知识点018 与二次函数有关代数方面应用2012

一、选择题1. （2012山东泰安，10，3分）二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为（ ）A ．3-B ．3C ．6-D ．9考点解剖：本题考查了抛物线与x 轴的交点、一元二次方程有实数根的条件；掌握二次函数的有关性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．解题思路：先根据抛物线的开口向上可知a ＞0，由顶点纵坐标为-3得出b 与a 关系，再根据一元二次方程20ax bx m ++=有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．解答过程：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a ＞0，234b a-=-，即212b a =， ∵一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，∴△=240b am -≥，即1240a am -≥，即1240m -≥，解得3m ≤，∴m 的最大值为3．故应选B ． 规律总结：本题考查的是抛物线与x 轴的交点，根据题意判断出a 的符号及a 、b 的关系是解答此题的关键． 关键词：抛物线与x 轴的交点 一元二次方程有实数根 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二、填空题1. （2012四川广安，16，3分）如图7，把抛物线y ＝21x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A （－6，0）和原点O （0，0），它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝21x 2交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________________．考点解剖：本题是求抛物线平移过程中的阴影部分的面积．解题的关键是将不规则图形转化为规则图形进行求解． 解题思路：要求阴影部分面积，利用轴对称可以转化为△POQ 的面积．解答过程：解：设平移后的抛物线m 的解析式为y ＝21x 2＋bx ＋c ，它经过点A （－6，0）和原点O （0，0），代入求出解析式为y ＝21x 2＋3x ，顶点P （－3，29-），Q 的坐标为（－3，29），它们关于x 轴对称，S 阴影部分＝S △POQ＝227293=⨯． 规律总结：平移后抛物线的解析式与原来的抛物线的解析式中的a 相同，可以通过待定系数法或顶点来求，不规则图形的面积要通过割补、拼接转化为规则图形的面积． 关键词：图象的平移、面积 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.三、解答题1. （2012梅州，22，3分）（10分）（1）已知一元二次方程x 2+px+q=0(p 2－4q ≥0)的两根为x 1、x 2；求证：x 1+x 2=－p ，x 1·x 2= q 。

（2）已知抛物线y=x 2+px+q 与x 轴交于A 、B 两点，且过点(－1,－1)，设线段AB 的长为d ，当p 为何值时，d 2取得最小值，并求出最小值。

考点解剖： 本题是一元二次方程与二次函数的综合，用两根之和与两根这积表示出二次函数与x 轴两交点间距离是解题的关键解题思路： （1）根据一元二次方程的求根公式计算方程的两根，进而计算两根之和与两根之积；（2）由(－1,－1)确定p,q 间的关系，用根与系数关系表示抛物线与x 轴两交点的距离d ，由配方法求得d 2的最小值。

解答过程： （1）证明：a=1，b=p ，c=q ∴⊿= p 2－4q ∴x=－p±p 2－4q 2 即x 1= －p+p 2－4q 2 ，x 2= －p －p 2－4q 2∴x 1+x 2=－p+p 2－4q 2 + －p －p 2－4q 2 =－p ，x 1·x 2= －p+p 2－4q 2 · －p －p 2－4q2 = q（2）把(－1,－1)代入y=x 2+px+q 得p －q=2，q=p －2设抛物线y=x 2+px+q 与x 轴交于A 、B 的坐标分别为(x 1,0)、(x 2,0) ∴由d=|x 1-x 2| 可得d 2=(x 1－x 2)2=(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2 = p 2－4q= p 2－4p+8=(p －2)2+4 当p=2时，d 2 的最小值是4规律总结： 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a；通过配方法求一元二次方程的最值。

