第十二章：第二节：全等三角形的判定

()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧HL AAS ASA SAS SSS 斜边、直角边角角边角边角边角边边边边第十二章 全等三角形第二节 三角形全等的判定☆要点回顾1、三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°。

2、平行线的性质及判定：内错角相等，两直线平行。

3、有一个角是90°的三角形为直角三角形。

概念图：三角形全等的条件知识点一：边边边公理（SSS ）1、三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”。

2、要证明两个三角形全等，应设法确定这两个三角形三条边对应相等。

3、判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。

4、书写格式：在列举两个三角形全等的条件时，把三个条件按顺序排列，并且用大括号将它们括起来，如：在△ABC 和△A'B'C'中，∴△ABC ≌△C B A '''（SSS ）。

典型例题：【例1】如图，已知AD=CB,AB=CD.求证：AD ∥BC 。

解析：欲证AD ∥BC ⇒∠ADB=∠CBD ⇒△ABD ≌△CDB.⎪⎩⎪⎨⎧''=''=''=C B BC C A AC B A AB知识点二：边角边公理（ＳＡＳ）1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“ＳＡＳ”2、“ＳＡＳ”指判定两个三角形全等的条件是两边及这两条边的夹角对应相等，应特别注意其中的夹角是两已知边的夹角而不是其中一边的对角。

3、在列举两个三角形全等的条件时，一定要把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹角对应相等。

４、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

典型例题：【例2】如图，已知Ｅ、Ｆ是线段ＡＢ上的两点，且ＡＥ＝ＢＦ，ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｂ，求证，DF＝CE解析：先证明ＡＦ＝ＢＥ，在用“ＳＡＳ”证明两个三角形全等。

【例3】如图，Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｂ在一条直线上，ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，ＢＦ＝ＤＥ，（１）求证：ＡＥ＝ＣＦ；（２）求证：ＡＥ∥ＣＦ。

解析：欲证ＡＥ＝ＣＦ，只需证明△ＡＥＢ≌△ＣＦＤ，根据等式的性质将ＢＦ＝ＤＥ转化为ＢＥ＝ＤＦ，即可用题目所给的条件证明两个三角形全等。

知识点三：角边角公理（ＡＳＡ）1、两角和它们的夹角对应想等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ＡＳＡ”；2、用“ＡＳＡ”定理来判断两三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边对应相等，证明时要强调边、角的对应关系。

3、在书写这两个三角形全等时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角的位置及对应关系。

４、有三个角对应相等的两个三角形不一定全等。

典型例题：【例4】如图，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＦ∥ＤＥ，BE=CF，求证AB=CD。

解析：欲证明AB=CD⇒尝试证明△ABF≌△DCE⇒找条件BF=CE⇒ＢＥ＝ＣＦ【例5】已知，如图，点D在ＡＢ，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C，求证：ＢＤ＝ＣＥ。

解析：由已知条件易证△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，进一步得到ＡＤ＝AE，然后利用等式的基本性质AB-AD=AC-AE得到ＢＤ＝ＣＥ。

知识点4：角角边公理（ＡＡＳ）1、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“ＡＡＳ”。

2、如果两个三角形具备“ＡＳＡ”的条件则具备“ＡＡＳ”的条件，所以由“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”可以推出“两个角和其中一个角的对应边对应相等”。

3、用“ＡＡＳ”定理来判断两个三角形全等，要注意边是其中一角的对边，三个条件一定要对应，按角边顺序列出全等的三个条件时要有顺序的对应。

4、区别“ＡＳＡ”定理与“ＡＡＳ”定理：在“ＡＳＡ”中，“边”必须是“两角的夹边”，在“ＡＡＳ”中，“边”是“其中一个角的对边”。

运用这两种方法时要结合已知条件及图形的特点来进行选择。

５、判定两个三角形全等常用的思路方法如下表：已知条件可选择的判定方法寻找条件两边对应相等（ＳＳ）ＳＳＳ．或ＳＡ．Ｓ第三边或两边的夹角相等一边及其邻角对应相等（ＳＡ）ＳＡＳ．或ＡＳＡ．已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等一边及其对角对应相等（ＳＡ）ＡＡ．Ｓ另一个角对应相等两角对应相等（ＡＡ）ＡＳ．Ａ或ＡＡＳ．两角的夹边或其中一个角的对边对应相等典型例题：【例6】如图，ＡＤ是△ＡＢＣ的中线，过Ｃ、Ｂ分别作ＡＤ及ＡＤ的延长线的垂线CF、BE，求证：BE=CF。

解析：要证BE=CF，只需证明△BED≌△CFD。

【例7】如图，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE求证：AB=AC。

解析：从结论入手，要证明AB=ＡＣ，看能否证△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，利用等式的基本性质将∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ转化为∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，达到将间接条件转化为直接条件的目的。

