第2章 第6讲 一元二次方程及其应用
北师版九年级数学上册 第二章 一元二次方程 应用一元二次方程 第2课时 利用一元二次方程解决营销问题
(2)2018年丙类芯片的产量为3x＋400＝1600(万块)，设丙类芯片的产量 每年增加的数量为y万块，则1600＋1600＋y＋1600＋2y＝14400，解得y ＝3200，∴丙类芯片2020年的产量为1600＋2×3200＝8000(万块)，2018 年HW公司手机产量为 2800÷10%＝ 28000(万部)，由题意得400(1＋ m%)2＋2×400(1＋m%－1)2＋8000＝28000×(1＋10%)，设m%＝t，化 简得3t2＋2t－56＝0，解得t＝4或t＝－(舍去)，∴t＝4，即m%＝4， ∴m＝400.答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m的值为400
10．(教材P55习题1变式)某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元， 若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1080元，则每件应 降价__2_或__1_4__元．
11．(宜宾中考)某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元，经市场 预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降10%，第二季度又将回升5%. 若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x， 根据题意可列方程是____6_5_×__(_1_－__1_0_%__)_×__(_1_＋__5_%__)－__5_0_(_1_－__x_)_2＝__6_5_－__5_0____．
2．某电商平台上的一家食品旗舰店将进货单价为15元/千克的饼干按16元/ 千克出售时，每天可销售100千克，按市场规律，饼干每千克提价1元，其 销售量就减少5千克，如果此店每天销售这种饼干要获取利润270元，并且 销售量较高，则把饼干的出售价定为每千克( D ) A．20元 B．15元 C．16元 D．18元
50%)3＝128×287 ＝432＜500，答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次
九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程
x 2 1 0 0 2 (3 0 0 2 x )2 ,
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自主 探究 (zìzhǔ)
1.现有(xiàn yǒu)长方形塑料片一块，长19cm,宽15cm,给你锋利 小刀一把，粘胶、直尺、你能做一个底面积为77cm2的无
盖的长方体水槽吗？说说你是怎样做的？
（四个角裁掉边长为4cm的正方形） 第九页，共十五页。
2.如图，一个院子长10m，宽8m，要 在它的里面沿三边辟出宽度相等的花 圃(huāpǔ)，使花圃(huāpǔ)的面积等于院子 面积的30%，试求这花圃的宽度.
解:设这花圃的宽度(kuāndù)为x，依题意，得
( 1 2 0 x ) ( 8 x ) 1 8 0 ( 1 3 % 0
（花圃(huāpǔ)的宽度为1m）
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增长率问题
问题2：阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番， 那么(nàme)这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
Image
12/11/2021
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例 2新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查 发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当 销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台.商场要想 使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的 定价应为多少元？
分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润平均每天销售冰箱的数量5000元.
应用 一元二次方程 6
2014中考数学复习课件6一元二次方程及应用-第一轮复习第二单元方程(组)和不等式(组)
4．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2＋2ax＋b＝0 的 两根， 且 x1＋x2＝3， x1x2＝1， 则 a， b 的值分别是( A．a＝－3，b＝1 3 C．a＝－ ，b＝－1 2 B．a＝3，b＝1 3 D．a＝－ ，b＝1 2 D )
解析： 由根与系数的关系，得 x1 ＋ x2 ＝－ 2a ， 3 x1x2＝b，∴a＝－ ，b＝1.故选 D. 2
第6 讲
一元二次方程及其应用
·新课标
第6 讲
一元二次方程及其应用
│考点随堂练│
考点1 一元二次方程的概念及一般形式
一 1.定义:含有________ 个未知数，并且未知数最高次数是 ________ 的整式方程 2
2 ax ＋bx＋c＝0(a≠0) 2.一般形式:
在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0 另外： a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项.
应用类型 增长率 问题 利率 问题 销售利 润问题 等量关系 (1)增长率＝增量÷ 基础量； (2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数， b 为增长后的量，则____________ a(1＋m)n＝b ，当 m 为平均下降率 时为____________ a(1－m)n＝b (1)本息和＝本金＋利息； (2)利息＝____________________ 本金×利率×期数 (1)毛利润＝售出价－进货价； (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用； (3)利润率＝利润÷ 进货价
热身考点4
一元二次方程根与系数的关系
已知一元二次方程 x2－6x－5＝0 的两根分别为 a， 1 1 6 b，则 ＋ 的值是－ a b 5 .
