浅谈向量组的线性相关性及判别方法
向量组的线性相关性
★ 一个向量a=0线性相关,而 0时线性无关
★ 两个向量线性相关
它们对应分量成比例
★ 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关.
16
二、判别方法
1. 向量组1,2 ,...,s线性相(无)关 方程 x11 x22 ... xss 0(没)有非零解.
设i (ai1 , ai2 , ..., ain )T , 方程组
三、应用举例
例1 设 1 1,1,0T ，2 0,1,1T ， 3 (3,4,0)T
3 1
求
,
,
其中(
,
)
(1
,
2
,
3
)
2 1
1 1
.
解
，
31
22
，
3
1
2
3
1 0 3 0
31 22 3
k k ka1, ka2, , kan
向量的加法与数乘合称为向量的线性运算.
3、运算律 (设α,β,γ均是ｎ维向量,λ，μ为实数) （1） （交换律）
（2） ( ) ( ) （结合律） （3） O （4） ( ) O （5） 1 （6） () ( ) ( ) （7） ( )
二、向量的运算
1、加法 (a1,a2,...,an ), (b1,b2,...,bn ),
a1 b1, a2 b2 , , an bn
( ) a1 b1, a2 b2 , , an bn
3-2向量组的线性关系
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
判断向量组线性相关的方法-向量组线性相关
.
精品 判断向量组线性相关的方法
1．
0=α⇔α线性相关 2． βα与的对应分量成比例⇔βα与线性相关
3．含有零向量的向量组是线性相关的
4．向量组m
ααα 21,)2(≥m 线性相关⇔该组中至少有一个向量可由其余的1-m 向量线性表出
5．部分相关则整体相关
6．设向量组r ααα 2
1,可由向量组s βββ 21,线性表出 （1）如果r>s,则
r ααα 21,线性相关； （2）如果r ααα 21,线性无关，则s r ≤
7．n+1个n 维向量必线性相关(个数大于维数)
8．该向量组的秩小于它所含向量的个数
⇔向量组线性相关 9．n 个n 维的向量构成的行列式=0 ⇔该向量组是线性相关的
10．线性相关向量组中每个向量截短之后还相关
判断向量组线性无关的方法
1．
0≠α⇔α线性无关 2． βα与的对应分量不成比例⇔ βα与线性无关
3．向量组m
ααα 21,)2(≥m 线性无关⇔该组中任何一个向量都不能由其余的1-m 向量线性表出
4．整体无关则部分无关
5．线性无关向量组中每个向量加长之后还无关
6．该向量组的秩等于它所含向量的个数
⇔ 向量组线性无关 7．n 个n 维的向量构成的行列式≠0 ⇔该向量组是线性无关的
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
向量组的线性相关性汇总
全国高校数学微课程教学设计竞赛
一、向量组的线性相关性
定义 设有向量组1, 2,,s ,若有不全为零的数k1,k2,,ks ,使
k11+k22+ + kss=0
(1)
则称向量组1, 2,···,s 线性相关;否则称为线性无关,即当且仅 当 k1=k2==ks =0 时(1)式成立, 称向量组1, 2,,s 线性无关.
图1
图2
解：由图1可知,向量1, 2在同一平面上，所以1, 2线性 相关，而 3与1, 2不共面，所以1, 2 , 3的线性无关表
示。
全国高校数学微课程教学设计竞赛
例2 讨论下面向量组的线性相关性.
2 4 2
1
1 3
,
2
2 5,3源自1 4.1
4
1
解 设 k11+k22+k33=0，则有
(3)对于2个向量1, 2
若1,
线
2
性
相
关,
有
定
义
知,
存
在
不
全
为
零
的
数k1
,
k2
,
使
k11
k2 2
0, 不妨设k1
0, 则 有1
k2 k1
2 , 即 向 量1 , 2共 线.
