巅峰对决专题三 解直角三角形(第二轮)
专题15 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略(解析版)
专题15难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】 (1)【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】 (7)【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】 (13)【典型例题】【类型一解直角三角形应用与特殊三角形的综合】(1)天晴时打开“天幕”，若130∠=︒，求遮阳宽度CAE∠由130︒减少到90(2)下雨时收拢“天幕”，CAE【答案】(1)3.6m(2)1.2m∴ 2.2GE BF ==，当130CAE ∠=︒时，OAE ∠∴ 1.03m tan 65GE AG =≈︒，【变式训练】(1)BAD ∠=，ADB =∠；(2)求线段AD 的长；（结果保留整根号）(3)请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：【答案】(1)60︒，45︒；(2)()10103cm+(1)天晴时打开“晴雨伞，若60α∠=︒，求遮阳宽度(2)下雨时收拢“晴雨伞，使BAC ∠由120︒减少到106sin530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan53 1.33︒≈，3≈【答案】(1)3.46m∴90DFE ∠=︒，∵AD DQ ⊥，EQ DQ ⊥∴90ADQ EQD ︒∠=∠=，∴DFE ADQ EQD ∠=∠=∠(1)求CD 的长．(2)求点D 到底架CE 的高DF （结果精确到0.1cm ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，【答案】(1)13cm(2)7.8cm【分析】（1）根据题意得出13cm OA OB OC OD ====，由60COD AOB ∠=∠=︒，证明AOB【类型二解直角三角形应用与特殊四边形的综合】例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形FECG 可由矩形ABCD 绕点C 旋转得到，点E 在AD 上，延长ED 交FG 于点H ．连接BE CH ，．(1)判断四边形BEHC 的形状并给予证明；(2)若点G 在水平地面上，AB 与水平地面平行，483cm 4cm BCE AB BC ∠=︒==，，，求点A 到水平地面的距离．（结果精确到0.1m ．）参考数据：sin480.75cos480.67tan48 1.11cos240.91tan240.45︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，【答案】(1)平行四边形，见解析(2)6.3m【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出CG CD EF ==，利用AAS 证明EDC HFE ≌△△，得到EH EC =，据此可证明四边形BEHC 是平行四边形；（2）延长AH 交水平地面于点M ，连接GM ．利用正切函数求得AE 的长，得到FG AD =，推出1.35GH AE ==，再根据余弦函数求得HM 的长，据此即可求解．【详解】（1）解：四边形BEHC 是平行四边形．证明：∵四边形FECG 是矩形，∴90F ∠=︒，CG EF =，FG EC ∥，∴CED EHF ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90EDC F ∠∠=︒=，由旋转性质得CG CD =，∴CG CD EF ==，∴()AAS EDC HFE ≌，∴EH EC =，由旋转得EC BC =，∴EH BC =，∵EH BC ∥，∴四边形BEHC 为平行四边形；（2）解：如图，延长AH 交水平地面于点M ，连接GM ．∵48BCE ∠=︒，BC CE =，∴66EBC ∠=︒，∴9024ABE CBE ∠∠︒︒=-=，∴tan 30.45 1.35AE AB ABE ∠=⋅≈⨯=，由（1）知4FH ED EH BC ===，，又FG AD =，∴ 1.35GH AE ==，由平行线的性质知48GHM CED BCE ∠∠∠︒===，∴cos 1.350.670.90HM GH GHM ∠=⋅≈⨯≈，∴ 1.3540.90 6.3AM AE EH HM =++=++≈，即点A 到水平地面的距离约为6.3m ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．【变式训练】1．（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形ABCD 与正方形EFGH 的面积相等，且100cm AB =，CD EF ∥，14025CDE CGF ∠=︒∠=︒，(1)判断四边形EFGH 的形状，并说明理由．(2)求CG 的长．（参考数据：sin250.42cos25︒≈，【答案】(1)四边形CFED 是菱形，详见解析(2)182cm在Rt FGM △中，cos FGM ∠=cos25100GM ∴︒=，得91cm GM ≈∠=______︒；(1)杯子与水平线CM的夹角BCM(2)由图2到图3，点A的位置是升高了还是下降了？变化了多少厘米？︒≈，tan360.73︒≈)︒≈，cos360.81sin360.59【答案】(1)54(2)点A的位置是下降了0.3厘米过点A 作AG CM ⊥于点G ，延长AD 交∵AD BC ∥，∴54H BCM ∠=∠=︒，∴36DCH ∠=︒，在Rt HDC △中，tan DH DCH DC∠=，()1当点P向下滑至点N处时，测得DCE60∠= 时①求滑槽MN的长度；②此时点A到直线DP的距离是多少？()2当点P向上滑至点M处时，点A在相对于()1的情况下向左移动的距离是多少？