解析：由根与系数的关系，得 a＋b＝6，ab＝－5. 1 1 a＋b 6 6 所以 ＋ ＝ ＝ ＝－ . a b ab －5 5
第6讲 一元二次方程及其应用
①b＝2，c＝1;②b＝3，c＝1;③b＝3，c＝－1;④b＝2，c＝2.
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解:由题意可知，只能选择条件②③.
选择条件②的解答:
选择条件②，得一元二次方程为x2＋3x＋1＝0，解得x
−3+ 5
，
1＝
2
−3− 5
x2＝
.
2
选择条件③的解答:
选择条件③，得一元二次方程为x2＋3x－1＝0，解得x1＝
手(送礼物)问题;③降价增量问题;④利用勾股定理解决的几何问
题;⑤面积问题.
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5.一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1＋
－
x2＝_________，x
1·x2＝_______.
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类型一
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一元二次方程的有关概念
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变式4－1 [2024·牡丹江]一种药品原价每盒48元，经过两次降
价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率
为( C )
A.20%
B.22%
C.25%
D.28%
【解析】 设每次降价的百分率为x，
由题意，得48(1－x)2＝27，
1
7
解得x1＝ ＝25%，x2＝ (舍去)，
1
1
又∵ ＋ ＝3，
1
2
1 +2
−2
∴
＝3，即 ＝3，
1 2
2
解得p＝－ .
3
第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
沪教版(上海)八年级第一学期同步第6讲：一元二次方程的概念及其解法(一)-教师版
一元二次方程概念及解法（一）内容分析一元二次方程概念及解法是八年级数学上学期第二章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法解一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法解一元二次方程．通过这节课的学习一方面为我们后期学习因式分解法，配方法，公式法解一元二次方程提供依据，另一方面也为后面学习函数奠定基础．知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲1/ 292 / 291 一元二次方程的概念1.1整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程． 1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）2239x y +=； （2）()()233x x x x --=-； （3）()()3210x x --=； （4）242=0x -； （5）2322x x -=； （6）20,ax b +=（,a b 为已知数）；（7）23+222x y y +=．【难度】★【答案】（3）（7）是一元二次方程，其它都不是．【解析】（1）中两个未知数，是二元二次方程；（2）中对式子进行整理，两边2x 项都消去了，剩下9x -=-，为一元一次方程；（4）是分式方程；（5）是无理方程；（6）中未明 确说明0a ≠，不可判定为一元二次方程；（7）化简即为2320x +=，是一元二次方程．【总结】考查一元二次方的判定，从定义出发，有一个前提，先将方程化成一般形式才可以．【例2】 判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程．例题解析3 / 29（1） 2223ax x x x b c -+=（,,a b c 为有理数）；（2） ()2123513m m m x x ++-+=．【难度】★【答案】（1）3a ≠3a =-时，不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程．【解析】（1）首先将方程整理成一般形式，即为：((23120a x x b c +-+-=，根据二次项系数是否为0进行分类讨论，可知：30a ，即3a ≠- 次方程；30a ，即3a =-时，不是一元二次方程；（2）12m +≠时，显然不是一元二次方程；12m +=，即1m =时，此时二次项系数 2230m m +-=，也不为一元二次方程；可知方程（2）不是一元二次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【例3】 m 为何值时，关于x 的方程2(2)(3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 【难度】★【答案】2m =-【解析】方程为一元二次方程，则有22m =，同时20m ≠，可得2m =-【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．4 / 29【例4】 当m 取何值时，方程()11320m m x x +-+-=是一元二次方程．【难度】★★【答案】1m =-．【解析】方程为一元二次方程，则有12m +=，同时10m -≠，可得1m =-．【总结】方程为一元二次方程，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．【例5】 关于x 的方程()2212(1)220k x k x k -+-++=． （1） 当k 取何值时，方程为一元二次方程？（2） 当k 取何值时，方程为一元一次方程？【难度】★★【答案】（1）1k ≠±时，原方程是一元二次方程；（2）1k =-时，原方程是一元一次方程．【解析】（1）210k -≠，即1k ≠±时，原方程是一元二次方程；（2）210k -=，即1k =±时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有 ()210k -≠，可知1k ≠，则1k =-，即1k =-时，原方程是一元一次方程．【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．