2016年甘肃单招数学模拟试题：充分条件与必要条件

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2016甘肃建筑职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

2016年甘肃建筑数学单招试题限时：60分钟总分值：78分1．(总分值13分)在如下图的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF .(1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°.又因为CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°，因此∠ADB ＝90°，AD ⊥BD ，又因为AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，所以BD ⊥平面AED .(2)法一：连接AC ，由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又因为FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直，以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系，不妨设CB ＝1，则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，0，F (0,0,1)，因此BD ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，－32，0，BF ＝(0，－1,1)．设平面BDF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·BD ＝0，m ·BF ＝0，所以x ＝3y ＝3z ，取z ＝1，则m ＝(3，1,1)．由于CF ＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量，则cos 〈m ，CF 〉＝m ·CF |m||CF |＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 法二：取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD ，又因为FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以FC ⊥BD . 由于FC ∩CG ＝C ，FC ，CG ⊂平面FCG ，所以BD ⊥平面FCG ，故BD ⊥FG ，所以∠FGC 为二面角F －BD －C 的平面角．在等腰三角形BCD 中，由于∠BCD ＝120°，因此CG ＝12CB ，又因为CB ＝CF ，所以GF ＝CG 2＋CF 2＝5CG ，故cos ∠FGC ＝55，因此二面角F －BD －C 的余弦值为55. 2．(总分值13分)(2012·广东高考)如下图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)假设PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．解：(1)证明：∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PC∩PA＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)如右图设AC∩BD＝O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE，∴∠BEO为二面角B－PC－A的平面角，∵BD⊥平面PAC，∴BO⊥OE，即∠BOE＝90°，故tan ∠BEO＝OB OE.又∵BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC. 由四边形ABCD为长方形知它也是正方形，由AD＝2得BD＝AC＝22，在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝3.∵△OEC∽△PAC，∴OCPC＝OEPA，即OCOE＝PCPA＝3，又∵tan ∠BEO＝OBOE＝OCOE＝3，∴二面角B－PC－A的正切值为3.3．(总分值13分)(2012·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)． (1)易得PC ＝(0,1，－2)，AD ＝(2,0,0)，于是PC ·AD ＝0，所以PC ⊥AD .(2) PC ＝(0,1，－2)，CD ＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎨⎧n ·PC ＝0，n ·CD ＝0，即⎩⎨⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]．由此得BE ＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h .由CD ＝(2，－1,0)，故cos 〈BE ，CD 〉＝BE ·CD | BE |·|CD |＝3212＋h 2×5＝310＋20h2，所以310＋20h 2＝cos 30°＝32，解得h ＝1010或h ＝－1010(舍)，即AE ＝1010. 法二：(1)证明：由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，又由AD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，故AD ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以PC ⊥AD .(2)如图，作AH ⊥PC 于点H ，连接DH .由PC ⊥AD ，PC ⊥AH ，AD ∩AH ＝A ，可得PC ⊥平面ADH ，又因为DH △平面ADH 因此DH ⊥PC ，从而∠AHD 为二面角A －PC －D 的平面角．在Rt △PAC 中，PA ＝2，AC ＝1，由此得AH ＝25.由(1)知AD ⊥AH .故在Rt △DAH 中，DH ＝AD 2＋AH 2＝2305. 因此sin ∠AHD ＝AD DH ＝306.所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)如图，因为AD ⊥AC ，AD ＝2AC 所以∠ADC <45°，故过点B 作CD 的平行线必与线段AD 相交，设交点为F ，连接BE ，EF .故∠EBF 或其补角为异面直线BE 与CD 所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB＝∠ADC.在Rt△DAC中，CD＝5，sin ∠ADC＝15，故sin ∠AFB＝15 .在△AFB中，由BFsin ∠FAB＝ABsin ∠AFB，AB＝12，sin ∠FAB＝sin 135°＝22，可得BF＝52.由余弦定理，BF2＝AB2＋AF2－2AB·AF·cos ∠FAB，可得AF＝1 2.设AE＝h.在Rt△EAF中，EF＝AE2＋AF2＝h2＋1 4.在Rt△BAE中，BE＝AE2＋AB2＝h2＋1 2.在△EBF中，因为EF<BE，从而∠EBF＝30°，由余弦定理得cos 30°＝BE2＋BF2－EF22BE·BF.可解得h＝10 10.所以AE＝10 10.4．(总分值13分)在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2.(1)求证：BC⊥平面PBD；(2)设E为侧棱PC上一点，PE＝λPC，试确定λ的值，使得二面角E－BD－P 的大小为45°.解：(1)证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为∠ADC ＝90°，即AD ⊥CD ，以D 为原点建立如下图的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，所以DB ＝(1,1,0)，BC ＝(－1,1,0)．所以BC ·DB ＝0，所以BC ⊥DB . 由PD ⊥底面ABCD ，可得PD ⊥BC ，又因为PD ∩DB ＝D ，所以BC ⊥平面PBD .(2)由(1)知平面PBD 的一个法向量为BC ＝(－1,1,0)，且P (0,0,1)，C (0,2,0)，所以PC ＝(0,2，－1)，又因为PE ＝λPC ，所以E (0,2λ，1－λ)，DE ＝(0,2λ，1－λ)．设平面EBD 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，因为DB ＝(1,1,0)，由n ·DB ＝0，n ·DE ＝0，得⎩⎨⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0令a ＝－1，则可得平面EBD 的一个法向量为n ＝－1,1，2λλ－1，所以cos π4＝n ·BC |n |·|BC |，解得λ＝2－1或λ＝－2－1，又由题意知λ∈(0,1)，故λ＝2－1.5．(总分值13分)已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ；(3)假设PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的余弦值．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°，AB ＝1，AD ＝2，建立如下图的空间直角坐标系，则A (0，0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)．不妨令P (0,0，t )，则PE ＝(1,1，－t )，DE ＝(1，－1,0)．所以PE ·DE ＝1×1＋1×(－1)＋(－t )×0＝0，即PF ⊥FD .(2)设平面PFD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由(1)知PE ＝(1,1，－t )，DE ＝(1，－1,0)，则由⎩⎨⎧n ·PF ＝0，n ·DF ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y －tz ＝0，x －y ＝0，令z ＝1，则x ＝y ＝t2.故n ＝⎝⎛⎭⎫t 2，t2，1是平面PFD 的一个法向量．设G 点坐标为(0,0，m )，因为E ⎝⎛⎭⎫12，0，0，则EG ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，m . 要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0，即⎝⎛⎭⎫－12×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t4＝0，所以m ＝14t ，从而PA 上满足AG ＝14AP 的点G 可使得EG ∥平面PFD .(3)易知AB ⊥平面PAD ，所以AB ＝(1,0,0)是平面PAD 的一个法向量．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，故∠PBA ＝45°，所以PA ＝1，则平面PFD 的一个法向量为m ＝⎝⎛⎭⎫12，12，1，则cos 〈AB ，m 〉＝AB ·m | AB |·|m |＝1214＋14＋1＝66，故所求二面角A －PD －F 的余弦值为66. 6．(总分值13分)平面图形ABB 1A 1C 1C 如图①所示，其中BB 1C 1C 是矩形，BC ＝2，BB 1＝4，AB ＝AC ＝2，A 1B 1＝A 1C 1＝5，现将该平面图形分别沿BC 和B 1C 1折叠，使△ABC 与△A 1B 1C 1所在平面都与平面BB 1C 1C 垂直，再分别连接A 1A ，A 1B ，A 1C ，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答以下问题．(1)证明：AA 1⊥BC ； (2)求AA 1的长；(3)求二面角A -BC -A 1的余弦值．解：法一：(向量法)(1)证明：取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD .由平面BB 1C 1C 为矩形知，DD 1⊥B 1C 1.因为平面BB 1C 1C ⊥平面A 1B 1C 1，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1.又由A 1B 1＝A 1C 1知，A 1D 1⊥B 1C 1.故以D 1为坐标原点，可建立如下图的空间直角坐标系D 1－xyz . 由题设，可得A 1D 1＝2，AD ＝1.由以上可知AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，于是AD ∥A 1D 1.所以A (0，－1,4)，B (1,0,4)，A 1(0,2,0)，C (－1,0,4)，D (0,0,4)．故1AA (＝(0，3，－4)，BC ＝(－2,0,0)，1AA ·BC ＝0，因此AA 1⊥BC ，即AA 1⊥BC . (2)因为1AA ＝(0，3，－4)，所以|1AA |＝5，即AA 1＝5. (3)连接A 1D .由BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1，可知BC ⊥平面A 1AD ，BC ⊥A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．因为1(,,),(,,),=-=-010024DA DA 所以1,,||||()⋅〈〉===-⋅⨯-225cos 5124DA DA DA DA DA DA +即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55. 法二：(综合法)(1)取BC ，B 1C 1的中点分别为D 和D 1，连接A 1D 1，DD 1，AD ，A 1D .由条件可知，BC ⊥AD ，B 1C 1⊥A 1D 1.由上可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，A 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，因此AD ∥A 1D 1，即AD ，A 1D 1确定平面AD 1A 1D . 又因为DD 1∥BB 1，BB 1⊥BC ，所以DD 1⊥BC . 又考虑到AD ⊥BC ，DD 1∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AD 1A 1D ，故BC ⊥AA 1.(2)延长A 1D 1到G 点，使GD 1＝AD .连接AG . 因为AD 綊GD 1，所以AG 綊DD 1綊BB 1. 由于BB 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AG ⊥A 1G . 由条件可知，A 1G ＝A 1D 1＋D 1G ＝3，AG ＝4. 所以AA 1＝5.(3)因为BC ⊥平面AD 1A 1D ，所以∠ADA 1为二面角A －BC －A 1的平面角．在Rt △A 1DD 1中，DD 1＝4，A 1D 1＝2，解得sin ∠D 1DA 1＝55，cos ∠ADA 1＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋∠D 1DA 1＝－55，即二面角A －BC －A 1的余弦值为－55.。

