2020 数学 高考冲刺二轮 --填空题“瓶颈”突破练--(附解析答案)
2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷答案解析(10页)
2020冲刺高考理科数学精选高分压轴试卷第二卷数学试题1.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，外接球的表面积为40π，四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，则直线MN 与1CD 所成的角的余弦值是（ ） A ．79-B ．13-C ．13D ．79【答案】D【解析】设该四棱柱的外接球的半径为R ，高为h ，由2440S R ππ==，得=R ，由==R h =所以112,6,3=====CD CC C D DE EC .因为四边形ABCD 和11BCC B 的外接圆的圆心分别为M ，N ，所以M ，N 分别为BD 和1BC 的中点，所以1//MN DC ，所以DEC ∠为直线MN 与1CD 所成的角或其补角，又9947cos 2339+-∠==⨯⨯DEC ，所以直线MN 与1CD 所成的角的余弦值为79，故选：D.2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=,260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为（ ）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182y x -=D ．22184x y -=【答案】C【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260F MF ∠=︒，2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒，21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅， 22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=，12F MF ∴△的面积为2121||||sin 602MF MF ⋅⋅︒=2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182y x -=.故选：C3.在ABC ∆中，3AC =，向量AB u u u v 在AC u u u v上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A．5 B ．C D ．【答案】C【解析】∵向量AB u u u v在AC u u u v 上的投影的数量为2-，∴||cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABC S ∆=，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ， ∴||sin 2AB A =u u u r．② 由①②得tan 1A =-，∵A为ABC∆的内角，∴34Aπ=，∴2||3sin4 ABπ== u u u r在ABC∆中，由余弦定理得2222232cos323(2942BC AB AC AB ACπ=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC=故选C．4.函数()sin()8cos22xf x xπ=--的最小值为_______．【答案】7-【解析】由()sin()8cos22xf x xπ=--所以2()cos8cos2cos18cos222x x xf x x=-=--即2()2cos8cos122x xf x=--，由1cos12x-≤≤令cos2xt=，[]1,1t∈-则2281y t t=--，对称轴为2t=所以2281y t t=--在[]1,1-递减当1t=，即cos12x=时，有min()7f x=-故答案为：7-5.函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数.当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =，则满足()5272xf -<-<的x 的取值范围是___________. 【答案】()2log 3,3【解析】根据题意，因为当0x >时，(2)2()1f x f x =-，且(2)3f =()()22113f f ∴=-=， 所以()12f =．又()()42215f f =-=， 所以()()445f f -=-=-，5(27)2x f -<-<Q()()()4271x f f f ∴-<-<．因为()f x 在[0，)+∞上单调递增，且()f x 为奇函数， 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增．所以()()()4271xf f f ∴-<-<，4271x ∴-<-<，328x ∴<<，2log 33x ∴<<即()2log 3,3x ∈，故答案为：()2log 3,3．6.如图，四棱锥P -ABCD 的底面是正方形，E 为AB 的中点，,1,3,PD CE AE PD PC ⊥===（1）证明：AD ⊥平面PCD ．（2）求DA 与平面PCE 所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：因为E 为AB 的中点，1AE =， 所以2CD AB ==，所以222CD PD PC +=，从而PD CD ⊥. 又PD CE ⊥，CD CE C =I ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥. 因为四边形ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥. 又CD PD D =I ，所以AD ⊥平面PCD.（2）解：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示， 则()2,0,0A ，()0,0,3P ，()2,1,0E ，()0,2,0C ，所以()2,1,3PE =-u u u r ，()2,1,0EC =-u u u r ，()2,0,0DA =u u u r. 设平面PCE 的法向量为(),,n x y z =r， 则0PE n EC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ，即23020x y z x y +-=⎧⎨-+=⎩，令3x =，得()3,6,4n =r .cos ,||||n DA n DA n DA ⋅==r u u u rr u u u r r u u u r ，故DA 与平面PCE7.已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值； （2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围；②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<. 【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--， 所以21'(2)233f m =-=-，即12m =. 则3()ln (21)2f x x x =--+，2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >， 令'()0f x =可得32x =， 当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x . ∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值. （2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >，∴210x ->，∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-， 令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，)'(0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减， 故()g x 的最大值为11()2e g e+=，∴1m e>， 即实数m 的取值范围是1(,)e+∞.②由①可知，25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立. 令21()k x k *=-∈N ，则2ln 5kk <，2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ， 即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ， ∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<. 8.设曲线E 是焦点在x 轴上的椭圆，两个焦点分别是是1F ，2F ，且122F F =，M 是曲线上的任意一点，且点M 到两个焦点距离之和为4.（1）求E 的标准方程；（2）设E 的左顶点为D ，若直线l ：y kx m =+与曲线E 交于两点A ，B （A ，B 不是左右顶点），且满足DA DB DA DB +=-u u u v u u u v u u u v u u u v，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意2422a c =⎧⎨=⎩，即21a c =⎧⎨=⎩，∴b ==∴椭圆E 的方程是22143x y +=.（2）由（1）可知()2,0D -，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222348430k x mkx m +++-=，()()()22222(8)4344121612390mk k m k m ∆=-+-=-+>，即22340k m +->，∴122834mk x x k -+=+，()21224334m x x k-=+， 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++22231234m k k -=+，∵DA DB DA DB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴DA DB ⊥u u u r u u u r，即0DA DB ⋅=u u u r u u u r ，即()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y +⋅+=++++=，∴2222224128312240343434m mk m k k k k---+⨯++=+++，∴2271640m mk k -+=， 解得12m k =，227m k =，且均满足即22340k m +->， 当12m k =时，l 的方程为()22y kx k k x =+=+，直线恒过()2,0-，与已知矛盾；当22 7m k=，l的方程为2277y kx k k x⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，直线恒过2,07⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
【精品高考数学】2020年高考数学金榜冲刺卷(北京专版)(二)+答案
2020年高考数学金榜冲刺卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ）A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,42．sin390︒的值为（ ）A ．12B ．12-C ．2-D ．23．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．i - C ．1 D ．i4．设0.7log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．1686．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o7．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ）A ．0或3或-1B ．0或3C ．3或-1D ．0或-18．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（）A ．P A ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为9．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则AP CQ BP DQ ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]1,2-C ．⎡⎤⎣⎦D ．⎡⎣10．已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3 二、填空题共5题，每题5分，共25分． 11．已知双曲线221y x m -=的一条渐近线方程为2x y =，则m =__________. 12．函数())0,2f x x πωϕϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.13．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．14．已知函数()()()()1231,1log 1,1x x f x x x +⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()2f m =，则()2f m -=______. 15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值；（2）求cos(2)6A π+的值.17．（本小题14分）如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB =2BC =2．（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ．（Ⅱ）求证：BC ∥平面BED 1．（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度．18．（本小题14分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；（2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围．20．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度（1）求动点Q 的轨迹方程C ；（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u v u u u v，求直线l 的方程．21．（本小题14分）定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈. 则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.2020年高考数学金榜冲刺卷（二）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A B =I （ ） A ．