高考数学二轮复习 专题检测(十九)选择题第12题、填空题第16题专练 文

专题检测（十九） 选择题第12题、填空题第16题专练一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，a 3，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选A (特殊数列)取大家最熟悉的等比数列a n ＝2n，代入q 命题(不妨取n ＝3)满足，再取a n ＝3n代入q 命题(不妨取n ＝3)也满足，反之取a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ＝0时，满足q 命题，但不满足p 命题，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13 C ．12D ．1解析：选C 法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e－x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 综上所述，a ＝12.3．已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50解析：选B 因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝a 1＋a 1002＝50(a 50＋a 51)＝－100.4．(2017·贵州适应性考试)已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PF |，当m 取最大值时，|PA |的值为( )A ．1B ． 5 C. 6D ．2 2解析：选D 设P (x ，y )，由抛物线的定义知|PF |＝y ＋1，|PA |＝x 2＋y ＋2，所以m ＝x 2＋y ＋2y ＋1，平方得m 2＝x 2＋y ＋2y ＋2，又x 2＝4y ，当y ＝0时，m ＝1，当y ≠0时，m 2＝4y ＋y ＋2y ＋2＝4y y ＋2＋1＝1＋4y ＋1y＋2，由基本不等式可知y ＋1y ≥2，当且仅当y ＝1时取等号，此时m 取得最大值2，故|PA |＝4＋＋2＝2 2.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，定义⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝⎩⎪⎨⎪⎧ad －bc ，ad ≥bc ，12bc －ad ，ad <bc ，已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 41 x ，直线l ：kx －y ＋3－2k ＝0，若直线l 与函数f (x )的图象有两个交点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1724C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，1724∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(－1,1)解析：选A 由题意知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 41 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤－2或x ≥2，124－x 2，－2<x <2，直线l ：y ＝k (x －2)＋3过定点A (2，3)，画出函数f (x )的图象，如图所示，其中f (x )＝x 2－4(x ≤－2或x ≥2)的图象为双曲线的上半部分，f (x )＝124－x 2(－2<x <2)的图象为椭圆的上半部分，B (－2,0)，设直线AD 与椭圆相切，D 为切点．由图可知，当k AB <k <1或－1<k <k AD 时，直线l 与f (x )的图象有两个交点．k AB ＝3－02－－＝34，将y ＝k AD (x －2)＋3与y ＝124－x 2(－2<x <2)联立消去y ，得(1＋4k 2AD )x 2＋8k AD (3－2k AD )x ＋16k 2AD －48k AD ＋32＝0，令Δ＝0，解得k AD ＝23.综上所述，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，23∪⎝⎛⎭⎪⎫34，1.6．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＞100，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝110，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立，但a 2＋b 2＋c 2＝200，即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D.7．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝sin x2＋cos x .若当x >0时，函数f (x )的图象恒在直线y ＝kx 的下方，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，32 解析：选B 由题意，当x >0时，f (x )＝sin x2＋cos x <kx 恒成立．由f (π)<k π，知k >0.又f ′(x )＝1＋2cos x＋cos x2，由切线的几何意义知，要使f (x )<kx 恒成立，必有k ≥f ′(0)＝13.要证k ≥13时不等式恒成立，只需证g (x )＝sin x 2＋cos x －13x <0，∵g ′(x )＝2cos x ＋1＋cos x 2－13＝－x －2＋cos x2≤0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴g (x )<g (0)＝0，∴不等式成立．综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 8．