最新人教版高中数学必修4第三章《简单的三角恒等变换》课后训练
高中数学必修四(人教B版)练习：第三章 三角恒等变换3.1.1 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高中数学(人教A版,必修四) 第三章 三角恒等变换 3.2 课时作业(含答案)
§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________； (2)C α2：cos α2＝____________________________； (3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( ) A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2C ．－1＋cos α2 D. 1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－1 B.1 C ．2 D ．－27．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________． 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )A.32 B ．－32C.13 D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．§3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)± 1－cos α2 (2)± 1＋cos α2(3)± 1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α 2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2点(a ，b ) 作业设计1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．] 3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4， ∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .] 5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45， ∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.] 7．π解析 f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π. 8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α. ∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45， 底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15. 由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75. ∴cos 2θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725. 11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2， 即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值． ∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z ) ∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313. ∴tan x ＝－32.] 14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
人教版高中数学必修四3.2简单的三角恒等变换(三)练习【教师版】.docx
简单的三角恒等变换（三）一、选择题 1、已知34tan -=α，则1tan()4απ+的值是 （ ）A ．－7B ．71-C ．7D ．71【答案】B【解析】411tan tan 1134tan()14471tan tan 1()143απαπαπ-+++===----⨯。
故选B 。
2．已知)2,(,53)cos(πππ∈=+x x ,则sin x = （ ）A ． 35-B ． 45-C ．35 D ． 45【答案】B【解析】∵3cos()5x π+=，∴3c o s 5x -=，即3c o s 5x =-；又(,2)x ππ∈，∴24sin 1cos 5x x =--=-。
故选B 。
3、函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T= （ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π 【答案】B【解析】21cos 21sin sin cos sin 222x y x x x x -=+=+ 21)42sin(2221)2cos 2(sin 21+-=+-=πx x x ， ∴最小正周期T=π．故选B 。
4．函数22cos ()14y x π=+-的一个单调递增区间是 （ ）A ．3(,)22ππB ．3(,)44ππC ．(,)22ππ-D ．(,)44ππ-【答案】B【解析】∵22cos ()1cos 2()cos(2)sin 2442y x x x x πππ=+-=+=+=-， ∴找原函数的单调递增区间，就是找x y 2sin =的单调递减区间； 而x y 2sin =在区间3(,)44ππ上是减函数， ∴故选B ．5．已知4tan 3θ=，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为 （ ） A ．31 B ．31-C ．7D ．7-【答案】C【解析】41sin cos tan 1374sin cos tan 113θθθθθθ+++===---．故选C 。