()1,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()2,4【答案】C【解析】根据题意，{|13}A x x =<<，则{|23}(2,3)A B x x ⋂=<<=. 故本题正确答案为C.2．sin390︒的值为（ ）A ．12B ．12-C ．2-D ．2【答案】A【解析】试题分析： 因为()()0000000sin 600sin 360240sin 240sin 18060sin 60=+==+=-=故选择C3．已知复数21i z i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i【答案】A 【解析】2i 2i(i 1)22i 1i i 1(i 1)(i+1)2z +-+====----，故z 的虚部为1-. 故选：A.4．设0.7log 0.8a =，11log 0.9b =，0.91.1c =，那么（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b<<【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性得出结论.【详解】解：Q 0.70.70.7log 1log 0.8log 0.7<<，∴0.7log 00.81<<Q 1111log 0.9log 1<∴11log 0.90<Q 0.901.1 1.1>∴0.91.11>综上，c a b >>.故选：C.5．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是（ ）A ．56B ．84C ．112D ．168 【答案】D【解析】因为8(1)x +的展开式中2x 的系数为28C ，4(1)y +的展开式中2y 的系数为24C ，所以22x y 的系数为2284168C C =.故选D.6．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点,,E F G 分别是1DD ， AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是A ．90oB ．60oC ．45oD ．30o【答案】A 【解析】由题意：ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是长方体，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，连接B 1G ， ∵A 1E ∥B 1G ，∴∠FGB 1为异面直线A 1E 与GF 所成的角或其补角．连接FB 1，在三角形FB 1G 中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，B 1F ==B 1G ==，FG ==B 1F 2＝B 1G 2+FG 2．∴∠FGB 1＝90°，即异面直线A 1E 与GF 所成的角为90°．故选A ．7．已知两条直线260x a y ++=和(2)320a x ay a -++=互相平行，则a 等于（ ） A ．0或3或-1 B ．0或3 C ．3或-1 D ．0或-1【答案】D【解析】Q 两条直线260x a y ++=和()2320a x ay a -++=互相平行 216232a a a a -∴=≠--，或121k a =-和223a k a -=-同时不存在解得：1a =-或0a =本题正确选项：D8．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P -ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）A ．P A ，PB ，PC 两两垂直 B ．三棱锥P -ABC 的体积为83C ．||||||PA PB PC ===D ．三棱锥P -ABC 的侧面积为【答案】C 【解析】根据三视图，可得三棱锥P -ABC 的直观图如图所示，其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面AB C.所以三棱锥P -ABC 的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，2AC BC PD ∴===，AB ∴==，||||||DA DB DC ∴===||||||PA PB PC ∴==== 222PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，122PBA S ∆=⨯=Q 122PBC PAC S S ∆∆===Q∴三棱锥P -ABC 的侧面积为故正确的为C.故选：C.9．已知P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则AP CQ BP DQ ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]1,2-C ．⎡⎤⎣⎦D ．⎡⎣【答案】A【解析】以点A 为原点，建立直角坐标系，如图所示：则()0,0A ，()10B ,，()1,1C ，()0,1D ，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，∴()11,AP x y =u u u r ，()221,1CQ x y =--u u u r ，()111,BP x y =-u u u r ，()22,1DQ x y =-u u u r，∴()()()()12122112211111AP CQ BP DQ x x y y x x y y x x ⋅-⋅=-+-----=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，又∵P ，Q 是边长为1的正方形ABCD 边上的两个动点，则101x ≤≤，201x ≤≤，∴2111x x -≤-≤.10．已知函数()32e ,0461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数 ()()()2310g x f x f x ⎡⎤=-⎣⎦3+的零点个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．3 【答案】A【解析】当x ≥0时，f （x ）＝4x 3﹣6x 2+1的导数为f ′（x ）＝12x 2﹣12x ，当0＜x ＜1时，f （x ）递减，x ＞1时，f （x ）递增，可得f （x ）在x ＝1处取得最小值，也为最小值﹣1，且f （0）＝1，作出函数f （x ）的图象，g （x ）＝()()23103f x f x ⎡⎤-+⎣⎦，可令g （x ）＝0，t ＝f （x ）， 可得3t 2﹣10t +3＝0，解得t =3或13， 当t 13=，即f （x ）13=，g （x ）有三个零点； 当t ＝3，可得f （x ）＝3有一个实根，综上g （x ）共有四个零点；二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．已知双曲线221y x m -=的一条渐近线方程为2x y =，则m =__________. 【答案】14【解析】因为渐近线方程为2x y =，且双曲线焦点在x 轴上，故可得102b m a ==>，解得14m =.故答案为：14.12．函数())0,2f x x πωϕϕϕπ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.【答案】8【解析】由(0)f ϕ=，得sin 2ϕ=， Q 2ϕπ<<π，34πϕ∴=，则3())4f x x πω=+，Q ()3104f πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 34πωπ∴+=，即4πω=，则函数的最小正周期2284T πππω===，故答案为：813．已知函数()221x f x x =-，数列{}n a 的通项公式为()2019n n a f n N ⎛⎫=∈* ⎪⎝⎭，则2019a =____．此数列前2019项的和为____．【答案】20192a = 2020 【解析】由题可知，2220192019120192201922019212019n nn n a f n n n ⋅⎛⎫====+ ⎪--⎝⎭⋅- 则2019201912220192019a =+=⨯- 201920192019201911 (12201942019220192019)S =++++++--⨯- 即()()()20191201822017100910102019...S a a a a a a a =+++++++2100922020=⨯+=故答案为：20192a = 202014．已知函数()()()()1231,1log 1,1x x f x x x +⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，若()2f m =，则()2f m -=______. 【答案】23-或1 【解析】()112312m m f m +<⎧=⇒⎨-=⎩或()210log 12m m m ≥⎧⇒=⎨+=⎩或3m =， ∴22m -=-或21m -=，∴()()2223f m f -=-=-或()()211f m f -==. 故答案为：23-或1 15．设,a b 是两个实数，给出下列条件：①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．【答案】③. 【解析】若12,23a b ==，则1a b +>，但1,1a b <<，故①推不出； 若1a b ==，则2a b +=，故②推不出；若2,3a b =-=-，则222a b +>，故④推不出；若2,3a b =-=-，则1ab >，故⑤推不出；对于③，即2a b +>，则,a b 中至少有一个大于1，反证法：假设1a ≤且1b ≤，则2a b +≤与2a b +>矛盾，因此假设不成立，,a b 中至少有一个大于1.故答案为：③.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，8a =，2b c -=，1cos 4A =-. （1）求sinB 的值；（2）求cos(2)6A π+的值.【答案】（1；（2.【解析】（1）Q 由1cos 4A =-，可得sin A = ∴由22642cos 2b c bc A b c ⎧=+-⎨-=⎩，可得：64b c =⎧⎨=⎩，∴由sin sin b a B A=得sin B =；（2）Q 27cos22cos 1,sin 22sin cos 8A A A A A =-=-==71cos(2)cos 2cos sin 2sin 66682A A A πππ⎛∴+=-=-⨯ ⎝⎭=.17．（本小题14分）如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB =2BC =2．（Ⅰ）求证：BC ⊥D 1E ．（Ⅱ）求证：BC ∥平面BED 1．（Ⅲ）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3，求线段D 1E 的长度．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）D 1E =1.【解析】（1）证明：∵底面和侧面是矩形，∴，又∵∴平面3分∵平面∴BC⊥D1E．6分（2）解法1：延长，交于，连结，则平面ADD1A1平面BED1底面ABCD是矩形，E是CD的中点，，∴连结，则又由（1）可知BC⊥D1E又∵D1E⊥CD，∴底面ABCD，∴D1E⊥AE∴平面BED19过E作于，连结，则是平面ADD1A1与平面BED1即平面BCC1B1与平面BED1所成锐二面角的平面角，所以又，∴又易得，，从而由，求得D 1E =1． 12分解法2：由（1）可知BC ⊥D 1E又∵D 1E ⊥CD ，∴底面ABCD 7分设为的中点，以E 为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图． 8分设，则，，，，设平面的一个法向量∵，由，得令，得9分设平面BCC 1B 1法向量为m ⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，因为CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,a)，由{m ⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{x 1=0,x 1+y 1+az 1=0. 令z 1=−1，得m ⃗⃗ =(0,a,−1)． 10分由平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为π3， 得|cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=a √2⋅√a 2+1=cos π3，解得a =1． 即线段D 1E 的长度为．18．（本小题14分）改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪80年代的153万件提升到2018年的507.1亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于1kg )收费10元，续重5元/kg (不足1kg 按1kg 算). (如:一个包裹重量为2.5,kg 则需支付首付10元，续重10元，一共20元快递费用)（1）若你有三件礼物,,A B C 重量分别为0.4 1.2 1.9kg kg kg ，，，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:,A B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？（2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了30天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:现用这30天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取4天，记这4天中日揽收包裹数超过200件的天数为随机变量,X 求X 的分布列和期望【答案】（1）, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元；（2）详见解析.【解析】（1） ,A B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费151530+=(元)， A C ，一个包裹，B 一个包裹时，需花费201535+=(元)，B C ，一个包裹，A 一个包裹时，需花费251035+=(元)，综上，, A B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为30元.（2）由题意知，每日揽包裹数超过200件的概率为13X 可取10,1,2,3,4,4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()44120,1,23,3,,43k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭== 则X 的分布列为()14433E X =⨯=所以这4天中日揽收包裹数超过200件的天数期望为43.19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+()a R ∈． （1）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； （2）求()f x 的单调区间；（3）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0a <时，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ （Ⅲ）31a e <-. 