第20章 狭义相对论

矢量式：
即
a x ax a y ay a z a z
a a
表明：不同惯性系的观察者测量同一质点的加速 度是相同的。也就是说，物体运动的加 速度对伽利略变换是不变的。 2、 力学相对性原理 （1） 牛顿运动定律具有伽利略不变性
力 F 在牛顿定律成立的领域内， 质量 m 与参照系无
u x v u x v 1 2 u x c u y u y v (1 2 u x) c u z u z v (1 2 u x) c
上式称为洛仑兹速度变换式。 讨论： 1）在低速情况下，洛仑兹速度变换又可过渡到伽
1、相对性原理：物理定律在所有的惯性系中都有 相同的数学形式。 内涵： 即所有的惯性系对研究物理现象都是等 价的。物理定律从一个惯性系变换到另一 个惯性系，物理规律的数学表达式不 变。它间接地表明，无论用什么物理实验方 法都不能找到绝对静止的参照系， 因此
绝对静止的参照系是根本不存在的。 2、光速不变原理：在所有惯性系中，真空中光速 都具有相同的值。 内涵：真空中的光速是常量，它与光源或观察 者的运动无关，即不依赖惯性系的选择。 无论顺着光传播方向运动的参照系中的 观察者，还是逆着光传播方向运动的参照 系中的观察者测待光速都是一样的。它 也间接否定了绝对时空观---同时的绝对性。
S S’ V
xA A
v v t xBA ) ( 2 x BA ( t BA 2 c c t BA t B t A 0 t B tA
即在 S’（列车）看，B 钟走得比 A 钟快。 3、事件发生的因果顺序不会颠倒 设质点从 A 点运动到 B 点，质点在 A 点出现为事 件 A，在 B 点出现为事件 B 由洛仑兹时间间隔变换公式
第二十章
狭义
相对论 20—1 经典力学与经典时空观
一、 伽利略变换与经典时空观
1、伽利略变换
在两个以相对速度 V 运动的惯性系 S 和 S 系中的两 个观察者，对同一运动质点 P 的运动状态所测得的时间、空间（即坐标）之间 的变换关系。 （1） 伽利略时空变换关系 设惯性系 S 和 S 对应坐标轴相互平行， S 系相对 S 系以速度 V 沿 OX 轴的正方向运动， o 和 o’重合时作为记时开始。 设运动质点 P 在空间 A 点发生一事件 S 系中观察者测出这一事件的时空坐标为（x，y， z，t） S 系 中 观 察 者 测 出 这 一 事 件 的 时 空 坐 标 为 （ x， y， z ， t ）
t BA
v (t x BA BA ) t BA 2 c
V<C, ux’<C，则 t BA 与 t BA 始终同号，表明有因果关 系的两事件，在 s 和 s’系中看，其发 生的先后顺序相同。
二、长度的收缩（空间间隔的相对性）
设一刚性杆沿 ox’轴放置且相对于 s’系不 动。 设测量 A 端坐标为事件 A，测量 B 端坐标为事
或
u x u x v u y u y z u z u
矢量式：
u u v
（绝对速度
＝相对速度＋牵连速度） （3） 加速度变换式 若质点作变速运动，上式两边对时间求导可得加速 度变换式：
dux du x dt dt du y du y dt dt duz du z dt dt
式中：

1 1 2
逆变换为

v c
上式称为洛仑兹变换式。 若发生了 A1、A2 两个事件，由洛仑兹变换可得两个 事件的时间间隔和空间间隔的变换公式
x (x vt ) y y z z t (t v x) c2
lv 2 3 t12 时间差为： c
v2 l 2 ct12 两束光的光程差为： 12 c
仪器旋转 90 ，前后两次光程差的改变为：
12 v2 12 2l 2 12 c
。
4 、光程差改变引起条纹移动数目的计 算公式
N
实
l 10m`
利略速度变换式。
u x ux v
u y uy
u x c
测 得 光
u z
2）设想在 s’系中沿 ox 轴正向发射一光信号 在 s’系中测得光速 在 s 系 中
速
u cv x v ux c 2 2 1 u 1 cv c xv c
由于 v 是任意的（即使 v=c） ，因而在任一惯性 系中光速都是 c，说明洛伦兹速度变换 遵从光速不变原理。
2 2 光从 G—M2 的速度： C3 c v
2 2 光从 M2--G 的速度： C4 c v
光 从
t2
G — M2 — G
2l 2l v2 2 c(1 2 ) c
1
所 需 时 间 为 ：
c2 v2
从 s’看，G 点发出的 1、2 两束光到达望远镜的 时间差为： 2l 2l 2l v t12 t1 t 2 (1 2 2 1 c c v 2 v c(1 2 ) c(1 2 ) c c
dx u x dx dt
( dx vdt) ( dt
v c
2

