16.1 二次根式 教学课件 PPT (全)
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人教版数学八年级下册第十六章16.1.1二次根式的定义课件
解：(1)∵ 3 6 4 的根指数是3，∴ 3 6 4 不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x 2 1 是二次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， - 5 a 是二次根式；
当a＞0时，－5a＜0，则 - 5 a 不是二次根式． ∴ 不一定是二次根式．
(4) ＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为 二次根式．
D．x >－1且x≠3
D. 4 个
B.
【点拨】二次根式是在初始的外在形式上定义的，不能从化简结
果上判断，如 16等都是二次根式．
4. 二次根式 a从意义上说是 a 的_算__术__平__方__根___，根据算术平方 根的意义可知，只有_非__负__数___才有算术平方根，所以二次根 式 a有意义的条件就是__a_≥__0___.
再见
1
(5)当x＝－3时，（ x 3）2 无意义，∴
1 （ x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，（
x
1
3 ）2
＞0，∴
1 （ x 3）2
是二次根式．
1
∴ （ x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0， （ - a-4）2 不是二次根式．
8. a(a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数 a 的__算__术____ 平方根. a具有双重非负性，即 a___≥_____0， a____≥____0.
9. 已知 y＝ 2x－5＋ 5－2x－3，则 2xy 的值为( A )
A. －15
B. 15
C. －125
15 D. 2
10.若实数 m，n 满足等式|m－2|＋ n－4＝0，且 m，n 恰好是
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
人教版数学八年级下册二次根式(第1课时)教学课件
（3） 3 8
（4） 4 a2
不是(bù shi)
不是
不是
（5） - m (m 0)
是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1
不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是 1 （10） 3
是
第九页，共三十页。
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件(tiáojiàn)求字母的取值范 例2 当x是怎围样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
课堂小结
二次根式
(gēnshì)有意 义的条件和 非负性
二次根式
(gēnshì)的
定
义
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
形如 a (a 0)的式子叫做 二次根式
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式或不等式组
求出其解集
二次根式
的双重非 负性
二次根式 a中,a≥0且
a ≥0
第二十九页，共三十页。
课后作业(zuòyè)
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1取最小值，其最小值
为_____0_．
第二十三页，共三十页。
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且_x_≠_2__.
第二十四页，共三十页。
第十五页，共三十页。
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个(yī ɡè)非负数（或式）的算术平方
根.对于任意一个二次根式 ，必须a满足以下两条：
八年级数学下册(人教版)精品教学课件-全册
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
问题1 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，它们表示一些
5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？
我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0.
问题2 上面问题的结果分别是 3, s, 65， h ，分别从形式上
八年级数学下册（人教版）精品教学课件 全册
第十六章
八年级数学下（RJ） 教学课件
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围.（难点）
导入新课
想一想
（1）如左图所示，礼盒的上面是正方形， 其面积为3，则它的边长是 3 .
如果其面积为S，则它的边长是 S .
（2）如左图所示，一个长方形的围 栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则 它的宽为 65 m.
想一想
（3）一个物体从高处自由落下，落到
地面所用的时间t(单位：s)与开始落下
时离地面的高度h（单位：m)满足关系
式h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t
h
为 5.
(1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2.
想一想：此小题 用到了幂的哪条 基本性质呢？
解： (1) ( 1.5)2 1.5;
积的乘方： （ab）2=a2b2
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
二 a2 (a 0) 的性质
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等 式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
16.1+二次根式+课件+2024-2025学年人教版数学八年级下册
4
0.01
4
9
0
a a(a 0)
2
2
算术平方根
…
观察两者有什么关系？
a
2
0.1
1
3
0
…
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
2
3
﹣3
…
平方运算
a2
4
0.01
4
9
3
2
算术平方根
…
a 2 a(a 0)
a
2
0.1
1
3
3
…
归纳小结
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
有“=”“>”或“<”等.
当堂检测
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
（1） − 1
解：（1） a ≥ 1.
3−2
+1
（2） a ≤ 1.
2
（3）a为任意实数.
（4）a
≤ 且a
≠-1.
2.已知a，b 为实数，且满足a= − + − +1,
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( 2 )2]2=(x+ 2 )2(x- 2 )2
这里逆用了( a )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解
因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
2
3
0
…
平方运算
a2
平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0.01
4
9
0
a a(a 0)
2
2
算术平方根
…
观察两者有什么关系？
a
2
0.1
1
3
0
…
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
2
3
﹣3
…
平方运算
a2
4
0.01
4
9
3
2
算术平方根
…
a 2 a(a 0)
a
2
0.1
1
3
3
…
归纳小结
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
有“=”“>”或“<”等.
当堂检测
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
（1） − 1
解：（1） a ≥ 1.
3−2
+1
（2） a ≤ 1.
2
（3）a为任意实数.
（4）a
≤ 且a
≠-1.
2.已知a，b 为实数，且满足a= − + − +1,
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( 2 )2]2=(x+ 2 )2(x- 2 )2
这里逆用了( a )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解
因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
2
3
0
…
平方运算
a2
平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
人教版八年级下册数学16.1.2二次根式的性质课件 (共18张PPT)
(
1 )2 3
1
___3_____;(
0 )2
__0_______ .
例2：计算
(1) ( 1.5)2
(2) (2 5)2
解：(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20
(ab )2 a 2b 2
练习 计算：
(1). ( 3)2
(2) ( 3 2)2
(3) ( 0.2)2
人民教育出版社 八年级下册数学
16.1.2二次根式的性质
复习回顾
什么样的式子叫二次根式？
形如 a(a 0)的式子叫二次根式.