【解析】(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x=+>'，(1)213f '=+=.曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为. (Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x > 所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-. 在区间1(0,)a-上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a-，单调递减区间为1(,)a-+∞. （Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <.max ()2g x =由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33()32f e ae =+>，故不符合题意.)当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减， 故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a aa-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31a e <-.20．（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)F ，动点Q 到点F 的距离比到直线2x =-的距离小1个单位长度（1）求动点Q 的轨迹方程C ；（2）若过点F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，8FA FB ⋅=-u u u v u u u v，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =（2）1y x =-或1y x =-+【解析】（1）根据抛物线的定义，知动点Q 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线， 所以动点Q 的轨迹方程C 为：24y x =；（2）①当l 的斜率不存在时，可知48FA FB ⋅=-≠-u u u r u u u r，不符合条件； ②当l 的斜率存在且不为0时，设l ：(1)y kx =-，则2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立可得()2222240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++=⋅=．因为向量,FA FB u u u r u u u r方向相反，所以()()()12121224||||11148FA FB FA FB x x x x x x k ⎛⎫⋅=-=-++=-+++=-+=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以21k =，即1k =±，所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+．21．（本小题14分）定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由.【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈【解析】（1）*P N ⊆Q ，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集”同理，*P N ⊆Q ，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈， 那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈．因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯。
2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷2(二) (含答案解析)
2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷2（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1，2，3}，B={x|2x2−9x+9≤0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1，2}=()2.已知i为虚数单位，若a为实数，且a≠0，则1−aia+iA. a+iB. a−iC. iD. −i3.已知向量b⃗ =(3,4)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗−b⃗ |=2√5，则|a⃗|=()A. 5B. 25C. 2√5D. √54.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5−a2=10，则S15=()A. 20B. 75C. 150D. 3005.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是()A. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省B. 与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长C. 2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元D. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个6.函数y=x2(其中e为自然对数的底数)的图象大致是()e−|x|−1A. B.C. D.7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，A，B为抛物线上两个不同的点，满足|AF|+|BF|=8，且线段AB的中点坐标为(3,3)，则p=()A. 12B. 2C. 4D. 88.抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为x，第二颗骰子向上的点数为y，则“|x−y|>1”的概率为()A. 59B. 49C. 16D. 7129.将函数f(x)=2sin(3x+π3)的图象向右平移θ个单位(θ>0)后，所得图象关于y轴对称，则θ的最小值为()A. 5π6B. 5π18C. π6D. π1810.下列命题正确的是()①如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合；②若③如果直线a,b和平面α满足④若a//α,a//β,且a⊄α,a⊄β, 则α//β.A. ①③B. ②④C. ③D. ①④11.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(2,√2)在双曲线C上，若AF2⊥F1F2，则双曲线C的渐近线方程为()A. y=±xB. y=±√2xC. y=±2xD. y=±√6x12. 体积为18√3的正三棱锥A −BCD 的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，球心O 在此三棱锥内部，且R ：BC =2：3，点E 为线段BD 上一点，且DE =2EB ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )A. [4π,12π]B. [8π,16π]C. [8π,12π]D. [12π,16π]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 执行如图的程序框图，若输入m 的值为2，则输出的结果i = ______ ．14. 计算：sin11π12=____.15. 已知在(1−2x)n 的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n (1−2x 2)的展开式中，x 4项的系数是__________．16. 已知函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1,(x −1)2,x >1,函数g(x)=f(x)+f(−x)，则不等式g(x)≤2的解集为____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1=1，S n+1=S n +2a n +5．(1)证明：{a n +5}是等比数列； (2)若S n +5n >128，求n 的最小值．18.如图四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．(1)求证：平面AECM⊥平面PDB．(2)若E是PB的中点，且AE与平面PBD所成的角为45°时，求二面角B−AE−D大小的余弦值．19.已知椭圆M的焦点在x轴上，长轴长为2√2，离心率为√2．2(1)求椭圆M的标准方程；(2)已知直线l1的方程为y=x+2√3.若直线l2与直线l1平行且与椭圆M相切，求直线l2的方程．20.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如表：(Ⅰ)根据以上2×2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？(Ⅱ)从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X的分布列及数学期望．，其中n=a+b+c+d参考公式：κ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：21.已知函数f(x)=e x(e x−a)−a2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的斜率为1，在y轴截距为a−3，圆C的标准方程为(x−3)2+(y−43)2=4.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求直线l和圆C的极坐标方程；(ρ>0)与直线l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB (Ⅱ)若射线θ=π3的中点，求a的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|32≤x≤3}；∴A∩B={2,3}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：∵a为实数，且a≠0，∴1−aia+i =(1−ai)(a−i)(a+i)(a−i)=a−i−a2i+ai2a2+1=−(a2+1)ia2+1=−i，故选D．3.答案：D解析：【分析】本题考查了向量的数量积性质，属于基础题．利用数量积的运算性质即可得出．【解答】解：∵|a⃗−b⃗ |=2√5，∴a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =20，∵向量b⃗ =(3,4)，a⃗⋅b⃗ =5，∴a⃗2+(√32+42)2−2×5=20，化为a⃗2=5，则|a⃗|=√5．故选：D．4.答案：C解析：【分析】利用等差数列的通项公式以及前n项和公式求解即可．【解答】解：由题意得2(a1+4d)−(a1+d)=10,即a1+7d=a8=10，=15a8=150，所以S15=15(a1+a15)2故选C．5.答案：D解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，是基础题．由图可知2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，即可得解．【解答】解：由2018年第一季度五省GDP情况图，知：在A中，2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故A正确．在B中，与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP增长率都大于0，即总量均实现了增长，故B正确；≈3815.6，不超过4000亿元，故C正确；在C中，去年同期河南省的GDP总量为4067.41+0.066在D中，2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故D错误；故选D．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性，以及函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．先判断函数的奇偶性，然后用定义法判断函数在(0,+∞)上的单调性，排除选项B，C，D．【解答】解：设函数f(x)=y=x2e−|x|−1，则f(−x)=(−x)2e−|−x|−1==x2e−|x|−1=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除D选项，设x1>x2>0，f(x1)−f(x2)=(x1)2e−x1−1−(x2)2e−x2−1=(x1)2e x1+1−(x2)2e x2+1，∵x1>x2>0，g(x)=x2e x+1在(0,+∞)上单调递增，∴(x1)2e x1+1−(x2)2e x2+1>0，即f(x1)−f(x2)>0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，排除B，C，故选A．7.答案：B解析：求得抛物线的焦点坐标和准线方程，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义和中点坐标公式，解方程可得p的值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查中点坐标公式和方程思想，以及运算能力，属于基础题．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线方程为x=−p2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，|AF|+|BF|=x1+x2+p=8，又线段AB的中点坐标为(3,3)，可得x1+x2=6，即6+p=8，解得p=2．故选：B．8.答案：A解析：解：抛掷两颗骰子，第一颗骰子向上的点数为x，第二颗骰子向上的点数为y，则|x−y|的值的分布表如下：从分布表中知，|x−y|的所有值共有36个，其中“|x−y|>1的有20个，∴|x−y|>1的概率为：p=2036=59．故选：A．列出|x−y|的值的分布表，从分布表中知，|x−y|的所有值共有36个，其中“|x−y|>1的有20个，由此能求出|x−y|>1的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．9.