5 / 29【例6】 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【难度】★★【答案】3a ≠．【解析】对方程进行整理，即为：()2310a x ax --+=，方程为一元二次方程，则有30a -≠， 即3a ≠，由此确定a 的取值范围为3a ≠．【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．师生总结1、一元二次方程的二次项系数为什么不能为0？2、怎样判断一个方程为一元二次方程？6 / 291、一元二次方程一般式的概念任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a ++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax 叫做二次项，a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项．例题解析知识精讲 模块二：一元二次方程的一般式7 / 29【例7】 把下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项和各项的系数．（1）2632x x =+； （2）()2134x x x -=-； （3） ()2322y y +=+；（4） 22(32)0x a x a b b --+-=．【难度】★【答案】略．【解析】（1）方程一般形式为26320x x --=；方程二次项为26x ，二次项系数为6；一次 项为3x -，一次项系数为3-；常数项为2-；（2）方程一般形式为22540x x -+=；方程二次项为22x ，二次项系数为2；一次项为5x -， 一次项系数为5-；常数项为4；（3）方程一般形式为222230y y -+-=；方程二次项为22y ，二次项系数为2；一次 项为3x -，一次项系数为3-；常数项为2-；（4）方程一般形式为222320x ax a ab b -+--=；方程二次项为2x ，二次项系数为1；一次 项为3ax -，一次项系数为3a -；常数项为()222a ab b --． 【总结】考查一元二次方程一般式的概念，一般尽量使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号．师生总结1、一元二次方程的一般式是什么？【例8】若一元二次方程222-+++-=的常数项为零，则m的值为(2)3(15)40m x m x m_________．【难度】★★【答案】2-．【解析】常数项为0 ，即240m-=，可得2m=±，同时方程为一元二次方程，可知20m-≠，由此得2m=-．【总结】考查一元二次方程常数项的相关概念，要注意题目的隐含条件．【例9】已知关于x方程235-+-=的各项系数与常数项之和为2，求m的值．x mx m x【难度】★★8/ 299 / 29【答案】2m =-．【解析】整理方程得()2530x m x m -+--=，化为一般形式即为()2530x m x m +-+=，方程的各项分别为2x ，()5m x -，3m ，其中未知项系数分别为1，()5m -，依题意即有 ()1532m m +-+=，解得：2m =-．【总结】考查一元二次方程的一般形式中相关项的概念，注意先将方程整理成一般形式，使二次项系数为正数，然后进行相关说明和计算．知识精讲模块三：一元二次方程的解10 / 291、一元二次方程的概念能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．【例10】判断2、5、-4是不是一元二次方程28x x x +=-的根．【难度】★【答案】2、4-是原方程的根，5不是．【解析】（1）将2x =代入原方程，左边2226=+=，右边826=-=，左边=右边，所以2 是原方程的根； （2）将5x =代入原方程，左边25530=+=，右边853=-=，左边≠右边，所以5是原方 程的根；（3）将4x =-代入原方程，左边()()24412=-+-=，右边()8412=--=，左边=右边，所以4-是原方程的根．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，检验过程注意相关格式规范．例题解析【例11】判断方程后面括号里的数是否为方程的根．（1）21223(2)2x x -=-，，；（2）()2(23)333x -=-，，．【难度】★【答案】（1）12-，2是原方程的根；（2）3是原方程的根，3-不是原方程的根．【解析】（1）将12x =-代入原方程，左边2132222⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，右边13322⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭，左边=右边，所以12-是原方程的根；将2x =代入原方程，左边22226=⨯-=，右边326=⨯=，左边=右边，所以2是原方程的根；（2）将3x =代入原方程，左边()22333=-=，右边3=，左边=右边，所以3是原方程的根；将3x =-代入原方程，左边()223327=--=，右边3=，左边≠右边，所以3-不是原方程的根．【总结】考查方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，注意相关格式规范．师生总结1、什么是一元二次方程的根？2、如何判断一个数是否为一元二次方程的根？【例12】已知关于x 的一元二次方程()2110a x x a -++-=有一个根为0，求a 的值．【难度】★★ 【答案】1a =-．【解析】将0x =代入原方程，即得10a -=，解得1a =±，同时方程为一元二次方程，故10a -≠，由此可得：1a =-．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【例13】已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，有一个根为1-，求a c +的值．【难度】★★ 【答案】0．【解析】由题意代入可得：00a b c a b c ++=⎧⎨-+=⎩，由此0a c +=．【总结】考查方程的根的应用，注意整体思想的把握．师生总结1、如何判断一个一元二次方程有一个根为0，有一个根为1，有一个根为？【例14】已知关于x 的一元二次方程()22222340m x m x m +++-=有一个根为0，求22413m m -+的值．