《万有引力》课堂例题——《常见的几种星球》
高中“万有引力定律”习题归类例析
“万有引力定律”习题归类例析万有引力定律部分内容比较抽象，习题类型较多，不少学生做这部分习题有一种惧怕感，找不着切入点．实际上，只要掌握了每一类习题的解题技巧，困难就迎刃而解了．下面就本章的不同类型习题的解法作以归类分析．一、求天体的质量(或密度)1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量由mg=G 2RMm 得 G g R M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．）[例1]宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度． 根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221gt y =设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ ○1 当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ② 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2R Mm ③ 联立以上三个方程解得22332Gt LR M = 而天体的体积为334R V π=，由密度公式V M =ρ得天体的密度为RGt L 223πρ=。
2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得222224Tmr mr r v m r Mm G πω=== 若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质量为G r GT r G rv M 3223224ωπ=== [例2]下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ）A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离rB.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr rMm G =可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2324GTr M π=，所以D 项正确． 二、人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题 根据人造卫星的动力学关系ma Tmr mr r v m r Mm G ====222224πω 可得2323,4,,rGM a GM r T r GM r GM v ====πω 由此可得线速度v 与轨道半径的平方根成反比；角速度ω与轨道半径的立方的平方根成反比，周期T 与轨道半径的立方的平方根成正比；加速度a 与轨道半径的平方成反比．[例3]两颗人造卫星A 、B 绕地球做圆周运动，周期之比为8:1:=B A T T ，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）A. 2:1:,1:4:==B A B A v v R RB. 1:2:,1:4:==B A B A v v R RC. 1:2:,4:1:==B A B A v v R RD. 2:1:,4:1:==B A B A v v R R[解析]由GMr T 324π=可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由8:1:=B A T T 可得轨道半径4:1:=B A R R ，然后再由rGM v =得线速度1:2:=B A v v 。
高中物理万有引力定律知识点总结与典型例题精选汇总
万有引力定律 人造地球卫星『夯实基础知识』1．开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦天文学家第一定律：所有行星都在椭圆轨道上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上； 第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等．即k Tr =23开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上概括出的，给出了行星运动的规律。
2．万有引力定律及其应用(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。
2rMmGF =（1687年） 2211/1067.6kg m NG ⋅⨯=-叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距1m 时的相互作用力，1798年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。
万有引力常量的测定——卡文迪许扭秤 实验原理是力矩平衡。
实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。
万有引力常量的测定使卡文迪许成为“能称出地球质量的人”：对于地面附近的物体m ，有2EE R mm Gmg =（式中R E 为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到GgR m EE 2=。
(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离．对于均匀的球体，r 是两球心间的距离．当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出F 近为无穷大。
(3) 地球自转对地表物体重力的影响。
体随地球自转时需要向心力．重力实际上是万有引力的一个分力．另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为ϕ的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力 F向=mRcos ϕ·ω2（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg ，其方向与支持力N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。
万有引力定律的应用练习题含答案及解析
万有引力定律的应用练习题含答案及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用1．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，行星半径为求：(1)行星的质量M；(2)行星表面的重力加速度g；(3)行星的第一宇宙速度v．【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】(1)设宇宙飞船的质量为m，根据万有引力定律求出行星质量(2)在行星表面求出:(3)在行星表面求出:【点睛】本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．2．在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m的物体P置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x0，上升过程中物体P的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