说一说:
下列各式哪些是二次根式?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
探索新知
思考：性质1：二次根式的双重非负性 完成下列各空：
当a>0时，a表示a的__算__术__平_方__根__，因此 a__>__0 当a=0时，a表示0的__算_术__平__方__根__，因此 a__=__0
当a<0时, a__无__意__义____
归纳与小结： 当a 0时，总有 a 0成立.
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= 0 (a=0) -a (a<0)
课堂检测
相信你是 最棒的！
（1）计算： ① ( 1.5)2;
③ (4 2 )2. 3
也就是说a是非负数，a也是非负数。
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1 3
2; ２ ３ ２２
ห้องสมุดไป่ตู้2.说出下列各式的值：
1 0.32 0.3
3 x2
4 102
2
1 7
2
1、求一求 ：说出下列各式的结果；
16 , 81, 0, 1 , 10 4 , 0.04 ; 49
上式中，被开方数分别是什么数？
2、 a 表示什么？ 表示正数或 0 的算术平方根
被开方数是非负数 即: a 0
16.1 二次根式
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
探究
填空：
2
与同伴交流你是怎样得到？
可以得到：
一般地，根据算术平方根的意义
0.1 0
例3 化简：
1 16; ２ －５２
什么叫做代数式:
像 ，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、 减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连 接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
练习
1.计算：
探究
根据算平方根的意义填空：
4 2 _4____; 2 2 _2_____;
1 3
2
________;
0 2 __0_______;
合作交流
与同伴交流你是怎样得到的？
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方 等于4的非负数，因此有
同理，
分别是2， ， 0的算术平方根，因此有
2 x2 2x 1, 其中 x 3;
3 x2 2 x2 x 2.
当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1
变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题3 设 、a 、b 分c别是三角形三边
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 (3) 4x2 (5) x3
(2) 3x
(4) 1 x
(6)
1 x2
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数为非负数； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
a; a ; 1 aa
a（a≥0）表示非负数a的算术平方根．
也就是说， a（a≥0）是一个非负数，
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 0.044,, aa22 ,
5,
aa ,, 3 8.
定义：式子 a (a 0)叫做二次根式.
其中a叫做被开方式.
不要忽略
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
它的平方等于a．
即有如下基本性质：（1） a≥0（a≥0）；
2 4=
4；
2
9=
9
；
2
16 =
16 ；
2
（2） a
.
问题
当 为a实数时, 与a2有什a么关系？
a
3
1
2 3
0
2 1
3
3
a2
a
a2 a
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题2 求下列二次根式的值：
1 3 2;
的长,化简：
(a b c)2 (b c a)2
小结
1.二次根式的意义： aa 0
2.二次根式的性质：
性质1 a2 a a 0
性质2 a2 a (a 0)
aa 0,
a2 a 0a 0,
aa 0.
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一般地，
例2 计算：
1 1.5 2 ; 2 2 5 2
问题
当a 0时，a表示关于a的什么意义？
问题1：
问题2：
当a 0时,
a表示关于0的什么意义？
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在实数范围内,负数没有平方根
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
2; ２ ３ ２２
ห้องสมุดไป่ตู้2.说出下列各式的值：
1 0.32 0.3
3 x2
4 102
2
1 7
2
1、求一求 ：说出下列各式的结果；
16 , 81, 0, 1 , 10 4 , 0.04 ; 49
上式中，被开方数分别是什么数？
2、 a 表示什么？ 表示正数或 0 的算术平方根
被开方数是非负数 即: a 0
16.1 二次根式
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
探究
填空：
2
与同伴交流你是怎样得到？
可以得到：
一般地，根据算术平方根的意义
0.1 0
例3 化简：
1 16; ２ －５２
什么叫做代数式:
像 ，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、 减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连 接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
练习
1.计算：
探究
根据算平方根的意义填空：
4 2 _4____; 2 2 _2_____;
1 3
2
________;
0 2 __0_______;
合作交流
与同伴交流你是怎样得到的？
是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方 等于4的非负数，因此有
同理，
分别是2， ， 0的算术平方根，因此有
2 x2 2x 1, 其中 x 3;
3 x2 2 x2 x 2.
当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=‐1
变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题3 设 、a 、b 分c别是三角形三边
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 (3) 4x2 (5) x3
(2) 3x
(4) 1 x
(6)
1 x2
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数为非负数； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
a; a ; 1 aa
a（a≥0）表示非负数a的算术平方根．
也就是说， a（a≥0）是一个非负数，
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 0.044,, aa22 ,
5,
aa ,, 3 8.
定义：式子 a (a 0)叫做二次根式.
其中a叫做被开方式.
不要忽略
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
它的平方等于a．
即有如下基本性质：（1） a≥0（a≥0）；
2 4=
4；
2
9=
9
；
2
16 =
16 ；
2
（2） a
.
问题
当 为a实数时, 与a2有什a么关系？
a
3
1
2 3
0
2 1
3
3
a2
a
a2 a
aa 0, a2 a 0a 0,
aa 0.
例题2 求下列二次根式的值：
1 3 2;
的长,化简：
(a b c)2 (b c a)2
小结
1.二次根式的意义： aa 0
2.二次根式的性质：
性质1 a2 a a 0
性质2 a2 a (a 0)
aa 0,
a2 a 0a 0,
aa 0.
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一般地，
例2 计算：
1 1.5 2 ; 2 2 5 2
问题
当a 0时，a表示关于a的什么意义？
问题1：
问题2：
当a 0时,
a表示关于0的什么意义？
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在实数范围内,负数没有平方根
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x