设D ，E 分别为线段AB ，AC 的中点，且BE ―→·CD ―→＝0，记α为AB ―→与AC ―→的夹角，则下述判断正确的是( )A ．cos α的最小值为22B ．cos α的最小值为13C ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2的最小值为825D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α的最小值为725 解析：选 D 依题意得CD ―→＝12(CA ―→＋CB ―→)＝12[－AC ―→＋(AB ―→－AC ―→)]＝12(AB ―→－2AC ―→)，BE ―→＝12(BA ―→＋BC ―→)＝12[－AB ―→＋(AC ―→－AB ―→)]＝12(AC ―→－2AB ―→)．由CD ―→·BE ―→＝0，得14(AB ―→－2AC ―→)·(AC ―→－2AB ―→)＝0，即－2AB ―→2－2AC ―→2＋5AB ―→·AC ―→＝0，整理得，|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝52|AB ―→|·|AC ―→|cos α≥2|AB ―→|·|AC ―→|，所以cos α≥45，sin π2－2α＝cos 2α＝2cos 2α－1≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，所以sin π2－2α的最小值是725. 9．(2017·石家庄质检)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A ­BCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则f (x )的图象大致是( )解析：选A 如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则由鳖臑的定义知PQ ∥AB ，QR ∥CD .设AB ＝BD ＝CD ＝1， 则CP AC＝x3＝PQ 1，即PQ ＝x3， 又QR 1＝BQ BC ＝APAC＝3－x 3，所以QR ＝3－x3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3，所以f (x )＝36 2x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋34，结合图象知选A.10．过坐标原点O 作单位圆x 2＋y 2＝1的两条互相垂直的半径OA ，OB ，若在该圆上存在一点C ，使得OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→(a ，b ∈R)，则以下说法正确的是( )A ．点P (a ，b )一定在单位圆内B ．点P (a ，b )一定在单位圆上C ．点P (a ，b )一定在单位圆外D ．当且仅当ab ＝0时，点P (a ，b )在单位圆上解析：选B 使用特殊值法求解．设A (1,0)，B (0，－1)，则OC ―→＝a OA ―→＋b OB ―→＝(a ，－b )．∵C 在圆上，∴a 2＋b 2＝1，∴点P (a ，b )在单位圆上，故选B. 二、填空题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x＋1，x ≤0，|ln x |，x >0，当1<a <2时，关于x 的方程f [f (x )]＝a 实数解的个数为________．解析：当1<a <2时，作出f (x )的图象如图所示，令u ＝f (x )，则f (u )＝a ，由f (x )的图象可知，若u 满足u <0，此时f (x )＝u 无解，若u >0，解得1e 2<u <1e<1或2<e<u <e 2，显然，当x <0时，不可能使得f (x )＝u 有解，当x >0，1e 2<u <1e<1时，f (x )＝u 有2个解，当x >0,2<e<u <e 2时，f (x )＝u 也有2个解．因此f [f (x )]＝a 有4个实数解．答案：42．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：(特殊图形)如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A与D 重合于E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B ＝∠C ＝75°，∠E ＝30°，BC ＝2，由正弦定理可得BC sin ∠E ＝BEsin ∠C ，即2sin 30°＝BEsin 75°，解得BE ＝6＋2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B＝∠BFC ＝75°，∠FCB ＝30°，由正弦定理知，BF sin ∠FCB ＝BC sin ∠BFC ，即BF sin 30°＝2sin 75°，解得BF ＝6－2，所以AB 的取值范围是(6－2，6＋2)．答案：(6－2，6＋2)3．设0<m <12，若1m ＋11－2m ≥k 恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由题可知，k 的最大值即为1m＋11－2m 的最小值．因为1m ＋11－2m＝[2m ＋(1－2m )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋11－2m ＝3＋1－2m m ＋2m 1－2m ≥3＋22，取等号的条件是当且仅当1－2m ＝2m ，即m ＝1－22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时成立，所以k 的最大值为3＋2 2.故所求实数k 的取值范围是(－∞，3＋2 2 ]．答案：(－∞，3＋2 2 ]4．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ，∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案：23 π125．已知向量a ，b ，c 满足|a |＝2，|b |＝a ·b ＝3，若(c －2a )·(2b －3c )＝0, 则|b －c |的最大值是________．