若在另一星球N上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q在弹簧上端点由静止释放，物体Q的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中虚线所示。
两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N半径为地球半径的3倍。
忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。
求：(1)地球表面和星球N 表面重力加速度之比； (2)地球和星球N 的质量比；(3)在星球N 上，物体Q 向下运动过程中的最大速度。
【答案】(1)2:1(2)2:9(3)0032v a x = 【解析】 【详解】（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g 1=a 0 星球N 表面处的重力加速度为 g 2=00.5a 则地球表面和星球N 表面重力加速度之比为2∶1 （2）在星球表面，有2GMmmg R = 其中，M 表示星球的质量，g 表示星球表面的重力加速度，R 表示星球的半径。
则M =2gR G因此，地球和星球N 的质量比为2∶9（3）设物体Q 的质量为m 2，弹簧的劲度系数为k 物体的加速度为0时，对物体P ：mg 1=k·x 0对物体Q ：m 2g 2=k ·3x 0联立解得：m 2=6m在地球上，物体P 运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为E p ，整个上升过程中，弹簧和物体P 组成的系统机械能守恒。
万有引力习题及答案
【典型例题】例1、海王星的公转周期约为5.19×109s，地球的公转周期为3.16×107s，则海王星与太阳的平均距离约为地球与太阳的平均距离的多少倍？例2、有一颗太阳的小行星，质量是1.0×1021kg，它的轨道半径是地球绕太阳运动半径的2.77倍，求这颗小行星绕太阳一周所需要的时间。
例3、16世纪，哥白尼根据天文观测的大量资料，经过40多年的天文观测和潜心研究，提出了“日心说”的如下四个观点，这四个论点目前看存在缺陷的是（）A、宇宙的中心是太阳，所有行星都在绕太阳做匀速圆周运动。
B、地球是绕太阳做匀速圆周运动的行星，月球是绕地球做匀速圆周运动的卫星，它绕地球运转的同时还跟地球一起绕太阳运动。
C、天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象。
D、与日地距离相比，恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多。
例4．假设已知月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，假如地球对月球的万有引力突然消失，则月球的运动情况如何？若地球对月球的万有引力突然增加或减少，月球又如何运动呢？【针对训练】1、某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/3则此卫星运行的周期大约是：（）A．1－4天之间 B．4－8天之间 C．8－16天之间 D．16－20天之间2、两行星运行周期之比为1：2，其运行轨道的半长轴之比为：（）A.1/2B.C.D.3、地球到太阳的距离是水星到太阳距离的2.6倍，那么地球和水星绕太阳运转的线速度之比是多少？（设地球和水星绕太阳运转的轨道是圆轨道）4．关于日心说被人们所接受的原因是（）A．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星的运动的描述也变得简单了C．地球是围绕太阳转的 D．太阳总是从东面升起从西面落下5、考察太阳M的卫星甲和地球m(m<M)的卫星乙，甲到太阳中心的距离为r1，乙到地球中心的距离为r2，若甲和乙的周期相同，则：（）A、r1>r2B、r1<r2C、r1=r2D、无法比较6、设月球绕地球运动的周期为27天,则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比r/R为（）A. 1/3B. 1/9C. 1/27D. 1/18【能力训练】1、关于公式R3 ／ T2=k,下列说法中正确的是（）A.公式只适用于围绕太阳运行的行星B.不同星球的行星或卫星，k 值均相等C.围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等D.以上说法均错2、地球质量大约是月球质量的81倍,在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（）A. 1：27B. 1：9C. 1：3D. 9：13、两颗小行星都绕太阳做圆周运动，它们的周期分别是T和3T，则（）A、它们绕太阳运转的轨道半径之比是1：3B、它们绕太阳运转的轨道半径之比是1：C、它们绕太阳运转的速度之比是：1：4D、它们受太阳的引力之比是9：74、开普勒关于行星运动规律的表达式为，以下理解正确的是（）A.k是一个与行星无关的常量B.R代表行星运动的轨道半径C.T代表行星运动的自传周期D.T代表行星绕太阳运动的公转周期5、关于天体的运动，以下说法正确的是（）A.天体的运动与地面上物体的运动遵循不同的规律B.天体的运动是最完美、和谐的匀速圆周运动C.太阳从东边升起，从西边落下，所以太阳绕地球运动D.太阳系中所有行星都绕太阳运动6、关于太阳系中各行星的轨道，以下说法正确的是：（）A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆C.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是不同的D.不同的行星绕太阳运动的轨道各不相同7、如果某恒星有一颗卫星，此卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T，则可估算此恒星的平均密度ρ=_________（万有引力常量为G）8、两颗行星的质量分别是m1,m2，它们绕太阳运转轨道的半长轴分别为R1、R2，如果m1=2m2,R1=4R2,那么，它们的运行周期之比T1：T2= 9、已知两行星绕太阳运动的半长轴之比为b，则它们的公转周期之比为多少？10、有一行星，距离太阳的平均距离是地球到太阳平均距离的８倍，则该行星绕太阳公转周期是多少年？11、地球公转运行的轨道半径Ｒ＝1.49×1011m,若把地球的公转周期称为１年，土星运行的轨道半径是ｒ＝1.43×1012m，那么土星的公转周期多长？参考答案：例1. 646倍例2. 4.61年例3. ABC 例4. 略。
【物理】高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)及解析
【物理】高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。
图示为2017年7月13日朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋(大红斑)，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h 。
土星视为球体，已知土星质量为M ，半径为R ，万有引力常量为.G 求：()1土星表面的重力加速度g ；()2朱诺号的运行速度v ；()3朱诺号的运行周期T 。
【答案】()())(21?2?3?2GM GM R h R h R R h GM π+++【解析】【分析】土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。
【详解】（1）土星表面的重力等于万有引力：2Mm Gmg R = 可得2GMg R= （2）由万有引力提供向心力：22()Mm mv G R h R h=++ 可得：GM v R h=+（3）由万有引力提供向心力：()222()()GMm m R h R h T π=++ 可得：(2R h T R h GMπ+=+2．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。
