构造辅助圆数学评课稿
探究辅助圆的基本模型教学设计及点评(获奖版)
《“圆”来如此简单—探究辅助圆的基本模型》教学设计【一、内容和内容解析】（一）内容探究辅助圆的基本模型（二）内容解析在初中数学中，圆是我们常见的一个数学问题，也是初中教材中一个重要内容，但是有些题目明明题中和图中都没有圆的出现，但是在解题的过程中却要借助圆，这样的圆就是“辅助圆”。
这类“辅助圆”的出现也是有迹可循的：第一类当出现定点和定长时，可根据圆的定义构造圆；第二类当出现定线和定角时，可根据同弧（弦）所对的圆周角构造圆，或是90o的圆周角所对的弦是直径构造圆；第三类对角互补的四边形可构造圆。
三类模型的出现都需要进行探究，而这个探究过程是从特殊到一般的过程。
通过模型的探究，便可以利用圆的性质解决问题。
基于以上的分析，确定本节课的教学重点是：探究辅助圆的基本模型。
【二、教学目标及解析】（一）目标1.利用所学的知识对辅助圆模型进行探究.并在探究的过程中培养学生从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力；用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达现实世界.2.能将所探究的辅助圆模型应用到生活实际问题和数学问题中，并进一步体会数学建模思想、分类讨论思想、化归思想和数形结合思想，养成良好的数学学习习惯.（二）目标解析达成目标1的标志是:能够通过小组讨论得到辅助圆出现的条件，并通过小组合作的形式利用图像、几何语言及文字语言总结出模型的特点，以及模型出现所需要具备的条件。
达成目标2的标志是：能够利用所探究的模型应用到生活实际问题和数学问题中去，并独立找到生活实际问题和数学问题的解决办法。
【三、教学问题诊断分析】九年级的学生抽象思维趋于成熟，而且具有独立思考，合作交流，逻辑推理，归纳概括的能力。
本节课是探究辅助圆的基本模型，在已有知识的基础之上，利用条件得到辅助圆并不困难，但是根据条件确定圆心和半径，进一步画出辅助圆对于学生会有一定的困难。
因此在本节课的教学中，可以让学生从已有的知识出发，通过实践操作，自主探究、合作交流，归纳总结等数学活动中，理解和掌握数学知识技能，形成数学思想方法。
小学数学教材《圆认识》评课稿范文
小学数学教材《圆认识》评课稿【推荐】作为一位不辞辛劳的人民教师，很有必要精心设计一份评课稿，在当前新课程改革的背景下，客观、公正、科学地评价课堂教学，对探讨课堂教学规律、提高课堂教学效率、促进学生全面发展、促进教师专业成长有着十分重要的意义。
我们应该怎么写评课稿呢？以下是小编为大家收集的小学数学教材《圆认识》评课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
小学数学教材《圆认识》评课稿1《圆的认识》是人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》六年级上册第四单元的第一课时的内容，是在学生学习了直线图形、面积的计算及初步感知圆的基础上进一步学习特殊的平面图形圆（曲线图形）。
是学生系统认识曲线图形特征的开始，是为进一步学习圆的周长和面积及学习圆柱、圆锥等知识打好基础。
所以本节课的教学目标是使学生认识圆，掌握圆的特征，理解在同圆中直径与半径的关系，使学生学会用圆规画圆；通过直观教学和动手操作，使学生在充分感知的基础上，理解并形成圆的概念，培养学生的'动手操作能力、观察能力、空间想象能力以及抽象概括能力，并能把所学知识运用于生活实际当中；同时使学生进一步认识圆、了解圆的特征、学会用圆规画圆。
王荣老师的一节课让我获益匪浅，她新颖的教学方法，让我耳目一新。
教材通过对圆的研究，使学生初步认识到研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形和直线图形的关系，这样不仅扩展了学生的知识面，而且从空间观念方面来说，也进入了一新的领域。
学生虽已初步认识过圆，但对于建立正确的圆的概念以及掌握圆的特征还是比较困难的，所以感知并了解圆的基本特征和用圆规画圆”就成为本节课的教学重点，明确圆心与圆的位置之间的关系、半径与直径、半径与圆的大小之间的关系”是本节课的难点。
首先，可以看出做课教师准备的非常充分，认真钻研了教材，准确把握了本节课的重难点。