【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．【类型三解直角三角形应用与其他知识的综合】例题：（2023·浙江舟山·统考模拟预测）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．小海买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为26cm ，图2是该自行车的车架示意图，立管AB 24cm =，上管32cm AC =，且它们互相垂直，座管AE 可以伸缩，点A 、B 、E 在同一条直线上，且75ABD ∠=︒．(1)求下管BC 的长；(2)若后下叉BD 与地面平行，座管AE 伸长到13cm ，求座垫E 离地面的距离．（结果精确到1cm 参考数据sin750.97cos750.26tan75 3.73︒≈︒≈︒≈，，）【答案】(1)下管BC 长40cm ;∵2413BE AB AE =+=+∴sin7537sin75EF BE =︒=∴()362662cm +=，答：座垫E 离地面的距离是【变式训练】(1)若30α=︒，求该系统正好能识别该汽车车牌的距离；tan 30CF OD EF DE︒== ，3753,3DE OD EF CF ∴====()50386.6cm DF DE EF ∴=-=≈故该系统正好能识别该汽车车牌的距离为tan80EF DE CF OD︒== ，tan80,tan80DE OD EF CF ∴=⋅︒=⋅︒，()50tan80283.6cm DF DE EF ∴=-=⋅︒≈．(1)当起重臂AC 长度为20m ，张角127CAE ∠=︒，求云梯消防车最高点(2)已知该小区层高为2.7m ，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．果精确到0.1，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈【答案】(1)云梯消防车最高点C 距离地面的高度CF 为(2)该消防车能有效救援10层(1)问悬臂端点C到桌面(2)已知摄像头点D到桌面度数约为多少？（参考数据：【答案】(1)52cm(2)28︒∵BAF AFG FGB ∠=∠=∠=∴四边形BAFG 是矩形，∴18FG AB cm ==，ABG ∠∵148ABC ∠=︒，∴CBG ABC ABG ∠=∠-∠=(1)求E ∠的度数；(2)求该雕塑的高度．【答案】(1)58︒(2)52m【分析】（1）连接,BI BD ．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出,64AB AI A ︒=∠= ，(12ABI AIB ∴∠=∠=⨯又CB 与地面EF 平行，点CH EF ∴∥．（2）解：如图，过点A 作AM EF ⊥．,64AB BC CD AI A C ∠∠=====︒ ，∴ABI CDB ≌ ，.BI DB ∴=又,CH EF AM EF ⊥∥ ，AM CH ∴⊥即ANC ∠90=︒，BN IN ∴=，10m,58AB ABI ∠==︒ ，()cos58100.53 5.3m ,BN AB ∴=⋅︒≈⨯=210.6m.BI DB BN ∴===40.6m,DE = 61.2m,AE AB DB DE ∴=++=()sin5861.20.8552m AM AE ∴=⋅︒≈⨯≈故该雕塑的高度约为52m ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．5．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄5cm OA =，BE 是底座，OA 与BE 所成的夹角为36.8°，O 点是把柄转轴所在的位咒，且O 点到底座BE 的距离2cm OC =．OD 与一根套管相连，OD 可绕O 点转动，此时，OD BE ∥，套管内含打孔针MN ，打孔针的顶端M 触及到OA ，但与OA 不相连，MN 始终与BE 垂直，且1cm OM =，2cm MN =．(1)打孔针MN 的针尖N 离底座BE 的距离是多少厘米?(2)压下把柄OA ，直到A 点与B 点重合，如图3，此时，M ．D 两点重合，把柄它锲入放在底座BE 上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针（参考数据：3sin 36.85︒≈，4cos36.85︒≈，3tan 36.84︒≈）由题意可知，OC BE ⊥，∴∥OC MN∵2cm OC MN ==，∴四边形COMN 是平行四边形．在Rt NCP △中，sin 1sin36.80.6cm NP CN NCP =⋅∠=⨯︒≈．cos 1cos36.80.8cm CP CN NCP =⋅∠=⨯︒≈．∴打孔针MN 的针尖N 离底座BE 的距离是06．厘米．（2）解：如答图1，∵OD BE ∥，∥OC MN ，∴四边形CODP 是平行四边形．∴0.8cmOD CP ==如图3中，设MN 与BE 的交点为Q ，则0.8cm OM OD ==，– 4.2cm BM OB OM ==．∵MN OC ∥，∴BMQ BOC∴::BM OB MQ OC =，∴4.2:5:2MQ =，解得 1.68cm MQ =．∴–2 1.680.32cm QN MN MQ ==-=．∴打孔针MN 锲入底座BE 有0．32厘米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确做出辅助线是解答本题的关键．。
28.2 解直角三角形(2) 大赛获奖课件 省一等奖课件
【学习重、难点】
重点：理解并掌握锐角的正弦的定义。 难点：能初步运用锐角的正弦的定义在直角三角 形中求一个锐角的正弦值。
【预习导学】
一、自学指导
自学：阅读教材P74－77页，自学两个思考及探究，自学例１，完成填空。5分钟
正弦值
A的对边 a = 斜边 c
【预习导学】
二、自学检测
4 5
_1
2
2 2
将数学知识运用于实践的意义．
重点
将实际问题转化为解直角三角形问题．
难点
