三维有限元法计算过程
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
空间问题简介
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意 空间载荷作用的任意形状几何体，受对称于轴线载荷作 用的回转体,这类问题经典弹性力学往往无能为力。在 FEM中，空间问题只要求0阶连续，因此构造单元方便
➢空间问题的主要困难： （1）离散化不直观；————（网格自动生成） （2）分割的单元数量多，未知量的数目剧增。— ——— （对某些问题简化）——— ——— （轴对称问题） ➢空间分析的优点
p
s
C
(6-16)
e 1
e 1
式中
F e ——单元上集中力等效结点载荷列向量；
p
F e ——单元上表面力等效结点载荷列向量；
S
F e ——单元上体积力等效结点载荷列向量；
F e
——单元结点载荷列向量。
C
等效结点力公式为 Fe NTF p
式中
Fe SSeNTpSds
Fe VeNTpvdV
如同平面等参单元一样，需要通过雅克比矩阵来实现，由偏导法则
N i N xi x N yi y N zi z
同理可得
N i , N i
写成矩阵
Ni
x
y
z
Ni x
Ni x
Ni
x
y
z
Ni y
J
Ni y
Ni
x
y
z
Ni z
ui vi wi
(6-18)
式中
xi、yi、zi——结点i的坐标； ui、vi、wi——结点i沿x、y、z方向的位移； Ni——对应于i结点的形状函数。
在自然坐标系（局部坐标系）中，各结点的形状函数可写成如
下形式， 对于8个顶角结点（ i＝1，2，……，8）
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
计算结构力学有限元方法_三维结构和轴对称
三维问题的有限元方法
空间问题
单元的应变
根据弹性力学基本公式，有应变：
∂
一维问题 二维问题
εx
=
∂u ∂x
∂
ε
x
∂x
εy = 0γΒιβλιοθήκη xy∂∂y∂x
三维问题 ε x
0
0
∂ u
∂y
v
∂
∂x
ε
y
εz
γ yz
γ
zx
=
0 0
γ xy
∂ ∂z
r, s = 1,2,3,4
四面体单元
∫∫∫ K
e rs
=
V BrT DBsdV ,
r, s = 1,2,3,4
Ke r,s
=
E(1− µ) 36(1+ µ)(1− 2µ)Ve
brbs + A2 (crcs + dr ds )
×
A1bscr + A2csbr
A1bsdr + A2dsbr
A1
=
µ 1- µ
四面体单元的
Pi = [Pix Piy Piz ]T , i = 1,2,3,4
节点载荷
∫ Pe = N T ρdx
单元节点载荷的计算公式,其中N 应为四面体单元的形函数
∂
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 0 ∂
0
0
∂ ∂z ∂ ∂y
u
v
w
∂
∂x
0
统一形式：ε = ∇u
∂y ∂x
三维问题的有限元方法
单元的应力
根据弹性力学基本公式，有应力：σ = Dε 三维问题
1 −µ −µ 0
三维有限元模型
三维有限元模型一、引言三维有限元模型是一种数学计算方法，用于分析和解决复杂的结构问题。
它可以将实际结构转化为由许多小单元组成的离散化模型，并通过数学方程求解每个单元的应力、应变等物理量，最终得出整个结构的响应。
本文将介绍三维有限元模型的基本原理、建模方法和求解过程。
二、三维有限元模型基本原理1. 有限元法基本思想有限元法是一种数值计算方法，它将一个连续的物理问题转化为由许多小单元组成的离散化问题，在每个小单元上建立数学模型，并通过求解代数方程组来得到整个系统的响应。
在三维有限元模型中，通常采用四面体或六面体等简单形状的单元进行离散化。
2. 三维有限元模型建立过程（1）几何建模：根据实际结构进行几何建模，包括确定结构尺寸、形状等。
（2）网格划分：将几何模型划分为许多小单元，并确定每个单元节点坐标。
（3）材料参数：根据实际材料性质确定每个单元的杨氏模量、泊松比等物理参数。
（4）载荷边界条件：根据实际工况确定结构所受载荷和边界条件。
（5）约束边界条件：根据实际结构确定约束边界条件，如支座、铰链等。
（6）求解：将以上信息输入计算机中，通过数学方法求解每个单元的应力、应变等物理量，并得出整个结构的响应。