答案：B解析：解：将函数f(x)=2sin(3x+π3)的图象向右平移θ个单位(θ>0)后，可得y=2sin(3x−3θ+π3)的图象，再根据所得图象关于y轴对称，则−3θ+π3=kπ+π2，k∈Z，即θ=−kπ3−π18，故θ的最小值为5π18，故选：B．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得θ的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查空间平面与直线的位置关系和命题的真假判断，属于基础题．【解答】解：①如果两个平面有三个不共线的公共点，则这两个平面重合；故错误；②若α与β相交时，a，b可能相交，可能平行，可能重合，可能异面，故错误；③如果直线a,b和平面α，满足正确；④若a//α,a//β,且a⊄α,a⊄β,则α//β或相交；故错误；故选C．11.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题．由题意得得c=2,b2a =√2，解得a=√2,b=√2，双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±x．【解答】解：由点A(2,√2)在双曲线C上，若AF2⊥F1F2，得c=2,b2a=√2，即4−a2a=√2，解得a=√2,b=√2，所以双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±x，故选A．12.答案：B解析：【分析】本题考查所得截面圆面积的取值范围，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．先求出BC与R，再求出OE，即可求出所得截面圆面积的取值范围．【解答】解：设正三棱锥的高BC=3a，则R=2a，∵体积为18√3的正三棱锥A−BCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，∴13×√34×9a2ℎ=18√3，∴ℎ=24a2，∵R2=(ℎ−R)2+(√3a)2，∴4a2=(24a2−2a)2+3a2，∴a=2，∴BC=6，R=4，∵点E为线段BD上一点，且DE=2EB，∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB=34，∴OE=√16+16−2×4×4×34=2√2，截面垂直于OE时，截面圆的半径为√16−8=2√2，截面圆面积为8π，以OE所在直径为截面圆的直径时，截面圆的半径为4，截面圆面积为16π，∴所得截面圆面积的取值范围是[8π,16π]．故选：B．13.答案：4解析：【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到不满足条件A>B，计算输出i的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．【解答】解：第一次循环，得到i=1，A=2，B=1；第二次循环，得到i =2，A =4，B =2；第三次循环，得到i =3，A =8，B =6；第四次循环，得到i =4，A =16，B =24；不满足A >B ，退出循环；故答案为：4．14.答案：√6−√24解析：【分析】本题考查了诱导公式和两角和与差的三角函数公式，由诱导公式得sin11π12=sin π12，由两角和与差的三角函数公式得sin (π3−π4)=sin π3cos π4−cos π3sin π4，即可得出结果．【解答】解：sin 11π12=sin (π−π12) =sin π12 =sin (π3−π4) =sin πcos π−cos πsin π =√6−√24． 故答案为√6−√24．15.答案：120解析：2n =64，所以n =6．T r+1=C 6r (2x)r =C 6r 2r ⋅x r ，令r =4，则T 5=C 6424⋅x 4=240x 4，令r =2，则T 3=C 6222x 2=60x 2，x 4项为240x 4×1−60x 2×2x 2=120x 4，故x 4项的系数为120．16.答案：[−2,2]解析：解：函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1， 当−1≤x ≤1时，f(x)=1−x ；当x <−1时，f(x)=x +3；当x >1时，f(x)=(x −1)2．①当x >1，即−x <−1，可得g(x)=(x −1)2+3−x =x 2−3x +4，由g(x)≤2，解得1<x ≤2；②当x <−1时，−x >1，则g(x)=x +3+(x +1)2=x 2+3x +4，由g(x)≤2，解得−2≤x <−1；③当−1≤x ≤1时，−1≤−x ≤1，可得g(x)=1−x +1+x =2，由g(x)≤2，解得−1≤x ≤1，综上可得，原不等式的解集为[−2,2]．故答案为：[−2,2]．讨论当−1≤x ≤1时，当x <−1时，去绝对值，再分别讨论−1≤x ≤1，x <−1，x >1时，求得g(x)的解析式，解不等式求并集，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，考查分类讨论思想方法，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)因为S n+1=S n +2a n +5，所以a n+1=2a n +5，则a n+1+5=2(a n +5)，所以a n+1+5a n +5=2a n +10a n +5=2，而a 1+5=6，所以{a n +5}是以6为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)得a n +5=6×2n−1=3×2n ，a n =3×2n −5，∴S n =3×(2+22+23+⋯+2n )−5n=3×2×(1−2n )1−2−5n =6×2n −6−5n ，由S n +5n =6×2n −6>128，得2n >673， 因为25>673>24，所以S n +5n >128时，n 的最小值为5．解析：本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．(1)利用已知条件推出a n+1=2a n +5，然后证明{a n +5}是等比数列；(2)求出数列的通项公式和数列的前n 项和，然后化简不等式求解即可．18.答案：(1)证明：∵PD ⊥面ABCD ，∴PD ⊥AC又∵ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ．∴AC ⊥面PBD ，又AC ⊂面EAC ，∴面EAC ⊥面PBD ．(2)解：由(1)知AO ⊥面PBD ，OE 是AE 在面PBD 上的射影，∴∠AEO 是AE 与面PBD 所成的角，∵AE 与平面PBD 所成的角为45°，∴∠AEO =45°．设AB =2，则AO =OE =√2,OP =2√2． 以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(2,2，0)，A(2,0，0)，E(1,1，√2)，D(0,0，0)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,√2)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,√2)， 设面BAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y +√2z =0， 取x =√2，得m ⃗⃗⃗ =(√2,0,1)，设面DAE 的法向量n⃗ =(a,b,c)， 则{n ⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a =0n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b +√2c =0， 取b =√2，得n ⃗ =(0,√2,−1)，∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=−13，∴二面角B −AE −D 的余弦值为−13．解析：(1)由已知条件推导出PD ⊥AC ，AC ⊥BD ，由此能证明AC ⊥面PBD ，从而得到面EAC ⊥面PBD ．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −AE −D 的余弦值．本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 19.答案：解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，c 为半焦距，长轴长为2√2，离心率为√22． 可得a =√2，c =1，则b =1，∴所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；(2)直线l 1的方程为y =x +2√3.直线l 2与直线l 1平行，设直线l 2的方程为y =x +m ，由{y =x +mx 22+y 2=1，得3x 2+4mx +2m 2−2=0 因为直线l 2与椭圆相切时，所以△=16m 2−4×3×(2m 2−2)=0，解得m =±√3；直线l 2的方程为x −y +√3=0或x −y −√3=0．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查计算能力．(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，c 为半焦距，长轴长为2√2，离心率为√22.求出a ，c 即可得到椭圆方程；(2)直线l 1的方程为y =x +2√3.直线l 2与直线l 1平行，设直线l 2的方程为y =x +m ，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，求解m ，即可得到直线方程． 20.答案：解：(1)由列联表可得K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=30×(4×2−8×16)212×18×20×10=10>7.879所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响．(2)根据题意，X可取的值为0，1，2．P(X=0)=C42C122=111，P(X=1)=C81C41C122=1633，P(X=2)=C82C122=1433，所以X的分布列是：X的数学期望是E(X)=0×111+1×1633+2×1433=43．解析：本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)由列联表求出K2=10>7.879，从而能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习有影响．(2)根据题意，X可取的值为0，1，2.分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．21.答案：解：(1)f(x)=e x(e x−a)−a2x，定义域为R，∴f′(x)=(2e x+a)(e x−a)，①当a=0时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在R上单调递增;②当a>0时，2e x+a>0，令f′(x)=0，解得x=lna，当x<lna时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,lna)单调递减，当x>lna时，f′(x)>0，函数f(x)(lna,+∞)单调递增;③当a<0时，e x−a>0，令f′(x)=0，解得x=ln(−a2)，当x<ln(−a2)时，f′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln(−a2))上单调递减，当x>ln(−a2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(ln(−a2),+∞)上单调递增．综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增，当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增，当a<0时，f(x)在(−∞,ln(−a2))上单调递减，在(ln(−a2),+∞)上单调递增．(2)①当a=0时，f(x)=e2x>0恒成立;②当a>0时，由(1)可得f(x)min=f(lna)=−a2lna≥0，∴lna≤0，∴0<a≤1．③当a<0时，由(Ⅰ)可得：f(x)min=f(ln(−a2))=3a24−a2ln(−a2)≥0，∴ln(−a2)≤34，∴−2e34≤a<0．综上所述，a的取值范围为[−2e34,1]．解析：本题考查导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力，属于中档题．(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断；(2)根据(1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．22.答案：解：(Ⅰ)由点斜式方程得直线l的方程为x−y+a−34=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθa−34=0．同理，圆C的极坐标方程为ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0．(Ⅱ)在极坐标系中，由已知可设M(ρ1,π3),A(ρ2,π3),B(ρ3,π3)．联立{θ=π3ρ2−6ρcosθ−6ρsinθ+14=0可得ρ2−(3+3√3)ρ+14=0，所以ρ2+ρ3=3+3√3．因为点M恰好为AB的中点，所以ρ1=3+3√32，即M(3+3√32,π3 )．把(3+3√32,π3)代入ρcosθ−ρsinθa−34=0，得3(1+√3)2×1−√32+a−34=0．所以a =94．解析：(Ⅰ)利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用二次方程组和中点坐标求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二次方程的应用． 23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1；当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12；当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12；则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0，由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1，可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0，可得(|a|−1)(|b|−1)>0，故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．解析：(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M ；(2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．。
2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：小题强化练(二) Word版含解析