将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形 中元素间的关系求解．
一、新知讲授 1．讲解． 师：在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到 的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形． 教师在黑板上作图．
师：当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的 角叫做仰角；在水平线下方的角叫做俯角． 注意：(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所 夹的角； (2)仰角和俯角都是锐角． 师：测量仰角、俯角有专门的工具，是测角仪．
解：设∠POQ＝α，在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形． OQ ∵cosα＝ OF ＝ 6 400 ≈0.9491. 6 400＋343
∴α≈18.36°， ︵ 的长为18.36π×6 400≈18.36×3.142×6 400≈2 051(km)． ∴PQ 180 180 由此可知，当组合体在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051 km.
例 3 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向 上的 B 处．这时，B 处距离灯塔 P 有多远？(结果取整数)
专题02 解直角三角形压轴题五种模型全攻略(原卷版)
专题02 解直角三角形压轴题五种模型全攻略考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题考点二 利用三角函数解决方位角问题考点三 利用三角函数解决坡度坡比问题考点四 利用三角函数测高问题考点五 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积考点一 利用三角函数解决仰角俯角问题1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A 处看一棵大树的顶端D 处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B 处看树顶D 处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高 1.5EA FB ==米，已知EG CD DC AC ^^，，E 、F 、G 在一条直线上，求树高CD 是多少？（结果保留根号）【变式训练】2．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼45DCE Ð=°），在它们之间有一片水域，现要测量大楼测器测得楼顶点B 处的仰角为60(1)求斜坡CD的高度(2)求大楼AB的高度（精确到十分位）3．（2022·安徽划在斜坡中点(1)若修建的斜坡BE的坡角(即(2)坡前有一建筑物GH，小明在为60°，点B、C、A、G、H米？考点二利用三角函数解决方位角问题例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【变式训练】(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？(2)如果渔船在B处改为向东偏南考点三利用三角函数解决坡度坡比问题例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知(1)求点B距水平面AE(2)求宣传牌CD的高度．【变式训练】(1)求水平平台DE的长度(2)若与地面垂直的平台立柱（参考数据：取sin37°=0.60考点四 利用三角函数测高问题(1)求点E 到水平地面的距离；【变式训练】1．（2022·河南·九年级专题练习）如图，小明家马路对面的商业楼外墙上有一个大型显示屏AB ，小明在自己家楼顶G 处测得显示屏顶端A 的仰角为45°，后退10米到达F 处测得显示屏底端B 处的仰角为36°，已知商业楼的底端C 与小明家楼底端D 之间的距离为50米，求显示屏AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin 360.588°»，cos530.810°=，tan360.727°»）（1）求点C到点D的水平距离CE的长；（2）求楼AB的高度．考点五构造直角三角形求不规则图形的边长或面积(1)求BC的距离；(2)求支撑杆上的cos150.97°»，tan15【变式训练】A．100cm B．1003A．533米B．1033米二、填空题3．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）山西省阳曲县青龙古镇，是全国传统古村和全省十大新锐景区，交通十分便利．周末，张老师一家自驾到该镇（记为点导航显示，该镇恰好在B地的正北方向，前面路况出了问题，车辆应沿北偏西4．（2022·浙江·温州市第十二中学九年级阶段练习）的瓷碗截面图如图1所示，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计）1cm，碗底宽AB＝23cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，如图2，当最大深度是_____cm．三、解答题5．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）如图，水库大坝横截面的迎水坡坡度（即为1:0.6，背水坡（即CF与FB的长度之比）为1:2，大坝高DE=的周长．6．（2022·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）(1)求A、B两地的距离（结果保留根号）；(2)新的景观步道能否在15天内完成？请说明理由．(1)求MB的长；(1)求栏杆打开时，点A到地面的距离；(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留。