【难度】★★ 【答案】13．【解析】将0x =代入原方程，即得240m -=，解得2m =±，同时方程为一元二次方程，故()220m +≠，由此可得：2m =，原式=222421313⨯-⨯+=．【总结】考查方程的根的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，代入可使得等式成立，过程中注意隐含条件二次项系数不能为0．【例15】若在一元二次方程20ax bx c ++=中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是．【难度】★★ 【答案】1．【解析】依题意即有0a b c ++=，可知方程必有一根为1．【总结】考查方程的根的应用，注意观察方程的相同之处和相关有特征的方程．【例16】已知方程2310ax bx --=和2250ax bx +-=有共同的解1-，求a 与b 的值．【难度】★★【答案】1a =，2b =-．【解析】方程有共同的解1-，依题意有310250a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩．【总结】考查方程的根的应用，可转化为相关未知数的值的求解．模块四：直接开平方法知识精讲1、直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负的常数，那么就可以用直接开平方法求解，这种方法适合形如()()20x h k k +=≥的形式求解．【例17】 解关于x 的方程：290x -=．【难度】★【答案】13x =，23x =-．【解析】整理方程，即得29x =，直接开平方法解方程，得：9x =±，即方程两根为13x =，23x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x a =±．【例18】 解关于x 的方程：251250x -=．【难度】★【答案】15x =，25x =-．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：25x =±例题解析即方程两根为15x =，25x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x a =±【例19】解关于x 的方程：296250x =．【难度】★ 【答案】153x =，253x =-． 【解析】整理方程，即得2625259x ==，直接开平方法解方程，得：259x =±即方程两根为153x =，253x =-． 【总结】直接开平方法解形如()20x a a =≥方程两根即为x a =±【例20】解关于x )222592x -=【难度】★★【答案】14x =，21x =． 【解析】整理方程，即得()2922592x -=，直接开平方法解方程，得：2593x -=±±，得253x -=或253x -=-，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例21】解关于x 的方程：()21342x +=．【难度】★★【答案】1322x =-+，2322x =--．【解析】整理方程，即得()238x +=，直接开平方法解方程，得3822x +=±=±，得322x +=或322x +=-，即方程两根为1322x =-+，2322x =--．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=或ax b h +=-．【例22】解关于x 的方程：()2422360x --=．师生总结1、直接开平方法适用于那种形式的一元二次方程求解？对于一般的一元二次方程我们能不能直接应用开平方法求解？【难度】★★ 【答案】152x =，22x =． 【解析】整理方程，即得)2362294x -==223x -=±，223x -=223x -=-，即方程两根为1522x ==，222x ==． 【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例23】解关于x 的方程：22(31)85x +=．【难度】★★ 【答案】1251x -=2251x --= 【解析】整理方程，即得()25831202x ⨯+==，直接开平方法，得312025x +=±=±，则3125x +=3125x +=-，即方程两根为1251x -=，2251x --= 【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例24】解关于x 的方程：()223x a -=．【难度】★★【答案】13x a =+，23x a =-．【解析】直接开平方法解方程，即得23x a a -==±，则3x a -=或3x a -=-，即方程两根为13x a =+，23x a =-．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b h +=ax b h +=-【例25】解关于x 的2220x kx --=．【难度】★★【答案】212x k k =++222x k k =-+【解析】整理方程，得22222x kx k k -+=+，即()222x k k -=+，直接开平方法解方程，即得22x k k -=+212x k k =++222x k k =+【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=≥的方程，将()ax b +当作一个整体，本题实际上介绍后面要学习的配方法解方程，可得ax b h +=ax b h +=【例26】解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【难度】★★★【答案】11x =，21x =-．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=-+，即得方程两根为11x =，21x =-．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．【例27】解关于x 的方程： ()()22425931x x -=-．【难度】★★★ 【答案】1135x =，2713x =-． 【解析】整理方程，即为()()22225331x x -=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，即得 ()()225331x x +=±-，得()()225331x x +=-或()()225331x x +=--，解得方程两根分为1135x =，2713x =-． 