于180°×3.(2)从六边形的一个顶点出发，可以引3条对角线,它们将六边形分为４个三角形,六边形的内角和等于１8０°×4．（3)从ｎ边形的一个顶点出发，可以引（ｎ-3）条对角线，它们将n边形分为(ｎ-２）个三角形,n边形的内角和等于180°×（n－２）.结论:多边形的内角和与边数的关系是1８0°×(n－2）．【典例】1、一个多边形的内角和为1４４0°,求其边数．分析：根据n边形的内角和是(n-2)•180°，即可列方程求解．解：(ｎ-2）•１８０°=1440°，解得n=10．答：边数为10．２、已知一个多边形的每一内角都等于150°，求这个多边形的内角和．分析：已知一个多边形的每一内角都相同,故可设该多边形共有n条边,根据多边形内角和公式列出等式求解．解:设这个多边形的边数为n，则（n—2)×180°＝n×150°，１80°n－３６0°=15０°n,得３０°ｎ=36０°解得n＝12.∴1２×15０°=18０0°.答：这个多边形的内角和为1800°．知识点二：多边形的外角和知识详析：如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角,•这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于360°.将六边形换为n边形（n是大于等于3的整数),结果仍相同．结论:多边形的外角和等于360°.【典例】１、一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )A。
八年级上册数学11.3.2多边形内角和
提示： 1.六边形的每一个外角和相邻的 内角有什么关系？ 2.六边形的6个外角加上与它们相 邻的内角，所得总和是多少？ 3.上述总和与六边形的内角和、 外角和有什么关系？
E 5
4
D3
F
C
6
2
A1 B
1.六边形的每一个外角和相邻的内角有什么关系？ 任意一个外角加上与它相邻的内角等于180°.
2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总 和是多少？ 每一个外角加上与它相邻的内角等于180°，所以 六个外角加上与它们相邻的内角等于180°×6.
解：（1）四边形的内角和为360°，
则x°+x°+140°+90°=360°，解得x=65.
（2）四边形的内角和为360°，
则∠1+75°+120°+80°=360°，解得∠1=85°，
因为∠1+x°=180°，所以x=95.
例4 一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
内角的大小，并计算出四个内角的和是多少？ 经过测量发现四边形的四个内角和为360°.
试用三角形内角和定理来证明任意一个四边形的内 角和为360°.利用对角线将四边形分成三角形来求 解.
如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC，求四边形 ABCD的内角和.
解：∵对角线AC将四边形分为△ACD和△ACB，
(2)小李同学在计算一个n边形的内角和时不小心多加了一 个内角，得到的内角之和是1 380°，则这个多边形的 边数n的值是多少？多加的这个内角度数是多少？ 解：设多加的这个内角度数为α，则(n－2)·180°＝ 1 380°－α.∵1 380°＝7×180°＋120°，多边形的 内角和应是180°的倍数，∴n＝9，α＝120°. 答：这个多边形的边数n的值是9，多加的这个内角 度数是120°.
数学人教版八年级上册多边形内角和公式
α B'
δ O β γ
D'
C'
多边形的外角和
如果广场的形状是六边形、八 边形，那么还有类似的结论吗？ 多边形 内角的一边与另一边的反 向延长线所组成的角叫做这个多 边形的外角。 在每个顶点处取这个多边形的一 个外角，它们的和叫做这个多边 形的外角和。
多边形的外角和等于 360ْ
An
A8
A1
A2 A3 A4
如图1，在四边形内任取一点P, 连接PA、PB、PC、PD将四边 形变成有一个公共顶点的四个 三角形，四边形内角和等于 180°×4 － 360°= 360°
如图2，在四边形的一边上任取一点P, 连接PB、PC，将四边形变成有一个公 共顶点的三个三角形，四边形内角和 等于180° ×3－ 180° = 360°
6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它 的边数是_________. 7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并 且它的内角和为2880°，那么它的内角为 _________.