关键词： 求根公式法，配方法，根与系数关系，二次函数的图象2. (2012湖南益阳，20，10分)已知：如图，抛物线y=a(x-1)2+c 与x 轴交于点A （10）和点B ，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点P ＇（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P ＇作x 轴的平行线交抛物线于C 、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W ，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD )的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：2.236≈ 2.449≈，结果可保留根号）第20题图考点解剖： 本题主要考查二次函数、待定系数法、二次函数的应用与黄金分割等有关知识．解题思路：对于(1)，本题二次函数的解析式为顶点式，因此除了点A ，还需知道点P 的坐标，由点P ＇是(1，3)且与点P 关于x 轴对称，由此得到点P 的坐标，进而得解．对于(2)，欲求高与宽的比，易知高为3，因此本题的关键是求宽CD 的长．由点P ＇(1，3)知点C 、D 的纵坐标为3，因此可建立方程求出横坐标，进而得到CD 的长，问题获解．解答过程：解：(1)∵P 与P ′(1，3) 关于x 轴对称， ∴P 点坐标为(1，－3) ；∵抛物线c x a y +-=2)1(过点A （31-，0），顶点是P (1，－3) ，∴22(11)0(11)3a c a c ⎧+=⎪⎨-+=-⎪⎩；解得13a c =⎧⎨=-⎩；则抛物线的解析式为y=(x-1)2-3，即y=x 2-2x-2．(2)∵CD 平行x 轴，P ′(1，3) 在CD 上， ∴C 、D 两点纵坐标为3；由(x-1)2-3=3得：11x =21x =，∴C 、D 两点的坐标分别为(1，3) ，(21x =，3)，∴CD =∴“W ”图案的高与宽(CD )的比4=0.6124）． 规律总结：本题第二问是全卷的一个亮点，将二次函数的应用置于函数图象折叠的背景中求解．(1)第一小题的突破口是抓住点P 与点P ＇关于x 轴对称得到点P 的坐标；(2)第二小题难点是求CD 的长，需要从点C 、D 的纵坐标是3入手，求出其横坐标．此类问题由于综合性较强，另外处于试卷的靠后位置，因此一部分学生是畏难，也有的学生由于时间关系，另外由于本题对计算的要求较高，因此也有不少学生学生因计算失误而丢分．解决此类问题时，一是冷静面对，认真审题，找准突破口，快速下手(如本题第一问中需要抓住顶点式)；二是细心计算，由于时间关系，一般可在草稿纸上先进行计算并验算正确后，再写到试卷的答题处，切忌在试卷上直接计算，发现错误再修改，导致时间紧张、心情失衡等，进而影响正常水平的发挥． 关键字：二次函数，待定系数法，二次函数的应用，黄金分割3. （2012江西南昌，27，8分）如图，已知二次函数L 1：y =x 2－4x +3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ．（1）写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L ２：y =kx 2－4kx +3k （k ≠0）．①写出二次函数L ２与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质； ②若直线y =8k 与抛物线L ２交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．考点解剖：本题考查了二次函数的性质，二次函数与直线交点坐标的求解等知识． 解题思路：（1）把二次函数解析式配方为顶点式，或者用公式直接代入，即可得解；（2）①二次函数L ２：y =kx 2－4kx +3k 就是相当于把二次函数L 1：y =x 2－4x +3的函数值扩大为原来的k 倍，函数图象的对称轴不变化，与x 轴的交点不发生变化；②直线y =8k 是平行于x 轴的一条直线，与L ２交于E 、F 两点，则方程kx 2－4kx +3k =8k 的解就是E 、F 两点的横坐标，横坐标的差就是EF 的长度，若EF 的值为一个常数，则说明EF 的长度不发生变化，若EF 的值含有变量，则需要根据变量的情况加以讨论． 解答过程：解：（1）二次函数L 1的开口方向向上，对称轴是直线x =2，顶点坐标（2，－1）；（2）①二次函数L ２与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴是直线x =2或顶点的横坐标是2；都经过A (1，0)，B (3，0)两点．②线段EF 的长度不会发生变化．∵直线y =8k 与抛物线L ２交于E 、F 两点，∴kx 2－4kx +3k =8k ， ∵k ≠0，∴x 2－4x +3=8，解得x 1=－1，x 2=5，∴EF =x 2―x 1=5―(―1)=6，∴线段EF 的长度不会发生变化．规律总结：研究二次函数的性质一般需把二次函数的解析式配方为顶点式，或用对称轴和顶点坐标公式代入求解；解决二次函数与其它函数的交点问题，实际上就是求自变量为何值时，两个函数的函数值相等的问题． 关键词：二次函数，二次函数的性质，二次函数与直线交点坐标，定值，化归思想，结论开放型问题．4. （2012内蒙古呼和浩特，25，12分）如图，抛物线）0(2a ＜c bx ax y ++=与双曲线xky =相交于点A 、B ，且抛物线经过坐标原点，点A 的坐标为（－2,2），点B 在第四象限内.过点B 用直线BC ∥x 轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍，记抛物线顶点为E. （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 与△ABE 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.考点解剖：这是一道综合性的题，主要是考查二次函数的综合应用及三角形的面积问题. 解题思路：（1）根据点A （－2,2）的坐标确定双曲线的解析式，再由直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍得到点B 的坐标，从而利用一般式确定抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法确定抛物线的顶点坐标从而求得△ABC 的面积，再利用待定系数法确定AB 的解析式为22--=x y ，得到它与抛物线对称轴的交点坐标，利用割补法求出△ABE 的面积；（3）根据（2）中所求△ABE 的面积计算出△ABD 的面积，又因为点D 在抛物线上得到等量关系，从而列出一元二次方程，求解即可得到所求点的坐标. 