6．已知α是第二象限角，且53sin =α，则=α2tan （ ）A ．724B ．724-C ．247 D ．247-【答案】B【解析】 由α是第二象限角且53sin =α得4cos 5α=-；∴2524cos sin 22sin -==ααα，257sin cos 2cos 22=-=ααα；∴7242cos 2sin 2tan -==ααα．故选B ． 二、填空题7、把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ． 【答案】cos y x =【解析】把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得sin(2)2y x π=+，即cos 2y x =的图象，把cos 2y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到cos y x =的图象； 8、若角α的始边为x 轴非负半轴，顶点是原点，点(4,3)P -为其终边上一点，则cos2α的值为 ． 【答案】725【解析】由三角函数的定义知533)4(3sin 22=+-==r y α，4cos 5α=-；∴221697cos 2cos sin 252525ααα=-=-=． 9、已知()f x =x x x x x x cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos--，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时)(x f 的零点为 . 【答案】58x π=【解析】x x x f 2sin 2cos )(-==)42cos(2π+x ，令0)(=x f ，得)24c o s (2x +π=0，又,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 592444x πππ∴≤+≤，3242x ππ∴+=， ∴58x π=，即函数)(x f 的零点是58x π=10、已知函数()sin(),(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示，则函数()f x的解析式为 .【答案】()2sin()44f x x ππ=+ 【解析】由图像知 2.A = 8T =,28T πω==,4πω∴=,∴()2sin()4f x x πϕ=+；又图象经过点（－1，0）， ∴2sin()04πϕ-+=，∵2πϕ<，||,24ππϕϕ<∴=()2sin()44f x x ππ∴=+三、解答题11、已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （1）求()f x 的最大值及相应的x 的值； （2）若53)(=θf ，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换课后习题新人教A版必修4(2021年整理)
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3。
2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。
cos2的值为（)A.B。
C.D。
解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。
B.—C。
± D。
解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。
B.-C。
1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。
设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。
a〉b>c C。
a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。
人教版高中数学高一A版必修4课后训练 3.2简单的三角恒等变换
课后训练1．设5π<θ<6π，cos 2a θ=，则sin 4θ等于( )．A B C ． D ．2．若 sin (α－β)cos α－cos (α－β) sin α＝45，且3π(π,)2β∈，则cos 2β为( )．A ．5- B. ．5± C ．5- D ．5± 3．函数22ππcos ()sin ()11212y x x =-++-是( )． A ．周期是2π的奇函数 B ．周期是π的偶函数C ．周期是π的奇函数D ．周期是2π的偶函数4．函数y ＝2sin x ( sin x ＋cos x )的最大值是( )．A ．1+B 1-CD ．25. 22π(sincos )2sin ()2242ααα++-的值等于______． 6．(2011上海高考，理8)函数ππsin()cos()26y x x =+-的最大值为______． 7．已知θ为钝角，且ππ1cos()cos()448θθ-+=，求tan θ的值．8．已知函数2π()sin sin()2f x x x x ωωω=++ (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．已知OPQ 是半径为1 ，圆心角为θ的扇形，A 是扇形弧PQ 上的动点，AB ∥OQ ，OP 与AB 交于点B ，AC ∥OP ，OQ 与AC 交于点C .(1)如图①，当π2θ=时，求点A 的位置，使矩形ABOC 的面积最大，并求岀这个最大面积；(2)如图②，当π3θ=时，求点A 的位置，使平行四边形ABOC 的面积最大，并求岀这个最大面积．参考答案1. 答案：D解析：由2cos 12sin 24θθ=-，得21cos 2sin 42θθ-=又5π<θ<6π，∴21cos 2sin 42θθ-=，sin 04θ<，∴sin 4θ= D. 2. 答案：A解析：由题意， 4sin()5αβα--=， ∴4sin 5β=-， 又3π(π,)2β∈，∴3cos 5β=-， 由2cos 2cos 12ββ=-， 可得2311cos 15cos 2225ββ-+===. ∵3ππ2β<<，∴π3π224β<<，∴cos 02β<，∴cos 25β==-，故选A. 3. 答案：C 解析：22ππcos ()sin ()11212y x x =-++- ππ1cos(2)1cos(2)66122x x +--+=+- ππcos(2)cos(2)662x x --+= ππππcos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin 66662x x x x +-+=sin 22x =. ∵2ππ2=，且 sin (－2x )＝－ sin 2x .故选C. 4. 答案：A解析：2π2sin 2sin cos 1cos2sin 21)4y x x x x x x =+=-+=+-，∴max 1y =+ A.5. 答案：2 解析：原式＝π1cos()221sin 21sin 1sin 22αααα--++⋅=++-=. 6.答案：142+ 解析：π1ππcos cos()cos cos(2)6266y x x x ⎡⎤=-=+-⎢⎥⎣⎦1πcos(2)426x =+-. 当πcos(2)16x -=时，max 12y =+. 7. 解：由条件可知1cos24θ=. 又2θ∈(π，2π)，∴sin 2θ=∴sin 2tan 1cos25θθθ==-+. 8. 解：(1)1cos211()22cos222222x f x x x x ωωωω-=+=-+ π1sin(2)62x ω=-+. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2ππ2ω=，解得ω＝1. (2)由(1)得π1()sin(2)62f x x =-+.因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x -≤-≤.