2016陇南师范高等专科学校数学单招试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网限时：60分钟满分：78分1．(满分13分)设f (x )＝12cos 2x ＋a sin x －a4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2. (1)用a 表示f (x )的最大值M (a )．(2)在(1)中的条件下，当M (a )＝2时，求a 的值．解：(1)f (x )＝12(1－2sin 2x )＋a sin x －a4，即f (x )＝－sin 2x ＋a sin x ＋12－a4，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫sin x －a 22＋12－a 4＋a24.∵0≤x ≤π2，∴0≤sin x ≤1.∴当a2≥1时即a ≥2时，M (a )＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝3a 4－12；当0<a 2<1即0<a <2时，M (a )＝12－a 4＋a 24；当a 2≤0即a ≤0时，M (a )＝f (0)＝12－a 4. ∴M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a 4－12(a ≥2)，12－a 4＋a24(0<a <2)，12－a 4(a ≤0).(2)当M (a )＝2时，则当a ≥2时，3a 4－12＝2⇒a ＝103，考单招——上高职单招网当0<a <2时，12－a 4＋a 24＝2⇒a ＝3(舍)或a ＝－2(舍)，当a ≤0时，12－a4＝2⇒a ＝－6.∴a ＝103或a ＝－6.2．(满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值．解：(1)由图像知A ＝1，f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6.故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，又0<α<π3，则π6<α＋π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.考单招——上高职单招网又cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝33＋410. 3．(满分13分)把函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位后得到一个最小正周期为2π的奇函数g (x )．(1)求ω和φ的值；(2)求函数h (x )＝f (x )－g 2(x )，x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，π4的最大值与最小值．解：(1)f 1(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋φ→g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ12＋φ. 由2π×2ω＝2π⇒ω＝2，则g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ＋π6，又φ＋π6＝π2⇒φ＝π3.(2)h (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－4sin 2x＝2×12cos 2x －2×32sin x －2(1－cos 2x )＝3cos 2x －3sin 2x －2 ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x －2考单招——上高职单招网＝－23sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－2. 当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π24，π4⇒2x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π2⇒ 2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π6，故h (x )max ＝23－2，h (x )min ＝－3－2. 4．(满分13分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2－sin 2x2.(1)若函数g (x )＝f (x )－m 在(－∞，＋∞)上无零点，求实数m 的取值范围； (2)设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若f (A )＝f (B )且A ≠B ，求f (C )的值．解：(1)f (x )＝12sin x －1－cos x 2＝12(sin x ＋cos x )－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12. g (x )＝f (x )－m 在(－∞，＋∞)上无零点，即y ＝f (x )与y ＝m 的图像无交点．因为f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋12，2－12，所以m ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2＋12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12，＋∞. (2)由f (A )＝f (B )得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4. 因为A ，B 是△ABC 的三个内角，所以A ＋π4，B ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4，而A ≠B ，故有A ＋π4＝π－⎝⎛⎭⎫B ＋π4，即A ＋B ＝π2，考单招——上高职单招网从而C ＝π－(A ＋B )＝π2，所以f (C )＝22sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4－12＝22sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4－12＝22cos π4－12＝0. 5．(满分13分)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三内角，设向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )，且p ∥q .(1)求A 的大小；(2)当函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2取最大值时，求B 的大小．解：(1)∵p 与q 是共线向量，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝2＋2sin A －2sin A －2sin 2A －sin 2A ＋cos 2A ＝1＋2cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝－12.又∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2A ∈(0，π)，∴2A ＝23π，∴A ＝π3. (2)由(1)知C ＝2π3－B ，则y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2＝1－cos 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2B －π3 ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＋1.又∵π6<B <π2，∴π6<2B －π6<5π6，则当2B －π6＝π2，即B ＝π3时，y 取最大值．故B ＝π3.考单招——上高职单招网6．(满分13分)如图所示，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道(Rt △FHE ，H 是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝103米，记∠BHE ＝θ.(1)试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； (2)若sin θ＋cos θ＝2，求此时管道的长度L ；(3)当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．解：(1)EH ＝10cos θ，FH ＝10sin θ， EF ＝EH 2＋FH 2＝10sin θcos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.由于BE ＝10tan θ≤103，AF ＝10tan θ≤103，所以33≤tan θ≤3，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3. 所以L ＝10cos θ＋10sin θ＋10sin θcos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3.(2)当sin θ＋cos θ＝2时，则sin θcos θ＝12，L ＝10(sin θ＋cos θ＋1)sin θcos θ＝20(2＋1)(米)．(3)L ＝10(sin θ＋cos θ＋1)sin θcos θ，设sin θ＋cos θ＝t ，考单招——上高职单招网则sin θcos θ＝t 2－12，所以L ＝20t －1.∵θ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32， 2 . 由于L ＝20t －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32， 2 上单调递减，所以当t ＝3＋12即θ＝π6或θ＝π3时， L 取得最大值20(3＋1)米．答：当θ＝π6或θ＝π3时，污水净化效果最好，此时管道的长度为20(3＋1)米.。

2016年甘肃单招数学模拟试题：分段函数

2016年某某单招数学模拟试题:分段函数【试题内容来自于相关和学校提供】1：函数，若，则的所有可能值组成的集合为（）A、B、C、D、2：设，若，且，则的取值X围是（）A、B、C、D、3：对，记，函数的最小值是（）A、0B、C、1D、4：定义在上的函数满足，则（）A、1B、C、D、25：设函数，则当时，的展开式中常数项为（）A、B、C、D、6：已知函数，则的值是 .7：的反函数是 8：已知函数，求f（1）+f（）=_________9：已知函数，下列叙述（1）是奇函数；（2）是奇函数；（3）的解为（4）的解为；其中正确的是________（填序号）。

10：定义在R 上的函数f( x),当x∈[－1,1]时，，且对任意x，满足则f ( x)在区间[5，7]上的值域是 11：.(12分)已知函数的定义域为，且同时满足：（Ⅰ）对任意，总有；（Ⅱ）；（Ⅲ）若，则有（1）试求的值；（2）试求函数的最大值；（3）试证明：当时，。

12：（本小题满分12分）设(1)若在定义域D内是奇函数，求证：；(2)若，且在[1，3]上的最大值是，某某数的值；（3）在（2）的条件下，若在上恒成立，求的取值X围.13：（本小题满分12分）年中秋、国庆长假期间，由于国家实行座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象。

长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午点到中午点，车辆通过该收费站的用时（分钟）与车辆到达该收费站的时刻之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：y=求从上午点到中午点，通过该收费站用时最多的时刻。