中考数学总复习 第二轮 中考题型专题复习二 解答题专题学习突破 专题复习(五)解直角三角形及其实际
安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习（五）解直角三角形及其实际应用题试题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习（五）解直角三角形及其实际应用题试题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省2017年中考数学总复习第二轮中考题型专题复习二解答题专题学习突破专题复习（五）解直角三角形及其实际应用题试题的全部内容。
专题复习（五）解直角三角形及其实际应用类型1解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠B＝135°，tan A＝25,BC＝6错误!。
（1）求AC长;（2)求△ABC的面积．解：（1)过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D。
∵在△ABC中，∠B＝135°，∴∠CBD＝45°.∴BD＝CD.∵BC＝62，∴BD＝CD＝6.∵tan A＝错误!，∴AD＝错误!＝15，AB＝AD－BD＝9.∴AC＝152＋62＝3错误!。
(2)S△ABC的面积＝12·AB·CD＝错误!×9×6＝27.2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,sin B＝35，点D在BC边上,DC＝AC＝6.(1)求AB的值；（2)求tan∠BAD的值．解：(1)∵∠C＝90°,sin B＝错误!,sin B＝错误!，AC＝6,∴AB＝10，即AB的值是10。
（2)过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E.∵∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝错误!＝8.又∵CD＝6，∴BD＝BC－CD＝2.∵∠C＝90°，DC＝AC＝6,∴tan∠ADC＝错误!＝1，AD＝6错误!.∴∠ADC＝45°。
中考数学二轮复习专题 解直角三角形解析版
中考数学二轮复习专题解直角三角形一、单选题1．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（）A．3.5sin29°B．3.5cos29°C．3.5tan29°D．2．如图，在Rt∠ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将∠ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（）A．B．C．D．3．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）A．米B．米C．米D．米4．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则∠O 的半径为（）A．2B．3C．4D．4-5．如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则可以是（）A．B．-1C．0D．6．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m7．如图，正方形ABCD中，内部有4个全等的正方形，小正方形的顶点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，则tan∠AEH=（）A．B．C．D．8．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形，若，则菱形的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1B．C．D．9．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A．B．C．D．10．如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD交于点E，，则的值是（）A．B．C．D．11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B ，过点D作DE∠ ，交的延长线于点E，则的长为（）A．B．C．D．12．如图，正方形中，点、分别在边，上，与交于点.若，，则的长为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+=0，则α+β= .14．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接AC，EC，CD=DE，则tan∠ACE的值为.15．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE∠BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为。
《2023中考数学专题复习——解直角三角形2》
类型三、【台阶型】
12．（2022·四川凉山）如图，在边长为 1 的正方形网格中，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 A、B、O 在格点上，则 cos∠ACB ＝________．
10．（2020·湖北荆州）如图，在 6×6 正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，点 A、B、C 均在网格交点上，⊙O 是△ABC 的外接圆，则 cos∠BAC＝_________．
