2016年甘肃省高考理科数学试题与答案

2016年甘肃省高考理科数学试题与答案（满分150分，时间120分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共24题，共5页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题 ，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知Z=（m+3）+（m-1）i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）（-3,1） （B ）（-1,3） （C ）()1,+∞ （D ）(),3-∞-（2）已知集合{}1,2,3A =，{}|(1)(2)0,B x x x x Z =+-<∈，则AB =（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2,3} （D ）{-1,0,1,2,3}（3）已知向量a=（1，m ），b=（3，-2），且（a+b ）⊥b ，则m=（A ）-8 （B ）-6 （C ）6 （D ）8（4）圆22x +y -2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（A ）4-3 （B ）3-4（C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小明回合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数2sin 2y x = 的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像对称轴为 （A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈（8）中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。

执行该程序框图，若输入的 x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输入的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos （4π-α）=35，则sin2α= （A ）725 （B ）15 （C ）-15 （D ）-725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数12,,...,nx x x ， 12,,...,n y y y 构成n 个数对11,x （y ），22,x （y ），…，,n n x （y ），其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11 1F ,2F 是双曲线E ：22221a x y b+=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，121sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2（12）已知函数f x ∈（）（R ）满足f x =f x （-）2-（），若函数x 1y=x+与y=f x （）图像的x 1y=f x x +（）交点为（1x ，1y ）；（2x ，2y ），…，（m x ，m y ），则1()mi i i x y =+=∑ （A ）0 (B)m (C)2m (D)4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c 若cosA=45，cosC=513,a=1，则b= 。

（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n//β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n//α，那么m ⊥n. ③如果α//β，m ⊂α，那么m//β④如果m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ___________ （填写所有正确的命题序号）。

（15）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_____________。

（16）若直线y=kx b +的曲线，y=1nx+2的切线，也是曲线y=1n(x+1)的切线，则b=_________ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的的前n 项和，且1a =1，7S =28，记n b =[]lg n a ，其中[x]表示不超过显得最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1. (Ⅰ)求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{n b }的前1000项和. （18）（本小题满分12分）某种保险的基本保费为a （单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(Ⅰ)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD ，CD 上，AE=CF=，EF 交于BD 于点H ，将DEF 沿EF 折到 D ′EF 的位置，OD ’=.（Ⅰ）证明：D ′H ⊥平面ABCD; （Ⅱ）求二面角B- D ′A-C 的正弦值。

（20）（本小题满分12分）已知椭圆E ：2x t+23y =1的焦点在X 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为K （K>0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥ＮＡ. （Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求K 的取值范围。

（21）（本小题满分12分）（Ⅰ）讨论函数f(X)=且f(X)>0,并证明当x>0时，（x-2）+ x+2>0;（Ⅱ）证明：当a [0，1)时，函数g(X)=（x>0）有最小值。