同理可知，若3个向量线性相关，对应在几何上，即3个 向量共面。
全国高校数学微课程教学设计竞赛
二、向量组线性相关性的判别
例1 判断向量组1, 2 , 3的线性相关。
由定义可以看出：
(1)当向10量+k组2中2+1=+0时ks，s=取0,k1=1，有
浅议向量组线性相关性的判别方法
浅议向量组线性相关性的判别方法作者：王星星贾会芳来源：《速读·下旬》2017年第12期摘要：向量组的线性相关性是《线性代数》的重要内容，也是考研必不可少的一部分。
行列式的值、矩阵的初等变换、齐次线性方程组的解等理论都可用于判别向量组的线性相关性，本文总结了判别向量组线性相关性的几种方法，并给出一些典型例子。
关键词：向量组；线性相关性；判别方法向量组的线性相关性是线性代数的重要内容，它与行列式、矩阵、线性方程组的解等都有着紧密的联系。
由于其概念比较抽象，以致向量组的线性相关性判定成了一大难题。
1相关结论法下面的结论简单易懂，是判别向量组线性相关性的最直接方法。
结论1：单个零向量线性相关，单个非零向量线性无关。
结论2：[α1，α2]，线性相关的充要条件是[α1，α2]的分量对应成比例。
结论3：含零向量的向量组必线性相关。
结论4：若向量组[α1…，αr]线性相关，则向量组[α1…，αrαr+1…，αm]（m>r）线性相关；若向量组线性无关，则其任意的部分组线性无关。
结论5：当m>n时，则n维向量组[α1，α2…，αm]必线性相关；特别n+1个n维向量组必线性相关。
结论6：向量组[α1，α2…，αm]（m≥2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。
结论7：若向量组线性无关，则对其中每个向量在相同位置任意添加多个分量后所得向量组仍线性无关（无关组添加分量仍无关）。
例1：判别向量组[α1=2，3，4，1，α2=（-2，1，-1，4）T，α3=（4，-6，1，2）T，α4=（9，7，-2，1）T，α5=（-5，-4，-2，0）T]的线性相关性。
解：由结论5知，5个四维向量一定是线性相关的。
2定义法利用定义来判别时，只要令[k1α1+k2α2+…+kmαm=0]，如果存在不全为零的数[k1，k2…，km]使得等式成立，则向量组[α1，α2...，αm]是线性相关的，否则称它是线性无关的。
3章3节 向量组的线性相关性
即：部份相关, 则全组相关； ?全组无关, 则部份无关。 ?
定理4 若向量组1 ,2 ,, s， 线性相关，而向量组
则向量 可由1 ,2 ,, s线性表示， 1 ,2 ,, s线性无关，
且表示法唯一。
无关组加一个后相关， 则后加者由原组表出法唯一。
定理5 设有两向量组 A:1 , 2 ,, s ; B:1 , 2 ,, t ;
定义1 给定向量组A : 1 , 2 ,, s , 如果存在不全为零的数
k1 , k2 ,, ks , 使k11 k22 ks s 0, 则称向量组
线性相关 ，否则称为线性无关 。
与上一节对应，本定义相当于零向量由一组向量线性表出
(线性组合)， 但这里要求k1 , k2 ,, ks不全为零。
§ 3.3 向量组的线性相关性
上一节分析了某向量与一组向量的线性组合关系，
以及线性组合的表示， 这一内容对应非齐次线性方程组
的有解判断以及求解的内容。为下一步学习向量之间的
相关性做好了理论准备，
本节将分析一组向量内各向量之间的线性相关性。 这一内容则对应齐次线性方程组的有解判断以及求解的
内容。
一、线性相关性概念
秩小于向量的个数s。
即为齐次线性方程组系数矩阵的秩小于未知数个数 ——有非零解。
推论1 s个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
充要条件是: 矩阵A (1 ,2 , s )的秩(等于)小于向量的个数s。
齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知数个数 ——仅有零解；
推论2 n个n维列向量1 ,2 ,, s线性无关(线性相关)的
1 0 2 r r = 1 2 4 2 1 r3 r1 1 5 7
第11讲 向量组的线性相关性
例
小结
一 相关性的定义： 相关，无关 二 相关性的判别
｛
定义判别 定理判别
几个特殊定理
三 一个结论
1
A 为方阵
k 2 2
1 1 1
1
1
2 2 k (k 4) 2 2 k ( k 4) 0 0 k 2 0 2 k 2 0 k 2 0 2 k 2
k1 4, k2 2
3、几种特殊的判定定理 （1）向量组含有零向量
相关 相关
P90 定理5
（2) 向量组里有两个向量成比例
1 0 0 0 2 1 0 0 4 1 0 0
1 2 4 0 5 5 0 3 3 ~ 0 9 9
R(A) 2 3
向量组 1， 2， 3 线性相关
例3 试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
1 0 2 a1 1 , a2 2 , a3 4 , 1 5 7
k1 (1 2 ) k2 ( 2 3 ) k3 ( 3 4 ) k4 ( 4 1 ) O
(k1 k4 )1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 ) 3 (k3 k4 ) 4 O
k1 k4 取 k1 k 2 k2 k3 k 3 k4 0 k k k k 1 2 3 4 0 k1 ,k2 ,k3 ,k4 可以不全为零 0 0 故：向量组 b1，b 2，b 3 线性相关
1 例3 给定向量组: 1 2 3
0 2 1 2 3 3 及向量 4 k
b
1 1 5
问：k为何值时，(1) b 能由α1, α2, α3 线性表示? (2) b 不能由α1, α2, α3 线性表示?