11．（2020·甘肃天水）如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 sin∠AOB＝_________．
4．（2022·湖南常德）第 24 届冬季奥林匹克运动会于今年 2 月 4 日至 20 日在北京举行，我国冬奥选手取得国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪 大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．下图是其示意图，已知：助滑坡道 AF＝50 米，弧形跳台的跨度 FG＝7 米，顶端 E 到 BD 的距离为 40 米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．此大跳 台最高点 A 距地面 BD 的距离是多少米？（结果保留整数）． （sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47,sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73）
7．（2022·重庆）湖中小岛上码头 C 处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面 B 点处的快艇和湖岸 A 处的救援船接到 通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头 C 接该游客，再沿 CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到 救援船上．已知 C 在 A 的北偏东 30°方向上，B 在 A 的北偏东 60°方向上，且 B 在 C 的正南方向 900 米处． (1)求湖岸 A 与码头 C 的距离（结果精确到 1 米，参考数据： 3≈1.732）； (2)救援船的平均速度为 150 米/分，快艇的平均速度为 400 米/分，在接到通知后，快艇能否在 5 分钟内将该游客送上 救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
(2024年)解直角三角形公开课比赛一等奖精品ppt课件
授课内容与安排
• 解直角三角形的常用方法及应用举例
2024/3/26
7
授课内容与安排
授课安排
2024/3/26
1. 通过实例引入直角三角形的概念，引导学生观察、思考并归纳直角三 角形的性质。
2. 讲解锐角三角函数的概念，通过实例演示计算方法，引导学生理解并 掌握。
8
授课内容与安排
2024/3/26
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
2024/3/26
勾股定理
直角三角形的两条直角边（勾、股 ）的平方和等于斜边（弦）的平方 。
锐角三角函数关系
正弦、余弦、正切等三角函数在直 角三角形中的定义及相互关系。
4
课程目标与要求
01
02
03
知识目标
掌握直角三角形的定义、 性质及解法，理解锐角三 角函数的概念及计算方法 。
01
3. 介绍解直角三角形的常用方法 ，通过典型例题的分析与讲解， 提高学生的解题能力。
02
4. 组织学生进行课堂练习，巩固 所学知识，培养学生的应用意识 和实践能力。
9
02
基础知识回顾
2024/3/26
10
三角函数基本概念
正弦函数
在直角三角形中，正弦值 等于对边长度除以斜边长 度，即 $sin A = frac{text{对边}}{text{斜边 }}$。
$c=sqrt{a^2+b^2}$。
正弦、余弦定理
已知两边及夹角，可应用正弦或 余弦定理求解第三边及另外两个
角。
面积法
通过已知两边及夹角求三角形面 积，再应用面积公式反推第三边
长度。
2024/3/26
15
2024年度解直角三角形(优质课)课件pptx
在河的一岸选定两个点，测量这两 点间的距离以及它们到对岸目标点 的夹角，通过解直角三角形得到河 的宽度。
16
航海和航空导航问题
确定航向
在航海或航空中，通过测 量目标方位角和距离，可 以确定航向和航程。
2024/3/24
计算最短航线
在地球表面上，两点之间 的最短航线是大圆弧，可 以通过解直角三角形得到 最短航线的长度和航向。
如果三角形的三边满足a²+b²=c² ，则这个三角形一定是直角三角 形。
6
02
三角函数在解直角三角形中应用
2024/3/24
7
正弦、余弦、正切定义及性质
正弦（sine）
在直角三角形中，正弦值等于对边长 度除以斜边长度，即 sin(θ) = 对边/ 斜边。
余弦（cosine）
在直角三角形中，余弦值等于邻边长 度除以斜边长度，即 cos(θ) = 邻边/ 斜边。
解直角三角形(优质课)课件pptx
2024/3/24
1
目录 CONTENTS
• 直角三角形基本概念与性质 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形与解直角三角形关系 • 实际生活中解直角三角形问题应用举例 • 误差分析和计算技巧提高 • 总结回顾与拓展延伸
2024/3/24
2
01
直角三角形基本概念与性质
2024/3/24
根据三角函数的定义，我们有 sinA=a/c, cosA=b/c, tanA=a/b等关系式。
角度与边的关系还可以通过余 弦定理、正弦定理等公式进行 描述。
5
勾股定理及其逆定理
2024/3/24
勾股定理
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方，即a²+b²=c² 。
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。
解直角三角形2赛课用1课件
1．什么是解直角三角形？ 2．解直角三角形主要依据是：
(1)三边之间的关系： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
【学习目标】
• 1、了解仰角、俯角的概念.