设g(X)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域。

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F . （Ⅰ）证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；（Ⅱ）若AB =1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(+6)+=25x y .（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10AB ,求l 的斜率.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x xx，M 为不等式()2f x 的解集.（Ⅰ）求M ； （Ⅱ）证明：当a ，bM 时，1abab .答案：一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.A 12.C 二、13.132114. ② ③ ④ 15.1和3 16.1-1n2 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）nan =，[lg ][lg ]n n b a n ==，10b =，11[lg11]1b ==，101[lg101]2b ==．（Ⅱ）因为lg10=，lg101=，lg1002=，lg10003=．所以19n ≤≤时，[lg ]0n =． 当100999n ≤≤时，[lg ]2n =．当999n =时，[lg ]3n =． 所以数列{}nb 的前1000项和1000121000[lg1][lg2][lg3][lg1000]0901900231893T b b b =+++=++++=+⨯+⨯+=．18．（Ⅰ）设一续保人本年度的保费高于基本保费的概率为1p ，则10.200.200.100.050.55p =+++=．（Ⅱ）设所求概率为2p ，则20.100.050.1530.200.200.100.050.5511p+===+++．（Ⅲ）续保人本年度的平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05 1.23a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以续保人本年度的平均保费1.23a 与基本保费a 的比值为1.23 1.23a a=．19．（Ⅰ）略．．20．（Ⅰ）当||||AM AN =时，1k =，直线:2l y x =+．代入椭圆方程整理得271640x x ++=．因为直线l 与椭圆E 的交点为(2,0)A -，0(,)M x y ，所以01627x-+=-，得027x=-，所以点212(,)77M -，又212(,)77N --，所以△AMN 的面积1242144(2)27749S =⨯⨯-+=．（Ⅱ）令2t a =，则直线AM 方程()y k x a =+． 联立椭圆直线方程，消去y 整理得22223222(3)2(3)0a k xk a x a a k +++-=．于是2302223k a a xa k -+=-+，所以232322222333k a a k a xa a k a k -=-=++，所以226||3a AM a k +，222266||133a ak AN k a a k++．因为2||||AM AN =，所以22226633a aka k k a ++，即232(2)63a kk k-=-．所以23632kk t k -=-，因为3t >，所以236332kkk ->-，整理得3202k k ->-2k k <，所以k 的取值范围是．21．（Ⅰ）对2()e 2xx f x x -=+求导，得22()e (2)xx f x x '=+．当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞内单调递增， 所以()(0)f x >． 因为(0)1f =-，所以2e12xx x ->-+，所以(2)e 20xx x -++>．（Ⅱ）对2e ()x ax a g x x --=求导，得332(2)[e ]e (2)(2)2()xxx x a x a x x g x xx -++-+++'==，0x >．记2()e 2xx x a x ϕ-=++，0x >．由（Ⅰ）知函数()x ϕ区间(0,)+∞内单调递增，所以()(0)x ϕϕ>， 又(0)10a ϕ=-+<，(2)0a ϕ=>，所以存在唯一正实数0x ，使得002()e 02x xx a x ϕ-=+=+．于是，当0(0,)x x ∈时，()0x ϕ<，()0g x '<，函数()g x 在区间0(0,)x 内单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ>，()0g x '>，函数()g x 在区间0(,)x +∞内单调递增．所以()g x 在(0,)+∞内有最小值00020e()x ax ag x x --=，由题设0020e ()x ax a h a x --=．又因为002e 2x xa x --=+．所以001()e 2x g x x =+．根据（Ⅰ）知，()f x 在(0,)+∞内单调递增，002e (1,0]2x x a x -=-∈-+， 所以002x <≤．令1()e (02)2xu x x x =<≤+，则1()e2xx u x x +'=>+，函数()u x 在区间(0,2)内单调递增，所以(0)()(2)u u x u <≤， 即函数()h a 的值域为21e (,]24．22．（Ⅰ）在Rt △DEC 中，因为DF EC ⊥， 所以90FDC DCE FCB ∠=︒-∠=∠，且DF CF DEDC=，因为DE DG =，BC CD =，所以DF FC DGCB=，所以△DFG ∽△CFB ．所以DGF CBF ∠=∠．所以180FGC CBF ∠+∠=︒． 所以B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）因为12DE AD =，DG DE =，所以12DG DC =．因为B ，C ，G ，F 四点共圆，所以90GFB GCB ∠=∠=︒． 所以△GFB ≌△GCB ．所以△GCB 的面积1111224S =⨯⨯=．23．（Ⅰ）由圆C 的标准方程22(6)25x y ++=，得221290x y x +++=，所以圆C 的极坐标方程为212cos 90ρρθ++=．（Ⅱ）将cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩代入22(6)25x y ++=，整理得212cos 110tt α++=．设A ，B 两点对应参数值分别为1t ，2t ，则1212cos t tα+=-，1211t t=．所以12||||AB tt =-23cos 8α=，解得cos α=，所以tan α或tan α=．24．（Ⅰ）函数12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，则不等式()2f x <可化为1,222,x x ⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩或11,2212,x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩或 1,222,x x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩解得11x -<<．所以不等式()2f x <的解集为(1,1)-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知(1,1)a ∈-，(1,1)b ∈-，所 以210a->，210b ->，于是22(1)(1)0a b -->，即22(1)()0ab a b +-+>，所以|1|||ab a b +>+．。