14：设函数f( x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2 a2+ a+1)< f(3 a2－2 a+1).求a的取值X围，并在该X围内求函数y=( ) 的单调递减区间.15：已知函数（1）写出的单调区间；（2）设在[0，]上的最大值。

答案部分1、B略2、C略3、D略4、B故选B5、D试题分析：当时，，，，令，解得，则所求展开式的常数项为. 考点：分段函数，二项式定理.6、试题分析：根据已知的分段函数知，，所以考点：本小题主要考查分段函数的求值. 点评：求分段函数的函数值时，只要看清自变量属于那段，根据解析式代入即可，注意不论分段函数分几段，依然是一个函数.7、略8、11.9、（1）（3）试题分析：这类问题，必须对每个命题都判断其真假，根据的解析式，显然对任意的都有，即是奇函数，（1）正确；当然此时函数是偶函数，（2）错误；对（3）按照分类讨论，可解得不等式的解是，（3）正确；而对不等式来讲，时，不等式就不成立，故（4）错误。

2016甘肃医学院数学单招试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网限时：90分钟满分：122分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知茎叶图列举了集合U的所有元素，设A＝{3,6,9}，则∁U A＝()A.{5}B．{5,12}C．{12,13} D．{5,12,13}解析：选D由茎叶图可知U＝{3,5,6,9,12,13}，所以∁U A＝{5,12,13}．2．下列有关命题的说法错误的是()A．命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x ＝1”B．“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，命题x2＋x＋1<0，即綈p为：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解：选C命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，即命题A正确；若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，则“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件，即命题B正确；若p∧q为假命题，则命题p，q中至考单招——上高职单招网少有一个为假命题，即命题C 不正确；命题p ：∃x ∈R ，命题x 2＋x ＋1<0是特称命题，则綈p 是全称命题，否定时要把量词和命题中的关键词都否定，D 正确．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋3x )，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则不等式f (x )>f (－2)的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,0]∪(1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－2,0]∪(4，＋∞)解析：选A f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋1＝2，则由f (x )>2可得⎩⎨⎧x >0，log 2(x 2＋3x )>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1>2，解得x >1或x <－2，则不等式f (x )>f (－2)的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 4．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像( ) A ．向左平移π2个长度单位 B ．向右平移π2个长度单位C ．向左平移π4个长度单位D ．向右平移π4个长度单位解析：选C 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π4，可得为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图像，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像向左平移π4个长度单位．5．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是( )考单招——上高职单招网A ．2 B.10 C ．4D. 5解析：选B ∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0，则α·β＝12，|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋4×12＋4＝10.6．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：选B 因为f (x )＝a ·b ＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是π.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )成立，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3解析：选C 由f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝f (－x )可得f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝f ⎝⎛⎭⎫x －π8＋π4＝f ⎝⎛⎭⎫π8－x ，即函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝2＋b 或f ⎝⎛⎭⎫π8＝b －2.又f ⎝⎛⎭⎫π8＝1，所以b ＋2＝1或b －2＝1，即b ＝－1或3.考单招——上高职单招网8．在△OAB 中， OA ＝a ， OB ＝b ，OD 是AB 边上的高，若 AD ＝λAB ，则实数λ＝( )A.a ·(a －b )|a －b |B.a ·(b －a )|a －b |C.a ·(a －b )|a －b |2D.a ·(b －a )|a －b |2解析：选C 由 AD ＝λ AB ，∴| AD |＝λ| AB |.又∵| AD |＝|a |cos A ＝|a |·a ·(a －b )|a ||b －a |＝a ·(a －b )|b －a |，| AB |＝|b －a |，∴λ＝a ·(a －b )|b －a |2＝a ·(a －b )|a －b |2. 二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的一段图像，则函数的解析式为________．解析：由图知，A ＝1，T 4＝π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4，即T ＝π，即ω＝2πT ＝2ππ＝2.将点⎝⎛⎭⎫－π6，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得，φ＝k π＋π3，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ＝π3，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 10．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________．考单招——上高职单招网解析：据题意只需h ′(x )＝2＋kx 2≥0在(1，＋∞)恒成立即可，分离变量可得k ≥－2x 2，而－2x 2<－2，故只需k ≥－2即可．答案：[－2，＋∞)11．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k >0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116.答案：111612．已知sin x ＋sin y ＝13，则sin x －cos 2y 的最小值为________．解析：∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin x ＝13－sin y ．∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤13－siny ≤1.又∵－1≤sin y ≤1，∴－23≤sin y ≤1，∴sin x －cos 2y ＝13－sin y －cos 2y ＝13－sin y－(1－sin 2y )＝⎝⎛⎭⎫sin y －122－1112.∴当sin y ＝12时，sin x －cos 2y 取得最小值，最小值为－1112. 答案：－111213．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若向量p ＝(a ＋c ，b )与q ＝(b －a ，c －a )是共线向量，则角C ＝________.解析：据共线向量条件可得(c ＋a )(c －a )－b (b －a )＝0，整理得b 2＋a 2－c 2＝ab ，利用余弦定理可得cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝12，故C ＝60°.答案：60°考单招——上高职单招网14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos C ＋c cos A ＝b sin B ，则角C 的大小为________．解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝0，∴A ＝π3. 由余弦定理得，a cos C ＋c cos A ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b .又∵a cos C ＋c cos A ＝b sin B ， ∴sin B ＝1，∴B ＝π2，∴C ＝π6.答案：π6三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)15．已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)若A 为锐角三角形ABC 的内角，求f (A )的取值范围．解：(1)依题意，得f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx ＝cos ( 2ωx ＋⎭⎫π3＋12，∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋12，考单招——上高职单招网由－π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z. ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z.令2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z∴x ＝π12＋k π2，k ∈Z.∴对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，12，k ∈Z.(2)依题意，得0<A <π2，则π3<2A ＋π3<4π3，故－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＜12，所以－12≤cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋12＜1，所以f (A )的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，1.16．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2ω2x ＋1(ω>0)．直线y ＝3与函数y ＝f (x )图像相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；考单招——上高职单招网(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若点⎝⎛⎭⎫B2，0是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心，且b ＝3，求△ABC 外接圆的面积．解：(1)f (x )＝sin ωx ·cos π6－cos ωx ·sin π6－2·1＋cos ωx 2＋1＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f (x )的最大值为3，依题意，函数f (x )的最小正周期为π，由2πω＝π，得ω＝2.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，依题意3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝0. 又0<B <π，故－π3<B －π3<23π，所以B －π3＝0，B ＝π3.设△ABC 外接圆的半径为R . 由正弦定理知b sin B ＝2R ，332＝2R ，所以R ＝3，故△ABC 外接圆的面积为πR 2＝3π.考单招——上高职单招网17．在△ABC 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且∠C ＝2∠A . (1)若△ABC 为锐角三角形，求ca 的取值范围； (2)若cos A ＝34，a ＋c ＝20，求b 的值．解：(1)根据正弦定理有c a ＝sin C sin A ＝sin 2Asin A ＝2cos A ，在△ABC 为锐角三角形中， ⎩⎪⎨⎪⎧0<A ，B ，C <π2，C ＝2A⇒π6<A <π4，所以ca ∈(2，3)．(2)由(1)c a ＝2cos A ，又cos A ＝34，得c a ＝32，⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a ＋c ＝20⇒⎩⎨⎧a ＝8，c ＝12.再由余弦定理有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即64＝b 2＋144－18b ，解得b ＝8或b ＝10，经检验b ＝10.18．已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值与函数f (x )的单调区间；考单招——上高职单招网(2)设g (x )＝(x 2－2x )e x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x ＝(ax －1)(x －2)x (x >0)． (1)∵曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行， ∴f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23.∴f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫23x －1(x －2)x(x >0)，令f ′(x )<0⇒32<x <2；令f ′(x )>0⇒0<x <32或x >2.∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，32，(2，＋∞)；递减区间为⎝⎛⎭⎫32，2. (2)由已知对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得 f (x 1)<g (x 2)，则只需在(0,2]上有f (x )max <g (x )max . ∵f ′(x )＝(ax －1)(x －2)x(x >0)，则 ①当a ≤0时，0<x ≤2⇒ax －1<0, x －2≤0，故在区间(0,2]上，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，所以f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2 ＝－2a －2＋2ln 2.②当0<a <12时，令f ′(x )＝0，则x ＝2或x ＝1a ，且1a >2，考单招——上高职单招网故在区间(0,2]上，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，所以f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2＝－2a －2＋2ln 2.③当a ＝12时，f ′(x )＝(x －2)22x≥0，f (x )单调递增，所以f (x )max ＝f (2)＝2a －2(2a ＋1)＋2ln 2＝－2a －2＋ln 2.④当a >12时，令f ′(x )＝0，则x ＝2，或x ＝1a ，且0<1a <2，f (x )在⎝⎛⎦⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上单调递减，故f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2－12a－2ln a . 综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧ －2a －2＋ln 2⎝⎛⎭⎫a ≤12，－2－12a －2ln a ⎝⎛⎭⎫a >12.又g ′(x )＝(x 2－2)e x ，令g ′(x )＝0，则x ＝2(x ＝－2舍去)，且0<x <2时，g ′(x )<0；当2<x ≤2时，g ′(x )>0，所以g (x )在区间(0，2)上递减，在区间(2，2]上递增，又g (0)＝g (2)＝0，故g (x )max ＝0.所以f (x )max <g (x )max ⇔⎩⎨⎧ －2a －2＋2ln 2<0⎝⎛⎭⎫a ≤12，－2－12a －2ln a <0⎝⎛⎭⎫a >12.考单招——上高职单招网当a ≤12时，由－2a －2＋2ln 2<0，解得a >ln 2－1，故ln 2－1<a ≤12. 当a >12时，由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e＝－1， 2ln a >－2，－2ln a <2，所以，－2－2ln a <0，－2－12a－2ln a <0恒成立．综上所述，a 的取值范围是(ln 2－1，＋∞)．。