dt 1
v
dx)
v dx c 2 dt
同法可得：
ux v u x v 1 2 ux c uy u y v (1 2 u x ) c uz u z v (1 2 u x ) c
v2 ct12 l 2 于是两束光的光程差为： 12 c
3、 让整个装置绕过 G 点垂直于水平面的轴转动 。 90 则 1、2 两束光由 G 分两路经 M1、M2 反射回到 G 的时间分别为：
t1 2l v c (1 2 ) 2 c
2
1
t2
2l v2 c (1 2 ) c
的。
三、洛仑兹速度变换式
设质点 P 在运动， S 系看 P 点速度为 u(ux,uy,uz)， s’ 看速度为 u’(ux’,uy’,uz’) 设质点运动过程中发生一段无限小位移，以位移的 起始和终结作为两个事件，由公式有
dx (dx vdt) dy dy dz dz
表明伽利略变换并不是错了，它是洛仑玆变换在低 速情况下的近似，因此相对论并没有 推翻经典力学，而只是限制了它的适用范围。当速 度可与光速相比时就要用洛仑兹变换。 2）当 v>c 时，洛伦兹变换失去意义，所以相对论还 指出物体的速度不能超过真空中的光速。 现代实验都发现，高能粒子的速度是以 c 为极限
y
y ’
A
( x, y,
z, t
)
r r’
(x’ , y’ , z’, t’ )
o z
Z ’
O’
X
x’
这两组坐标应有如下变换关系： 矢量式： 分量式：
r r ro
x x vt y y z z t t
或
x x vt y y z z t t
B
( x B , yB , z B , t )
事 件 时 空 坐 标 为 A 事件时空坐标为 事 件 时 空 坐 标 为
在 S 系测得：
( xA , y A , z A , t A )
B
( xB , y B , z B , t B )
由洛仑兹时间间隔变换公式
t BA
( t BA
关，即
F F , m m 对 S 系有： F ma
对 S 系有：
F ma
说明在所有惯性系中，牛顿定律具有相同数学表 达形式。 （2） 力学相对性原理 在所有惯性系中，力学定律具有相同数学表达 形式。它说明在描述力学现象时所有惯性系 是平权等价的，不存在任何一个惯性系比其它 惯性系更为优越。
二、洛仑兹变换
1、洛仑兹变换公式 若有一个事件在 A 点发生 S 系测得事件的时空坐标为（x,y,z,t） S’系测 得时空坐标为(x’,y’,z’,t’) 由狭义相对论的相对性原理和光速不变原理，可导 出该事件在 s 和 s’系中的时空坐标变 换式如下：
x ( x vt ) y y z z t (t v x ) c2 x ( x vt ) y y z z t (t v x) c2
20—4 狭义相对论的时空观 一、同时的相对性
设想在高速列车（s’）上，车头车尾有光信号接 收装置 A 和 B，现在列车中间发出一 闪电。
S
S’
V
A
B
设 A 端接收到光信号称为事件 A，B 接收到光 信号称为事件 B 在 S’ 系 测 得 ： A 事 件 时 空 坐 标 为
(x A , y A , z A ,t )
v V xBA ) 2 x BA 2 c C
结论： 1、 一般情况，在一个惯性系 S’观测到同时，不同 地发生的两事件，在另一惯性 系 S 来观测就不再是同时的了。 特殊情况，在一个惯性系 S’观测到同时，又同 地发生的两事件，在另一惯性 系 S 来观测也一定是同时的。 2、时钟不同步问题 在 S 系（如地面）中己校准的两时钟 A 和 B，在 S’系（如列车）上看沒有校准。 设 A 钟短针指向 12 点为事件 A， 设 B 钟短针指向 12 点为事件 B。
x ( x vt ) y y z z t ( t v x) c2
讨论： 1） 当 v<<c 时， 可忽略 因子中的 ( c ) 和它的更高次
v
2
项，这时洛仑兹变换又过渡 到伽利略变换。
x x vt y y z z t t