所以1πsin(2)126x -≤-≤. 因此，π130sin(2)622x ≤-+≤， 即f (x )的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解：(1)A 在PQ 的中点时，矩形ABOC 面积最大，最大面积为12.(2)连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为H ，在Rt △AOH 中，AH ＝sin α，OH ＝cos α，在Rt △ABH 中，tan 603AH BH==∴3BH α=，∴cos OB OH BH αα=-=-， 设平行四边形ABOC 的面积为S ，则2(cos )sin sin cos S OB AH αααααα=⋅=-=-11sin 2cos2)sin 226266αααα=--=+-1π(2cos2))22666ααα=+-=+-. 由于π03α<<，所以当ππ262α+=，即π6α=时，S =-=最大. ∴当A 是PQ 的中点时，平行四边形ABOC 的面积最大，最大面积为6.。
高中数学第三章三角恒等变换教材习题本新人教A版必修4
第三章 三角恒等变换P1461， 已知βα,都是锐角，()135cos ,54sin =+=βαα，求βsin 的值,2， 已知⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,0,43,4,131245sin ,534cos πβππαβπαπ，求()s i n αβ+=3， 已知βα,都是锐角，1010sin ,71tan ==βα，求()=+βα2tan4， 证明()()βαβαβαβα+-+=+tan tan tan tan tan tan 求000040tan 20tan 340tan 20tan ++的值 若43πβα=+，求()()βαtan 1tan 1--的值 求000040tan 20tan 120tan 40tan 20tan 0++的值5， 化简0010cos 310sin 1-()()310tan 40sin 00-()120tan 310cos 70tan 000-()0010tan 3150sin +6， 已知23,53cos πθπθ<<-=，求22cos 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θθ的值 已知512cos 2sin =-θθ，求θsin 的值 已知95cos sin 44=+θθ，求θ2sin 的值 已知532cos =θ，=+θθ44cos sin7已知()()53cos ,51cos =-=+βαβα，求tan tan αβ的值 8证明 ()()A AA A A 424tan 4cos 2cos 434cos 2cos 43sin sin cos 2sin 2sin 21tan 212sin cos 22sin 1cos 832cos 44cos =+++-=+-++=++=++αββααβαααααααα 9，已知函数()x x x y 22cos 2cos sin ++= 求它的递减区间求它的最大值和最小值10.已知函数x x x x y 44sin cos sin 2cos --=求y 的最小正周期 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求y 的最小值以及取得最小值时的x 的集合 11，已知函数)cos (sin sin 2x x x y +=求y 的最小正周期和最大值画出函数y 在区.2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ππ上的图形 12已知函数a x x x y ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=cos 6sin 6sin ππ的最大值为1 求常数a 的值 求使y ≥0成立的x 的取值范围13已知直线21//l l ，A 是21,l l 之间的一个定点，且A 点到21,l l 的距离分别为21,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AB AC ⊥，且使AC 与直线1l 交于点C ，求三角形ABC 面积的最小值B 组 已知πααα≤≤=-051cos sin ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-42sin πα的值 已知11sin sin ,cos cos 23αβαβ+=+=，求()βα-cos 的值 已知02,534sin 3sin <<--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπα，求αcos 的值 已知471217,534cos πππ<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值 已知βθθαθθ2sin cos sin ,sin 2cos sin ==+，求证βα2cos 2cos 422= 若函数m x x y ++=2cos 22sin 3在区间⎥⎦⎥⎢⎣⎢2.0π的最大值为6，求常数m 的值及函数当R x ∈时的最小值，并求相应的x 的值的集合在正方形ABCD 的边长为1，P,Q 分别为边AB,DA 上的点，当三角形APQ 的周长为2时，求角PCO 的大小已知()π,0,51cos sin ∈=+x x x ，求=x tan P139用αcos 表示2tan 2cos ,2sin222ααα 求证P A Q DCBA P C Q D OB ()()[]2cos 2sin 2sin sin sin sin 21sin sin φθφθφθβαβαβα++=+-++=求函数x x y cos 3sin +=的周期及最大值和最小值例题4、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形。
人教版高中数学必修四3.2简单的三角恒等变换(三)练习【学生版】
简单的三角恒等变换（三）一、选择题1、已知34tan -=α，则1tan()4απ+的值是（） A ．－7 B ．71- C ．7 D ．712．已知)2,(,53)cos(πππ∈=+x x ,则sin x =（） A ．35- B ．45-C ．35D ．45 3、函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T=（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π 4．函数22cos ()14y x π=+-的一个单调递增区间是（） A ．3(,)22ππB ．3(,)44ππC ．(,)22ππ-D ．(,)44ππ- 5．已知4tan 3θ=，则sin cos sin cos θθθθ+-的值为（） A ．31 B ．31- C ．7 D ．7-6．已知α是第二象限角，且53sin =α，则=α2tan （） A ．724 B ．724- C ．247 D ．