2016兰州工业学院数学单招试题测试版(附答案解析)

考单招——上高职单招网限时：50分钟满分：80分(共16个小题，每小题5分，共80分)1．已知集合U ＝R ，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x 2＋y24＝1，B ＝{}y |y ＝x ＋1，x ∈A ，则(∁UA )∩(∁U B )＝________.解析：A ＝{x |－1≤x ≤1}＝[－1,1]，B ＝{y |y ＝x ＋1，x ∈A }＝[0,2]，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)2．在△ABC 中，如果sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值为________．解析：由正弦定理得a ∶b ∶c ＝5∶6∶8，令a ＝5，b ＝6，c ＝8，则C 是最大角，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25＋36－6460＝－120.答案：－1203．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，1sin θ＋1cos θ＝2 2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________. 解析：由题意可知该题的结果是一个定值，根据已知条件可考虑θ取特殊值所对应的三角函数值．显然不妨令1sin θ＝1cos θ＝2，则θ可取π4. 故有sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝12.考单招——上高职单招网答案：124．不论k 为何实数，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过定点(0,1)，不论k 为何实数，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点等价于点(0,1)在圆内或圆上，∴a 2＋1≤2a ＋4，解得－1≤a ≤3. ∴实数a 的取值范围是[－1,3]．答案：[－1,3]5．过△ABC 的中线AD 的中点E 作直线PQ 分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，如图所示，若AP ＝m AB ，AQ ＝n AC ，则1m ＋1n ＝________.解析：由题意知，1m ＋1n 的值与点P 、Q 的位置无关，故可利用特殊直线确定所求值．令PQ ∥BC ，则AP ＝12AB ，AQ ＝12AC ，此时m ＝n ＝12，故1m ＋1n ＝4.答案：46．在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋ab ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________. 解析：令A ＝B (即a ＝b )，则cos C ＝13，tan 2C 2＝1－cos C 1＋cos C ＝12，tan C 2＝22，tan A＝tan B ＝1tanC 2＝ 2.考单招——上高职单招网又tan C ＝22，所以tan C tan A ＋tan Ctan B＝4. 答案：47．在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为________．解析：设AB 、AC 、AD 的长分别为x 、y 、z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，解得x ＝2，y ＝1，z ＝3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于121＋2＋3＝62，故这个球的体积是43π⎝ ⎛⎭⎪⎫623＝6π.答案： 6 π8．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于________．解析：如图，构造AB ＝a ，AD＝b ，AC ＝c ，∠BAD ＝120°，∠BCD ＝60°，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，|c |最大，最大值为2.答案：29．设O 是△ABC 内部一点，且OA ＋OC ＝－2OB，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：令△ABC 为正三角形，则根据OA ＋OC ＝－2OB可知，O 是△ABC 的中心，则OA ＝OB ＝OC .所以△AOB ≌△AOC ，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶1.答案：1∶1考单招——上高职单招网10．如图，在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：令OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，分别取BC ，CA ，AB 边的中点D ，E ，F ，则△OAD ，△OBE ，△OCF 分别是满足条件的截面三角形，且它们均为直角三角形，所以S 1＝12×6×202＝45，S 2＝12×4×402＝40，S 3＝12×2×522＝13，满足S 3<S 2<S 1.答案：S 3<S 2<S 111．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C＝________. 解析：令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝45＋01＋45×0＝45.答案：45考单招——上高职单招网12．若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为________．解析：如图，构造长方体ABCD －A1B 1C 1D 1.设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，∠C 1AB ＝α，∠C 1AD ＝β，∠C 1AA 1＝γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.从而有tan α·tan β·tan γ＝b 2＋c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝2 2. 当且仅当a ＝b ＝c 时，tan α·tan β·tan γ有最小值2 2. 答案：2 213．设F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使|OP |＝|OF 1|(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为________．解析：因为|OP |＝|OF 1|＝12|F 1F 2|，所以PF 1⊥PF 2，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即3|PF 2|2＋|PF 2|2＝(2c )2，解得|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，由定义得|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ＝2a ，所以e ＝3＋1.答案：3＋114．定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．考单招——上高职单招网解析：如图所示，线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，解得sin x ＝23，即线段P 1P 2的长为23.答案：2315．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33.所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x ＋x －1，令f ′(x )＝－33x 2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f (x )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212，所以a n n 的最小值为a 66＝212.答案：21216．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )＝f (2－x )，在区间[1,2]上是单调递减函数．关于函数f (x )有下列结论：①图像关于直线x ＝1对称； ②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数；考单招——上高职单招网④在区间[－1,0]上是增函数．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，故命题①正确；因为函数f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，图像又关于直线x＝1对称，故函数f(x)必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故命题②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f(x)在区间[1,2]上是单调递减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是单调递减函数，故命题③正确；因为函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，在区间[1,2]上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数f(x)在区间[0,1]上是单调递增函数，又由奇函数的性质可得，函数f(x)在区间[－1,0]上是单调递增函数，故命题④正确．答案：①③④。

2016年甘肃单招数学模拟试题：等可能事件及其概率

2016年甘肃单招数学模拟试题:等可能事件及其概率【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：3名学生排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是( )A、B、C、D、2：某计算机网络有个终端，每个终端在一天中使用的概率都是，则这个网络在一天中平均使用的终端个数为（）A、B、C、D、3：2名男生和2名女生站成一排，则2名男生相邻的概率为A、B、C、D、4：某人有5把钥匙，其中2把能打开门，现随机取1把钥匙试着开门，不能开门就扔掉，现采用随机模拟的方法估计第三次才能打开门的概率：先由计算器产生1~5之间的整数随机数，1,2表示能打开门，3,4,5表示打不开门，再以每三个数一组，代表三次开门的结果，经随机模拟产生了20组随机数，453,254,341,134,543,623,452,324,534,435,635,314,245,531,351,354,345,413,425,653据此估计，该人第三次才打开门的概率（）A 0.2 B. 0.25 C. 0.15 D. 0.355：如图；现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等机会地进入相邻的任意一格（如若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入l，2，4，5处），则它在第三次跳动后，进入5处的概率是A、B、C、D、6：从1至8这八个自然数中，任取两个不同的数，这两个数的和是3的倍数的概率是_________。