知识点5：直角三角形全等的判定——“ＨＬ”公理1、斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“ＨＬ”。

2、该公理中包含三个元素：一条直角边，一条斜边和一个直角对应相等，从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了。

典型例题：【例8】已知：如图，ＡＤ⊥ＤＢ，ＢＣ⊥CA，ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，且ＡＣ＝ＢＤ，求证ＡＤ＝BC解析：只需要证明ＡＤ、ＢＣ所在的△ＡＤＢ和△ＢＣＡ全等即可典型例题：【例9】如图，ＡＢ＝ＡＣ，点Ｄ、Ｅ分别在AC，AB上，AG⊥ＢＤ于Ｇ，ＡＦ⊥ＣＥ于点Ｆ，且ＡＧ＝ＡＦ。

求证：BD=CE。

解析：在Rt△ABG和Rt△ACF中，AB=AC，AG=AF,可得Rt△ABG≌Rt△ACF；欲证BD=CE，结合AB=AC可确定要证△ABD≌△ACE，∠BAC为公共角，又由两直角三角形全等可得∠B=∠C，问题得证。

☆知识点6：巧添辅助线构造全等三角形1、“倍长中线法”构造全等三角形2、“截长补短法”求证线段和的问题3、“连接法”构造全等三角形4、捕捉特殊条件巧构全等三角形典型例题：【例10】如图，AC、ＢＤ交于点Ｏ，ＡＣ＝BD，AB=CD，求证OA=OD解析：欲证OA=OD，可与它们所在的△OAB、△ODC联系，但它的全等条件不够【例11】已知，，如图所示，在△ＡＢＣ和△C B A '''中，Ｄ是ＢＣ边上的中点，D '是C B ''的中点，ＡＢ＝B A ''，ＡＣ＝C A ''，ＡＤ＝D A ''。

求证：△ＡＢＣ≌△C B A '''。

解析：要证明△ＡＢＣ≌△C B A '''，题目中已经给出信息ＡＢ＝B A ''，ＡＣ＝C A ''，所以只要证明∠ＢＡＣ＝∠C A B '''即可，可延长ＡＤ和D A ''至Ｅ和Ｅ'，使ＤＥ＝ＡＤ，Ｄ'Ｅ'＝Ａ'Ｄ'，然后连接ＢＥ和Ｂ'Ｅ'来证明∠ＢＡＣ＝∠C A B '''【例12】已知：如图，Ｅ为ＡＤ的中点，ＡＢ∥ＣＤ，ＢＥ平分ＡＢＣ，CE 平分ＢＣＤ，求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ。

解析：截长发：在ＢＣ上取一点Ｆ，使ＢＦ＝ＡＢ，再证明ＣＦ＝ＣＤ即可。

【例13】如图，在ABC 中，AC=ＢＣ，∠Ｃ＝９０°，BD 为∠ＡＢＣ的平分线，若点A 到直线BD 的距离AD 为2cm ，求BE 的长。

解析：从条件来看，AD=2cm ，与所求的BE 之间一定存在某种关系，不难得出DAC=EBC ，联系AC=ＢＣ的边角关系构造两个全等三角形，从而找到ＢＥ和ＡＤ的倍角关系。

课堂总结：1、（重点，易考点）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”；2、（重点，易考点）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”；3、（重点，易考点）两角和它们的夹角对应想等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”；4、（重点，易考点）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边角”或“AAS”。

5、斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

6、（重点，难点）采用“倍长中线法”、“截长补短法”、“连接法”构造全等三角形。

课堂练习：1、如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ，∠１＝∠２＝３０°，则∠３的度数为。

2、已知ＡＤ，Ａ'Ｄ'分别是锐角三角形△ABC和△A'B'C'边上的高，且AB=A'B'，AD=A'D'，若使△ABC≌△A'B'C'，请你补充条件。

（只需填写一个条件件）3、如图所示，已知AC⊥BD于P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP（不能添加辅助线），你增加的条件是。

4、如图，在四边形ABCD中，A=90°，AD=4，连接BD，BD⊥CD，ADB=C，若P是BC边上的一动点，则DP的最小值为。

5、如图，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°6、如图，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D7、如图，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.68、如图所示点O为BC的中点，点M为AB上的一点，ON⊥OM交AC于N，求证：ＢＭ＋ＣＮ﹥ＭＮ９、如图所示，BE，CF是△ABC的高，且BP＝AC，CQ=AB，求证：AP⊥AQ。

10、如图所示，E为AC上一点，∠1=∠2,∠3=∠4，求证∠5=∠6.课后作业：1、如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD2、如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( )A.AB∥CDB.AD∥BCC.∠A=∠CD.∠ABC3、如图，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．4、如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC= 。