已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期为T ，引力常量为G ，求：（1）地球的质量M ；（2）同步卫星距离地面的高度h 。
【答案】(1) (2)【解析】【详解】 （1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G解得地球质量为：M=； （2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T ，同步卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得： 解得：；【点睛】 本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．3．我国的火星探测器计划于2020年前后发射，进行对火星的科学研究．假设探测器到了火星上空，绕火星做匀速圆周运动，并测出探测器距火星表面的距离为h ，以及其绕行周期T 和绕行速率V ，不计其它天体对探测器的影响，引力常量为G ，求：(1)火星的质量M ．(2)若4TV h π=，求火星表面的重力加速度g 火大小． 【答案】（1）32TV M Gπ= （2）8=V g T π火 【解析】(1)设探测器绕行的半径为r ，则：2r T V π= 得：2TV r π= 设探测器的质量为m ，由万有引力提供向心力得：22GMm V m r r= 得：32TV M Gπ= (2)设火星半径为R ，则有r R h =+又4TV h π=得：4TV R π= 火星表面根据黄金代换公式有：2=GM g R 火 得：8=V g Tπ火 【点睛】（1）根据周期与线速度的关系求出半径，再根据万有引力提供向心力求解火星质量；（2）根据黄金代换公式可以求出．4．设想若干年后宇航员登上了火星，他在火星表面将质量为m 的物体挂在竖直的轻质弹簧下端，静止时弹簧的伸长量为x ，已知弹簧的劲度系数为k ，火星的半径为R ，万有引力常量为G ，忽略火星自转的影响。
(完整版)万有引力定律经典例题
盘中心尺体査页成ftl 垃鰭藕吋’万科可力班*1那『史Jf骨=呼「黄金代樓*,其％表乐天弹表面的匪力加連讎2.中心天体质量和密度的估算⑴已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R（2）已知卫星绕天体做圆周运动的周期 T 和轨道半径rMm 4 n4 n r 3① G ~^2 =吓r? M =苛 M 3 n 3 ② 尸4 3=乔R 33n Ri •火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 （ ）A •太阳位于木星运行轨道的中心B •火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C •火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D .相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：由开普勒第一定律（轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上， A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误；根据开普勒第三定律（周期定律）知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的 比值是一个常数，C 正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面 积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误.答案：C2. （2016郑州二检）据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器•探测器升空1 .天体运动的分析方法G MR m= mg?天体质量:天体密度:“ gR 2M=旨3g 尸 4T GR③卫星在天体表面附近飞行时,r= R ,贝 y p=GT nN0.2题组训嫌提升能力天弹苕动的向心力来壽于天之间的万有引力 4^r-f后，先在近地轨道上以线速度 v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后再一次调整速度以线速度 v '在火星表面附近环绕飞行•若认为地球和火星都是质量分布均匀 的球体，已知火星与地球的半径之比为 1 : 2,密度之比为5 : 7,设火星与地球表面重力加速度分别为g '和g ,下列结论正确的是（）项正确，D 项错.答案：C3•嫦娥三号”探月卫星于 2013年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实 现“落月”的新阶段•若已知引力常量G ,月球绕地球做圆周运动的半径「1、周期T 1,“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道（见图）半径 匕、周期T 2,不计其他天体的影响，则根据题目条件可以（ ）A •求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B .求出地球与月球之间的万有引力C .求出地球的密度 门3 r 23D.^=T 22不知道地球半径 r ，无法求出地球密度， C 错误；对4式得 g = 3G npR ,所以g ' : g = 5 : 14, A 、B 项错；探测器在大体表面飞行时，万有引力解析：在天体表面附近，重力与万有引力近似相等，由 GMRRm = mg , M = P 3 n R 3,解两G M R m - = mR , M = P 4 泯3，解两式得 v = 2^y G 3np,所以 v ' : v=\f28, C充当向心力，由 解析：绕地球转动的月球受力为 誉=M ' r 1 T 2 = ，已知 嫦娥三号”的周期和半径，可求出月球质量M '，但是所有的卫星A • g： g=4： 1B • g '： g = 10 : 7在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了，无法求出卫星质量，因此探月 卫星质量无法求出， A 错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做圆周运动 的半径r i ，根据F =可求出地球和月球之间的引力,B 正确；由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比，前提是对同一中心天体而言，但是两个圆周运动 的中心天体一个是地球一个是月球，D 错误.答案：B Ir 反忠捉升j ---------------------------------------------------------------------------------------------------估算天体质量和密度时应注意的问题(1) 利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天 体的质量，并非环绕天体的质量.(2) 区别天体半径 R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r - R ;计算4天体密度时，V=：T R 3中的R 只能是中心天体的半径. L3______ 丿考点二人造卫星的运行 授课提示：对应学生用书第57页1. 人造卫星的a 、3、v 、T 与r 的关系1. 地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.N0.1梳理主干填准记牢GMm2.