解答过程： 解：（1）∵点A （－2,2）在双曲线xky =上 ∴4-=k∴双曲线的解析式为xy 4-= ∵直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍∴可设B 点的坐标为（m ，－4m ）（m ＞0），代入双曲线解析式即可得到m=1. ∴抛物线）0(2a ＜c bx ax y ++=过点A （－2,2）、B （1，－4）、O （0,0）∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-00024c c b a c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=031c b a∴抛物线的解析式为x x y 32--=. （2）∵物线的解析式为x x y 32--=. ∴顶点)49,23(-E ，对称轴为23-=x ∵B （1，－4）∴432=--x x ，解之得：4,121-==x x ∴C （－4，－4） ∴156521=⨯⨯=∆ABC S 由A 、B 两点坐标为（－2，2）、（1，－4）可求得直线AB 的解析式为22--=x y 设抛物线对称轴与AB 交于点F ，则F 点的坐标为)1,23(- ∴45149=-=EF ∴81534521=⨯⨯=+=∆∆∆BEF AEF ABE S S S . （3）∵815=∆ABE S ∴158=∆ABE S∴当点D 与点C 重合时，显然满足条件当点D 与点C 不重合时，过点C 作AB 的平行线，其对应的一次函数解析式为122--=x y 令x x x 31222--=-- 解之得：（舍去）4,321-==x x 当3=x 时，18-=y∴存在另一点D （3，－18）满足条件.规律总结： 本题是一道压轴题，考查了一次函数、二次函数解析式的求法，以及坐标系中面积的表示方法．在确定一次函数解析式时，只需直线上的两个点的坐标，利用待定系数法即可确定，至于二次函数的解析式，利用一般式，找到抛物线上的三个点的坐标也可确定，再利用配方法或公式法得到所需顶点的坐标；在利用点的坐标确定三角形的面积时，注意点的坐标的符号处理.关键词：二次函数的综合应用 三角形的面积 数形结合思想 5. （2012天津，26，10分）已知抛物线y=ax 2+bx+c （02a b <<）的顶点为P （00,x y ），点A （1，A y ）、B （0，B y ）、C （－1，C y ） 在该抛物线上.（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时；①求顶点P 的坐标；②求AB Cy y y -的值；（Ⅱ）当00y ≥恒成立时，求AB Cy y y -的最小值．考点解剖：本题考查了考查了二次函数的性质、三角形相似、数形结合等知识点，在图象中构造相似三角形是关键．解题思路：（1）①由顶点坐标公式可得P 的坐标；②分别求出A y 、B y 、C y ，再求AB Cy y y -的值.（2）由02a b <<，得0 1.2b x a =-<-可知A 、B 、C 三点在顶点的右侧，由AB Cy y y -，联想到构造Rt △AF 1A ∽Rt △BCD ，得出21A B C y x y y =--，由AF 与抛物线的交点E ，构造△AEG ∽△BCD ，得11A E B Cy y x y y -=--，由A 、B 、C 、E 的坐标，化简上式，解出1x 的值，由211x x ≤<-，可解出2x 的最大值，即求出了AB Cy y y -的最小值．解答过程：解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10时，此时抛物线的解析式为y=x 2+4x+10. ①∵y=x 2+4x+10=2(2)6x ++， ∴抛物线的顶点P 的坐标为（－2,6）②∵点A （1，A y ）、B （0，B y ）、C （－1，C y ）在抛物线 y=x 2+4x+10上. ∴A y =15，B y =10，C y =7. ∴AB C y y y -=155107=-. （Ⅱ）由02a b <<，得0 1.2bx a=-<- 由题意，如图，过点A 作1AA x ⊥轴于点1A ，则1A AA y =，11OA =.连接BC ，过点C 作CD y ⊥轴于点D ，则BD =B y －C y ，CD =1.过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E （1x ，E y ），交x 轴于点F （2x ，0）， 则1.FAA CBD ∠=∠ 于是Rt △AF 1A ∽Rt △BCD. 有11AA FA BD CD =，即22111A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥1AA 于点G.易得△AEG ∽△BCD . 有AG EG BD CD =，即11A EB Cy y x y y -=--. ∵点A （1，A y ）、B （0，B y ）、C （－1，C y ）、E （1x ，E y ）在抛物线y=ax 2+bx+c 上， 得A y =a+b+c ，B y =c ，C y =a －b+c ，E y =211ax bx c ++，∴2111()()1()a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+.化简，得21120x x +-=，解得12x =-（11x =舍去）. ∵00y ≥恒成立，根据题意，有211x x ≤<-. 则2111x x -≥-，即213x -≥. ∴AB Cy y y -的最小值3．规律总结：二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）的顶点坐标公式是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，另外，若求函数的差值与自变量的差值的比例，如果根据点坐标可以直接求出，则直接求；如果不能求，则可以根据题中的比例式，把差值的比例转化为线段之比，构造相似三角形，转化为可求段段之比． 关键词：二次函数 二次函数的顶点坐标 相似三角形 数形结合 6.（2012湖北武汉，25，12分）如图1，点A 为抛物线1C ：2212-=x y 的顶点，点B 的坐标为（1，0），直线AB 交抛物线1C 于另一点C ． （1）求点C 的坐标；（2）如图1，平行于y 轴的直线3=x 交直线AB 于点D ，交抛物线1C 于E ，平行于y 轴的直线a x =交直线AB 于点F ，交抛物线1C 于G ，若FG :DE ＝4:3，求a 的值；（3）如图2，将抛物线1C 向下平移m （m ＞0）个单位得到抛物线2C ，且抛物线2C 的顶点为点P ，交x 轴负半轴于点M ，交射线BC 于点N ，NQ ⊥x 轴于点Q ，当NP 平分∠MNQ 时，求m 的值.考点解剖：这是一道二次函数的压轴题，主要考查了两函数图象交点坐标的求法、函数值的求法、二次函数与一元二次方程的关系及解直角三角形的知识。