练习
1、 若多边形的外角和与内角和之比为2∶9， 求这个多边形的边数及内角和。
2 、一个多边形中的各内角相等，且每个内角 与外角之差的绝对值为60°，求此多边形的边 数。 3、 已知多边形的一个内角的外角与其它 各内角的度数总和为600°，求边数．
学习了本节课你有 哪些 收获？
三角形个数
内角和
5 6 7
. . .ຫໍສະໝຸດ 2 3 4. . .3 4 5
. . .
3×180°=540 ° 4×180°=720° 5×180°=900°
. . .
n
n-3
n-2
(n-2)×180°
综上所述，设多边形的边数为n，
2023-2024学年八年级上学期数学：多边形及其内角和(附答案解析)
第1页（共15页）2023-2024学年八年级上数学：第十一章三角形
11.3
多边形及其内角和
一、选择题
1．如果正多边形的一个内角等于135︒，那么这个正多边形的边数是(
)A ．5B ．6C ．7
D ．82．一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是(
)A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形
3．如果一个正多边形的一个内角为120︒，则这个正多边形为(
)A ．正五边形B ．正六边形C ．正七边形D ．正八边形
4．如果一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是(
)A ．十边形B ．十一边形C ．十二边形D ．十三边形
5．若一个多边形的内角和是1080度，则这个多边形的边数为(
)A ．6B ．7C ．8D ．10
6．若一个多边形的每一个外角都是30︒，则这个多边形的内角和等于(
)A ．1440︒B ．1620︒C ．1800︒
D ．1980︒7．若正n 边形的每个内角都是120︒，则n 的值是(
)A ．3B ．4C ．6
D ．88．下列图形中，具备“对角线相等”的性质的是(
)A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形
9．正多边形的一个内角等于135︒，则该多边形是正(
)边形．。
初二年级数学多边形基本知识点
初一年级数学基本知识点四多边形及其内角和一、本节学习指导牢记多边形的内角和公式（n-2）×180°，多边形的外角和永远等于360°，不管是几边形。
要理解正多边形的概念，后面做题中可以直接运用其中的隐含条件。
１、多边形：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。
２、n 边形内角和为（n-2）*180°３、任意多边形的外角和为360°４、正n 边形的一个外角为360°/n５、n 边形具有不稳定性（n>3）二、知识要点1、多边形及其内角和、外角和（1）、概念：由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形。
三角形是最简单的多边形。
注、正多边形：各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。
（注：边、角均相等两条件缺一不可），比如正六边形行，它的六条边都相等，六个角都相等。
②、各边都相等的多边形不一定是正多边形，例如菱形；各内角都相等的多边形不一定是正多边形，例如矩形。
正多边形必须角和边都相等。
（2）、多边形的内角和定理：n边形内角和等于：（n-2）×180°推导方法（1）：由n边形的一个顶点出发，作n边形的对角线，一共可以作（n-3）条对角线，这些对角线把原来的n边形分成了（n-2）个三角形，由三角形的内角和等于180°，可得出该n边形的内角和为：（n-2）×180°推导方法（2）：在n边形的一边上任取一点，由这一点出发，连接n 边形的各个顶点（与所取点相邻的两个顶点除外），一共可以作（n-2）条连接线段，这些线段把原来的n边形分成了（n-1）个三角形，但却多出了一个平角，所以，该n边形的内角和为：（n-1）×180°- 180°= （n-2）×180°推导方法（3）：在n边形内任取一点，由这一点出发，连接n边形的各个顶点，一共可以作n条连接线段，这些线段把原来的n边形分成了n个三角形，但中间却多出了一个周角，所以，该n边形的内角和为：n ×180°- 360°= （n-2）×180°注：①、正n边形的每一个内角都等于[（n-2）×180°]/n②、多边形的内角和是180°的整倍数。
多边形内角和(7种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(人教版)(解析版)
多边形内角和（7种题型）【知识梳理】一、多边形内角和n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形；二、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．三．平面镶嵌（密铺）（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．180°【考点剖析】题型一：利用内角和求边数例1.一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．【变式1】（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180°去求．【详解】解：设该多边形的边数为n则：（n-2）•180°=900°，解得：n=7．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程【变式2】（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．【详解】解：（n−2）×180°＝720°，∴n−2＝4，∴n＝6．∴这个多边形的边数为6．故选：C．【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．题型二：求多边形的内角和例2.一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【变式1】（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°【答案】D【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．【详解】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC= ．所以∠APC= ．请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；解决问题1：如图（3）已知直线平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．【详解】解：问题1：连接PO并延长．则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．所以2∠APC=∠B+∠D．所以∠APC= 12（∠B＋∠D）=38°．解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，∴∠P=180°－12（∠B＋∠D）；解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，∴∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．故答案为：∠P=90°＋12（∠B＋∠D）．【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.