7：在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：则至少有两人排队的概率为________。

8：抛掷两颗质量均匀的骰子各一次，向上的点数之和为7时，其中有一个的点数是3的概率是______________9：甲打靶射击，有4发子弹，若有1发是空弹，则空弹出现在前三枪的概率为____10：小明的书包里共有外观、质量完全一样的5本作业簿，其中语文2本，数学2本，英语1本，那么小明从书包里随机抽出一本，是数学作业本的概率为 _____11：、（本小题满分12分）我校高一有A，B，C三科兴趣小组，用分层抽样方法从参加这三科的同学中，抽取若干人组成一个队，代表我校参加德州市组织的科技竞赛活动，有关数据见下表（单位：人）（1）求x，y ；（2）若从B、C两科抽取的人中选2人参加市队，求这二人都来自C科的概率。

2016兰州资源环境职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

限时： 90 分钟满分： 122 分一、选择题 (共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 )1．若集合A ＝， ∈ R} ，＝ {y|y ＝ 2x 2，x ∈R} ，则 (?R A) ∩B ＝ (){x||x|>1 x BA ． {x|－ 1≤ x ≤ 1}B ．{x|x ≥0}C ． {x|0≤x ≤ 1}D ．? 解析：选 C依题意得， ?R A ＝ {x|－ 1≤ x ≤ 1}， B ＝ {y|y ≥ 0}，所以 (?R A)∩ B ＝{x|0≤ x ≤ 1}．2．已知命题 p ：? x ∈ 0，π，＝1，则綈p 为()2 sin x 2A ． ? x ∈ 0，π， sin x ＝ 12 2B ．? x ∈ 0，π， sin x ≠ 1 22C ． ? x ∈ 0，π， sin x ≠ 12 2π 1D ． ? x ∈ 0， 2 ， sin x>2解析：选 B依题意得，命题綈 p 应为： ? x ∈， π，sin x ≠10 22.3．命题 p ：若 a ·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；命题 q ：若函数 f(x)在 (－ ∞， 0]及(0，＋ ∞ )上都是减函数，则 f(x)在 (－ ∞，＋ ∞ )上是减函数．下列说法中正确的是 ()A ． “ p 且 q ” 是真命题B ． “ p 或 q ”是假命题C ．綈 p 为假命题D ．綈 q 为假命题解析：选 B∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴ 命题p是假命题；－x＋ 1， x≤ 0，命题 q 是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题．－x＋ 2， x>0，4．命题“? x∈[1,2]， x2－ a≤ 0”为真命题的一个充分不必要条件是()A． a≥ 4 B． a≤ 4C． a≥ 5 D． a≤ 5解析：选 C命题“ ?x∈ [1,2]，x2－a≤0” 为真命题的充要条件是a≥ 4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞ )的真子集．5．函数 f(x)＝ 1＋log2x 与 g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图像大致是()解析：选 C 函数 f(x)＝ 1＋ log的图像是把函数＝log2x 的图像向上平移一个单2x y位长度得到的，函数 f(x)的图像与 x 轴的交点坐标为1， 0，选项 B、C、D 中的图像2均符合；函数 g(x)＝2－ x＋11x－ 1的图像是把函数 y＝1 x＝22的图像向右平移一个单位长度得到的，函数g(x)的图像与 y 轴的交点坐标为(0,2) ，选项 A、C 符合要求．故正确选项为 C.6．已知 g(x)为三次函数a 32f(x)＝ x＋ax ＋cx 的导函数，则它们的图像可能是 () 3解析：选 D由题意知g(x)＝f′(x)＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，则g(x)的图像关于直线x＝－ 1 对称，排除B、C；对选项 A，由 g(x)的图像知x＝ 0 是 f(x)的极小值点，与 f(x)的图像不相符，所以只有 D 项的图像是可能的．7．已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单调递增，则满足f( x＋ 2)<f(x)的 x 的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，－ 1)∪(2，＋∞)C．[－2，－ 1)∪ (2，＋∞) D．(－1,2)解析：选 C∵ f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵ f(x＋ 2)<f(x)，x2－x－2>0，∴f( x＋2)<f(|x|)，∵ f(x)在 [0，＋∞ )上单调递增，∴x＋2<|x|，即解x＋ 2≥ 0，得－ 2≤ x<－ 1 或 x>2.8．若 a>1，设函数 f(x)＝a x＋x－4 的零点为 m，函数 g(x)＝log a x＋ x－4 的零点为1 1n，则m＋n的取值范围是 ()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)9C．(4，＋∞) D. 2，＋∞解析：选 B函数 f(x)＝ a x＋ x－ 4 的零点是函数 y＝ a x的图像与函数 y＝ 4－ x 的图像的交点 A 的横坐标，函数 g(x)＝ log a＋－4的零点是函数＝ a 的图像与函数yx x y log x＝4－ x 的图像的交点 B 的横坐标．由于指数函数y＝ a x与对数函数 y＝log a x 互为反函数，其图像关于直线 y＝ x 对称，直线 y＝4－ x 与直线 y＝ x 垂直，故直线y＝ 4－x 与直线 y＝ x 的交点 (2,2)即为线段 AB 的中点，所以m＋ n＝ 4，所以1 ＋1＝1＋11· ＋nm n4(m n)m 1m n＝42＋n＋m≥ 1，当且仅当 m＝ n＝2时等号成立，此时只要a＝2即可．二、填空题 (共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 )9．函数 f(x)＝9－ x 2．的定义域为log 2(x －1)________9－ x 2≥ 0，解析：由题意知x － 1>0且 x － 1≠1，－3≤ x ≤ 3，解得故 1<x<2 或 2<x ≤3.x>1 且x ≠ 2，答案： (1,2)∪ (2,3]110．设偶函数 f(x)对任意 x ∈ R ，都有 f(x ＋3)＝－ f(x)，且当 x ∈[－3，－ 2]时， f(x)＝ 2x ，则 f(2 012)＝ ________.1解析： ∵ f(x ＋ 6)＝－ f(x ＋ 3)＝ f(x)，∴ f (x)是以 6 为周期的函数，∴ f (2 012)＝f(6× 335＋ 2)＝ f(2) ．又 f(x)为偶函数，∴ f (2)＝ f(－2)＝ 2－2＝ 14.1答案： 41 111．已知 x>0 ，y>0， xlg 2＋ ylg 8＝ lg 2，则 x ＋ 3y 的最小值是 ________．解析：因为 xlg 2＋ ylg 8＝ lg 2x ＋ lg 23y ＝ lg(2x ·23y )＝lg 2x ＋3y ＝lg 2，所以 x ＋3y ＝1，1 11＋ 1· ＋＝＋ 3y x 3y x＝ 4，当且仅当3y x所以＋＝x 3y 3y) x ＋ ≥ 2＋2· x ＝，即 x ＝x3y(x 2 3yx 3y3y1， y ＝1时等号成立，故 1＋ 1的最小值是 4.26x 3y答案： 4x－ 2≤ 0，12．已知点P(x，y)在不等式组y－ 1≤ 0，表示的平面区域上运动，则＝z xx＋ 2y－ 2≥ 0－y的最小值是 ________．解析：在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x－y＝ 0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点 (0,1)时，相应直线在 x 轴上的截距达到最小，此时 z＝x－ y 取得最小值，且最小值是－ 1.答案：－113．函数 f(x)满足 f(0)＝0，其导函数f′(x)的图像如图，则f(x)在[－2,1]上的最小值为________．解析：由函数 f(x)的导函数 f′ (x)的图像可知，函数 f(x)为二次函数，且其图像的对称轴为 x＝－ 1，开口方向向上．