三、三维有限元模型建模方法1. 网格划分方法三维有限元模型的网格划分可以采用手动或自动方式进行。
手动划分需要经验丰富的工程师进行，通常用于简单结构；自动划分则是利用计算机软件进行，可以快速生成复杂结构的网格。
2. 材料模型在三维有限元模型中，通常采用线性弹性模型来描述材料行为。
这种模型假设材料是各向同性的，并且满足胡克定律。
如果需要考虑非线性效应，则需要采用非线性材料模型。
3. 载荷和边界条件在三维有限元模型中，载荷和边界条件是建模的重要组成部分。
载荷可以是静载荷、动载荷或温度载荷等，边界条件可以是支座、铰链等。
四、三维有限元模型求解过程1. 单元刚度矩阵单元刚度矩阵是计算每个单元应力和应变的关键。
它由每个单元的杨氏模量、泊松比和几何信息确定。
三维有限元法
三维有限元法三维有限元法是一种常用的工程分析方法，它基于有限元理论，通过将复杂的三维结构离散成小的单元，再对每个单元进行力学分析，从而得到整个结构的应力、变形等工程参数。
本文将介绍三维有限元法的基本原理、建模方法和应用领域。
一、基本原理三维有限元法的基本原理是将连续的三维结构离散成有限个小的单元，每个单元内部的应力和变形服从某种数学模型，通过求解这些模型，得到整个结构的应力、变形等参数。
常用的单元包括三角形单元、四边形单元和六面体单元等。
二、建模方法建立三维有限元模型的过程包括几何建模、划分单元、选择材料和加载条件等。
几何建模是将实际结构抽象成几何形状，可以使用CAD软件进行三维建模。
划分单元是将结构划分成小的单元，常用的方法有四面体法、六面体法和自适应划分法等。
选择材料是指确定每个单元的材料性质，包括弹性模量、泊松比等。
加载条件是指在模型中施加的外部载荷和边界条件。
三、应用领域三维有限元法在工程领域有广泛的应用，以下列举几个典型的应用领域。
1. 结构分析三维有限元法可以用于分析建筑物、桥梁、飞机等结构的强度、刚度和稳定性。
通过分析结构的应力和变形，可以评估结构的安全性，并指导工程设计和施工。
2. 流体力学三维有限元法可以用于模拟流体在三维空间中的运动和传递过程。
例如，可以用三维有限元法来分析水流在管道中的流动情况，并预测流速、压力等参数。
3. 热传导三维有限元法可以用于分析热传导过程。
例如，可以用三维有限元法来模拟热交换器中的传热过程，分析不同工况下的温度分布和热损失。
4. 振动分析三维有限元法可以用于分析结构的振动特性。
例如，可以用三维有限元法来分析汽车车身的振动特性，评估车身的舒适性和稳定性。
三维有限元法是一种重要的工程分析方法，可以用于分析结构、流体力学、热传导和振动等问题。
通过合理建模和求解，可以得到结构的应力、变形等工程参数，为工程设计和分析提供有力支持。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的单元类型和求解方法，以获得准确和可靠的分析结果。
有限元分析建模方法
注意：分步计算最复杂的工作是确定子模型的边界条件，即将整体 模型的计算结果以节点位移或分布力的形式转换到子模型的边界 上。可参考相关文献。
8-7 模型简化
2、分步计算法
工程中常存在一些相对尺寸很小的细节，如小孔、键
槽、齿轮齿根等，如果这些细节处于结构的高应力区， 则可能引起应力集中。
编 值 参 参数 编节材物截几
号
考 考量 号点料理面何
系系
编特特特 数
代代
号性性性 据
码码
码值
码
位载热其 移荷边他 约条界边 束件条界 数数件条 据据数件
据数 据
8-5 有限元建模的基本流程 参数化实体造型
物理属性编辑器
载荷、约束 材料
力学属性编辑器
基于实体的物理模型
几何元素编辑器
对称/反对称简化 中线/中面提取 小特征删除/抑制
用可视化方法（等值线、等值面、色块图）分析计算结果，包括 位移、应力、应变、温度等；
最大最小值分析； 特殊部位分析。
8-2 有限元建模的重要性
在有限元分析过程中，建模是其中最为关键的环节。因为： 1.影响结果精度：有限元模型要为计算提供所有原始数据，