教学设计合理，环环相扣，做到了数学知识严密的逻辑性。
其次教师一开始通过生活中实际例子引入课题，一方面引起学生的学习兴趣，另一方面激起学生的求知欲望，从思想上吸引了学生主动参与学习的活动。
构造辅助圆突破教学难点的实践策略——谈数学专题课《构造辅助圆》
构造辅助圆突破教学难点的实践策略谈数学专题课«构造辅助圆»孙㊀明(江苏省常州市新北区龙虎塘中学㊀２１３０００)摘㊀要:学生对于一些数学问题容易产生想法ꎬ但欠缺的是归纳总结提升ꎬ而本节课ꎬ就是引导学生学会归纳总结ꎬ将以前学过的一些知识从一个新的视角研究ꎬ简化证明过程ꎬ初步形成构造曲线形辅助线的意识.关键词:构造ꎻ辅助圆ꎻ最值ꎻ角度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３２－００１３－０２收稿日期:２０１９－０８－１５作者简介:孙明(１９７５.５－)ꎬ女ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事数学教学研究.㊀㊀一㊁教学背景对于平面几何问题ꎬ学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件ꎬ从而利用三角形㊁四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形ꎬ而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下ꎬ更有利于条件的集中.辅助圆是曲线形辅助线的代表ꎬ利用圆就会让图形的条件更丰富ꎬ而学生对此又很少了解.基于学生已有经验:到定点的距离等于定长的点的集合是圆ꎻ直径所对的圆周角是直角ꎻ同弧所对的圆周角相等.感悟动点在运动过程中所形成的轨迹ꎬ逐步培养运用数学建模思想ꎬ探究解决动点问题的途径的能力.之前听过某教师的«构造辅助圆»专题课ꎬ教师运用几何画板直接呈现辅助圆ꎬ少了学生发现辅助圆的过程ꎬ可想而知学生的收获甚少.故本人想借此节课ꎬ和学生一起探究ꎬ通过多种探究方法的对比ꎬ来突破构造辅助圆的难点.㊀㊀二㊁教学解析例１㊀(到定点距离等于定长模型)如图１所示ꎬ在凸四边形ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤꎬøＡＢＣ＝８０ʎꎬ求øＡＤＣ的度数.设计意图:新知识的形成都有其固定的知识生长点ꎬ找准知识的生长点ꎬ才能突出重点㊁突破难点.本题是根据圆的集合定义ꎬ学生能想到Ａ㊁Ｄ㊁Ｃ三点到点Ｂ的距离相等ꎬ因此都在以Ｂ为圆心的圆上ꎬ构造圆不困难.例２㊀如图３ꎬ在矩形纸片ＡＢＣＤ中ꎬＡＢ＝２ꎬＡＤ＝３ꎬ点Ｅ是ＡＢ的中点ꎬ点Ｆ是ＡＤ边上的一个动点ꎬ将әＡＥＦ沿ＥＦ所在直线翻折ꎬ得到әＡᶄＥＦ.(１)在折叠过程中ꎬ点Ａᶄ所形成的轨迹是怎样的?(２)求ＡᶄＣ的长的最小值.难点突破分析:引导学生由旧入新ꎬ组织积极的迁移ꎬ促成由已知到未知的推理ꎬ认识简单与复杂问题的联系ꎬ不断完善认知结构.此题对于尖子学生来说很快找到图中三段相等的线段ＥＡ＝ＥＡᶄ＝ＥＢꎬ根据例１构造辅助圆.但对于大部分学生来说ꎬ折叠问题的情景不理解ꎬ在复杂问题中不能简化背景.因此ꎬ我设计了第一小问引导学生再去画出另一Ａᶄ点.发现大部分学生画不对位置ꎬ原因是没有分析出折叠过程中的不变量.所以让学生再动手去折一折ꎬ将得到的Ａᶄ点描出来得到图４后再一起分析变化与不变的量ꎬ得到图５.ＡᶄＣ的最值显然是Ｅ㊁Ａᶄ㊁Ｃ三点共线时ꎬ得到图６.例１与例２要突出 共同点 ꎬ进而突破重㊁难点.例３㊀(定长对直角模型)如图７ꎬәＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬＡＣ＝１０ꎬＢＣ＝１２ꎬＰ是әＡＢＣ内部的一个动点ꎬ且满足øＡＰＣ＝９０ʎꎬ连接ＢＰꎬ线段ＢＰ长的最小值为.３１难点突破分析:此题找不到到定点的距离等于定长的模型了ꎬ先让学生用直角尺依据定长为ＡＣ画出不同的点Ｐ(图８)后让学生交流点Ｐ的运动轨迹是什么.发现点Ｐ在以定长ＡＣ为直径的圆上ꎬ构造圆(图９)后求最短距离与例２一样分析.例３与例２有知识的不同点也有知识的相同点ꎬ要让学生归纳总结.例４㊀(定长对锐角模型)如图１０ꎬ四边形ＡＢＣＤ中ꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ＝５０ʎꎬøＤＢＣ＝３０ʎꎬ求øＢＡＤ的度数.