设函数 f(x)＝ax2＋ bx＋ c(a>0)，∵f(0)＝ 0，∴c＝ 0， f′ (x)＝ 2ax＋b，又 f′ (x)的图像过点 (－ 1,0)与点 (0,2)，则有2a×(－ 1)＋ b＝ 0，∴a＝1， b＝ 2，2a× 0＋b＝2，∴f(x)＝ x2＋ 2x，则 f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－ 1.答案：－114．设 f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x∈ R，都有 f(x－2)＝f(x＋2)，且当x ∈－时，f(x)＝1x－1.若在区间 (－ 2,6]内关于 x 的方程 f(x)－ log a＋2)＝0(a>1) [2,0]2(x恰有 3 个不同的实数根，则 a 的取值范围是 ________．解析：函数f(x)是偶函数，其图像关于y 轴对称．根据f(x －2) ＝ f(x＋2)，可得 f(x)＝f(x＋ 4)，即函数 f(x)是周期为 4 的函数．当 x∈[－2,0]时， f(x)＝12x－1，在同一个坐标系中分别画出函数 f(x)(x∈[－2,6])和函数 y＝ log a (x＋ 2)的图像，如图．若方程 f(x)－ log a(x ＋2)＝在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则函数＝的图像y f(x)与函数 y＝log a＋2)的图像在区间(－2,6]内恰有三个不同的交点，再结合图像可得实(x数 a 应满足不等式 log a＋且a＋，即2且41，即3(62)>3log (22)<3log a<1log a>34<a<2.答案： (34，2)三、解答题 (共 4 个小题，每小题13 分，共 52 分)15．已知函数f(x)＝ e x(x2＋ ax－ a)，其中 a 是常数．(1)当 a＝1 时，求曲线y＝f(x)在点 (1 ，f(1)) 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间 [0，＋∞ )上的最小值．解： (1)由 f(x)＝ e x(x2＋ ax－ a)可得f′ (x)＝ e x[x2＋ (a＋ 2)x]．当 a＝1 时， f(1)＝ e，f′ (1)＝4e.所以曲线 y＝ f(x)在点 (1，f(1))处的切线方程为y－ e＝ 4e(x－ 1)，即 y＝4ex－ 3e.(2)令′＝x2＋ (a＋ 2)x]＝0，f (x) e [x解得 x＝－ (a＋ 2)或 x＝ 0.当－ (a＋ 2)≤ 0，即 a≥ －2 时，在区间 [0，＋∞ )上，f′ (x)≥ 0，所以 f(x)在[0，＋∞ )上单调递增，所以 f(x)在区间 [0，＋∞ )上的最小值为f(0)＝－ a；当－ (a＋ 2)>0 ，即 a<－ 2 时， f′ (x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x0(0，－ (a＋2))－(a＋2)(－ (a＋ 2)，＋∞ ) f′ (x)0－0＋f(x)f(0)f(－ (a＋ 2))由上表可知函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上的最小值为a＋4f(－(a＋ 2))＝e a＋2 .综上可知，当a≥ － 2 时， f(x)在 [0，＋∞)上的最小值为－ a；当 a<－ 2 时， f(x)在 [0，＋∞ )上的最小值为a＋ 4 a＋ 2 . e16．已知函数f(x)＝ 2ax3－ 3ax2＋1， g(x)＝－a4x＋32，a∈ R.(1)当 a＝1 时，求函数f(x)的单调区间；(2)当 a≤ 0 时，若对于任意给定的x0∈[0,2]，在[0,2]上总存在两个不同的x i(i＝ 1,2)，使得 f(x i )＝g(x0)成立，求 a 的取值范围．解： (1)当 a＝ 1 时， f′ (x)＝ 6x2－ 6x＝ 6x(x－ 1)．由 f′(x)>0，得 x>1 或 x<0 ；由 f′ (x)<0，得 0<x<1.故函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和 (1，＋∞ )；单调递减区间是 (0,1)．3(2)①当 a＝ 0 时， f(x)＝1，g(x)＝2，显然不满足题意；②当 a<0 时， f′ (x)＝ 6ax2－ 6ax＝ 6ax(x－ 1)．x 变化时， f(x)， f′ (x)的变化如下表：x 0 (0,1) 1 (1,2) 2f ′ (x) 0 ＋－f(x)1极大值 1－ a1＋ 4a又因为当 a<0 时， g(x)＝－ a 3 在[0,2]上是增函数，对于任意x ∈ [0,2] ，4x ＋2 3 a 3g(x)∈ 2 ，－ 2＋2 ，a 3由题意可得－ 2＋ 2<1 － a ，解得 a<－ 1.综上， a 的取值范围为 (－ ∞，－ 1)．17．已知函数 f(x)＝ sin x(x ≥ 0)，g(x)＝ ax(x ≥ 0)．(1)若 f(x)≤ g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；1 3(2)当 a 取 (1)中最小值时，求证： g(x)－f(x)≤ 6x .解： (1)令 h(x)＝ sin x － ax(x ≥ 0)，则 h ′(x)＝cos x －a.若 a ≥1， h ′ (x)＝ cos x － a ≤ 0，h(x)＝sin x －ax(x ≥0)单调递减， h(x)≤ h(0)＝ 0，则 sin x ≤ ax(x ≥0)成立；π若 0<a<1，存在 x 0∈ 0， 2 ，使得 cos x 0＝ a ，当 x ∈ (0，x 0)时， h ′(x)＝ cosx －a>0， h(x)＝ sin x －ax(x ∈ (0，x 0))单调递增， h(x)>h(0)＝ 0，不合题意：结合 f(x)与 g(x)的图像可知a ≤ 0 显然不合题意．综上可知， a 的取值范围是 [1，＋ ∞ )．(2)证明：当 a 取 (1)中的最小值 1 时， g(x)－ f(x)＝ x － sin x.设 H (x)＝ x － sin x －16x3(x ≥ 0)，则 H ′ (x)＝ 1－cos x －12x2.令 G(x)＝1－ cos x －12x 2 ，则 G ′ (x)＝ sin x － x ≤ 0(x ≥ 0)，所以 G(x)＝1－cos x －12x 2 在 [0，＋ ∞)上单调递减，此1212时 G(x)＝ 1－ cos x － 2x≤ G(0)＝ 0，即 H ′ (x)＝ 1－cos x － 2x ≤ 0，所以 H (x)＝ x －sin1 3 1 3 1 x －6x (x ≥ 0)单调递减，所以 H (x)＝ x － sin x － 6x ≤H (0) ＝ 0，即 x －sin x － 6x 3≤ 0(x ≥0)，即 x －sin x ≤16x 3(x ≥ 0)．所以，当 a 取(1)中的最小值时， g(x)－ f(x)≤ 16x 3 .1＋x18．已知函数 f(x)＝ln x.a(1－x)(1)设 a ＝1，讨论 f(x)的单调性；(2)若对任意 x ∈ (0,1)， f(x)<－ 2，求实数 a 的取值范围．解： (1)因为 a ＝1，所以 f(x)＝1＋ x1－ x ln x ，则函数 f(x)的定义域为 (0,1)∪ (1，＋ ∞ )．2ln x ＋ 1－x 22ln x 2＋ 1＋ xx f ′ (x)＝＝ (1－ x) 2.(1－ x) (1－ x)x设 g(x)＝ 2ln x ＋1－2－(x －1)2.x x，则 g ′ (x)＝2x因为 x>0， g ′(x)≤0，所以 g(x)在 (0，＋ ∞ )上是减函数，又 g(1)＝ 0，于是当x ∈(0,1)时， g(x)>0， f ′ (x)>0；当 x ∈(1，＋ ∞ )时， g(x)<0， f ′ (x)<0.所以 f(x)的单调递增区间为 (0,1)，单调递减区间为 (1，＋ ∞ )．1＋ x(2)由题可知 a ≠0，因为 x ∈(0,1) ，所以 1－ x ln x<0.①当 a<0 时， x ∈(0,1)， f(x)>0，不合题意；2a(1－ x)②当 a>0 时， x ∈(0,1)，由 f(x)<－ 2，可得 ln x ＋1＋x<0.设 h(x)＝ln x＋2a(1－x)，则当 x∈(0,1)， a>0 时， h(x)<0， h′(x)＝1＋ x2x ＋ (2－ 4a)x＋ 12.x(1＋ x)设 m(x)＝ x2＋ (2－ 4a)x＋ 1，方程 m(x)＝ 0 的判别式＝16a(a－ 1)．若 a∈(0,1]，则Δ≤ 0， m(x)≥ 0，h′ (x)≥ 0， h(x)在 (0,1)上是增函数，又 h(1)＝ 0，所以当 x∈ (0,1)时， h(x)<0.若 a∈(1，＋∞ )，则 >0，m(0)＝ 1>0， m(1)＝ 4(1－ a)<0，所以存在 x0∈(0,1)，使得 m(x0)＝ 0，对任意 x∈ (x0,1)，m(x)<0， h′ (x)<0 ，h(x)在 (x0,1)上是减函数，又 h(1)＝ 0，所以 x∈(x0,1)时， h(x)>0，不合题意．综上，实数 a 的取值范围是 (0,1]．。

