力学中的泛函分析和变分原理第八讲

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fiuikdv
tiuikds
s
ij
k ij
dv
V
S
V
并取
s ij
ij
fi (ui ui )dv ti (ui ui )ds
外荷载做功的增量: W
弹性体 应 变能增 量: V
对于弹性静力学问题,根据热力学第一定律:
W V
第21页/共83页
微元体在某一应变状态获得的应变能增量为
V fiuidv tiuids
V
V
其中,ui为弹性体变形过程中的位移增量。
利用高斯公式得:
fiδ uidv σij n jδ uids
弹性体应变能是状态函数,故上式积分与 路径无关。
对于线性问题,可假设在变形过程中应力、 应变分量等比例增长。
* ij
:
0
tij
(0
t
1)
* ij
:
0
t
ij
(0
t
1)
v
1
σ
* ij
δε
* ij
1
tσij εijt
0
0
1 2
σij εij
第27页/共83页
2. 余应变能、余应变能密度
对于单向拉伸问题
a
a
结论:变分运算和积分运算可以交换次序
第11页/共83页
四、泛函的驻值与极值
1、函数的驻值和极值
如果函数y(x)在x=x0的邻近任一点上的值都 不大于或都不小于y(x0),即
y(x)-y(x0)≤0或≥0
则称函数y(x)在x=x0处达到极大值或极小
值。极值的必要条件为
dy dx
0
第12页/共83页

分析力学第八章力学的变分原理

分析力学第八章力学的变分原理

由 T T ( q 1 ,q 2 ,,q m ;q 1 ,q 2 ,,q m ;t ) ,得 T m 1 ( q T q q T q )
m 1 ( q T d d t q T )q T d d t( m 1 q T q ) m 1 q T ( d d tq q )
例1. 试由哈密顿原理导出哈密顿正则方程
s
s
解:
H pqL L pqH
1
1
根据哈密顿原理 t2 Ldt 0 得 t1
t2
s
t1
1
pq
Hdt
0
t1 t2s1pqqpHdt0
t1 t2s 1 p q q p q H q p H p d t0
t1 t2s 1 p q q p q H q p H p d t 0
t1 t2s 1 q p H p pα q H q dt0
要使上式对任一积分过程都成立,那么必须是被积函数等于零,即
s1 q p H p p q H q 0
考虑到各 δp α ,δq α 是相互独立的,则有
q
H, p
p
H q
---这就是所求的正则方程。
例2. 由哈密顿原理推导保守系统的拉氏方程
从t 1 至 t 2 积分,并注意条件 δqs|t1 δqs|t2 0得
t1 t2 A Tm 1 q T (d d tqq) dt0
t1 t2 A T s n 1 q T s d d tq s q s g 1 q T n d d tq n q n d t 0
由于可能运动的起点和终点相同,有 δqαtt1 δqαtt2 0,于是有
tt1 2 s1qTd dtqTQ q dt0
由于对于任何区间该积分都成立,所以被积函数必为零。

(53页PPT幻灯片修改版)泛函分析课件

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例子

n维Euclid空间是可分的 连续函数集C[a, b]是可分的

目的:用简单的逼近复杂的
距离空间的完备性

柯西序列

设{xn}是(X, ρ)中的点列,若对任意的ε>0,存在N>0,当 n, m>N时,有ρ(xn, xm)< ε. 则称 {xn}是X中的柯西(Cauchy) 序 列,或称基本序列
距离空间:定义

设 X 是非空集合,对于X中的任意两元素x与y,按某一法则都 对 应唯一的实数ρ(x, y),并满足以下三条公理(距离公理) :
1. 2.
3.
非负性: ρ(x, y) ≥0, ρ(x, y) =0当且仅当x=y; 对称性: ρ(x, y) =ρ(y, x); 三角不等式;对任意的x, y, z ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)


取 x (1,1,...,1,...), (0, 0,..., 0,...)
1 2 1 ( x, ) i 2 i 1 2 1 1

(2 x, )
i 1

1 2 2 i 2 1 2 3
2 ( x, ) (2 x, )
巴拿赫(Banach)空间

极限是数学分析中的基本概念之一,有了它可以派 生 出许多其它概念.泛函分析用距离来导出一般化 的极 限概念.

如n→∞时xn→a,我们应理解为xn与a的距离当n→∞时趋向 于零.
距离空间: Rn

n 维实(或复)Euclid空间 Rn 是 n 维向量x = (a1,a2,…,an)的全体,其中ai是实(或复)数. 对 任何的x = (a1,a2,…,an), y = (b1,b2,…,bn),规定

有限元基础(泛函、变分与变分法)

有限元基础(泛函、变分与变分法)

因此
aT K a = aT K a
= aT( Ka - P ) = 0 由 a 的任意性,就得到(1.3.6)式:
Ka — P = 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零,即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函: 而问题的解 u 使泛函取驻值,即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹(Ritz)法
选择试探函数:
其中N为已知函数,a为待定参数
代入泛函积分式,泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件: J = 0
充分条件:J = 0 且:2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理:
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数,y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分,如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时,下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的,则有如下关系:
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理:
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函,因为此泛函中u的最高 次为二次,所以是二次泛函。