难点突破分析:根据øＢＡＣ＝øＢＤＣ这一条件发现有一定长是ＢＣꎬøＢＡＣ＝øＢＤＣ＝５０ʎ说明ＢＣ不是直径ꎬ与例３有类似的地方也有不同的地方.说明ＢＣ是同一条不是直径的弦ꎬ根据同弧所对的圆周角相等的定理ꎬ构造әＡＢＣ的外接圆(图１１)解决问题.㊀㊀三㊁教学反思每节课我们都要围绕一个知识点进行教学ꎬ并进行有效的挖掘与延伸ꎬ针对学生的实际情况ꎬ对知识中难以理解接受的知识进行有效的突破.衡量数学教学是否有效的基本标准之一ꎬ就是看教师在教学中能否突出重点ꎬ根据学生实际ꎬ突破难点.这节课的难点突破的方法是通过引导学生去动手折一折㊁画一画㊁想一想ꎻ同伴交流等形式去操作.本节课对于程度较好的学生ꎬ能够掌握构造辅助圆的基本方法ꎬ中等的学生能够在几何题中想到利用辅助圆ꎬ基础薄弱学生也能够想得起辅助圆ꎬ辅助线的构造可以是直线形ꎬ也可以是曲线形.㊀㊀参考文献:[１]李秉德.教学论[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ１９９１.[责任编辑:李克柏]粗心大意 背后的解题错误原因分析王瑞玉(江苏省射阳县初级中学㊀２２４０００)摘㊀要:初中数学解题时ꎬ出现了错误以后ꎬ不能简单地归因为粗心大意ꎬ如果不能正确地归因ꎬ那么连解决错误的方法都找不到ꎬ以后再遇到类似的问题时ꎬ还会重复犯错.本文说明了几种初中数学解题中ꎬ最常出现的错误原因及纠正的方法.关键词:粗心大意ꎻ解题ꎻ错误ꎻ原因ꎻ分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)３２－００１４－０２收稿日期:２０１９－０８－１５作者简介:王瑞玉(１９７８.４－)ꎬ女ꎬ江苏省射阳人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀在解题时ꎬ如果轻率地认为犯下错误的原因ꎬ就是由于 粗心大意 的缘故ꎬ这样的归因是片面的.同学们在做题时ꎬ要学会正确地分析解错习题背后的原因ꎬ只有学会正确的归因ꎬ才能够找到纠正错题的方法.㊀㊀一㊁知识理解不足引起的错误在学习数学知识时ꎬ如果只能从形式上了解知识的意思ꎬ不理解知识意思的内涵ꎬ那么在应用知识解题时ꎬ是会犯下错误的.同学们在遇到解题错误时ꎬ必须分析数学问题中涉及了哪些数学知识ꎬ如果出现错误了ꎬ那么是不是因为没有理解知识的内涵ꎬ所以出现了错误.如果发现了这样的问题ꎬ就要弥补知识结构ꎬ避免以后犯下类似的错误.题１㊀在下列的有理式中ꎬ属于分式的是(㊀㊀).Ａ.ｍ－ｎ８㊀Ｂ.ａπ＋ｃ㊀Ｃ.５ｍ２ｍ㊀Ｄ.８ａ２－１２ｂ该题最常见的错误是把Ｂ当作正确的答案.数学课本中定义ꎬ形如ＡＢ的式子ꎬ其中Ａ㊁Ｂ是整式ꎬ而Ｂ中含有４１。
“构造辅助圆”在初中数学解题中的灵活运用
２０２３年９月下半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀构造辅助圆 在初中数学解题中的灵活运用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀王㊀雪㊀㊀摘要:在数学解题过程中,常规的解题思路并不能应对一些比较复杂的几何问题,这时候就需要转换思路,有时利用 圆 ,就可以有效解答一类问题．借助 辅助圆 将几何问题中分散的条件集中,有助于发现题目中的隐含条件,从而起到化繁为简的作用．本文中通过实例分析,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．关键词:辅助圆;初中数学;几何问题㊀㊀构造辅助圆 是指在原有的几何图形上,构建一个辅助圆,利用圆的特性来完成题目的解答．通过辅助圆的构造,能够将几何题目中较为繁杂的已知条件进行集中处理,同时能够发现几何图形中的隐藏条件,利用对这部分条件的分析,快速解决问题．本文中结合实例,帮助学生明确辅助圆的应用环境,以及针对不同题型如何构造辅助圆．１构造辅助圆 解决数学问题的应用现状目前初中生在解题的过程中,较少应用辅助圆,且应用效果不理想．在几何题的解答过程中,辅助线的应用是比较常见的,但是有部分题目通过辅助线来解答依旧存在难度,甚至需要多条辅助线才能完成,如果学生用这种方法应对选择题和填空题,就会浪费大量的时间．