2016甘肃林业职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

限时：45分钟满分：70分一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)1．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( ) A ．1－2i B ．2－i C ．2＋iD ．1＋2i解析：选D3＋i 1－i＝(3＋i )(1＋i )2＝1＋2i.2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A ．4B.32C.23D ．－1解析：选D 第一次循环后，S ＝－1，i ＝2；第二次循环后，S ＝23，i ＝3；第三次循环后，S ＝32，i ＝4；第四次循环后S ＝4，i ＝5；第五次循环后S ＝－1，i ＝6，这时跳出循环，输出S ＝－1.3．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．8解析：选B 当x ＝1，y ＝1时，满足x ≤4，则x ＝2，y ＝2；当x ＝2，y ＝2时，满足x ≤4，则x ＝2×2＝4，y ＝2＋1＝3；当x ＝4，y ＝3时，满足x ≤4，则x ＝2×4＝8，y ＝3＋1＝4；当x ＝8，y ＝4时，不满足x ≤4，则输出y ＝4.4．设x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且3＋4ix ＋y i ＝1＋2i ，则z ＝x ＋y i 的共轭复数在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵3＋4i x ＋y i ＝(3＋4i )(x －y i )(x ＋y i )(x －y i )＝3x ＋4y ＋(4x －3y )ix 2＋y 2＝1＋2i∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y x 2＋y 2＝1，4x －3y x 2＋y 2＝2，解得⎩⎨⎧x ＝115，y ＝－25，∴z ＝115－25i ，z ＝115＋25i ，故z ＝x ＋y i 的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限．5．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为( )1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.190B.1110C.1132D.111解析：选B 由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.6．已知函数f (x )＝a tan x2－b sin x ＋4(其中a 、b 为常数且ab ≠0)，如果f (3)＝5，则f (2 012π－3)的值为( )A ．－3B ．－5C ．3D ．5解析：选C ∵f (x )＝a tan x2－b sin x ＋4，∴f (2 012π－3)＝a tan ⎝⎛⎭⎫1 006π－32－b sin(2 012π－3)＋4 ＝a tan ⎝⎛⎭⎫－32－b sin(－3)＋4 ＝－a tan 32＋b sin 3＋4.又∵f (3)＝a tan 32－b sin 3＋4＝5，∴a tan 32－b sin 3＝1，∴f (2 012π－3)＝－1＋4＝3.7．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )＝( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C．2n－(n－1)(n－2)(n－3)D．n3－5n2＋10n－4解析：选B因为一个圆将平面分为2块区域，即f(1)＝2＝12－1＋2，两个圆相交将平面分为4＝2＋2块区域，即f(2)＝2＋2＝22－2＋2，三个圆相交将平面分为8＝2＋2＋4块区域，即f(3)＝2＋2×3＝32－3＋2，四个圆相交将平面分为14＝2＋2＋4＋6块区域，即f(4)＝2＋3×4＝42－4＋2，…平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n个圆分平面区域数f(n)＝n2－n＋2.8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m的取值范围是()A．(30,42] B．(42,56]C．(56,72] D．(30,72)解析：选B由程序框图知当k＝8时，S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56；当k ＝7时，S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＝42，所以42<m≤56.二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)9．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：310．已知如下等式： 3－4＝17(32－42)，32－3×4＋42＝17(32＋43)，33－32×4＋3×42－43＝17(34－44)，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝17(35＋45)，则由上述等式可归纳得到3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝________(n ∈N *)．解析：依题意及归纳法得，3n －3n －1×4＋3n －2×42－…＋(－1)n 4n ＝17[3n ＋1－(－4)n ＋1]．答案：17[3n ＋1－(－4)n ＋1]11．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．解析：逐步运行程序框图即可．开始时n＝8，i＝2，k＝1，s＝1，因i＝2<8，故s＝1×1×2＝2，i＝2＋2＝4，k＝1＋1＝2；因i＝4<8，故s＝12×2×4＝4，i＝4＋2＝6，k＝2＋1＝3；因i＝6<8，故s＝13×4×6＝8，i＝6＋2＝8，k＝3＋1＝4，退出循环．故输出的s的值为8.答案：812．二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝43πr3，观察发现V′＝S.则由四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W′＝V＝8πr3，故可得W＝2πr4.答案：2πr413．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝________.解析：逐次运算的结果是S＝6×(－1)＋3＝－3，i＝1；S＝(－3)×(－1)＋2＝5，i ＝0；S＝－5＋1＝－4，i＝－1，结束循环，故输出的S＝－4.答案：－414．某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为________．图3解析：根据题目中图3给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图3调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)．此时铺设道路的总费用为2＋3＋1＋2＋3＋5＝16.答案：16。

2016甘肃钢铁职业技术学院数学单招试题测试版(附答案解析)

限时：50分钟满分：80分(共16个小题，每小题5分，共80分)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D A 选项中的函数为非奇非偶函数．B 、C 、D 选项中的函数均为奇函数，但B 、C 选项中的函数不为增函数，故选D.2．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值X 围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.3．已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( )A ．tan x ≥sin x ≥xB ．tan x ≥x ≥sin xC ．大小关系不确定D ．|tan x |≥|x |≥|sin x | 解析：选D 结合y 1＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图像可知D 正确．4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )A ．3 B.13C ．11 D.111解析：选D 由a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1得a n >0，∴2a n ＋1>a n ，即a n2a n ＋1<1，故排除A 项，C 项．又a 2＝a 12a 1＋1＝13，又由已知可以看出a n ＋1<a n ，故a 6应小于13.5．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D.6．函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C 方程f (x )·2x ＝1可化为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像，如右图所示．可以发现其图像有两个交点，因此方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 有两个实数根．7．已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )解析：选B 法一：由y ＝f (x )的图像写出f (x )的解析式．由y ＝f (x )的图像知f (x )＝⎩⎨⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以f (2－x )＝⎩⎨⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图像应为B.法二：利用特殊点确定图像．当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B8．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝S MB ．P >SM C ．P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n D ．P 2>⎝⎛⎭⎫S M n解析：选C 取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM 和P 2>⎝⎛⎭⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…则S ＝2n ，P ＝2n ，M ＝n 2，这时有P 2＝⎝⎛⎭⎫S M n ，而P ≠SM ，所以A 选项不正确．9．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．10．自圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0外一点P (0,4)向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则PA ·PB 等于( ) A.125B.65 C.855 D.455解析：选A 由圆的方程(x －1)2＋(y －2)2＝1知圆心为(1,2)，半径为1.设PA 、PB 的夹角为2θ，则切线长 |PA |＝|PB |＝(1－0)2＋(2－4)2－12＝2，结合圆的对称性，cos θ＝255，cos 2θ＝35，所以PA ·PB ＝125.11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是( )A.22B.32C.2D. 3解析：选C 法一：棱长为2的正四面体的一个侧面面积记为S 1＝12×2×2×32＝3，显然图中三角形(正四面体的截面)的面积介于32与3两者之间，从而选C. 法二：将棱长为2的正四面体ABCD 放入到正方体中，如图，M 为CD 的中点．则正方体棱长为2，正方体的中心即为球心．平面MAB 必过球心，所以S △MAB ＝12×2×2＝ 2.12．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图像大致为( )解析：选B 当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C.13．若直线l 被圆x 2＋y 2＝4所截得的弦长为23，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是( )A ．y 2＝x B.x 22－y 2＝1C ．(x －2)2＋y 2＝4 D.x 23＋y 2＝1解析：选D 依题意得，圆心(0,0)到直线l 的距离等于4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，即直线l 是圆x 2＋y 2＝1的切线．而圆x 2＋y 2＝1的切线x ＝－1与曲线y 2＝x ，曲线x 22－y 2＝1，曲线(x －2)2＋y 2＝4均没有公共点；对于D ，由于圆x 2＋y 2＝1上的所有点均不在椭圆x 23＋y 2＝1内，因此圆x 2＋y 2＝1的切线与曲线x 23＋y 2＝1一定有公共点． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A ．b <－2且c >0B ．b >－2且c <0C ．b <－2且c ＝0D ．b ≥－2且c ＝0解析：选C 设t ＝f (x )，则方程化为关于t 的一元二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图像如图所示，显然，当⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝t >2时，有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，而当f (x )＝0时，只有x ＝0，所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t 2＋bt ＋c ＝0有一个零根和一个大于2的根，故b <－2且c ＝0，故所求充要条件为b <－2且c ＝0.15．F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点，点P 在椭圆上运动，则|1PF ·2PF |的最大值是( )A ．4B ．5C ．1D ．2解析：选D 设动点P 的坐标是(2cos α，sin α)，由F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则1PF ＝(－2cos α－3，－sin α)，2PF ＝(－2cos α＋3，－sin α)．所以|1PF ·2PF |＝|4cos 2α－3＋sin 2α|＝|3cos 2α－2|≤2.16．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8解析：选C 记f (x )－2＝f 1(x )，g (x )－2＝g 1(x )，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的根与方程f 1(x )＝g 1(x )在区间[－5,1]上的根相同．令x＋2＝t，则x＝t－2，当x∈[－5,1]时，t∈[－3,3]，方程f1(x)＝g1(x)，即f1(t－2)＝g1(t－2)，g1(t－2)＝1t，在同一坐标系下画出函数y＝f1(t－2)，t∈[－3,3]的图像与g1(t－2)＝1t，t∈[－3,3]的图像，结合图像可知，它们的图像共有三个不同的交点，设这些交点的横坐标自左向右依次为t1、t2、t3，则有t1＋t3＝0，t2＝－1，(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＝t1＋t2＋t3＝－1，则x1＋x2＋x3＝－7，因此方程f(x)＝g(x)在区间[－5,1]上的所有实根之和等于－7.。