【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．【例28】解关于x 的方程：()2222x a a ab b -=++．【难度】★★★【答案】12x a b =+，2x b =-．【解析】整理方程，即为()()22x a a b -=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b -=±+，得：x a a b -=+或()x a a b -=-+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =-．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±．【习题1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）2160x -=；（2）10x x-=； （3）2340y y -=；（4）213103x x -+=；（5）()()()142x x x x ++=-；（6）()()3340x x +-+=．【难度】★【答案】（1）（3）（4）（6）是一元二次方程，（2）（5）不是一元二次方程．【解析】（1）（3）（4）（6）可根据一元二次方程的定义判定得是一元二次方程；（2）是分式方程，故不是一元二次方程，（5）化作一般形式后即为740x +=，是一元一次方程， 也不是一元二次方程．【总结】考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，同时二次项系数不能为0，注意一定要将方程化作最简形式以后再考虑是否为一元二次方程．【习题2】 将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．（1）2435x x -=；（2）()()22831x x x ++=-；随堂检测（3）3(1)2(1)8x x x -=++； （4）2(3)3y y -=-；（5）234x x =+；（6）26y y =．【难度】★ 【答案】略．【解析】（1）方程一般形式为25430x x -+=；方程二次项为25x ，二次项系数为5；一次项为4x -，一次项系数为4-；常数项为3；（2）方程展开即为224833x x x ++=-，整理为方程一般形式为235120x x --=；方程二次项为23x ，二次项系数为3；一次项为5x -，一次项系数为5-；常数项为12-；（3）方程展开即为233228x x x -=++，整理为方程一般形式为235100x x --=；方程二次项为23x ，二次项系数为3；一次项为5x -，一次项系数为5-；常数项为10-；（4）方程一般形式为22630y y -+=；方程二次项为22y ，二次项系数为2；一次项为6y -，一次项系数为6-；常数项为3；（5）方程一般形式为2430x x +-=；方程二次项为2x ，二次项系数为1；一次项为4x ，一次项系数为4；常数项为3-；（6）方程一般形式为260y y -=；方程二次项为2y ，二次项系数为1；一次项为6y -，一次项系数为6-；常数项为0．【总结】考查一元二次方程一般式的概念，注意使二次项系数为正数，同时讨论相关项和系数时要注意带上前面的符号，不存在的项表示该项为0．【习题3】 关于x 的方程()22210mm x mx --++=是一元二次方程，求m 的值．【难度】★★ 【答案】2m =-．【解析】依题意可得222m -=，解得2m =±，同时方程为一元二次方程，则有20m -≠，由此可得2m =-．【总结】考查一元二次方程的相关定义，同时注意二次项系数不能为0的隐含条件．【习题4】 关于x 的方程()221310k x x k -++-=有一个根为0，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】1k =-．【解析】方程有一根为0，代入即得210k -=，解得1k =±，同时方程为一元二次方程，则有10k -≠，由此可得1k =-．【总结】考查一元二次方程根的定义，同时注意方程为一元二次方程的隐含条件．【习题5】 已知关于x 的一元二次方程2320x mx m -+-+=的各项系数和为5，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】3m =．【解析】将方程化为一般形式，即为2320x mx m -+-=，依题意有()()1325m m +-+-=，解得3m =．【总结】考查一元二次方程的各项系数的定义的认识，先要化作一般形式，其一般形式二次项系数必为正数，同时注意要带上各项前面的符号．【习题6】 用开平方法解下列方程：（1）2641x =；（2）27210x -+=；（3）21802x -=；（4）2361y =；（5）()()224319310x x --+=；（6）)2226x -=．【难度】★★ 【答案】（1）118x =，218x =-；（2）13x =23x =- （3）14x =，24x =-； （4）116y =，216y =-； （5）153x =-，2115x =-； （6）123x =223x =【解析】（1）整理方程，得2164x =，直接开平方法解方程，得方程两根为118x =，218x =-； （2）整理方程，得22137x ==，直接开平方法解方程，得方程两根为13x =23x =- （3）整理方程，得216x =，直接开平方法解方程，得方程两根为14x =，24x =-；（4）整理方程，得2136y =，直接开平方法解方程，得方程两根为116y =，216y =-； （5）整理方程，得()()22231331x x -=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，直接开平方法解方程，将两边底数当做一个 整体，即得()()231331x x -=+或()()231331x x -=-+，分别解两方程，即得方程两根分别为153x =-，2115x =-；（6226x -=226x -=-分别解两方程，即得方程两根分别为126232x +=226232x -=【总结】解决形如()()20ax b h h +=≥的方程用直接开平方法，可得ax b h +ax b h +=-【习题7】 已知关于x 的方程：()()()231150m m x m x +-+-+=．（1） 当m 取何值时，方程是一元二次方程？ （2）当m 取何值时，方程是一元一次方程？