而应用辅助圆则可以为相关问题披上圆的外衣,这样就可以依据圆的性质进行解题,从根本上起到化繁为简的作用[１]．２构造辅助圆 解决数学问题的实际案例２．１辅助圆在求线段长度的几何问题中的应用在解决求线段长度的几何问题中,通常是利用相同端点的线段构造辅助圆,以端点作为圆心,选取相等的线段作为半径或直径,完成辅助圆的构建后再利用圆的基本性质求解线段长度[２]．例１㊀在四边形D C B E 中,点A 在B E 上,A E ʊC D ,A B ＝A C ＝A D ＝A E ＝５c m ,且B C ＝１９c m ,求对角线B D 的长度．解析:由A E ʊC D ,得øB D C ＝øD B E ．图１由A B ＝A C ＝A D ＝A E ,将点D ,C ,B ,E 视为圆上的点构建辅助圆,如图１．于是弦D E 与弦B C 的长度相等．又由B C ＝１９c m ,得B C ＝D E ＝１９c m ．因为E B 为辅助圆的直径,所以øE D B ＝９０ʎ．所以在R tәE D B 中,根据勾股定理可知,B D ＝E B ２－E D ２．又A B ＝５c m ,E B 为圆A 的直径,则E B ＝１０c m ．所以B D ＝１０２－(１９)２＝９(c m )．２．２辅助圆在求度数的几何问题中的应用在解决求度数的几何问题中,通常可以将公共点作为顶点,作三角形的外接圆．在构建辅助圆的过程中要将三角形与辅助圆建立明确的关系．图２例２㊀如图２所示,әA B C为等腰三角形,且A B ＝A C ,直线A P 为әA B C 外侧直线,点B 与点D 关于A P 轴对称．求证:ø１＝ø２．证明:ȵ点B ,D 关于直线A P 对称,ʑ直线A P 为线段B D 的垂直平分线．ʑәA D B 为等腰三角形．图３ʑA D ＝A B ＝A C ．故可以A C 为半径,点A 为圆心,构建如图３所示的辅助圆．ȵP 为B D 中点,且A P 为过点E 的直线,ʑәD E B 为等腰三角形．ʑD E ＝B E ．ʑøE D B ＝øE B D ．ʑø２＝２øE D B ．又ø１＝２øC D B (同弧所对的圆心角是圆周角的２倍),ʑø１＝ø２．２．３辅助圆在求图形面积问题中的应用在数学中考题中,涉及面积的题型也很多,当题目条件较多且分散的几何图形很难运用面积公式时,可以尝试构建辅助圆,利用圆的基本性质以及圆的面３７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解题研究２０２３年９月下半月㊀㊀㊀积公式进行计算[３]．例３㊀如图４,әA B C 为等边三角形,且A B ＝A D ,AH ʅC D 于点H ,且P C ʅBC ,C P 与AH 交于点P ,求证:S әA B C ＝３４A PB D ．图４㊀㊀㊀图５解析:依题意可知A B ＝A C ＝B C ＝A D ,构建以点A 为圆心,A B 为半径的圆,得到如图５所示的辅助圆．ȵәA B C 为等边三角形,ʑøB A C ＝øA C B ＝øA B C ＝６０ʎ．ʑøB D C ＝１２øB A C ＝３０ʎ．又øB C P ＝９０ʎ,øB C A ＝６０ʎ,ʑøP C A ＝øC D B ＝３０ʎ．ȵøC B D ＝１２øC A D ＝øP A C ,ʑәB C D ʐәA P C ．ʑB C ʒA P ＝B D ʒA C ．又B C ＝A C ,ʑB C ２＝A P ˑB D ．ʑS әA B C ＝３４A PB D ．２．４辅助圆在求线段比或面积比问题中的应用图形中的某两条线段成比例或图形面积成比例这类题型是中考的难点和重点．利用辅助圆则可以结合圆的性质,通过圆中的线与角的关系进行求解．构建辅助圆时,要将有关线段置于辅助圆的关键位置,例如,可作为直径㊁半径或弧所对的弦．这样容易发现线段之间的关系,从而更加简便地进行解答[４]．例４㊀在R t әA B C 中,A C ＝B C ,øA C B ＝９０ʎ,P是C B 延长线上的一点,B P ʒB C ＝k ,已知０ɤk ɤ１,过点B 作A B 的垂线,过点P 作A P 的垂线,使两条垂线相交于点Q ,且A P ＝P Q ,连接A Q ,求әA B C 与әA P Q 的面积比．分析:根据已知条件分析,әA P Q 的面积较难求解,所以可以根据әA P Q 来构建辅助圆．