这些输入数据的误差将直接决定计算结果的精度。如果模型本身 不合理，即使计算算法再精确，也不可能得到高精度的分析结果。 因此，模型的合理性是决定结果精度的主要因素。 2.影响计算过程：模型不仅决定计算精度，还影响计算的过程。 对于同一分析对象，不同的模型所需要的计算时间和存储容量可 能相差很大，不合理的模型还可能导致计算过程死循环或终止。 3.对人员要求高：由于分析对象的形状、工况条件、材料性质 的复杂性，要建立一个完全符合实际的有限元模型是很困难的。 它需要综合考虑的因素很多，如形状的简化、单元类型的选择、 边界条件的处理等等，从而对分析人员的专业知识、有限元知识 和软件使用技能等方面都提出了较高的要求。 4.花费时间长：建模所花费的时间在整个分析过程中占有相当 大的比例。对分析人员来讲，他们的工作不是开发有限元分析软 件，而是如何利用软件（如ANSYS）分析他们所关心的结构。 分析过程中，分析人员可把计算过程作为“黑匣子”来对待，而 把精力主要集中在建模上。通常，建模所花费的时间约占整个分 析时间的70%左右。因此，提高建模速度是缩短分析周期的关键。
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三维有限元法计算过程三维有限元法的计算过程：1）网格单元剖分；2）线性插值；3）单元分析；4）总体刚度矩阵合成；5）求解线性方程组等部分组成。
一、偏微分方程对应泛函的极值问题矿井稳恒电流场分布示意图主要任务是分析在给定边界条件下，求解稳定电流场的Laplace 方程或Poisson方程的数值解，即三维椭圆型微分方程的边值问题：)()((0)(0)()()(000z z y y x x I F u n un u F z u z y u y x u x Lu w D ---=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂≡ΓΓ+Γδδδγσσσ 上述微分方程边值问题等价于下面泛函的极小值问题：dS U dxdydz fU z U y U x U U J w D ⎰⎰⎰⎰⎰Γ+Γ+ΓΩ+-∂∂+∂∂+∂∂=222221}])()()[(2{][γσσ二、网格剖分∞1ρiih ρ......1、网格单元的类型图2-5 网格单元类型2、网格单元剖分原则及其步长选择 因此，网格内的单元剖分应按以下剖分原则1）、各单元节点（顶点）只能与相邻单元节点（顶点）重合，而不能成为其它单元内点；2）、如果求解区域对称，那么单元剖分也应该对称；3）、在场变化剧烈的区域网格剖分单元要密一些，在场变化平缓的区域单元密度应小。
4）、网格单元体的大小变化应逐步过渡。
根据上述剖分原则，以x 、y 、z 坐标轴原点o 为中心，分别向x 、y 、z 方向的两侧作对称变步长剖分，距o 越远，步长应越大。
常用的变步长方法有：c i x x i i )1(1+=∆-∆+ c x x i i =∆∆+/1(i ≠0)c x x i i =∆-∆+111(i ≠0) 以上各式中c 为常数，1+∆i x 、i x ∆为同一坐标轴上相邻步长值。
以x 方向为例，可知，x 正方向与负方向对称，只相差一负号。
若令00=∆x ，只要给出距原点最近节点的坐标1x ∆，由上式即可求出其它相应的步长i x ∆。
同理可求得y 、z 方向上的变步长i y ∆、i z ∆。
3、网格剖分方法图2-6 平面内节点编号示意图图2-7 长方体单元编号示意图在程序设计的过程中，将采用四面体单元对研究区域进行分析。
因此对上面的长方体网格单元还需作进一步的处理。
任取一编号为m 的长方体单元，显然根据m 的值可求出其八个节点的节点编号。
为讨论方便，将长方体单元的各顶点的节点号，将其重新编号为0、1、2、3、4、5、6、7，如图2-8所示。
图2-8 长方体单元节点编号示意图可知长方体单元可划分为六个四面体单元，其方法为用1、2、5、6顶点组成的平面将长方体分成二个三棱柱体，每个三棱柱体又可分成三个四面体单元，其结果如下：（0，1，2，4）、（1，2，4，5）、（2，4，5，6）、（1，2，3，5）、（2，3，5，6）、（3，5，6，7）。
其组合规律为：（j i +，2/)1(1+++j j i ，2/)5(2j j i -++，j i ++4），1,0=i ，2,1,0=j 。
在具体的计算过程中，按长方体网格编号逐一计算，在每个长方体单元内再按以上的组合规律依次对六个四面体计算。
这样处理后四面体的总数为1)(L *L_n *6Y -。
三、线性插值分析任取一四面体单元如图2-9所示，设其顶点相应的节点序号为),,,(m l j i ，并设各节点电位为k u ，m l j i k ,,,=。
对应坐标为),,(i i i z y x ，),,(j j j z y x ，),,(l l l z y x ，),,(m m m z y x ，当单元足够小时，设四面体内部电导率为常数、其电位呈现线性变化。