小题强化练(二)一、选择题1．设集合M ＝{x |x 2－x ≥0}，N ＝{x |x <2}，则M ∩N ＝( ) A ．{x |x <0}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |x ≤0或1≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}2．复数i 51－i 的虚部是( )A.12B.i 2 C ．－12D ．－i 23．∃x ≥0，使2x ＋x －a ≤0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]4．设向量a ，b 满足a ＋b ＝(3，1)，a ·b ＝1，则|a －b |＝( ) A ．2 B. 6 C ．2 2D.105．设数列{a n }为等差数列，a 1＝22，S n 为其前n 项和，若S 10＝S 13，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．26．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A.154 B ．－154C.38D ．－387．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Г：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e ＝( )A.32B.233C.217D.2138．将甲、乙等6位同学平均分成正方、反方两组举行辩论赛，则甲、乙被分在不同组中的概率为( )A.310B.12C.35D.259．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ≤π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，且f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递减，则ω＝( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知点P 在圆x 2＋y 2＝4上，A (－2，0)，B (2，0)，M 为BP 中点，则sin ∠BAM 的最大值为( )A.12B.13C.1010D.1411．(多选)某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数为甲：81，84，m ，70，85，85，85；乙：93，84，79，86，84，84，87(其中m 为数字90～99中的一个)．则下列结论不正确的是( )A ．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等B ．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高C ．甲选手得分的中位数比乙选手得分的中位数低D ．甲选手得分的众数比乙选手得分的众数高12.(多选)如图，棱长为1的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的是( )A ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB ．∠APD 1的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2C ．三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值 D ．DC 1⊥D 1P13(多选)若定义域为(0，＋∞)的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋1＞0，且f (1)＝1，则下列结论中不成立的是( )A ．f (e)＞1B ．f ⎝⎛⎭⎫1e ＜0C ．∀x ∈(1，e)，f (x )＞0D ．∃x ∈(1，e)，f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2＜0 二、填空题14．已知如表所示的数据的回归直线方程为y ^＝4x ＋242，则实数a ＝________．x 2 3 4 5 6 y251254257a26615.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，ln （x ＋1），x ≥0，则不等式f (x )<1的解集为______．16．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝2－2a n ＋1，若a 2＝12，则S 5＝______．17．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的左、右焦点，点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q 在椭圆上，则长轴长为________；若P 是椭圆上的一点，且|PF 1|·|PF 2|＝43，则S △F 1PF 2＝________．小题强化练(二)1．解析：选C.由x 2－x ≥0，解得x ≥1或x ≤0，所以集合M ＝{x |x ≥1或x ≤0}．因为N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |x ≤0或1≤x <2}，故选C.2．解析：选A.由i 51－i ＝i 1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋i 2＝－12＋12i ，可知复数的虚部为12，故选A.3．解析：选B.因为∃x ≥0，使2x ＋x －a ≤0，所以a ≥2x ＋x ，易知f (x )＝2x ＋x 在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (0)＝1，所以a ≥1，故选B.4．解析：选B.因为a ＋b ＝(3，1)，所以|a ＋b |＝32＋1＝10，所以|a －b |2＝|a ＋b |2－4a ·b ＝10－4×1＝6，所以|a －b |＝6，故选B.5．解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝22，S 10＝S 13得10×22＋10×92d ＝13×22＋13×122d ，解得d ＝－2，故选A.法二：由题意可得3a 12＝a 11＋a 12＋a 13＝S 13－S 10＝0，则a 12＝0，所以公差d ＝a 12－a 112－1＝0－2211＝－2. 6．解析：选D.由二项式定理可得⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的通项为T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫126－r(－2)r x3－r(r ＝0，1，2，3，…，6)，令3－r ＝2，则r ＝1，所以x 2的系数为C 16⎝⎛⎭⎫126－1×(－2)1＝－38，故选D.7．解析：选D.由题意可得，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线为直线x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x .设点A 在第二象限，由等边三角形的性质可知A ⎝⎛⎭⎫－1，233.又因为点A 在双曲线的渐近线y ＝－b a x 上，所以渐近线方程为y ＝－233x ，所以b a ＝233，则e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝213. 8．解析：选C.由题可知，所有的分组组数为C 36，甲、乙被分在不同组中的基本事件为C 12C 24，故所求的概率P ＝C 12C 24C 36＝35.9．解析：选C.由函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，且在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递减，可知π6ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ①，且在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递减，则函数f (x )的最小正周期T ≥2×π3②，⎣⎡⎦⎤φ，π3ω＋φ⊆⎣⎡⎦⎤2k 2π＋π2，2k 2π＋3π2，k 2∈Z ③，由③可得⎩⎨⎧φ≥2k 2π＋π2，π3ω＋φ≤2k 2π＋3π2，其中k 2∈Z .④因为0<φ≤π2，所以φ＝π2，由①②④及φ＝π2，ω>0可得⎩⎪⎨⎪⎧π6ω＋π2＝k 1π，2πω≥2×π3，π3ω＋π2≤2k 2π＋3π2，k 1，k 2∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ω＝6k 1－3，0<ω≤3，k 1，k 2∈Z ，ω≤6k 2＋3，解得ω＝3.故选C.10.解析：选B.设点M 的坐标为(x ，y )，则P (2x －2，2y )，将点P 的坐标代入圆的方程可得点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1，如图所示，当AM 与圆K 相切时，sin ∠BAM 取得最大值，此时sin ∠BAM ＝|MK ||AK |＝13.11．解析：选ABC.由题意知，甲选手的平均分为x 甲＝17×(70＋81＋85＋85＋85＋84＋m )＝70＋m7，m ∈[90，99]，且m ∈Z ；乙选手的平均分为x 乙＝17×(79＋84＋84＋84＋86＋87＋93)＝8527，令70＋m 7＝8527，解得m ＝107，这与m 的取值范围不符，所以A ，B 选项错误；对于C ，甲选手得分的中位数是85，乙选手得分的中位数为84，甲的中位数比乙的中位数高，C 错误；对于D ，甲选手得分的众数是85，乙选手得分的众数是84，甲的众数高于乙的众数，D 正确．12．解析：选ACD.在A 中，因为A 1D 1⊥平面A 1AP ，A 1D 1⊂平面D 1A 1P ，所以平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；对B 中，当P 与A 1重合时，∠APD 1＝π2，故B 错误；在C 中，因为△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B ∥平面B 1D 1C ，所以点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值，所以三棱锥B 1D 1PC 的体积为定值，故C 正确；在D 中，因为DC 1⊥D 1C ，DC 1⊥BC ，D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，所以DC 1⊥D 1P ，故D 正确．13．解析：选ABD.根据题意，若定义域为(0，＋∞)的函数f (x )的导函数f ′(x )满足xf ′(x )＋1＞0，则有f ′(x )＋1x ＞0，则有(f (x )＋ln x )′＞0，设g (x )＝f (x )＋ln x ，则g ′(x )＝f ′(x )＋1x ＞0，则g (x )在(0，＋∞)上为增函数，依次分析选项：对于A ，e ＞1，则g (e)＞g (1)，即f (e)＋ln e ＞1，则有f (e)＞0，不能得到f (e)＞1，A 不成立；对于B ，1e ＜1，则g ⎝⎛⎭⎫1e ＜g (1)，即f ⎝⎛⎭⎫1e ＋ln 1e ＝f ⎝⎛⎭⎫1e －1＜1，即有f ⎝⎛⎭⎫1e ＜2，f ⎝⎛⎭⎫1e ＜0不一定成立，故B 不成立；对于C ，g (x )在(1，e)上为增函数，且g (1)＝1，则有f (x )＋ln x ＞1，则f (x )＞1－ln x ，又当1＜x ＜e 时，0＜ln x ＜1，则f (x )＞0，符合题意；对于D ，当x ∈(1，e)时，有x ＞1x ＞1e ＞0，此时有g (x )＞g ⎝⎛⎭⎫1x ，即f (x )＋ln x ＞f ⎝⎛⎭⎫1x ＋ln ⎝⎛⎭⎫1x ，变形可得f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2ln x ＞0，又当1＜x ＜e 时，0＜ln x ＜1，则f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2＞0恒成立，不符合题意．故选ABD.14．解析：回归直线y ^＝4x ＋242必过样本点的中心(x ，y )，而x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y＝251＋254＋257＋a ＋2665＝1 028＋a 5，所以1 028＋a5＝4×4＋242，解得a ＝262.答案：26215．解析：当x <0时，f (x )＝x 2<1，解得－1<x <0；当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)<1，解得0≤x <e －1，综上，不等式f (x )<1的解集为(－1，e －1)．答案：(－1，e －1)16．解析：法一：由题意可知S 1＝2－2a 2＝1，且S n ＝2－2(S n ＋1－S n )，整理可得S n ＋1－2＝12(S n －2)．因为S 1－2＝－1，所以数列{S n －2}是以－1为首项，12为公比的等比数列，故S 5－2＝(－1)×⎝⎛⎭⎫124＝－116，所以S 5＝3116. 法二：根据S n ＝2－2a n ＋1，所以a 1＝S 1＝2－2a 2＝1.当n ≥2时，由S n ＝2－2a n ＋1①，得S n－1＝2－2a n ②，①－②可得a n ＝－2a n ＋1＋2a n ，所以a n ＝2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n .因为a 2＝12a 1，所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以S 5＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 答案：311617．解析：由椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)，知c ＝a 2－1，所以F 2(a 2－1，0)，点F 2关于直线y ＝x 的对称点Q (0，a 2－1)，由题意可得a 2－1＝1，即a ＝2，则长轴长为2 2.所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|·|PF 2|＝43，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝8－83－483＝12， 所以sin ∠F 1PF 2＝32，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×43×32＝33. 答案：22 33。
2020年高考数学(理)冲刺突破专题04突破概率与统计解答题的瓶颈(含答案)
确定 X的取值 → 计算与 X值对应的概率 → 列出 X的分布列 → 求出数学期望
标准答案
阅卷现场
(1)由题意知， X 所有可能取值为 200，300， 500.①
第 (1)问
第 (2)问
由表格数据知 辨表
P(X＝
200)＝
2＋9016＝
0.2
，P
(X＝
36 300)＝90＝
0.4
，
得
[来源 学科
网]
(3) 赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋项式定理的逆用，要用整体思想看待
a， b.