【难度】★★★【答案】（1）3m ≠-且1m ≠时，原方程是一元二次方程； （2）3m =-时，原方程是一元一次方程．【解析】（1）()()310m m +-≠，即3m ≠-且1m ≠时，原方程是一元二次方程；（2）()()310m m +-=，即3m =-或1m =时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有10m -≠，可知1m ≠，则3m =-，即3m =-时，原方程是一元一次方程． 【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．【作业1】 判断下列方程是否为一元二次方程． （1）2235x =+； （2）250x x -=； （3）2230x xy --=；（4）5x x +=； （5）22(3)21x x x -=+；（6）133x x x+=-； 课后作业（7）2()10abx a b x +++=； （8）23340x x -+=．【难度】★【答案】（2）（8）为一元二次方程，其它均不是．【解析】根据一元二次方程的定义，可判断（2）（8）是一元二次方程；（1）是分式方程， 不是一元二次方程；（3）含有两个未知数，是二元二次方程；（4）是无理方程；（5）整 理即为610x --=，是一元一次方程，不是一元二次方程；（6）是分式方程，不是一元二次方程；（7）未明确说明二次项系数ab 是否为0 ，也不能判定为一元二次方程．【总结】考查一元二次方程的概念，强方程整理成一般形式后，只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，同时要求二次项系数不能为0．【作业2】 （1）关于x 的方程()23120k x x k --+=，当k，方程为一元二次方程．（2）关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m 为一元一次方程；当m时为一元二次方程．【难度】★【答案】（1）13≠；（2）1=，1≠．【解析】（1）13103k k -≠⇒≠； （2）101m m -=⇒=；101m m -≠⇒≠．【总结】考查一元二次方程的存在性问题，二次项系数不为0时方程为一元二次方程；二次项系数为0且一次项系数不为0时方程为一元一次方程．【作业3】 关于x 的方程(21330mm x x ---+=是一元二次方程，求m 的值？【难度】★ 【答案】3m =-．【解析】依题意得212m -=，解得3m =，同时方程为一元二次方程，则有30m ≠，由此可得3m =．【总结】考查一元二次方程的相关定义，同时注意二次项系数不能为0的隐含条件．【作业4】 已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【难度】★★ 【答案】1a ≠±．【解析】展开方程，整理即得()2221240a x ax a --+-=，方程为一元二次方程，则有210a -≠，由此可得的取值范围为1a ≠±．【总结】考查一元二次方程的存在性，先整理成一般形式20ax bx c ++=，再确定相应的二次项系数不为0．【作业5】 用开平方法解下列方程：（1）()232x +=；（2）()23120x +-=；（3）()23210x --=；（4）()242510x +-=；（5）()222312x -=； （6）()(22212x =+；（7）()23127y -=；（8）()()111x x -+=．【难度】★★【答案】（1）132x =-+232x =-2）112x -+，212x --=； （3）113x +=，213x -= （4）194x =-，2114x =-；（5）13223x +=，23223x -；（6）11x =，2122x =-- （7）14y =，22y =-； （8）12x =22x =-【解析】（1）直接开平方法解方程，得32x +=±即得方程两根为132x =-+232x =--（2）整理方程，得()2312x +=，直接开平方法解方程，得312x +=，分别解得方程两根为112x -+=，212x --； （3）整理方程，得()2213x -=，直接开平方法解方程，得213x -=±根为113x +=，213x -=（4）整理方程，得()21254x +=，直接开平方法解方程，得112542x +=±=±，即1252x += 或1252x +=-，分别解得方程两根为194x =-，2114x =-；（5）整理方程得)2236x -=236x -=±，即236x -=或236x -=-，分别解得方程两根为13632232x ++=，23632232x --=； （6）将左边底数当作未知数，直接开平方法解方程，即得212x(212x -+，分别解两方程，即得方程两根分别为为11x =，1122x =--（7）整理方程，得()219y -=，直接开平方法解方程，得193y -=±=±，分别解得方程两根为14y =，22y =-；（8）方程左边展开，整理方程，得22x =，直接开平方法解方程，可得方程两根分别为12x =22x =-【总结】解决形如()()20ax b h h +=≥的方程用直接开平方法，可得ax b h +或ax b h +=-。
南通市第七中学九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决利润增长
6．利用因式分解法解方程： (1)(巴中中考)3x(x－2)＝x－2；
解：x1＝2，x2＝13
(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0. 解：x1＝3，x2＝35
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，则 x2＋y2 的值为( B )
A．－1
B．2
C．2 或－1 D．－2 或－1
(2)(3x－1)2＝(3－2x)2 ; 解：x1＝45 ，x2＝－2
(3)6x＋15＝2x(2x＋5) ; 解：x1＝－52 ，x2＝32
(4)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0. 解 : x1＝x2＝2
14．已知三角形的两边长分别为3和7 , 第三边长是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根 , 求这个三角形的周长．
在10辆以上 , 每辆返利1万． (1)假设该公司当月售出3辆汽车 , 那么每辆汽车的进价为__26.8__万元 ; (2)如果汽车的售价为28万元/辆 , 该公司计划当月盈利12万元 , 那么需要售出多