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浅谈向量组的线性相关性及判别方法作者：杨付贵
来源：《科学导报·学术》2020年第27期
摘要：向量组的线性相关性是线性代数中十分重要的概念之一，有着极其广泛的应用。
然而，在学习线性代数中发现，在学生学习向量组的线性相关性时，感觉很抽象，学习有些吃力。
尤其是对于一般高校文科的学生以及民办高校的本专科的学生，对于向量组的线性相关性的概念很模糊，更不知如何去判别向量组的线性相关性。
本文主要根据自己多年来，在教学和学习过程中的一些经验和体会，对向量组的线性相关性及其性质，以及判别向量组的线性相关性都有那些常见的方法，进行梳理，归纳和总结。
为同学们在学习向量组的线性相关性时提供一些思路。
关键词：向量组;线性相关;线性无关;初等变换
一.向量组的线性相关性及其性质和判别定理
1. 向量组的线性相关性的定义
定义1：如果向量组中，至少有一个向量可以被其余向量线性表示，则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
定义2：如果存在一组不全为零的数，使得，
则称向量组线性相关，否则，向量组线性无关。
注：定义1表明，所谓向量组线性相关，是指向量组中至少有一个向量可以用其余向量线性表示，也即存在着线性关系。
而线性无关是说向量组中的向量之间没有线性关系。
而定义2主要是用来判别向量组的线性相关性。
显然，定义1与定义2是对向量组的线性相关性的不同叙述方式，彼此之间是等价的。
2. 向量组的线性相关性的性质
（1）如果向量组中只有一个向量，则当时，线性相关，当时，线性无关。
（2）如果向量组中有两个向量，则线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。
（3）如果向量组中含有零向量，则向量组一定线性相关。
（4）维基本单位向量组线性无关。
3.向量组的线性相关性的判别定理
（1）向量组线性相（无）关的充分必要条件是齐次线性方程组有非零解（只有零解）（其中）。
（2）。
（3）如果线性相关，而线性无关，则可以由线性表示，且表示式是唯一的。
（4）如果向量组中的部分向量组成的新的向量组线性相关，则原来的向量组也线性相关。
简称为部分相关，整体相关;而整体无关，则部分无关。
（5）设，则
线性无关，则线性无关。
简称为低维無关，高维无关。
而高维相关，低维相关。
（6）设向量组（I）和（II），如果（I）可以由（II）线性表示，且，则线性相关;如果线性无关，则。
（7）向量个数大于维数的向量组必线性相关。
二.判别“具体”的向量组的线性相关性常用的方法
1.定义法：根据定义设，由于此式是一个关于为未知量的一个齐次线性方程组的向量形式，如果此线性方程组有非零解，则线性相关，如果此线性方程组只有零解，则线性无关。
2.求秩法：首先将向量组写成矩阵，然后求出矩阵的秩，如果，则向量组线性相关，如果则向量组线性无关.
3.行列式法：对于个维向量组，构造阶方阵，如果，则向量组线性无关，如果，则向量组线性相关.
注：行列式法仅适用于向量个数与维数相同的向量组。
4.利用有关结论法：用向量组的线性相关性的性质和判别定理判别向量组的线性相关性。
由于篇幅所限，这里就不再举例，如有兴趣的读者，请参看参考文献。
三.判别“抽象”的向量组的线性相关性常用的方法
1.定义法：根据定义，假设（*），然后，充分利用已知条件，对（*）式作恒等变换，将其化为关于的齐次线性方程组，如果此齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关，如果此齐次线性方程组只有零解，则向量组线性无关，
2.求秩法：完全类似于判别“具体”的向量组的线性相关性的求秩法：仍然是，首先
设，如果，则向量组线性相关，如果，则向量组线性无关.但该方法在使用中，常常利用如下结论：如果向量组
可以用线性无关的向量组线性表示，即
则， .
3.利用有关结论法：完全类似于判别“具体”的向量组的线性相关性的利用有关结论法。
4.反证法：根据相反结论，相办法推出与假设相矛盾的结果。
例：设向量组线性无关，证明：也线性无关。
证明：1.定义法设，则
解得，故线性无关。
（*）
又因为，所以可逆，从而，故线性无关。
3.利用有关结论法由（*）式，以及可逆，可得，即向量组也可以由线性表示，从而两个向量组与等价，因此它们由相同得秩，即，所以线性无关。
4.反证法如果线性相关，则，又由（*）式，及可逆，有，从而线性相关，与假设矛盾，故线性无关。
参考文献
[1] 李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[4] 郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。
从事最优化方法研究。