5.应用互斥事件的概率加法公式时， 概率，再求和 .
一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，
然后求出各事件分别发生的
6.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是
② P(μ－ 2σ<X≤ μ＋ 2σ)≈ 0.954 5；
③ P(μ－ 3σ<X≤ μ＋ 3σ)≈ 0.997 3.
1.关于两个计数原理应用的注意事项 (1) 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类 加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步
乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事
.
(2) 混合问题一般是先分类再分步 .
(3) 分类时标准要明确，做到不重复不遗漏 .
(4) 要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律
.
2.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1) 离散型随机变量的分布列的两个性质
2020届高考数学(理科)金榜冲刺卷(二)(解析版)word 版
2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设1i2i 1iz -=++（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．0B ．12C ．1D2．若集合21|M y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{|N x y ==，那么M N ⋂=（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 3．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2 4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板}{n a 25932a a a =21222拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．2505．若,,a b c 满足223,log 5,32a cb ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 7．已知实数,x y 满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,1-B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,3-8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h=（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e -∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e -∞---U D ．211(,)(1,)4e e --⋃+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________.14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v_________.15．若4()(2)ax y x y -+的展开式中23x y 的系数为8，则a =_________．16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足tan tan 2A aC b a=-． （1）求角C ；（2）设D 为边AB 的中点，ABC ∆的面积为CD 的最小值．18．(12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=.19．(12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 20．(12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.21．(12分）函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+.（1）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（2）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈. （1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围.2020年高考金榜冲刺卷（二）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设1i2i 1iz -=++（i 为虚数单位），则||z =( ) A ．0B ．12C ．1D【答案】C【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=，则1z =，故选C. 2．若集合21|M y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{|N x y ==，那么M N ⋂=（ ） A ．()0,+∞ B ．[)0,+∞ C ．()1,+∞ D ．[)1,+∞ 【答案】D【解析】先求出集合()0,M =+∞,[)1,N =+∞,然后画数轴得M N ⋂=[)1,+∞,故选D. 3．已知等比数列的公比为正数，且，则公比=q （ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】2239652a a a a==，226252a q a ==，因为0>q ，所以2=q ，故选C. 4．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板}{n a 25932a a a =21222拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000粒绿豆（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内绿豆粒数大约为（ ）A ．750B ．500C ．375D ．250【答案】C【解析】因为BIC GOH ∆≅∆，故阴影部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，331444EFOHDOF BDFA S S S ∆∆==⨯ ,所以落在阴影部分的概率 33,20003751616EFOH BDFAS P S ∆∆==⨯= ，故选C. 5．若,,a b c 满足223,log 5,32a cb ===，则( )A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】A【解析】因为2log 5b =，则25b =，故222b a >>，故1b a >>.又323c =<，故1c <.综上，b a c >>，故选A .6．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z【答案】B【解析】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z .故选B. 7．已知实数,x y 满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,1- B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,3-【答案】B【解析】作出实数,x y 满足的可行域如图所示：可求得交点坐标M(3，9)，N(-3，3)，P(3，-3)，当目标函数经过M 点时39z a =+，当目标函数经过N 点时33z a =-+，当目标函数经过P 点时33z a =-，则由题意可得39333333a a a a +≥-+⎧⎨-+≥-⎩联立解得11a -≤≤.故选B.8．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D【答案】B【解析】在图1中，液面以上空余部分的体积为211r h π；在图2中，液面以上空余部分的体积为222r h π.因为221122r h r h ππ=，所以21221h r h r ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选B.9．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且FA FB +u u u v u u u v =0，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】C【解析】因为FA FB +u u u v u u u v=0，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a ca-=+，则c a a -=，故2c e a ==.故选C. 10．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()11f x f x +=-且在[)1,+∞上是增函数，不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,1--B ．[]2,0-C ．[]5,1--D ．[]2,1-【答案】B【解析】由()()11f x f x +=-可知函数()f x 的对称轴为x=1.因为()f x 在[5,5]-上是增函数,所以()f x 在[5,5]-上是减函数,因为1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以1102x -≤-≤,又因为不等式()()21f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,所以,当a=0时,不等式()()21f ax f x +≤-显然成立；当0a >时,12222ax a +≥+>,根据题意可得()()()220f ax f f +>=,故不满足题意；当0a <时,12222a ax a +≤+≤+,则02a ≤+且1222a +<,所以20a -≤<.综上，可得实数a 的取值范围是20a -≤≤.11．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57πC ．63πD ．84π【答案】B【解析】三棱锥P ABC PA ABC 中，平面，-⊥ 设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ ，如图所示；则3sin PA PQ PQ θ==， 由题意知θ的最大值是3π，∴332PQ=，解得23PQ =，即PQ 的最小值为∴AQ ，即点A 到BC ，AQ BC ∴⊥，AB BC ∴== 6BC ；∴=取ABC △的外接圆圆心为O '，作OO '‖PA ，62sin120r ∴=︒， 解得r =；O A ∴'=M 为PA 的中点，32OM O A PM ∴='==，由勾股定理得CP R === ∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积是224457S R πππ==⨯⨯=．故选B. 12．若函数()1(2)ln xf x a x e x x=-++在(0,2)上存在两个极值点，则a 的取值范围是（ ） A ．21(,)4e-∞-B ．1(,)e -∞-C ．2111(,)(,)4e e e-∞---U D ．211(,)(1,)4e e--⋃+∞ 【答案】D【解析】由题意可知211()(1)0xf x ae x x x =-+-='有两个不等根.即21(1)x x ae x x--=,(0,2)x ∈,有一根1x =.另一根在方程21x x e a=-,(0,2)x ∈中,令2()x h x x e =,(0,2)x ∈,2()(2)0x h x e x x +'=>所以()h x 在(0,2)x ∈且1x ≠上单调递增.所以1(1),h e a -≠=即2()(0,)(,4)h x e e e ∈⋃13a e≠.所以a ∈()211,1,e 4e ∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为___________. 【答案】2【解析】4655102105a a a a +=⇒=⇒=，155335()551,2a a S a a +===⇒=公差为53512.22a a --== 14．根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”，其中“股”4AB =，D 为“弦”BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=u u u v u u u v u u u v_________.【答案】14425【解析】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，所以()214425CB CA AD AB AD AD -⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故答案为14425.15．若4()(2)ax y x y -+的展开式中23x y 的系数为8，则a =_________． 【答案】1【解析】4()(2)ax y x y -+的展开式中含23x y 的项为332222344(2)()(2)(3224)ax C x y y C x y a x y ⋅⋅+-⋅=-，根据题意可得32248a -=，解得1a =．16．过抛物线C ：24x y =的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是_________. 【答案】4【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则直线PA ，PB 的方程分别为21124x x y x =-，22224x x y x =-，联立解得122P x x x +=，124P x x y ⋅=.