即：z y x U 4321αααα+++= （2-29）图2-9 四面体单元示意图对m l j i ,,,四个节点有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=mm mm l l l l jj j j i i ii z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα （2-30）整理式(2-29)、（2-30）得：m m l l j j i i u N u N u N u N U +++= （2-31）式中u 和k N 都是的),,(z y x 坐标函数，其中k N 的值为：)(1z d y c x b a DN k k k k k +++=，m l j i k ,,,= （2-32） 可知：k k k k d c b a ,,,（m l j i k ,,,=）、D 只与节点坐标有关。
为了分析式（2-32）所对应k N 的几何意义，现引入面积坐标和体积坐标的概念。
如图2-10所示为ijl ∆，),(i i y x 、),(j j y x 、),(l l y x 为其顶点坐标，则三角形ijl ∆的面积为：图2-10 三角形平面图ll j j iiijl y x y x y x 11121=∆ 设),(y x p 点为三角形中任一点，则 ljl j l lj ji i i x x zy y x y x y xz c x b a 1111+-=++llj j y x y x yx111= （2-33）上式值为图2-10中三角形pjl ∆面积的两倍，所以：ijlpjlijl i i i i y c x b a y x N ∆∆=∆++=2)(),( （2-34） 同理可得：ijlpil j y x N ∆∆=),(，ijlpij l y x N ∆∆=),(定义),(y x N i ，),(y x N j ，),(y x N l 为),(y x p 在三角形ijl ∆内的面积坐标，具有以下性质：1） 1),(),(),(=++y x N y x N y x N l j i （2-35） 2） 1),(≤y x N i 3） ⎩⎨⎧≠==nk n k y x N n n k 01),(4） 与节点i 对边平行的直线上各点的),(y x N i 值不变。
利用面积坐标的定义，可以方便地确定三角单元中任一点的面积坐标，且可建立一个面积坐标网，如图2-11所示。
因为面积坐标与通常使用的直角坐标系的选择无关，可利用该坐标网构造任意性线、非线性的插值函数。
图2-11 三角形面积坐标网采用与上述相似的分析方法，可知),,(z y x N k (m l j i k ,,,=)为任一点),,(z y x p 在四面体ijlm 内的体积坐标，具有与三角单元面积坐标相似的性质。
ijlm pjlm i D D z y x N =),,( （2-36）ijlm pilm j D D z y x N =),,( （2-37）ijlm pijm l D D z y x N =),,( （2-38）ijlmpijl m D D z y x N =),,( （2-39）上式中ijlm D 为其对应节点所构成四面体的体积。
在式（2-31）假设四面体内电位为线性变化，P 点的电位值是通过该点的体积坐标将各节点的电位值线性化计算得出。
如果四面体内的电位值为非线性变化，则只要改变相应点体积坐标的系数即可。
形如：m m l l j j i i u QN u PN u ON u SN U +++= （2-40）式中S 、O 、P 、Q 为P 点体积坐标对应的系数，由于四面体内电位的非线性变化规律比较复杂，系数值的确定比较困难，因此在以下各章节的讨论中只考虑电位值的线性变化，对于非线性的变化规律将以后讨论。
四、网格单元分析整个求解区域Ω被剖分为一系列小四面体单元后，泛函J （u ）也相应地被离散为各单元上的泛函)(u J e ，故有∑=me u J u J )()(。
m 为四面体单元总个数。