解析:以A Q 为直径,A Q 的中点O 为圆心,构建如图６所示的辅助圆．ȵA P ＝P Q ,且øA P Q ＝９０ʎ,ʑәA P Q 为等腰直角三角形．设B C ＝A C ＝m ．图６ȵB P ʒB C ＝k ,ʑB P ＝k m ,P C ＝(k ＋１)m ．ʑP A ＝m ２＋[(k ＋１)m ]２＝m k ２＋２k ＋２．ʑS әA B C ʒS әA P Q＝１２A C ２１２P A ２＝１２m ２１２(k ２＋２k ＋２)m ２＝１ʒ(k ２＋２k ＋２)．２．５辅助圆在求线段极值问题中的应用辅助圆在求线段极值问题中有着广泛的应用,特别是在数学竞赛中经常遇到．例５㊀在边长为４的正方形A B C D 中,P 为对角线B D 上的一个动点,且与点B ,D 不重合,连接A P ,过B 作A P 的垂线,垂足为H ,连接DH ,求线段DH 的最小值．图７分析:由于无论点P 如何运动,A B 的长度都不会改变,因此可以A B 为直径,A B 的中点E 为圆心构建辅助圆,通过圆确定点H 的运动轨迹．解析:取A B 中点E ,连接D E ,构建如图７所示的几何图形,可得D E ＝(１２A B )２＋A D ２＝４２＋２２＝２５．当点H 与点M 重合时,线段DH 的长度最短,此时DH ＝DM ＝D E －M E ＝２５－２．综上所述, 构造辅助圆 在初中数学解题中的广泛应用,不仅包含大量的几何问题,而且部分代数问题中也可使用．构建辅助圆时,要结合题目的具体情况,根据四点共圆的条件确定辅助圆．通过辅助圆在不同类型几何问题中的应用,明确构建辅助圆在初中数学解题中的可行性与实用性,通过辅助圆的灵活应用,提升学生的实际解题能力．参考文献:[１]刘怀权． 构造辅助圆 在初中数学解题中的应用[J ]．数理天地(初中版),２０２２(１２):２１Ｇ２２．[２]蒋天林．从江苏高考试题谈辅助圆在解题中的运用[J ]．中学生数理化(高考使用),２０２０(５):１１Ｇ１２．[３]黄磊． 圆 来如此简单 辅助圆 构造的解题探究[J ]．数理化解题研究,２０２１(１４):１０Ｇ１１．[４]徐勤．辅助圆在中考数学试题中的应用[J ]．科学大众:科学中考,２０２２(４):１３Ｇ１５．Z４７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
圆的认识数学评课稿
圆的认识数学评课稿圆的认识数学评课稿9篇在教学工作者开展教学活动前，往往需要进行评课稿编写工作，评课的类型很多，有同事之间互相学习、共同研讨评课；有学校领导诊断、检查的评课；有上级专家鉴定或评判的评课等。
那么写评课稿需要注意哪些问题呢？以下是小编为大家整理的圆的认识数学评课稿，希望对大家有所帮助。
圆的认识数学评课稿1一、从游戏引入，领略圆的美。
课始的引入执教者分为三个层次：首先做游戏，根据学生已有的对圆的认识经验，从肢体阅读图形开始，让学生从袋子中摸图形，从接触中感受圆与其它平面图形的不同。
其次让学生回忆生活中见过的圆，唤醒学生的相关生活经验。
最后再展现大自然中随处可见的有关圆的画面（阳光下绽放的向日葵、花丛中五颜六色的鲜花、光折射后形成的美妙光环、用特殊仪器拍摄到的电磁波、雷达波、月球上的环形山等）。
记得北师大周玉任教授曾说过，我们教师要善于“往平静的水面投进石子”。
这节课的新知引入，创设了生动丰富的数学情境，让学生在感受生活美的同时，从中发现有关数学的成分——几何图形。
这样设计就为学生从已有的对圆的认识经验到认识生活中的物体到认识数学上的几何图形，架起了一座桥梁，即突出了几何建模的过程，又使学生逐步学会用数学的.眼光看待生活，从生活中发现数学。
有效地激发起学生内在的学习动机。
二、在自主学习中展开探究新知，掌握圆的知识特征。
第一层动手操作执教者让学生两次画圆，从中学会用圆规画圆，并掌握圆的特征。
首先让学生在已有经验基础上动手画圆，不会的请教会的同学或请教书本。
讲解画圆的步骤，问“我发现有几个同学画得不够圆，你觉得问题出在哪儿了？”很好的解决了圆规画圆的难点。
其次，在学生初步会画的基础上提出要求“画同样大小的圆”。
然后进行剪圆。
层层深入，在掌握画圆的同时还感知到了圆的概念。
第二层认识圆心、直径和半径。
从让学生描述圆的大小引出这三个概念，然后组内交流自学认识，做到人人参与学习。