• 2、根据直角三角形的知识解决与仰角、俯 角有关的实际问题．
• 3、借助辅助线解决实际问题，掌握数形结 合、抽象归纳的思想方法。
解 在Rt△CDE中，
∵ CE＝DE×tan a
＝AB×tan a
＝10×tan 52°
≈12.80
∴ BC＝BE＋CE
＝DA＋CE
D D
≈ 1.50＋12.80
=14.3（米）
答:旗杆的高度约为14.3米．
A
52
22.7
CC
?
EE B
练一练
２、如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度
33.1
在ΔADC中 ∠ACD=90°
∵ ∠CAD=29° AC=32m
tanCAD DC AC
DC ACt an29
17.7
∴BD=BC+CD=33.1+17.7≈51
答：大厦高BD约为51m.
B
C
46 A
32m
C
29
A
D
拓展提高
一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸 边的一小树C,测得AC与河岸边的夹角为45°,沿河岸边 向前走200米到达B点,又观测河对岸边的小树C,测得BC 与河岸边的夹角为30°,问这位同学能否计算出河宽?若 不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.
Dβ
D.下降 200 3米
C
A
解：在ΔABC中，∠ACB =90°
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题三 解直角三角形
【中考命题趋势】
掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题；合理构造直角三角形以及正确选用直角三角形的边角关系是重庆中考的热点.本节知识点的考察主要以填选题的形式呈现，但本节内容将是完成好中档及压轴大题的基础.
【经典专题突破】
例题1.在Rt △ABC 中，∠C =90°，若AB =4，sinA =，则斜边上的高等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
例题2.一副三角板如图所放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ,∠F =∠ACB =900
,∠E =300
,∠A =450
,AC =12 2 ,
试求CD 的长.
例题3.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶
改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．
【仿真题型演练】
1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=3
5
，BE=2， 则tan ∠DBE 的值（ ） A ．
1
2 B ．2
C
D 2．如图，在等腰三角形ACB 中，︒=∠90C , D 是AC 上一点．
若5
1
tan =∠DBA ，且6=AB ,那么AD 的长为（ ）
A ． 2
B ．3
C ．2
D ． 1
第1题图
第2题
例题1图
例题2图
C
D
例题3图
3．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 边上的高，AB =10㎝，BC =8㎝，则ACD sin =（ ）
A ．4
3
B ．53
C ．
54 D ．3
4
4.如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ ）
A ．20米
B ．103米
C ．315米
D ．65米
5.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．
13 B ．1
2
C ．2
D ．3
6.河堤横断面如图所示，堤高BC =6米，迎水坡AB 的坡比为1：，则AB 的长为（ ）
A ．12
B ．43米
C ．53米
D ．63米
【一线名师预测】
1.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋高楼顶部B 的仰角为300，看 这栋高楼底部C 的俯角为600，热气球A 与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼 BC 的高度为 （ ）
A . 40 3m
B . 803m
C . 1203m
D . 1603m
2.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A 、
B 两点间的距离为 米．
D
C B
A
第3题
第5题图
第1题图
第4题图 第6题图。