近地时GMm mg = -R2-ma > a = G r > a ’ 22 m w 2r m^2»GM = gR 2.⑵周期一定：与地球自转周期相同，即 T = 24 h = 86 400 s.(3) 角速度一定：与地球自转的角速度相同. (4) 高度一定：根据 = m 4T r 得r= 4,23x 104km ，卫星离地面高度 h =r - R ~ 6R(为恒量).(5) 绕行方向一定：与地球自转的方向一致. 2. 极地卫星和近地卫星(1) 极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖. (2) 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可 近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3) 两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.题组训嫌提升能力 运州I1.(2015高考福建卷)如图，若两颗人造卫星 a 和b 均绕地球做匀速圆周运动， a 、b 到地心O 的距离分别为「1、「2，线速度大小分别为 V 1、V 2,则()项正确，B 、C 、D 项错误.答案：A2. 2015年3月30号晚上9点52分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭， 将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于 31号凌晨3点34分顺利进入预定轨道.这 次发射的新一代北斗导航卫星，是我国发射的第17颗北斗导航卫星.北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成，包括 5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步 轨道卫星•中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离 地面高度低，则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的( )B .线速度小 D .向心加速度大N0.2解析：根据万有引力定律可得A .周期大 C .角速度小V 1 A.— V 2G 呼 r 2V 1 V 2，所以A解析：卫星离地面的高度越低，则运动半径越小•根据万有引力提供圆周运动向心力 24 2 ; 4 2 3得 G M$ = m* = m w 2r = m-T ^^ = ma ,则周期 T ="'‘石Mr ，知半径 r 越小，周期越小，故 A知半径r 越小，角速度越大，故 C 错误；向心加速度 a =学寻，知半径r 越小，向心加速度 越大，故D 正确.答案：D3•“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所•假设“空间 站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面 高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致.下列说法正确的有（ ）A •“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度B •“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的 ，10倍C .站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动D •在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮速度，故A 错误；根据 G^Mm = m*得v =. GM ，离地球表面的高度不是其运动半径，所以线速度之比不是.10 : 1，故B 错误；轨道半径越大，角速度越小，同步卫星和地球自转 的角速度相同，所以空间站的角速度大于地球自转的角速度，所以站在地球赤道上的人观 察到空间站向东运动，故 C 正确；在“空间站”工作的宇航员处于完全失重状态，重力充 当向心力和空间站一起做圆周运动，故D 错误.答案：C—r 辰忠提升j -------------------------------------------------人造卫星问题的解题技巧，知半径r 越小，线速度越大，故 B 错误；角速度 3=解析：根据G Mm Gm “yr = ma 得 a =~rr ，知 空间站”运行的加速度大于同步卫星运行的加 错误；线速度 v =GMGM戸,(1) 利用万有引力提供向心力的不同表达式 2 2GMm v24 n r—== mr 3= m=^ = ma n r r T(2) 解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿 第二定律.①卫星的a n 、V 、3、T 是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生 变化.⑶要熟记经常用到的常数，如地球自转一周为一天，绕太阳公转一周为一年，月球 绕地球公转一周为一月(27.3天)等.考点三卫星的发射和变轨问题 授课提示：对应学生用书第57页梳理主干填准记牢叩己|1. 第一宇宙速度(环绕速度)v i = 79 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度, 还是绕地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.2. 第二宇宙速度(脱离速度)V 2 = 11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度. 3. 第三宇宙速度(逃逸速度)V 3= 16! km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.-------------------------------------------1. 第一宇宙速度的两种计算方法 ^Mm. m vf 得 v 叫 /GM (1) 由 GR 2 = % 得 v = R.2(2) 由 mg = mR 得 v = . g R . 2. 卫星变轨的分析(1)变轨原因：当卫星由于某种原因速度突然改变时 (开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行.②a n 、 V 、 3、 T 均与卫星的质量无关，只由轨道半径r 和中心天体质量共同决定.2Mm v o 2 n o ⑵变轨分析：卫星在圆轨道上稳定时，G-^r = m? = m w 2r = m 〒2r.2①当卫星的速度突然增大时，vm*，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大•当卫星进入新的轨道稳定运行时，由GM 可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加;②当卫星的速度突然减小时，＞ 疋，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小•当卫星进入新的轨道稳定运行时，由GM可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小.1.（多选）（2015高考广东卷）在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球•已知地球、火星两星球的质量比约为10 : 1，半径比约为2：1•下列说法正确的有（ ）A •探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B •探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C .