题型三：复杂图形中的角度计算例3.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540° C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【变式1】（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．【答案】80【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数．【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案为：80．【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．【变式2】（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．【答案】70°【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．【详解】如图，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．【变式3】（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【分析】利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形：五边形．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°．【点评】本题主要考查多边形内角和，解题关键是利用三角形内角和定理将不规则图形转化成规则图形．【变式4】（2022春•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．【解答】解：（1）如图，由三角形外角的性质可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案为：180°；（2）如图，由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【点评】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．题型四：利用方程和不等式确定多边形的边数例4.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，因为x 为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x ＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数． 【变式1】．（2023春·全国·八年级专题练习）看图回答问题：(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？(2)小华求的是几边形的内角和？【答案】(1)理由见详解(2)13【分析】（1（2）根据题意设多边形的边数为x ，根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】（1）解：∵设多边形的边数为n ，则n 边形的内角和是180(2)n ︒⨯−，∴内角和一定是180︒度的倍数，∵20141801134÷=，∴内角和为2014︒不可能．（2）解：设多边形的边数为x ，∴180(2)2014x ︒⨯−<︒，解得，171390x <， ∴多边形的边数是13，∴小华求的是十三边形的内角和．【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）解决多边形问题：(1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？(2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是1170︒，这个多边形是几边形？【答案】(1)八边形(2)八边形【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于360︒建立方程，解方程即可得；（2）设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合0180x ︒<<︒建立不等式组，解不等式组即可得．【详解】（1）解：设这个多边形是n 边形，由题意得：()18023360n ︒−=⨯︒，解得8n =，答：这个多边形是八边形．（2）解：设这个多边形是n 边形，重复加的一个角的度数为x ，则0180x ︒<<︒，由题意得：()18021170n x ︒−+=︒，解得1530180x n =︒−︒，则01530180180n ︒<︒−︒<︒，即153018001530180180n n ︒−︒>︒⎧⎨︒−︒<︒⎩，解得151722n <<， n Q 为正整数，8n ∴=，答：这个多边形是八边形．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键．题型五：已知各相等外角的度数，求多边形的边数例5.正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【变式1】．（2022春·八年级单元测试）已知一个多边形的每个外角都是30︒，那么这个多边形的边数是__________．【答案】12【分析】利用任何多边形的外角和是360︒除以外角度数即可求出答案．÷=，【详解】解：多边形的外角的个数是3603012所以多边形的边数是12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．【变式2】（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求这个n边形的内角和．【答案】（1）12；（2）1800°【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°∴n＝360°÷30°＝12；（2）∵每个内角=180°-30°=150∴内角和=12×150°＝1800°．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．题型六：多边形内角和与外角和的综合运用例6.一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形 C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．【变式1】（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为1260︒，求这个多边形的边数．【答案】多边形的边数为7【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是n，由题意得，()21803601260n−⨯︒+︒=︒，n=．解得：7答：多边形的边数为7．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．【变式2】（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．【答案】十二边形，1800°【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．