再读读书上的说法和判断哪些是直径、半径中进行巩固，形成解决问题的策略。
提分微课(04)构造辅助圆市公开课一等奖省赛课微课金奖课件
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[答案] 13-2
[解析]连接 AE,则∠AED=90°,即∠AEB=90°,
故点 E 在以 AB 为直径的圆弧上,在 Rt△ABC 中,
图W4-8
AC=3,BC=5,∴AB=4.当 C,E,F 三点共线时,CE 取得最小值,
CE 的最小值=CF-EF= 32 + 22 -2= 13-2.
第22页
14.[·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两
点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A对应
点,点F是点D对应点.
(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.
①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD度数;
第14页
10.[·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所表示,其中
CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B‘为点B对应点,点D’为点D对应 点
,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E度数为
45°.
图W4-9
第15页
(2)定角
11.如图W4-10,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足
小值是
1.2 .
图W4-3
第5页
4.如图W4-4,在边长为4菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边中点,点N是AB边上一
动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则线段A'C长度最小值
是
.
图W4-4
第6页
[答案] 2 7 − 2
全省教学开放日公开课-构造辅助圆
看似无圆却有圆——构造辅助圆执教：广东实验中学 汤曙光在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴正半轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为．问题1：构造辅助圆的目的？优化解法，简化过程问题2：看到什么条件时可构造辅助圆？（特征识别）共端点的相等线段如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20°∠CAD=80°，则∠BDC=______度，∠DBC=______度30°OCBA如下图 OA =OB =OC 且∠ACB =30°，则∠AOB 的大小是______度•小结1：当遇有时，通常以 为圆心， 为半径，构造辅助圆.可构造辅助圆的条件1n什么条件让你想到可以构造圆，n 条件1： 共端点的相等线段这个端点同一个端点出发的等长线段等线段长问题3：有没有其他条件可构造辅助圆？（特征识别）. 如图，已知点A（－1，0）和点B（1，2），在坐标轴上确定点P，使得∠APB为直角，则满足这样条件的点P共有几个？并求出它们的坐标.在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴正半轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为．在平面直角坐标系中，已知点A （4，0）、B （﹣6，0），点C 是y 轴正半轴上的一个动点，当 ∠BCA=45° 时，点C 的坐标为 ．变式3BCA=30定张角定线段定线段定张角--构造辅助圆条件2O定张角定张角定线段定张角定线段在平面直角坐标系中，已知点A （4，0）、B （﹣6，0），点C 是y 轴正半轴上的一个动点，当 ∠BCA=45 时，点C 的坐标为 ．变式4∠BCA=135°1. 