少辆汽车 ？(盈利＝销售利润＋返利)
解 : (2)设销售汽车x辆 , 那么汽车的进价为27－(x－1)×0.1＝27.1－0.1x(万元)．
C．389(1＋2x)＝438
D．438(1＋2x)＝389
5．(2018·宜宾)某市从2017年开始大力发展〞竹文化”旅游产业．据统计 , 该市 2017年〞竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019〞竹文化”旅游收入达到2.88亿 元 , 据此估计该市2018年、2019年〞竹文化”旅游收入的年平均增长率约为C( )
元 ; 假设每盆增加1株 , 平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元 , 每
盆应多植多少株 ？设每盆多植x株 , 那A 么可以列出的方程是( )
2022年中考数学人教版一轮复习课件：第6课 一元二次方程的解法及应用
26．(2020·广东)已知关于 x，y 的方程组ax＋ x＋y＝2 43y＝－10 3，与 xx－ ＋yb＝y＝2， 15的解相同． (1)求 a，b 的值； (2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关 于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解．试判断该三角形的形状，并 说明理由．
10.(2021·菏泽)列方程(组)解应用题. 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是 调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克 22 元； 小李：当销售价为每千克 38 元时，每天可售出 160 千克；若 每千克降低 3 元，每天的销售量将增加 120 千克. 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售 利润 3 640 元，又要尽可能让顾客得到实惠，则这种水果的销 售价为每千克多少元？
2.(2021·怀化)对于一元二次方程 2x2－3x＋4＝0，则它根的情况为
A．没有实数根
( A)
B．两根之和是 3
C．两根之积是－2
D．有两个不相等的实数根
3.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)
若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根， 则 x1＋x2＝－ba，x1x2＝ac.
4.(2021·大连)“杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海
水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018 年平均亩产量约 500
千克，2020 年平均亩产量约 800 千克．若设平均亩产量的年
平均增长率为 x，根据题意，可列方程为
(D)
A．500(1＋x)＝800
B．500(1＋2x)＝800
A．k>－14 C．k＞－14且 k≠0
B．k<41 D．k<41且 k≠0
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
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第6讲一元二次方程及其应用
建议用时：60分钟总分：84分得分分基础篇
一、选择题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
1．(2020·营口)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为(D)
A．x1＝2，x2＝－3 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝－2，x2＝－3 D．x1＝2，x2＝3
2．(2020·沈阳)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是(B)
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
3．(2020·张家界)已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(A)
A．2 B．4
C．8 D．2或4
4．(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为(C)
A．35×20－35x－20x＋2x2＝600
B．35×20－35x－2×20x＝600
C．(35－2x)(20－x)＝600
D．(35－x)(20－2x)＝600
5．(2020·黑龙江)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是(B)
A．k＜1
4B．k≤
1
4
C．k＞4 D．k≤1
4且k≠0
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分)
6．(2020·镇江)一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1＝0，x2＝2．
7．(2020·眉山)设x1，x2是方程2x2＋3x－4＝0的两个实数根，则1
x1＋
1
x2的
值为3
4
．
8．(2020·毕节)关于x的一元二次方程(k＋2)x2＋6x＋k2＋k－2＝0有一个根是0，则k的值是1．
9．(2020·娄底)一元二次方程x2－2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝1．
三、解答题(本大题共2个小题，共18分)
10．(2020·上海)(8分)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额．
(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．
解：(1)450＋450×12%＝504(万元)．(3分)答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(4分)
(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x.