【详解】解：设外角为x°，由题意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12−2）×180＝1800°，∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．【变式3】（2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．【分析】（1）根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°，n 边形的外角和为360°即可得出答案；（2）根据多边形的内角和公式和多边形的外角和360°即可得出答案．【解答】解：（1）内角和分别为：四边形内角和是：（4﹣2）×180°＝360°，，五边形内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，n 边形内角和是：180°（n ﹣2）；外角和分别为：360°、360°、360°；故答案为：360°、540°、180°（n﹣2），360°、360°、360°；（2）这个八边形一个内角的度数是：方法一：（8﹣2）×180°÷8＝135°，方法二：180°﹣360°÷8＝135°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．题型七：平面镶嵌例7．（2022春·八年级单元测试）用同一种下列形状的图形地砖不能进行平面镶嵌的是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【答案】C【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：A．正三角形的每个内角是60︒，能整除360︒，能密铺，故A不符合题意；B．长方形的每个内角是90︒，能整除360︒，能密铺，故B不符合题意；C．正八边形的每个内角为：1803608135︒−︒÷=︒，不能整除360︒，不能密铺，故C符合题意；D．正六边形的每个内角为120︒度，能整除360︒，能密铺，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是熟练掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360︒．【变式】（2022春·八年级单元测试）用正多边形来镶嵌平面的原理是共顶点的各个角之和必须等于360︒．现在有七种不同的正多边形：①正三角形、②正方形、③正六边形、④正八边形、⑤正十边形、⑥正十二边形、⑦正十五边形．请你用其中的不同的三种正多边形来镶嵌平面，这三种正多边形可以是：________．（请用序号表示，只需写出两种即可）【答案】①②③或①②⑥或②③⑥【分析】先分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形、正八边形的每个内角，然后根据平面镶嵌的条件解答即可．【详解】解：用公式()1802nn︒⨯−分别计算出正三角形的内角为60︒，正方形的内角为90︒，正六边形的内角为120︒，正八边形内角为135︒，正十边形的内角为144︒，正十二边形的内角为150︒，正十五边形的内角为156︒，∵609090120360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌；∵606090150360︒+︒+︒+︒=︒，∴正三角形、正方形、正十二边形可以进行平面镶嵌；∵90120150360︒+︒+︒=︒，∴正方形、正六边形、正十二边形可以进行平面镶嵌；故答案为：①②③或①②⑥或②③⑥．【点睛】本题主要考查了镶嵌的条件，镶嵌的条件是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360︒．【过关检测】一、单选题A．180︒B．360【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】解：由多边形的外角和等于360︒可知，123456360∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查的是多边形的外角和，掌握多边形的外角和等于360︒是解题的关键．2．（2023春·山东泰安·八年级校考期末）正多边形的内角和为720︒，则这个多边形的一个内角为（）A．90︒B．60︒C．120︒D．135︒【答案】C【分析】由正多边形的内角和为720︒，可得()2180720n−︒=︒，再求解n可得答案．【详解】解：∵正多边形的内角和为720︒，∴()2180720 n−︒=︒，解得：6n=，∴这个多边形的一个内角为720=1206︒︒；故选C【点睛】本题考查的是正多边形的内角和问题，熟记多边形的内角和公式与正多边形的定义是解本题的关键．3．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】A【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式和多边形的外角和都是360︒，列出方程即可求出结论．【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，()21802360n−⨯︒=⨯︒，解得：6n=，∴这个多边形为六边形．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．4．（2023春·浙江·八年级专题练习）一个多边形的每个内角都相等，这个多边形的外角不可能是（）A．30︒B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【分析】根据多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每一个外角均相等，根据外角和等于360︒即可求解．【详解】解：由题意得，多边形的每个内角都相等，∴这个多边形的每一个外角均相等．∴每一个外角的度数整除360︒，∵30︒、40︒、60︒均能整除360︒，50︒不能整除360︒，∴选项C 符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记知识点是解题关键． 5．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠等于（ ）A ．240︒B ．300︒C ．360︒D ．540︒【答案】C 【分析】连接BD ，根据四边形内角和可得360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠++∠+∠+∠=︒，再由“8”字三角形可得OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，进而可得答案．【详解】解：连接BD ，如图，∵360A ABO OBD BDO CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，OBD ODB E F ∠+∠=∠+∠，∴360A ABO E F CDO C ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，故选C ．【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键．6．（2022春·八年级单元测试）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2520，则原多边形的边数为（ ）A ．15或16B ．16或17C ．15或16或17D ．