构造辅助圆可以丰富和优化解法；2. 识别什么时候可以构造辅助圆，以及构造辅助圆的方法；3. 体会转化的数学思想：...这节课我们学到了哪些？条件1条件2O 定张角构造辅助圆定张角定线段定张角定线段共端点的相等线段（广州市2018年中考数学第25题）如图，在四边形 ABCD 中，∠B = 60°，∠D = 30°，AB = BC ．（3）若 AB= 1 ，点E 在四边形 ABCD 内部运动，且满足，求点E 的运动路径的长度. ∠BEC =150°222CE BE AE +=图中无圆，心中有圆n今天研究的这两类问题，从表面上看似乎与圆无关，但如果我们能深入挖掘题目中的隐含条件，巧妙地构造符合题意特征的辅助圆，再利用圆的有关性质来解决问题，往往能起到化隐为显、化难为易的解题效果！。
初中数学"构造辅助圆"教学的探索与思考
初中数学"构造辅助圆"教学的探索与思考新的《课程标准》突出强调：“在教学中，应当引导学生在学好概念的基础上掌握数学的规律（包括法则、性质、公式、公理、定理、数学思想和方法）”。
中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识；另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，让学生更好地理解数学，掌握数学，应用数学。
因此，开展数学思想方法教学应作为新课改中所必须把握的教学要求。
构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。
《圆》是初中几何中重要的内容，也是初、高衔接的重要知识点，作为中考考试的重要内容，它也经常出现中考压轴题中。
对于平面几何问题，最棘手的莫过于添辅助线了，学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件，从而利用三角形、四边形等知识来解决问题。
辅助线的添加就被局限在直线形，而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下，更有利于条件的集中，辅助圆是曲线形辅助线的代表，若能针对题目的本质特征，恰当地构造辅助圆,就能巧妙地运用圆的有关知识找到解题捷径。
类型一：根据圆的定义构造辅助圆例1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，BAC=24，CAD=76，则=________°，=________°分析：本题可从两个方面入手解决:1.利用等边对等角；2.利用构造辅助圆，以点A为圆心，以线段AB的长为半径画⊙A，将问题转化为圆中圆周角与圆心角的关系.学生习惯于利用前者，教师引导学生从圆的定义出发构造辅助圆.通过解题方法的比较让学生尝到新方法的甜头，从而强化辅助圆的意识。
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构造辅助圆数学评课稿
万老师执教的这节课与6、7加减法中安排的“用数学”内容略有不同，其区别主要表现在以下三方面。
一是用同一情境图反映两个不同的数学问题；二是例题和习题选用什么计算方法去解决问题完全由学生自己去决定，教材未作任何提示，这里“用数学”的要求要比第47页高；三是题中的某些已知数量不通过数数去得出，而改为直接告诉已知数量。
作为一名新教师，上课前，要在钻研教材上下足功夫，找准前后知识的联系和区别，这样，可以便于准确理解和把握教材。
本节课，万老师能引导学生通过观察，帮助学生弄清算理，正确选用方法，使学生学会解决了一些简单的实际问题。
整堂课，在关注全体学生、激发学习积极性、培养语言表达能力这些方面还显得不太够。
由于一年级的小朋友有意注意的时间较短，因此创设生动活泼、兴趣盎然的学习情境尤为重要。
可以设计引导学生去游玩大森林的教学情境，把教材中的例题、习题有机地串起来，使学生仿佛置身于愉快的旅途之中，让学生在玩中学、乐中学、学中乐。
不但可以把抽象的知识具体化，还能使学生的各种感官参与学习活动，有效激发孩子们的学习兴趣。
学生在前面已经解决过用数学这样的问题，他们对这样的内容不陌生，所以，教学时，可以放手让学生观察动态情境图，根据已知数量和所求问题间的关系，选用合适的计算方法列出算式，弄清算理，突出加、减法间的关系。