又直线PA ，PB 的方程分别可表示为112xy x y =-，222x y x y =-，将P点坐标代入两方程，得1122,2,2P P P P x x y y x x y y ⋅⎧=-⎪⎪⎨⋅⎪=-⎪⎩所以直线AB 的方程为12P x x y ⋅-=-，即12P x x y ⋅=+， 所以A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和为1212211222P P x x y y x x ⎛⎫⎛⎫++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2121244424P x x xx x +=++=+….故答案为4. 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(12分）在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足tan tan 2A aC b a=-．（1）求角C ；（2）设D 为边AB 的中点，ABC ∆的面积为CD 的最小值．【解析】（1）由正弦定理：sin 22sin sin a A b a B A =--，又tan sin cos tan cos sin A A CC A C=， 由题tan tan 2A a C b a=-，所以sin cos cos sin A C A C sin 2sin sin AB A =-.因为sin 0A ≠，所以cos (2sin sin )cos sinC B A A C -=,即cos sin cos sin 2sin cos C A A C B C +=,即sin sin()2sin cos B A C B C =+=, 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =，则3C π=.（2）由1sin 2ABC S ab C ∆=，即12ab 12ab =.由1()2CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v ,所以2221(2)4CD CA CB CA CB =++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 222211(2cos )()44b a ab C b a ab =++=++1(2)94ab ab ≥+=当且仅当a b =时取等,所以边CD 的最小值为3. 18．(12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.①若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；②已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围. 可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【解析】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）①记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.②甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ，依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯，解得23p ≥，又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 19．(12分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE ∆折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）.（1）证明：AE PB ⊥；（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4π，求二面角A PE C --的余弦值. 【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ,//,AB CE AB CE =Q , ∴四边形ABCE 为平行四边形,AE BC AD DE ∴===, ADE ∴∆为等边三角形,∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=,BD BC ⊥, BD AE ∴⊥,翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥.又OP ⊂Q 平面POB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =I , AE ∴⊥平面POB .PB ⊂Q 平面POB , AE PB ∴⊥.（2）解：在平面POB 内作PQ ⊥OB,垂足为Q ，因为AE ⊥平面POB ，∴AE ⊥PQ ，因为OB ⊂平面ABCE, AE ⊂平面ABCE,AE ∩OB=O,∴PQ ⊥平面ABCE ，∴直线PB 与平面ABCE 夹角为4PBQ π∠=，又因为OP=OB ，∴OP ⊥OB ，∴O 、Q 两点重合，即OP ⊥平面ABCE ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为111(,0,0),(,0,(222P E C PE EC ∴==u u u r u u u r ,设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =u r，则1110022,,01022x z PE n EC n x y ⎧-=⎪⎧⋅=⎪⎪∴⎨⎨⋅=⎪⎩⎪+=⎪⎩u u u v u v u u u v u v设x =y=-1,z=1，∴1,1)n =u r ，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =u u r，设二面角A-EP-C 为α，1212|||cos |=5||||n n n n α⋅==u r u u ru r u u r .易知二面角A-EP-C为钝角，所以cos =-5α.20．(12分）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y轴的交点为C ，已知613AB BC =u u u r u u u r. （1）求椭圆的离心率；（2）设动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥，求椭圆的方程.【解析】（1）∵A (,0)a -,设直线方程为2()y x a =+,11(,)B x y ,令0x =,则2y a =,∴(0,2)C a , ∴1111(,),(,2)AB x a y BC x a y =+=--u u u r u u u r∵613AB BC =u u u r u u u r ， ∴1x a +=11166(),(2)1313x y a y -=-,整理得111312,1919x a y a =-= , ∵B 点在椭圆上,∴22221312()()11919a b +⋅=,∴223,4b a =∴2223,4a c a -=即2314e -=,∴12e =.（2）∵223,4b a =可设223.4b t a t ==,∴椭圆的方程为2234120x y t +-= ,由2234120x y t y kx m ⎧+-=⎨=+⎩得222(34)84120k x kmx m t +++-= ,∵动直线y kx m =+与椭圆有且只有一个公共点P,∴0∆=,即2222644(34)(412)0k m m m t -+-=,整理得2234m t k t =+,设P 11(,)x y 则有122842(34)34km km x k k =-=-++,112334my kx m k =+=+, ∴2243(,)3434km mP k k-++ ,又(1,0)M ,Q (4,4)k m +,若x 轴上存在一定点(1,0)M ，使得PM QM ⊥, ∴2243(1,)(3,(4))03434km mk m k k+-⋅--+=++恒成立,整理得2234k m +=, ∴223434k t k t +=+恒成立,故1t =,所求椭圆方程为22143x y +=.21．(12分）函数()22()22ln 4f x x x x x x =--+.（1）求()f x 在x e =处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（2）设32()33()g x x x x f x =-++，若1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：121x x <. 【解析】（1）2()f e e =，()()41ln ,f x x x =-'则()4(1)f e e '=-，故()f x 在x e =处的切线方程为()()241e e y x e -=--即()241340e y e e x ---+=；（2）证明：由题可得()()()23141ln g x x x x =-+-'，()10g '=，当01x <<时，10,ln 0x x -<<，则()0g x '>；当1x >时，10,ln 0x x ->>，则()0g x '>， 所以，当0x >时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+上是增函数.设()()()101G x g x g x x ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭， 则()()()()22431111311411ln G x g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎝⎭⎭''， 当01x <<时，10,ln 0x x -<<，431110,10,x x -<-<则()0G x '<，()G x 在()0,1上递减.不妨设120x x <<，由于()g x 在()0,∞+上是增函数，则()()12g x g x <， 又()()128g x g x +=，()14g =，则()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<， 由101x <<，()G x 在()0,1上递减，则()()()11218G x G g >==，所以()1118g x g x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，则()()12118g g x g x x ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭， 又2111,1x x >>，()g x 在()0,∞+上是增函数，所以，211x x >，即121x x <. (二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【极坐标与参数方程】（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(5)10x y -+=,曲线2C 的普通方程为：224x y x +=，即22(2)4x y -+=,由两圆心的距离32)d =∈，所以两圆相交，所以两方程相减可得交线为6215x -+=，即52x =.所以直线的极坐标方程为5cos 2ρθ=.（2）直线l 的直角坐标方程：4x y +=，则与y 轴的交点为(0,4)M直线l的参数方程为242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，带入曲线1C 22(5)10x y -+=得2310t ++=.设,A B 两点的参数为1t ，2t ,所以12t t +=-1231t t =，所以1t ，2t 同号.所以1212MA MB t t t t +=+=+=. 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()21f x x a x =-+-,()a R ∈. （1）当1a =时,求()2f x ≤的解集;（2）若()21f x x ≤+的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时,()21121f x x a x x x =-+-=-+-,当()2f x ≤,即1212x x -+-≤,上述不等式可化为121122x x x ⎧≤⎪⎨⎪-+-≤⎩,或1121212x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≤⎩,或11212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩,102x ∴≤≤或112x <<或413x ≤≤,∴原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）()21f x x ≤+Q 的解集包含1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()21f x x ≤+恒成立,即在2121x a x x -++≤+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,2121x a x x ∴-+-≤+,即2x a -≤,22x a ∴-≤-≤,22x a x ∴-≤≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立,()()max min 22x a x ∴≤-≤-,512a ∴-≤≤,a ∴的取值范围为51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
2020年高考数学(理)冲刺突破专题03突破立体几何解答题的瓶颈(含答案)
【解析】（ 1）由题意，点 E、 F 分别是 AD 、 BC 的中点，
则 ????=
1 2
???，?
????=
1 2
???，?
由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF ⊥ BC．
由于 PF ⊥BF ，EF ∩PF ＝F，则 BF⊥平面 PEF ．
又因为 BF? 平面 ABFD ，所以：平面 PEF ⊥平面 ABFD ．
棱锥 由若干个三角形构成
圆锥
扇形
S＝ S 底＋ S 侧 S＝ πr2＋ πrl
1 V＝ 3S 底·h
V
＝
1 3
πr 2·h
棱台
由若干个梯形构成
S＝ S 上底＋ S 下底 ＋ S 侧
V＝
1 3(
S＋
SS′＋ S′) ·h
圆台
扇环
S＝ πr ′ 2＋ πr（＋ r′ )l＋ πr2
V＝ 13π（r 2＋ rr ′＋ r ′ 2) ·h
( 本题满分 12 分 ) 如图，在四棱锥 P- ABCD中， AB∥CD，且∠ BAP＝∠ CDP＝90° .