16或17或18【答案】C【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成()2180n −⋅︒（3n ≥且n 是正整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得()21802520n −⋅︒=︒，解得：16n =，则多边形的边数是15或16或17，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 7．（2023秋·广西钦州·八年级统考期末）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020︒；老师：不对呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒【答案】D【分析】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由多边形内角和定理可得等式：180(2)2020n x −=+，由n 为整数即可确定x 的值．【详解】设这个多边形的边数为n ，少加的角的度数为x ，由题意得：180(2)2020n x −=+，4013180xn +∴=+，由于n 为整数，x 为正数且小于180，40180x ∴+=，则140x =，故选：D ．【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．8．（2023·全国·八年级假期作业）已知一个多边形内角和为1080︒，则这个多边形可连对角线的条数是（ ）A ．10B ．16C ．20D ．40【答案】C【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．【详解】解：设这个多边形为n边形，由题意得，()180210802n⨯−=，∴8n=，∴这个多边形为八边形，∴这个多边形可连对角线的条数是()883202⨯−=，故选C．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是()32 n n−是解题的关键．9．（2023秋·八年级课时练习）一个多边形截去一角后，变成一个八边形，则这个多边形原来的边数是（）A．8或9B．7或8C．7或8或9D．8或9或10【答案】C【分析】画出所有可能的情况，即可作答．【详解】如图所示∴这个多边形原来是7边形或8边形或9边形故选C．【点睛】本题考查的知识点是多边形内角与外角，解题关键是注意分情况作答．二、填空题10．（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）若n边形的每个内角都是108，则边数n为___．【答案】5【分析】根据多边形的内角和公式()2180n︒−⋅列方程求解即可．【详解】解：由题意得， ()2180108n n ︒︒−⋅=⋅解得：5n =．故答案为：5．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键． 11．（2022春·八年级单元测试）如图是由射线AB 、BC 、CD 、DA 组成的平面图形，则1234∠+∠+∠+∠=______°．【答案】360【分析】根据多边形的外角和为360︒求解即可．【详解】解：由图可知，1∠、2∠、3∠、4∠为组成的四边形的外角，∴1234360∠+∠+∠+∠=︒，故答案为：360．【点睛】本题考查多边形的外角性质，熟知多边形的外角和为360︒是解题的关键．12．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，则n =___________．【答案】10【分析】由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案．【详解】解：∵一个正n 多边形的一个内角是它的外角的4倍，∴正多边形的每一个外角为：180365︒=︒，∴3601036n ︒==︒，故答案为：10．【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．13．（2023春·全国·八年级专题练习）若一个多边形的每个外角均为36︒，则这个多边形的内角和为_______度．【答案】1440【分析】依据多边形外角和为360︒求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为多边形的每个外角均为36︒，且外角和为360︒，所以这个多边形边数：3603610︒÷︒=，则这个多边形的内角和为：()1021801440−⨯︒=︒，故答案为：1440．【点睛】本题考查了多边形内角和公式、外角和为360︒；通过外角和求得边数是解题的关键．【答案】12【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，∴() 36052180n⨯=−⨯，解得：12n=，所以这个多边形的边数为12．故答案为：12．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键．15．（2023春·陕西西安·八年级西安行知中学校考阶段练习）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则它是____________边形．【答案】八【分析】多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的3倍，则多边形的内角和是()3603︒⨯度，根据多边形的内角和可以表示成()2180n−⋅︒，依此列方程可求解．【详解】解：设多边形边数为n．则() 36032180n⨯=−⋅，解得8n=．∴这个多边形是八边形．故答案为：八．【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．16．（2023·全国·八年级假期作业）一个n边形的所有内角和等于540︒，则n的值等于__．【答案】5【分析】已知n边形的内角和为540︒，根据多边形内角和的公式易求解．【详解】解：依题意有()2180540n−⋅︒=︒，解得5n=．故答案为：5．【点睛】主要考查的是多边形的内角和公式，本题的难度简单．掌握多边形的内角和为()2180n−⋅︒是解题的关键．【答案】1080°【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A ＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．【详解】解：连KF，GI，如图，。
(完整版)多边形及其内角和知识点
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。
拼成360度的角3、4。
知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。
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八年级上册数学知识点归纳：多边形及其内
角和
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
(1)多边形的一些要素：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
(2)在定义中应注意：
①一些线段(多边形的边数是大于等于3的正整数);
②首尾顺次相连，二者缺一不可;
③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间
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