概述2016年甘肃单招数学模拟试题：二项分布及其应用.docx

2016年甘肃单招数学模拟试题:二项分布及其应用【试题内容来自于相关网站和学校提供】1：某种电子元件用满3000小时不坏的概率为，用满8000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是（）A、B、C、D、2：某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，既刮三级以上风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮三级以上风的概率为（）A、B、C、D、3：已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )A、B、C、D、4：设在三次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为，则在一次试验中事件A发生的概率是（）A、B、C、D、5：甲同学回答4个问题，每小题回答正确的概率都是，且不相互影响，则甲同学恰好4个题都答对的概率是（）A、B、C、D、6：一个正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点，设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为，则________。

7：随机变量，则的值为 .8：。

随机变量X服从二项分布，则P(X=1)= ▲。

（用数字作答）9：电子设备的某一部件由9个元件组成，其中任何一个元件损坏了，这个部件就不能工作，假定每个元件能使用3000小时的概率为，则这个部件能工作3000小时的概率为_______（结果保留两位有效数字）。

10：已知随机变量服从二项分布，则的值为 .11：一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么（1）先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？（2）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？12：一接待中心有、、、四部热线电话，已知某一时刻电话、占线的概率坞为0.5，电话、占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布。

13：（本小题满分12分）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率。

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2016年甘肃单招数学模拟试题:充分条件与必要条件
【试题内容来自于相关网站和学校提供】
1：已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A 、
B 、
C 、
D 、
2：[2012·浙江高考]设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件
D 、既不充分又不必要条件
3：下列各小题中，是的充要条件的是
（1）
；
（2）是奇函数；
（3）
；
（4）或
；
有两个不同的零点.
A 、
B 、
C 、
D 、
4：
已知函数
，对于任意正数，是成立的（）
A 、充分非必要条件
B 、必要非充分条件
C 、充要条件
D 、既不充分也不必要条件
5：在△
中，“
”是“
”的（）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分必要条件
D 、既不充分也不必要条件
6：设命题p: ,命题q: 若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值
范围是___________。

7：已知下列几个命题： ①已知F 1、F 2为两定点，
=4，动点M 满足，则动点M 的
轨迹是椭圆。

②一个焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线标准方程是
③“若 =b ，则a 2
=ab”的否命题。

④若一个动圆的圆心在抛物线
上，且动圆恒与直线
相切，则动圆必过定点。

其中真命题有____________
8：已知条件p：x≤1，条件q： <1，则綈p是q的__________条件(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)。

9：已知条件，条件，则是的
10：给出以下四个命题，所有真命题的序号为________。

①从总体中抽取样本(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n，y n)，若记＝，＝i，则回归直线
必过点( ，)；
②将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝sin 的图象；
③已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N *
，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的充分不必
要条件；
④命题“若|x|≥2，则x≥2或x≤－2”的否命题是“若|x|≥2，则－2<x<2”。

11：已知命题表示双曲线，命题表示椭圆。

⑴若命题为真命题，求实数的取值范围。

⑵判断命题为真命题是命题为真命题的什么条件（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）。

12：已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。

13：已知，若的充分不必要条件，求实数的取值范围。

14：
抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知
抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程。

15：设命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围。

答案部分
1、C
略
2、A
由a＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a＝1或a＝－2，故选A.
3、C
试题分析：对于（1）：当时，，故命题p不是命题q的充要条件；对于（2）：
命题p是命题q的充分不必要条件；对于（3）,故命题p
是命题q的充要条件；对于（4）: ∵有两个不同的零点，∴
或m<-2，又
或，关于命题p是q的必要不充分条件。

故符合题意的有（3），故选C
考点：本题考查了充要条件的判断
点评：充要条件的判断常常利用定义法或集合法处理，属基础题
4、B
，得，当时，不能推出
；由能推出，因此是的必要不充分条件，故选：B.
5、C
试题分析：由已知，当A，B都为锐角，且A<B时，正弦函数在（0，90°）单调递增，所以，故
；
当A为锐角，B为钝角时，A+B<180°，所以,所以，故选：C、
考点：充要条件。

6、
试题分析：命题，命题，若是的充分不必要条件，则，
即.
考点：1.分式不等式；2.命题及其关系.
7、②④
试题分析：①已知F 1、F 2为两定点，=4，动点M满足，则动点M的轨迹是椭圆。

不
对，轨迹是线段；
②一个焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线标准方程是，正确，因为，双
曲线的焦点为，与双曲线有相同的渐近线，即，由得，双曲线标准方
程是；
③“若=b，则a 2
=ab”的否命题。

不对。

若=b，则a
2
=ab”的否命题是：若a
2
ab，则b，表示真命
题；
④若一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点。

正确。

∵
抛物线y 2
=8x的准线方程为x=-2，∴由题可知动圆的圆心在y
2
=8x上，且恒与抛物线的准线相切，由定义可知，
动圆恒过抛物线的焦点（2，0）。

故答案为②④。

考点：圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，命题及其否命题。

点评：中档题，本题综合性较强，较全面地考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，命题及其否命题。

对考生灵活解题的能力要求较高。

8、充分不必要
由x>1得<1；反过来，由<1不能得知x>1，即綈p是q的充分不必要条件。

9、充分不必要条件
本题考查不等式的解法及充要条件的判断.
由得或，则或，则；
由得，则，则或
令
则且，即是的真子集，
故是的充分不必要条件
10、①②③
y＝cos 2x向右平移得
y＝cos 2 ＝cos
＝cos ＝cos
＝sin
11、（1）（2）是的必要不充分条件.
试题分析：（1）因为为双曲线，而双曲线方程的特征为项的系数符号相反，所以
，（2）因为为椭圆，而椭圆方程的特征为项的系数符
号为正且不等，所以，即或，由于包含
或，所以是的必要不充分条件.利用集合之间包含关系判断命题充要关系是一个常用且有效的方法.
试题解析：（1）命题表示双曲线为真命题，则，3分
∴；5分
⑵命题表示椭圆为真命题，，8分
∴或，10分
或
∴是的必要不充分条件. 14分
考点：命题充要关系,椭圆与双曲线方程特征
12、
略
13、
略
14、抛物线方程为；双曲线方程为
解：由题设知，抛物线以双曲线尝喜焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，所以，所以抛物线方程为，
.因为抛物线过点，所以，所以。

故抛物线方程为.
又双曲线过点，所以。

又，所以代入得，所以或（舍），所以，故双曲线方程为.
15、
由，得，
因此，或，
由，得。

因此或，
因为是的必要条件
所以，即。

如下图所示：
因此解得。