在任一四面体单元上泛函形式为：⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ+-∂∂+∂∂+∂∂=eedS u dxdydz fu z u y u x uu J e 222221}])()()[(2{)(σγσ对任意节点的微分得：⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂+∂∂-∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂=∂∂eedsu uu dxdydz u u f z u u z u y u u y u x u u x u u u J kk k k k k e σγσ})]()()([{)( （2-42）其中m l j i k ,,,= 令 dxdydz zuu z u y u u y u x u u x u k k k e)]()()([∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂=Φ⎰⎰⎰Ωσ 则：⎰⎰⎰⎰⎰ΓΩ∂∂+∂∂-Φ=∂∂eeds u uu dxdydz u u f u u J k k k e σγ)( （2-43）现对各项分别进行讨论： 1、对于Φ项由前面的讨论可知：∑=kk k U N U ，)(1z d y c x b a DN k k k k k +++=所以m m l l j j i iU x N U x N U x N U x N x U ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ （2-44） xN x UU k k ∂∂=∂∂∂∂)( （2-45） 又因为：Db x N k k =∂∂，k k N U U=∂∂ 所以：)(1)(2m m k l l k j j k i i k k U b b U b b U b b U b b Dx U U x U +++=∂∂∂∂⋅∂∂ （2-46） 同理可得：)(1)(2m m k l l k j j k i i k k U c c U c c U c c U c c D y U U y U +++=∂∂∂∂⋅∂∂ （2-47） )(1)(2m m k l l k j j k i i k k U d d U d d U d d U d d Dz U U z U +++=∂∂∂∂⋅∂∂ （2-48） 则：)()()(zUU z U y U U y U x U U x U k k k ∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂ )]()()[(12m k m l k l j k j i k i m k m l k l j k j i k i m k m l k l j k j i k i U d d U d d U d d U d d U c c U c c U c c U c c U b b U b b U b b U b b D+++++++++++=])()()()[(12m k m k m k m l k l k l k l j k j k j k j i k i k i k i U d d c c b b U d d c c b b U d d c c b b U d d c c b b D+++++++++++=（2-49） 记：mk m k m k m l k l k l k l jk j k j k j i k i k i k i k U d d c c b b U d d c c b b U d d c c b b U d d c c b b F )()()()(+++++++++++=所以：kek F V dv F De362σσ==Φ⎰⎰⎰Ω （2-50）2、对于dxdydz u ufek⎰⎰⎰Ω∂∂项由前面分析可知：)()()(000z z y y x x I f ---=δδδ，k kN U U=∂∂所以有： dxdydz z z y y x x z y x N I dxdydz u ufVek Vek)()()(),,(000---=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰δδδ （2-51） 由δ函数的性质可知：I z y x N dxdydz u ufk Vek⋅=∂∂⎰⎰⎰),,(000 ⎩⎨⎧=),,(0),,(k k k k k k z y x z y x I 供电点不在点供电点在点 （2-52）3、对于⎰⎰Γ∂∂eds u uukσγ项由式（2-25）分析可知，该项只与研究区域Ω的第三类边界条件有关，所以当四面体完全位于求解区域内部时（即非边界单元），该项值为零。