247-二、填空题7、把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．8、若角α的始边为x 轴非负半轴，顶点是原点，点(4,3)P -为其终边上一点，则cos2α的值为 ．9、已知()f x =x x x x x x cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos --，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时)(x f 的零点为 .10、已知函数()sin(),(0,0,,)2f x A x A x R πωϕωϕ=+>><∈的图象的一部分如下图所示，则函数()f x 的解析式为 .三、解答题11、已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （1）求()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）若53)(=θf ，求πcos 224θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4(2021年整理)
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3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。
错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。
错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。
错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。
错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。
人教版数学高一必修四练习第3章第8课时简单的三角恒等变换习题课
高中数学-打印版第三章 第 8 课时一、选择题1．若 2sin x＝1＋cos x，则 tan x2的值等于()A.12B. 12或不存在C．2D．2 或12【答案】B【解析】4sinx 2cosx2＝2cos2x2，∴cosx 2＝0 或 tanx2＝12，即 tanx2＝12或不存在．故选B.2．若 θ∈ π4 ，π2 ，sin 2θ＝116，则 cos θ－sin θ 的值为()A．－34B.34C．－15 4D.15 4【答案】C 【解析】θ∈π 4，π 2， ∴ cos θ － sin θ<0. ∴ cos θ － sin θ ＝ －cos θ－sin θ 2＝－ 1－sin 2θ＝－ 415.故选 C.3．已知 cos α－π6 ＋sin α＝4 5 3，则 sin α＋7π6 的值是()A．－2 5 3B.2 5 344C．－5D.5【答案】C【解析】由 cos α－π6 ＋sin α＝4 5 3，得 23cos α＋32sin α＝4 5 3，∴sin απ ＋64 ＝5.∴sinα＋76π＝－sinα＋π64 ＝－5.故选 C.4．当 y＝2cos x－3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( )精心校对完整版高中数学-打印版A.32B．－32C. 13D．4【答案】B【解析】y＝2cos x－3sin x＝ 13sin(x＋φ)的最大值为 13，又 sin2x＋cos2x＝1，∴tanx＝scionsx3 x＝－2.二、填空题 5．已知函数 f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则 f(x)的最小正周期是______________．【答案】π【解析】f(x)＝sin2x－sinxcosx＝1－c2os2x 1 －2sin2x＝12－2 2 sin2x＋π4，∴T＝π.sin α＋β mtan β6．如果sin α－β ＝n，那么tan α等于________．【答案】mm－ ＋nnsin 【解析】sinα＋β α－βsin ＝sinαcos αcosβ＋cos β－cosαsin αsinβ tan β＝tanα＋tan α－tanββ＝mn，所以(m＋n)tan β＝(m－n)tan α，ttaann βα＝mm－ ＋nn.三、解答题7．已知 cosα－sinα＝352 ：(1)求 m＝co1s5sαin＋2πα4 的值；(2)若函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称且 f(－1)＝320，试求 f(m)的值．【解析】(1)由已知 cos α－sin α＝3 5 2，得 cos α＋π4 ＝35，sin 2α＝－cosπ2 ＋2α ＝1－2cos2 α＋π4 ＝275，∴m＝co1s5sαin＋2πα4 ＝7.(2)由题意，函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，∴f(3＋x)＝f(3－x)，∴f(m)＝ f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.8．设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(m，cos 2x)，b＝(1＋sin 2x,1)，x∈R 且 y＝f(x)精心校对完整版高中数学-打印版的图象经过点 π4 ，2 .(1)求实数 m 的值；(2)求函数 f(x)的最小值及此时 x 值的集合．【解析】(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sin 2x)＋cos 2x.由已知 fπ 4＝2，即 mπ 1＋sin 2＋cos π2 ＝2，∴m＝1.(2)由(1)，得 f(x)＝1＋sin 2x＋cos 2x＝1＋ 2sin 2x＋π4 .∴sin 2x＋π4 ＝－1 时，f(x)的最小值为 1－ 2.由 sin 2x＋π4 ＝－1，得 x 值的集合为{x|x＝kπ－38π，k∈Z}.精心校对完整版。
高中数学必修4(人教B版)第三章三角恒等变换3.3知识点总结含同步练习题及答案
4. 若 cos x cos y + sin x sin y =
答案： 解析：
2 3 1 2 cos (x − y) = ， sin 2x + sin 2y = 2 sin (x + y) cos (x − y) = 2 , 故 sin (x + y) = ． 2 3 3
1 2 ，sin 2x + sin 2y = ，则 sin (x + y) = 2 3
1 [cos(α + β) + cos(α − β)]， 2 1 sin α sin β = − [cos(α + β) − cos(α − β)]， 2 1 cos α sin β = [sin(α + β) − sin(α − β)]， 2 1 sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)]． 2 cos α cos β =