探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D •探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大 解析：由GMRm = mvR 得，v = ；GRM , 2v = '，，2GM ，可知探测器脱离星球所需要的发射速度与探测器的质量无关， A 项错误；由F = GMm 及地球、火星的质量、半径之比可 做负功，引力势能增大， D 项正确.答案：BD 2.（多选）2013年12月2日我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图所示，地面发射后奔向月球，在P 点从圆形轨道I 进入椭圆轨道n, Q 为轨道H 上的近月点•下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是 （ ）N0.2報组训竦提升能力远川知，探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大, 探测器脱离两星球所需的发射速度不同,C 项错误；探测器在脱离两星球的过程中，引力B 项正确；由2GM” 盲可知,A •发射速度一定大于 7.9 km/sB •在轨道n 上从 P 到Q 的过程中速率不断增大C •在轨道n 上经过 P 的速度小于在轨道I 上经过 P 的速度D •在轨道n 上经过 P 的加速度小于在轨道I 上经过 P 的加速度 解析：“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于 7.9 km/s , A 正确•在轨道n 上从P到Q 的过程中速率不断增大，选项B 正确.“嫦娥三号”从轨道I 上运动到轨道n 上要减速，故在轨道n 上经过 P 的速度小于在轨道I 上经过 P 的速度，选项 C 正确.在轨道n 上经过P 的加速度等于在轨道I 上经过P 的加速度，D 错.答案：ABC3.（2016成都石室中学二诊）如图所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星 A 、B 、C ,在某一时刻恰好在同一条直线上•它们的轨道半径之比为 说法中正确的是（）B .三颗卫星具有机械能的大小关系为 E A V E B V E CC • B 卫星加速后可与 A 卫星相遇D • A 卫星运动27周后，C 卫星也恰回到原地点 解析： 根据万有引力提供向心力G M ^p = ma ,得 a = G r ，故 a A : a B : a c=2 ：」2 ：」2r r r A r B r c1 1 1=* ：歹：32= 36 ： 9 ： 4，故A 错误；卫星发射的越高，需要克服地球引力做功越多，故机 械能越大，故 E A V E B V E C ,故B 正确；B 卫星加速后做离心运动，轨道半径要变大，不可C 的周期应为A 的周期的27倍，故D 错误.答案：B1 :2 : 3,质量相等，则下列能与A 卫星相遇，故 C 错误；根据万有引力提供向心力 _Mm 4 n= m*27周后, C 卫星也恰回到原地点，则A •三颗卫星的加速度之比为r ，得 T = 2 所以T C即T C = ■.27T A 若 A 卫星运动反忠捉升」航天器变轨问题的三点注意事项(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v=、代皿判断.(2) 航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大.航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速考点四天体运动中的双星或多星模型授课提示：对应学生用书第58页N0.1梳理主干牢固记忆1•模型构建片巾“ —GY绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示.2. 模型条件(1) 两颗星彼此相距较近.(2) 两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动.⑶两颗星绕同一圆心做圆周运动.3. 模型特点(1) “向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1 = F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力.(2) “周期、角速度相同”一一两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等.(3) “半径反比” 一一圆心在两颗行星的连线上，且「1 + r2= L,两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比.题组训练提升能力运用|1 •双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一 点做周期相同的匀速圆周运动•研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和 周期均可能发生变化•若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T ,经过一段时间演化后,两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）解析：设两颗双星的质量分别为m i 、m 2，做圆周运动的半径分别为 r i 、「2,根据万有 m i m 24 nm i m 24 n引力提供向心力可得G ----------- = m i r i 2 , G ---------------- = m 2「2 2，联立两式解得 m i + m 2 =r i + r 22 1 r i + r 22 1变为原来的n 倍时，两星圆周运动的周期为T ' B 正确，A 、C 、D 错误.答案：B2.（多选）宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常 可忽略其他星体对它们的引力作用•设四星系统中每个星体的质量均为 四颗星稳定分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上•已知引力常量为 G.关于四星系统，下列说法正确的是（）A •四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B •四颗星的轨道半径均为aC ・四颗星表面的重力加速度均为 罟解析：其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点, 围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为 B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得 G m m _= m ' g ，解得g =罟，故C故D 正确.4 n r i + r 24 n r i + r 2 GT 2，即T 2=，因此，当两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离G m i + m 2m ,半径均为 R , 正确；由万有引力定律和向心力公式得D •答案：ACD3•如图所示，双星系统中的星球 A 、B 都可视为质点.A 、B 绕两者连线上的 0点做匀 速圆周运动，A 、B 之间距离不变，引力常量为 G ,观测到A 的速率为v 、运行周期为T ,A 、B 的质量分别为m i 、m 2.⑴求B 的周期和速率.⑵A 受B 的引力F A 可等效为位于0点处质量为 m '的星体对它的引力，试求m '.