典例
(1) 证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
(2) 若 PA＝ PD＝ AB＝ DC，∠ APD＝90°，求二面角 A- PB- C的余弦值 .
(1) ∠ BAP＝∠ CDP＝90°―→ AB⊥AP， CD⊥PDAB∥ CDA⊥B PD―→AB⊥平面 PAD―→结
∴ AD ，CG 确定一个平面， ∴ A， C，G，D 四点共面， 由已知得 AB⊥ BE， AB⊥ BC，∴ AB⊥面 BCGE， ∵ AB? 平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 BCGE． （ 2）作 EH ⊥ BC，垂足为 H， ∵ EH ? 平面 BCGE，平面 BCGE⊥平面 ABC ， ∴ EH ⊥平面 ABC， 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，∠ EBC＝ 60°，
2020年高考数学(理)冲刺突破专题05突破圆锥曲线解答题的瓶颈(含答案)
审题 路线
利用条件 N→P＝ 2 N→M求解 .[来源学科网ZXXK] (2)要证过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F? 证明 O→Q⊥P→F?
O→Q·P→F＝ 0.
标准答案
阅卷现场
(1)设 P(x，y)， M(x0，y0)，N(x0，0)，N→P＝(x
第(1)问
第 (2)问
－x0， y)， N→M＝(0， y0)，① 由N→P＝ 2 N→M， 得 x0＝x，y0＝ 22y，②
(2)证明： 由题意知 F(－ 1， 0)， 设 Q(－3，t)，P(m，n)设而不求 ， 则O→Q＝ (－3，t)，P→F＝(－1－m，－ n)，⑤ O→Q·P→F＝3＋3m－tn，⑥ [来源:学。科。网 ] O→P＝(m， n)，P→Q＝(－3－m，t－n)，⑦ 由O→P·P→Q＝ 1 得－ 3m－m2＋ tn－n2＝1，⑧ 又由 (1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝ 0. 所以 O→Q·P→F＝0，即 O→Q⊥P→F，⑨ 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.⑩
2k 2 1
则直线 PG : y
1 ( x x1) y1
k
11 x x1 kx1
kk
1 k2 1
x
x1 ，
k
k
联立直线
PG 和椭圆 C ，可得
2 (k2
1)x2
4 x1(k 2 k2
1) x
2 x12 (k 2 1)2 k2
4
0，
2
则 x1
x0
4 x1 ( k k2
1) ， 2
∴ S PQG
1 y1( x1 x0 ) 2
2020届全国高考理科数学模拟冲刺卷二(含答案)
2020届全国高考模拟冲刺卷 二数学(理)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两卷.满分150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知集合{}{}1,2,2,3,4M N ==若,P M N =⋃则P 的子集个数为( ) A ．14B ．15C ．16D ．322、已知a R ∈,i 是虚数单位,若z a =+,4z z ⋅=，则a = ( ) A. 1或1-B.或C.D.3、设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b ＝＋＋ (b 为常数)，则1()f －＝( )A.1B.1－C.3D.3－4、下面与角233n终边相同的角是（ ） A.43π B.3πC.53π D.23π 5、已知12==，a b ，且()()52+⊥-a b a b ，则a 与b 的夹角为( ) A.30°B.60°C.120°D.150°6、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则5S =（ ）A ．1123B ．112C ．12127D ．1217、已知R x y ∈,，且0x y ＞＞，则（ ） A ．110x y->B ． sin sin 0x y ->C ．11022x y ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ln ln 0x y +>8、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为( )A.()4πB.()4πC.()6π1+D.()6π1++9、当方程22220x y kx y k ＋＋＋＋＝所表示的圆的面积最大时，直线1()2y k x ＝－＋的倾斜角α的值为（ ） A. 4πB.34πC.32πD. 54π10、某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,……,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 A.623B.328C.253D.00711、已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（ ）A ．12B12、若函数2()e (2)x f x x x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A．[(2-，(2+ B．((2-，(2+C．((2-，0) D ．(0，(2+第II 卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、在如图所示的程序框图中，若输入x 的值为12log 3，则输出的y 为.14、若,a b R ∈,0ab >,则4441a b ab ++的最小值为__________.15、函数()sin(23f x x π=+在区间[0,]4π的最小值为__________.16、已知等边ABC △的边长为，,M N 分别为AB AC ,的中点，将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点，当四棱锥A MNCB -的体积最大时，P 到平面MNCB 距离的最大值为 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、在ABC △中，内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,，已知ABC △的面积2224b c a S +-=(1)求A .(2)作角B 的平分线交边AC 于点O ，记AOB △和BOC △的面积分别为12,S S ，求12S S 的取值范围.18、某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)．1.求居民月收入在[3000,3500)的频率；2.根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；3.为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系．必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽取100人作进一步分析，则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人？19、已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面互相垂直，,M N 分别为棱,BE AD 的中点，1,2AB AD ==.（1）证明：直线//AM 平面NEC ； （2）求异面直线AM 与CN 的成角余弦值。
2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟突破冲刺卷及参考答案(精品试题).docx
年二模突破冲刺交流试卷（03）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为A .()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ． ()1,1- 2. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B AA.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1-D ．()e ,23．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤=Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718 （参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=）4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”=B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B PA. 51 B ． 103C ．52D ．215．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10 项和10S = A. 31B. 62C. 170D. 10237． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）()31.21A f x x x =--()31.21B f x x x =+- ()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =---8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于A. 212a B. 214a C. 224a D.234a 9．若正数,ab 满足：121=+b a则2112-+-b a 的最小值为（ ） 开始输入xk =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出k 正视方向图1图2C 1D 1B 1A1CDABMQN O xyA.2B.2 C. 22 D. 110．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，AOC α∠=．若5BC =，则23sincos3cos 2222ααα+-= 25.5A -5.5B -5.5C25.5D11. 已知P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线PB PA ,的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=e A . 25B ． 315 C ．210D ．2 12.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则ab -的最小值为A . 22ln 1+ B ． 22ln 1- C ．12-eD ．1-e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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填空题“瓶颈”突破练
1.若f (x )是R 上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0，又f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.
解析 f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.
又f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52＋f (x )＝0， ∴f (x ＋5)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋52＝0，则f (x ＋5)＝f (x )， 因此f (x )是周期为5的周期函数，
由f (1)＝1，f (2)＝2，知f (－1)＝－1，f (－2)＝－2，
故f (3)＋f (4)＋f (5)＝f (－2)＋f (－1)＋f (0)＝－3.
答案 －3
2.过直线l ：x ＋y ＋1＝0上一点P 作圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形P ACB 的面积为3，则点P 的横坐标为________. 解析 圆C 的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，
所以圆心C 的坐标为(2，1)，半径为1.又四边形P ACB 的面积为3，所以|P A |·1＝3，则|P A |＝3，
设点P (a ，－a －1)，在Rt △P AC 中，由勾股定理得
|PC|2＝|P A|2＋r2＝10，即(a－2)2＋(－a－2)2＝10，则a＝±1.
答案±1
3.已知四棱锥P－ABCD的底面边长都为2，P A＝PC＝23，PB＝PD，且∠DAB ＝60°，M是PC的中点，则异面直线MB与AP所成的角为________.
解析
如图，连接AC与BD相交于N，则MN∥P A，则MB，AP所成的角为∠NMB或∠NMB的补角.
由题意知NB＝1，MN＝3，BN⊥MN，则tan∠NMB＝NB
MN
＝3
3
，则∠NMB＝30°. 答案30°
4.已知数列{a n}为正项递增的等比数列，a1＋a5＝82，a2·a4＝81，记数列
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
2
a n的前n项和为T n，则使不等式2 020⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
3T n－1>1成立的正整数n的最大值为________.
解析由数列{a n}为正项递增的等比数列，a1＋a5＝82，a2·a4＝a1·a5＝81，得⎩⎪
⎨
⎪⎧a1＝1，
a5＝81，
所以公比q＝3，a n＝3n－1.
所以T n＝2
1
＋2
3
＋2
32
＋…＋2
3n－1
＝2×
1－
1
3n
1－
1
3
＝3
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
3n.所以2 020⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
3T n－1>1，即。