例题： （1）把 cos(x − y) cos(x + y) 化为和差的形式； （2）求 sin 15∘ sin 75∘ 的值； （3）求sin 解：（1）
π 5 ⋅ cos π 的值． 12 12
原式 =
1 {cos[(x − y) + (x + y)] + cos[(x − y) − (x + y)]} 2 1 = [cos 2x + cos (−2y)] 2 1 1 = cos 2x + cos 2y. 2 2
（2） 原式 =
1 π 2π π 4π π 6π × (2 sin cos + 2 sin cos + 2 sin cos ) 7 7 7 7 7 7 2 sin π 7 1 3π π 5π 3π 7π 5π = − sin ) + (sin − sin ) + (sin − sin )] π × [(sin 7 7 7 7 7 7 2 sin 7 1 π = ) π (sin π − sin 7 2 sin 7 1 =− . 2
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课后训练
1．tan 10°tan 20°
(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A
B ．1 C
D 2
．若函数f (x )＝(1x )cos x,0≤x ＜π
2
，则f (x )的最大值是( ) A ．1
B ．2 C
D
3．设函数f (
x )＝2cos 2x 2x ＋a (a 为实常数)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为－4，那
么a 的值等于( )
A ．4
B ．－6
C ．－4
D ．－3
4．函数y ＝2sin x (sin x ＋cos x )
的最大值是( )
A
． B
1
C D ．2
5．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1
6．2
2πsin
cos
2sin 2242α
αα⎛
⎫
⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的值等于______．
7．已知：πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π5πsin cos 66αα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．
8．设α是第二象限角，且cos 2α
=则2α是第__________
象限角． 9．已知tan 2θ＝-，π
＜2θ＜2π，求22cos sin 1
2π4θ
θθ--⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭．
10．已知函数f (x )＝ππsin 2sin 233x x ⎛⎫⎛
⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭＋2cos 2x －1，x ∈R ．
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的最大值和最小值．
参考答案
1答案：B 解析：原式＝tan 10°tan 20°
(1－tan 10°·tan 20°)＝1． 2答案：B 解析：f (x )＝(1
x )cos x
＝1 x +
x ＋cos x ＝2sin x ＋
π6
． ∵0≤x ＜
π2，∴ππ2
π663x ≤+<， ∴当ππ
62
x +=时，f (x )取到最大值2．
3答案：C 解析：f (x )＝2cos 2x
x ＋a ＝1＋cos 2x
x ＋a ＝2sin2x ＋
π
6
＋a ＋1．当x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，∴f (x )min ＝2·－1
2＋a ＋1＝－4．∴a ＝－4． 4答案：A 解析：y ＝2sin 2x ＋2sin x ·cos x ＝1－cos 2x ＋ sin 2x
＝π24x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
，∴y max
＝A ．
5答案：C 解析：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0．
6答案：2 解析：原式＝1＋sin α＋2·
π1cos 22
α⎛⎫-- ⎪
⎝⎭
＝1＋sin α＋1－sin α＝2．
7
解析：∵22ππsin 1cos 66αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝2
213-=⎝⎭
， 5ππcos cos π66
αα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
＝πcos 6α⎛⎫
--=
⎪⎝⎭
∴2π5π2
sin cos 663αα⎛⎫⎛⎫--+=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 8答案：三 解析：2k π＋π
2
＜α＜2k π＋π，
∴ππ
ππ422k k α+<<+(k ∈Z )．
∴2α
为第一、三象限角，又cos 2α===， ∴cos 02α<，即2
α
为第三象限角．
9答案：
解：
2
2cos sin 1
cos sin 1tan 2
πcos sin 1tan 4θ
θθθθ
θθθ
θ----=
=
+++
， ∵tan 2θ
＝-，
∴2
2tan 1tan θ
θ
=--
2θ－tan θ
0．
∴tan 2θ
－2
tan θ－1＝0．
∴tan θ
tan θ
＝∵π＜2θ＜2π，
∴π
2
＜θ＜π，∴tan θ＜0． ∴tan θ
＝2-．∴
1- 10答案：解：(1)f (x )＝sin 2x πcos 3＋cos 2x πsin 3＋sin 2x πcos 3－cos 2x π
sin 3＋cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x
π24x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π．
(2)因为f (x )在区间ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间ππ,84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数，
又π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－1
，π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π14f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
故函数f (x )在区间ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
1．。