（用 m i 、m 2 表示）解析：（1）设A 、B 的轨道半径分别为r i 、r 2，它们做圆周运动的周期 T 、角速度3都相同，根据牛顿第二定律有F A = m i 32r i , F B = m 2w 2r 2，即三=需故B 的周期和速率分别为:十 十 十m i r i m i vT B =T A =T，VB=3r= 3韦2 =石2m i + m 2⑵A 、B 之间的距离r = r i +「2= 匚厂r i ，根据万有引力定律有Gm i m 2 Gm i m 'F A=，m 23 2.m i + m 23答案：⑴T mv ⑵右辰忠捉升」解答双星问题应注意 “两等”“两不等”（1）双星问题的“两等” ①它们的角速度相等.②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力 大小总是相等的.⑵双星问题的“两不等” ①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半 径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离.所以m '［随堂反馈］授课提示：对应学生用书第59页1. （2015高考重庆卷）宇航员王亚平在“天宫 1号”飞船内进行了我国首次太空授课， 演示了一些完全失重状态下的物理现象.若飞船质量为m ,距地面高度为 h ,地球质量为M ，半径为R ,引力常量为 G ,则飞船所在处的重力加速度大小为（ ）GMm , /口GM解析：由 2= mg '得g ' =2, B 项正确.R +h 2 R +h 2答案：B2. （2015高考北京卷）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距 离小于火星到太阳的距离，那么（ ）A .地球公转周期大于火星的公转周期B .地球公转的线速度小于火星公转的线速度C .地球公转的加速度小于火星公转的加速度D .地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：地球的公转半径比火星的公转半径小，由知能TftHINO YAN|Ll>ANB.GM R + hC.GMm R + hD. GM T 2 GMm 2 n _尹=m — 2r ，可知地球的周期比火星的周期小，故 A 项错误；由響=m可知地球公转的线速度大，故B 项错误；由G%m = ma ，可知地球公转的加速度大,项错误；由G^^m = m w 2r ，可知地球公转的角速度大，故D 项正确.答案：D3 .已知地球质量为 M ，半径为 为G.有关同步卫星，下列表述正确的是R , 自转周期为 T ,地球同步卫星质量为 m ,引力常量A .卫星距离地面的高度为GM②由m i 32r i = m 232r 2知，由于 m i 与m 2一般不相等，故 r i 与「2 —般也不相等.B •卫星的运行速度等于第一宇宙速度C .卫星运行时受到的向心力大小为G M R2rD .卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度等于第一宇宙速度，同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，B 错误；同步卫星运行时的向心力大小为F 向=GMm C 错误；由G M?m = mg 得地球表面的重力加速度 g = G^,而R +h 2RR同步卫星所在处的向心加速度g ' =-GM -, D 正确.R + h 2答案：D4. （2015成都七中二诊）2013年12月2日，嫦娥三号探测器由长征三号乙运载火箭从西 昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察.假设嫦娥三号在环月圆轨道 和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力.则（ ）A .若已知嫦娥三号环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以计算出月球的 密度B .嫦娥三号由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速C .嫦娥三号在环月椭圆轨道上P 点的速度大于 Q 点的速度D .嫦娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小解析：根据万有引力提供向心力 G Mm = m^r ，可以解出月球的质量 M = ^7"2，由于 r I GI 不知道月球的半径，无法知道月球的体积，故无法计算月球的密度，故A 错误；嫦娥三号在环月段圆轨道上 P 点减速，使万有引力大于向心力做近心运动，才能进入环月段椭圆轨 道，故B 错误；嫦娥三号从环月椭圆轨道上P 点向Q 点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即嫦娥三号在环月段椭圆轨道上P 点的速度小于 Q 点的速度，故 C 错误；卫星越高越慢，第一宇宙速度是星球表面近地卫星的环绕速度，故嫦解析:GMm2 n 2 ,口 2= m(R + h) ~T 2得 R + h 2 13GMT 2h= j ZT - R ，A 项错误；近地卫星的运行速度娥三号在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，故答案：D 5.—物体在距某一行星表面某一高度处由静止开始做自由落体运动，依次通过A 、B 、C 三点，已知 AB 段与BC 段的距离均为0.06 m ，通过AB 段与BC 段的时间分为0.2 s 与0.1 s ,求：(1)该星球表面重力加速度值；⑵若该星球的半径为 180 km ,则环绕该行星的卫星做圆周运动的最小周期为多少？ 解析：(1)根据运动学公式，由题意可得 1x = V 1t 1 + 2gt代入数值可求得g = 2 m/s 2.Mm 2 n _⑵对质量为 m 的卫星有 = m — 2r可知当R = r 时卫星做圆周运动的最小周期为代入数据解得 T 最小=600 n . 答案：(1)2 m/s 2(2)600 n s［课时作业］授课提示：对应学生用书第243页一、单项选择题1. (2016成都市石室中学一诊)下列说法正确的是( )A •洗衣机脱水桶脱水时利用了离心运动B •牛顿、千克、秒为力学单位制中的基本单位C .牛顿提出了万有引力定律，并通过实验测出了万有引力常量D •理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，所以是不可靠的解析：洗衣机脱水时利用离心运动将附着在衣服上的水分甩掉，水做离心运动•故 A正确；米、千克、秒为力学单位制中的基本单位，而牛顿不是基本单位，故B 错误；牛顿D 正确.2x = V 1 t 1 + t 2 + 2g t 1+ t 2星球表面有Mm=m ' g提出了万有引力定律，卡文迪许通过实验测出了万有引力常量，故 C 错误；理想实验是把实验的情况外推到一种理想状态，是可靠的，故D 错误.答案：A2•欧洲天文学家在太阳系之外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯 581c ”.该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的 1.5倍.设想在该行星表面附近绕行星圆轨道运行的人造卫星的动能为 E k1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相冋质量的 人造卫星的动能为 E k2，则学为（E k2)A . 0.13B . 0.3C . 3.33D . 7.5解析：在行星表面运行的卫星其做圆周运动的向心力由万有引力提供 Mm v 2故有 G~r = m~,r r1所以卫星的动能为 E k = 2mv 2 = GMm =2rGM 地m故在地球表面运行的卫星的动能E k2 =2R 地答案：C 3.