解析：设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝32×3＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，c ＝(x ，y )，建立如图所示的平面直角坐标系． 则A (1,1)，B (3,0)，∴c －2a ＝(x －2，y －2)，2b －3c ＝(6－3x ，－3y )， ∵(c －2a )·(2b －3c )＝0，∴(x －2)(6－3x )＋(y －2)(－3y )＝0. 即(x －2)2＋(y －1)2＝1. 又知b －c ＝(3－x ，－y )， ∴|b －c |＝x －2＋y 2≤－2＋－2＋1＝2＋1，即|b －c |的最大值为2＋1. 答案：2＋16．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD ＝3，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：设AD ＝x ，则AB ＝AC ＝2x ，因为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以AB ＋AD >BD ，即2x ＋x >3，x >1，AB －AD <BD ，即2x －x <3，x <3，所以x ∈(1,3)． 在△ABD 中，由余弦定理得9＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x cos A ，即cos A ＝5x 2－94x2，S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×2x ×x ×sin A＝2x21－⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 2－94x 22＝32－x 4－10x 2＋，令t ＝x 2，则t ∈(1,9)，S △ABC ＝32 －t －2＋16，当t ＝5，即x ＝5时，S △ABC 有最大值6.答案：67．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R|f (x )＝0}，μ∈{x ∈R|g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝ex －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数f (x )为增函数，且f (2)＝e2－2＋2－3＝0，所以函数f (x )＝ex －2＋x －3只有一个零点x ＝2，则取λ＝2，由|2－μ|≤1，知1≤μ≤3.由f (x )与g (x )互为“零点密切函数”知函数g (x )＝x 2－ax －x ＋4在区间[1,3]内有零点，即方程x 2－ax －x ＋4＝0在[1,3]内有解，所以a ＝x ＋4x －1，而函数y ＝x ＋4x－1在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当x ＝2时，a 取最小值3，且当x ＝1时，a ＝4，当x ＝3时，a ＝103，所以a max＝4，所以实数a 的取值范围是[3,4]．答案：[3,4]8．对于数列{a n }，定义{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．对正整数k ，规定{Δk a n }为数列{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n )．若数列{Δ2a n }的各项均为2，且满足a 11＝a 2 015＝0，则a 1的值为________．解析：因为数列{Δ2a n }的各项均为2，即Δa n ＋1－Δa n ＝2，所以Δa n ＝Δa 1＋2n －2，即a n ＋1－a n ＝Δa 1＋2n －2，所以a n －a 1＝(n －1)Δa 1＋(0＋2＋4＋…＋2n －4) ＝(n －1)Δa 1＋(n －1)(n －2)(n ≥2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 11－a 1＝10Δa 1＋10×9，a 2 015－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，即⎩⎪⎨⎪⎧0－a 1＝10Δa 1＋10×9，0－a 1＝2 014Δa 1＋2 014×2 013，解得a 1＝20 140. 答案：20 1409．已知圆O ：x 2＋y 2＝1 和点A (－2,0)，若定点B (b,0)(b ≠－2) 和常数 λ满足：对圆 O 上任意一点 M ，都有|MB |＝λ|MA |，则b ＝________ ；λ＝________ .解析：法一：(三角换元)在圆O 上任意取一点M (cos θ，sin θ)，则由|MB |＝λ|MA |可得(cos θ－b )2＋sin 2θ＝λ2[(cos θ＋2)2＋sin 2θ]，整理得1＋b 2－5λ2－(2b ＋4λ2)·cos θ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋b 2－5λ2＝0，2b ＋4λ2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.法二：(特殊点)既然对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，使得λ与b 为常数，那么取M (1,0)与M (0,1)代入|MB |＝λ|MA |，得⎩⎪⎨⎪⎧b －2＝9λ2，b 2＋1＝5λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－12，λ＝12.答案：－12 1210．(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝q p，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质， 因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：8。