这个阶段的小朋友语言表达能力还不够强，因此，为他们提供语言的“拐杖”非常关键，可以降低表达的难度。
一、教师能够有效率发生改变课程实行过分特别强调拒绝接受自学死记硬背和机械训练的现状，提倡学生主动参予乐意探究勤奋好学动手的自学方式。
二、教师能够有效地组织和引导学生开展以探究为特征的研究性学习，使接受与探究相辅相成，学生的学习境界更高，学习效果更好。
三、教学就是教师与学生相处互动的过程。
教师能够有意识地营造民主公平人与自然的课堂氛围。
学生在自学过程中能科学合理地展开分工合作，可以聆听别人的意见，能民主自由抒发自己的观点，遇到困难能够与其他同学合作交流，共同解决问题。
张老师的这堂课在导入部分设计非常新颖。
寻宝的这一环节能够充分调动学生的积极性，发挥学生的想象，从实际生活的需求中引出圆这一图形，而非如同以往我们在设计导入部分时为了情景而情景。
而且通过这一情景同学们已经对圆有了一个初步概念。
然后在摸一摸的环节中，同学们进一步感受圆，而且老师的点评非常及时，使学生明确圆是一个平面图形，而不是一个立体球形。
在后面的环节中，张老师更加存有创造性地将用圆规画圆这一环节提早。
以往我们总是先重新认识圆，再画圆，但我辨认出在了解如何采用圆规的同时，使学生重新认识圆的圆心和半径，事实证明，这个设计就是顺利的，学生在随心所欲的自学氛围中对半径存有了较好的感性认识。
在认识圆的对称轴、半径和直径的过程中，张老师让同学们自己动手折一折自己画的
这个圆，用折的方式寻找圆的直径、半径和圆心，学生都比较感兴趣，操作的效果也不错。
通过折，学生对“同一个圆内有无数条对称轴，有无数条直径、有无数条半径这些概念有
了充分的认识。
在最后的设计投币孔这个环节更是彰显了在生活中应用领域数学的精神。
随着争做设
计师的活动的进行，学生不仅学会了怎样测量硬币的直径，更关键的就是，学生意识到了
为什么必须测量圆的直径，掌控直径的意义何在，从某种意义上说道，鼓舞思维比掌控技
能似乎更关键些。
在张老师的这堂课中充分体现出数学知识源于生活，又用于生活。
圆在我们的生活中
无处不在，所以要真正认识圆，就必须联系实际。
同时，也要将数学知识运用到生活中去，启发学生的思维。
一、课堂活动紧密联系生活实际，彰显了为学生自学有价值的数学知识这一一流的课
程理念。
课程标准中明晰地说我们：数学的教学活动都必须创建在学生旧有的生龙活虎活
经验和学生原来的心智基础上的。
王老师能够恰当的运用身边的教学素材，缔造有意思的
教学情景。
二、注重学生自主探索，三维目标得到充分体现。
新课程标准对数学课的教学目标有
明确要求：就是使学生在获得必须的基本数学知识和基本技能的同时，在情感、态度、价
值观和能力方面都得到发展。
王老师的课堂中，教者都能够充分扮演好组织者、引导者和
合作者的角色，所以对于一个问题的解决，我们老师不是传授的现在的方法，而是教给学
生解决问题的策略，给学生一把在知识的海洋中航行的桨，让学生积极思考，大胆尝试，
在主动探索中获取成功并估验成功的喜悦。
三、合作交流于动手课堂教学结合，充份以获取数学活动经验。
王老师的课中，在相
同程度上都能使学生在动手操作方式中展开独立思考，引导学生刊登自己的意见，与同伴
交流，并充份给足了学生动手、观测、交流、合作的时间和空间，使学生在具体内容的操
作方式活动中赢得科学知识，体验科学知识的构成过程，赢得自学的主动权。
四、学习方法和教学手段多样化，降低了学习难度，提高了学习效率。
王教师充分利
用多媒体进行辅助教学，同时将观察、操作、讨论、练习、转化、对比等有效的学习方法
与之相结合，大大提高的学习效率。
五、数学思想方法获得了充份扩散，学生的自学能力和自学品质获得进一步优化。
六、王老师语言优美，仪表大方，课堂中能充分利用儿童的心理特点，创设学生喜爱
的教学情景，为学生对新知的探究和整节课教学任务的完成起到了举足轻重的作用。
总之，王老师通过精心准备工作，为我们无私奉献了一节精彩的示范点研讨课，从这
节课中我们既看见了课改以来我们所获得的优秀成果和教师积极主动弘扬新课程的有力步伐，同时又为我们后阶段的课改方向阐明了航标。
我想要，我们镇的全体教师一定会以本
次常房契机，在今后的教学工作中进一步加强课改力度，逐步积极探索课堂教学的新路子，为了使我们的课堂达至民主人与自然、随心所欲高效率而共同努力。