（2015高考天津卷）未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状 态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示•当旋 转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表 面时相同大小的支持力•为达到上述目的，下列说法正确的是（ ）A .旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大在“格利斯”行星表面运行的卫星的动能GM 行m E k1 =E k1所以有E 2GM 行m2R 行GM 地m 2R 地M 行R 地 5 1• = — XM 地 R 行 11.51033.33.B .旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C .宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大D •宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小解析：宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，受到的侧壁对他的支持力等于他站在地球越大，需要的角速度越小， A 项错误，B 项正确.答案：B4. 一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速 1度大小减小为原来的2则变轨前后卫星的（）A .轨道半径之比为 1 : 2B .向心加速度大小之比为 4 ： 1C .角速度大小之比为 2 : 1D .周期之比为1 : 8解析：卫星绕地球做圆周运动过程中，万有引力充当向心力,严=2?豊=4，A 项错；6节平=ma? a =号単，所以鲁=16, B 项错；由开普勒第三T 4QT" = & D项正确；因为 T =」，角速度与周期成反比，故 号=8, C 项 12 8 GG 2错.答案：D5•美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适 合居住的行星“开普勒-226”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离 地球约600光年，体积是地球的 2.4倍.已知万有引力常量和地球表面的重力加速度.根 据以上信息，下列推理中正确的是（ ）A •若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力B .若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度C .根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径D •若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径 解析：根据万有引力公式 F =，由于不知道中心天体的质量，无法算出向心力，故A 错误；根据万有引力提供向心力公式 G^Mm = mg ，有g = G%，若该行星的密度与地球表面时的支持力，则mg = mr GJ ,C 、D 项错误；半径V 1 V 2G 132因此角速度与质量无=m^? v =。
高中物理：万有引力与航天重点知识归纳及经典例题
第五讲 万有引力定律重点归纳讲练知识梳理考点一、万有引力定律 1. 开普勒行星运动定律（1） 第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
（2） 第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
（3） 第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期二次方的比值都相等，表达式：kTa=23。
其中k 值与太阳有关，与行星无关。
（4） 推广：开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，也适用于卫星绕地球运转。
当卫星绕行星旋转时，kTa=23，但k 值不同，k 与行星有关，与卫星无关。
（5） 中学阶段对天体运动的处理办法：①把椭圆近似为园，太阳在圆心；②认为v 与ω不变，行星或卫星做匀速圆周运动；③k TR =23，R ——轨道半径。
2. 万有引力定律（1） 内容：万有引力F 与m 1m 2成正比，与r 2成反比。
（2） 公式：221rm m G F =，G 叫万有引力常量，2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-。
（3） 适用条件：①严格条件为两个质点；②两个质量分布均匀的球体，r 指两球心间的距离；③一个均匀球体和球外一个质点，r 指质点到球心间的距离。
（4） 两个物体间的万有引力也遵循牛顿第三定律。
3. 万有引力与重力的关系(1) 万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力mg ，另一个是物体随地球自转所需的向心力f ，如图所示。
①在赤道上，F=F 向+mg ，即R m RMm G mg 22ω-=；②在两极F=mg ，即mg R Mm G =2；故纬度越大，重力加速度越大。
由以上分析可知，重力和重力加速度都随纬度的增加而增大。
(2) 物体受到的重力随地面高度的变化而变化。
在地面上，22R GM g mg R Mm G =⇒=；在地球表面高度为h 处：22)()(h R GMg mg h R Mm G hh +=⇒=+，所以g h R R gh22)(+=，随高度的增加，重力加速度减小。
高中物理必修二第六章《万有引力及航天》知识点归纳及习题练习
高中物理必修二第六章万有引力与航天知识点归纳与重点题型总结一、行星的运动1、开普勒行星运动三大定律①第一定律〔轨道定律〕：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
②第二定律〔面积定律〕：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
推论：近日点速度比较快，远日点速度比较慢。
③第三定律〔周期定律〕：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。
即：其中k是只与中心天体的质量有关，与做圆周运动的天体的质量无关。
推广：对围绕同一中心天体运动的行星或卫星，上式均成立。
K取决于中心天体的质量例.有两个人造地球卫星，它们绕地球运转的轨道半径之比是1：2，那么它们绕地球运转的周期之比为。
二、万有引力定律1、万有引力定律的建立①太阳与行星间引力公式②月—地检验③卡文迪许的扭秤实验——测定引力常量G2、万有引力定律①内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量正比，与它们之间的距离r的二次方成反比。
即：②适用条件〔Ⅰ〕可看成质点的两物体间，r为两个物体质心间的距离。
〔Ⅱ〕质量分布均匀的两球体间，r为两个球体球心间的距离。
③运用〔1〕万有引力与重力的关系：m1和m2的乘积成重力是万有引力的一个分力，一般情况下，可认为重力和万有引力相等。
忽略地球自转可得：例.设地球的质量为M，赤道半径R，自转周期T，那么地球赤道上质量为m的物体所受重力的大小为？〔式中G为万有引力恒量〕〔2〕计算重力加速度地球外表附近〔h?R〕方法：万有引力≈重力地球上空距离地心r=R+h处方法：在质量为M’，半径为R’的任意天体外表的重力加速度g''方法：V0沿水平方向抛出一个小球，经过时间V.该星球的半径为R，引力常量为〔3〕计算天体的质量和密度利用自身外表的重力加速度：利用环绕天体的公转：等等〔注：结合得到中心天体的密度〕例.宇航员站在一星球外表上的某高处，以初速度t，球落到星球外表，小球落地时的速度大小为G，求该星球的质量M。