由题意，得350(1＋x)2＝504，(6分)解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%. (8分) 11．(10分)安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每千克降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系，
其图象如图所示：
(1)求y 与x 之间的函数关系式．
(2)商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 由图象，可知当x ＝2，y ＝120；当x ＝4，y ＝140. ∴⎩⎨⎧2k ＋b ＝120，4k ＋b ＝140，解得⎩
⎨⎧k ＝10，b ＝100.
∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝10x ＋100. (4分) (2)由题意，得(60－40－x )(10x ＋100)＝2 090. (6分) 整理，得x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9. (8分)
∵让顾客得到更大的实惠， ∴x ＝9.
(9分) 答：商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降价9元． (10分) 拔高篇
一、选择题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)
1．(2020·滨州)对于任意实数k ，关于x 的方程1
2x 2－(k ＋5)x ＋k 2＋2k ＋25＝0的根的情况为( B )
A ．有两个相等的实数根
B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法判定
2．定义运算：a *b ＝2ab ，若a ，b 是方程x 2＋x －m ＝0(m ＞0)的两个根，则(a ＋1)*b ＋2a 的值为( D )
A ．m
B ．2－2m
C ．2m －2
D ．－2m －2
3．已知方程x 2－6x ＋q ＝0配方后是(x －p )2＝7，那么方程x 2＋6x ＋q ＝0配方后是( D )
A ．(x －p )2＝5
B ．(x ＋p )2＝5
C ．(x －p )2＝9
D ．(x ＋p )2＝7
4．已知实数a ，b 满足a 2－8a ＋4＝0，b 2－8b ＋4＝0，且a ≠b ，则a b ＋b
a 的值是( C )
A ．7
B ．12
C ．14
D ．16
5．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为( C )
A ．(1＋n )2＝931
B ．n (n －1)＝931
C ．1＋n ＋n 2＝931
D ．n ＋n 2＝931
二、填空题(本大题共3个小题，每小题3分，共9分)
6．(2020·呼伦贝尔)已知关于x 的一元二次方程⎝ ⎛⎭⎪⎫
14m －1x 2－x ＋1＝0有实数
根，则m 的取值范围是 m ≤5且m ≠4 ．
7．(2020·山西)如图是一张长12 cm ，宽10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为 2 cm .
8．(2020·内江)已知关于x 的一元二次方程(m －1)2x 2＋3mx ＋3＝0有一实数根为－1，则该方程的另一个实数根为 －1
3 ．
三、解答题(本大题共2个小题，共15分)
9．(2020·孝感节选)(5分)已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋1
2k 2－2＝0.
求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根． 证明：∵Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫
12k 2－2＝2(k ＋1)2＋7，
又∵无论k 为何实数，2(k ＋1)2≥0， ∴2(k ＋1)2＋7＞0.
∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(5分)
10．(2020·重庆B 卷)(10分)为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/千克，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100千克，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21 600元．
(1)求A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克．
(2)今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %.由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价保持不变，A ，B 两个品种全部售出后总收入将增加20
9a %.求a 的值．
解：(1)设A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克． 根据题意，得⎩⎨⎧y －x ＝100，
10×2.4（x ＋y ）＝21 600，
(3分)
解得⎩⎨⎧x ＝400，
y ＝500.
答：A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克． (5分) (2)由题意，得2.4×400×10(1＋a %)＋2.4(1＋a %)×500×10(1＋2a %)＝21 600⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋209a %， (7分) 整理，得a 2－10a ＝0，
解得a 1＝0(不合题意，舍去)，a 2＝10.
答：a的值为10. (10分)。