万有引力典型例题
万有引力典型问题一、求未知天体的质量与密度2GM gR =黄金代换： 正球体体积公式：RV 334π=，密度公式：VM=ρ例1、已知月球围绕地球做匀速圆周运动，其周期为T ，月球到地心的距离为r ，试求出地球的质量和密度例2、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ ） A 、地球的质量GgR m 2=地B 、太阳的质量223224GT L m π=太 C 、月球的质量213124GT L m π=月 D 、可求月球、地球及太阳的密度例题3、 如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少?二、与自由落体、抛体等运动的综合星球表面的重力加速度一方面与星球有关(g =G ),另一方面又可以从相关运动规律(平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等)中求出，重力加速度是联系运动学和万有引力、天体运动的纽带。
例3、物体在一行星表面自由落下，第1s 内下落了9.8m ，若该行星的半径为地球半径的一半，那么它的质量是地球的 倍.例4．设在地球上和某天体上以相同的初速度竖直上抛一物体的最大高度比为k （均不计阻力），且已知地球与该天体的半径之比也为k ，则地球与此天体的质量之比为 （ ）A. 1B. kC. k 2D. 1/ k例5．某星球的质量约为地球的9倍，半径约为地球的一半，若从地球上高h 处平抛一物体，射程为60m ，则在该星球上，从同样高度以同样的初速度平抛同一物体，射程应为A ．10mB ．15mC ．90mD ．360m例6、地球可视为球体，其自转周期为T,在它的两极处用弹簧秤测得某物体的重力为F,在赤道上用弹簧秤测得同一物体的重力为0.9F ，则地球的平均密度是多少？三、 地球同步卫星圆轨道在赤道平面，即在赤道的正上方；周期与地球自转周期相同，为24小时；绕行方向为自西向东。
物理必修2第三章万有引力定律的应用知识点例题练习
《万有引力与航天》万有引力定律的应用1．研究天体运动的基本方法：研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似：中心天体是不动的，绕行天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；绕行天体只受到中心天体的万有引力作用。
（1）中心天体对绕行天体的引力充当绕行天体的向心力： F 引=F n即 2rMm G = ma n = m υ2r = m ω2r = r T m 224π① 中心天体质量：2323224GT r G r G r v M πω=== （公转周期易于测量，常用含周期的表达式） 密度： 又ρπ⋅=34R M 得 3233r πρ= （r 为公转轨道半径，R 为中心天体球体半径）② 卫星（行星）的线速度υ、角速度ω、加速度a n 、周期T 和轨道半径r 的关系 ①υ=GM r ， 线速度 υ∝1r ； ②ω =GM r 3， 角速度 ω∝1r 3③T = GMr 324π，周期T ∝r 3，2234πGM T r k ==，（即开普勒第三定律k 由中心天体质量决定)④a n = GMr2， 向心加速度a n ∝1r 2(与距离成“平方反比”关系)（2）将重力看成与万有引力相等（忽略星球自转）: F 引=mg地球质量：地球表面物体 G gR M mg RMm G 22=∴=重要代换式： 在星球表面：GM gR mg RMmG=∴=22 行星表面重力加速度g 、距地表一定高度处重力加速度h g 地表重力加速度： 22RGMg mg R Mm G=∴= 距地表一定高度处重力加速度： ()()g h R R h R GMg mg h R GMmh h 2222)(+=+=∴=+第一宇宙速度：v 1=gR R GM =/（最小发射速度，圆周运动最大绕行速度，近地卫星速度）2．课堂延伸：“双星”是两颗相距较近，它们之间的万有引力对两者运动都有显著影响，而其他天体的作用力影响可以忽略的特殊天体系统．它们之所以没有被强大的引力吸引到一起而保持距离L 不变，是因为它们绕着共同“中心”以相同的角速度做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供它们做圆周运动的向心力． “黑洞”是近代引力理论预言．．的一种特殊天体，它的质量十分巨大，以致于其逃逸速度有可能超过真空中的光速，因此任何物体都不能脱离它的束缚，即光子也不能射出．已知物体从星球上的逃逸速度（即第二宇宙速度）是υ=2GMR，故一个质量为M 的天体，若它是一个黑洞，则其半径R 应有：R ≤2GMc2．假如把地球变成黑洞，那么半径就要缩小到几毫米。
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曲线运动课堂例题——《等效最高点》
例题：在O点系一长度为l的细线，绳的另一端系质量为m,电荷量为+q的带电小球，小球可以绕O点在竖直平面内转动，空间存在竖直向下的匀强电场。
若电场力的大小是重力的2倍，在最低点至少使小球获得多大的速度可使小球在竖直平面内绕O点转动？
变式1. 将上题中竖直向下的电场改为水平向右，电场力的大小改为重力的3倍。
其他条
件不变。
在最低点至少使小球获得多大的速度可使小球在竖直平面内绕O点转动？
变式2. 竖直平面内，一带正点的小球，系于长为L不可伸长的轻线一端，线的另一端固定为O点，它们处于匀强电场中，电场的方向水平向右，场强的大小为E。
已知电场对小球的作用力的大小等于小球重力。
现先把小球拉到图中P1处，使轻线伸直，并与场强方向平行，然后由静止释放小球，已知小球在经过最低点的瞬间，因受线的拉力作用，其竖直方向上的速度突变为零，水平方向的分量没有变化，则小球到达与P1点等高的P2时线上张力为多大？
《万有引力》课堂例题——《常见的几种星球》
1. 黑洞 例： 天文学家根据天文观测宣布了下列成果：银河系中心可能存在一个大“黑洞”。
距“黑洞”m 12100.6⨯远的星体以s m /100.26⨯的速度绕其旋转；接近“黑洞”的所有物质，即使速度达到光速都会被“黑洞”吸入。
已知万有引力常量2211/1067.6kg m N G ∙⨯=-，求： （1）该“黑洞”的质量 （2）该“黑洞”的最大半径和最小密度
2. 双星问题 例：经过长期观测，人们在宇宙中已经
发现了“双星系统”。
“双星系统”由两颗相距较近的恒星
组成，每个恒星的半径远小于两颗星之间的距离。
而且双
星系统一般远离其他天体。
如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕它们连线上的O 点做匀速圆周运动。
观测得两颗星之间的距离为L ，质量之比2:3:21=m m ，则可知（ ）
A ．1m ，2m 做圆周运动的线速度之比为3:2 C. 1m 做圆周运动的半径为
5
3L B. 1m ，2m 做圆周运动的角速度之比为1:1 D. 2m 做圆周运动的半径为53L 3. 三星问题 例：宇宙中存在一些离其它恒星较远，由质量相等的三颗星组成的“三星系统”。
通常可以忽略其它星体对它们的作用。
已观测到稳定的“三星体统”存在两种基本的构成形式。
一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在半径为R 的圆周上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形定点上，并沿外接等边三角形的圆形轨道运行。
设每个星体的质量为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期 （2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离为多少？。