3. 泛函的极值性
条件:
1.算子L是偶数(2m)阶的;
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关,所以

泛函

泛函

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来,泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去,起着重要的作用。
泛函分析的起源
泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如
连续线性泛函
泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:E→F。1903年阿达马在E是C[α,b]([α,b]上连续函数的全体),F是实数域,当{?n}一致收敛于? 时,T?n→T?的情况下,将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一,并且有极大任意性。后来在实l2空间上,弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示,即希尔伯特空间l2上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909~1910年又相继给出C[α,b]、Lp[α,b]、lp(p>1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间(又称向量子空间)上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始(中间经过第一次世界大战的中断),直到1921年用“赋范数列空间”(他并未用这个名称)代替具体的C[α,b]、Lp[α,b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为H.闵科夫斯基用过的术语,如支撑超平面等。
巴拿赫空间
在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后,抽象形态的线性空间(向量空间)以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922~1923年,E.哈恩和巴拿赫(同时还有N.维纳)独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法,给出现今常见的证明。1922~1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明,并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间(共轭空间)K(当时称为极空间)。两年后,巴拿赫用同样方法也得到同样结果(后来,他承认哈恩的优先权),并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923~1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书,书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛,这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时,作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成,它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩,把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来,人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。

泛函与变分概念

泛函与变分概念

1 xy 2
e yy e m
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2
e zz
em
应变球张量
应变偏张量
§i1 张量5
求和定约
张量表达式的某一项内的一个下标出现两次, 则对此下标从1到3求和。
aii a11 a22 a33
aijbij a1 j b1 j a2 j b2 j a3 j b3 j (a11b11 a12b12 a13b13 ) (a21b21 a22b22 a23b23 ) (a31b31 a32b32 a33b33 )
i=1,2,3 j=1,2,3
s z 2e z
§i1 张量10
(4)边界条件
应力边界条件
f x s x l yx m zx n f y xy l s y m zy n f z xz l yz m s z n
位移边界条件
设(n1 , n2 , n3 ) (l , m, n)
a b
f f dy dy) dy及dy高阶项) ]dx y y
b a
J [df dy及dy高阶项) ]dx
取线性主部
dJ dfdx
a
b
k d J d a fdx 函数的变分与积分运算可以交换. k
b
§i2 变分法9
三. 泛函极值与驻值
1、函数的极值 如果函数y(x) 在x=x0的邻近任一点上的值都不大于(不 小于)y(x0),即
1 e ij s ij s kkd ij E E
s kk s x s y s z
s x 2e x

力学的变分原理PPT课件

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如果F不显含自变量 t , 则欧拉方程有初积分 :
F - q F 常 数
2021/3/7
q
CHENLI
13
例 : 求 最 速 落 径 方 程 . ( 已 知 F 1 y '2 ) 2 gy
解:
因F
不显含
x,
则有 F
-
y'
f y '
C1.
即:
1 y '2 2gy
y
'
y
'
1 y '2 2gy
其中t为自变量,q为力学系统的广义坐标,此函数关系
如图中曲线所示。当自变量
t有微小增量dt时,对应的
q
函数q的微小增量的线性主部
dq称为函数的微分,记为
d qq'(t)d t
(1 )
或: q' (t) dq dt
2021/3/7
o
CHENLI
, q=q(t)+εη(t)
p δq dq q=q(t)


1
y '2
y '
y'
常数
2gy
2 g y (1 y '2 )
2 g y (1 y '2 ) 常 数 y (1 y '2 ) C 1 引 入 参 数 , 使 y ' c tg y C 1 C 1 (1 c o s 2 )
1 ctg 2 2
2021/3/7
CHENLI
比如,牛顿提出的力学三大定律,就是力学的基本原理,由这些基本原理出发,经过严 格的逻辑推理和数学演绎,可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类:不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。

变分原理及其应用

变分原理及其应用

4w 4 w 4 w q (x ,y ) 2 2 2 4 4 x x y y D

D4w q
5. 变分法 ▲ 把物理或力学基本方程的定解问题变为求泛函的
极值(或驻值)问题;
▲ 在求近似解时,又往往将泛函的极值问题转变为 求函数的极值(或驻值)问题 ▲ 从而把微分方程边值问题的求解归结为代数方程 组的求解。
(2) 几何方程:
1 ij (ui , j u j ,i ) 2
( x, y , z ) V
x
u v w u v v w w u , y , z , xy , yz , zx x y z y x z y x z
如果函数 w( x, y ) 在边界 上给定,则 w在边界上等于零。 于是由 w 在区域 内的任意性可得欧拉方程:
F F F 0 w x wx y wy
( x, y )
(6)
如果 w( x, y ) 在部分边界未知的,则利用 w 在边界上的任意性得:
--- 结点位移向量。
2. 函数的微分和变分
函数的微分: y B y = y(x)
y y( x x) y( x) y( x)dx
dy y( x)dx
函数的变分: o y C
dy A
y dx
x
D Y= Y(x) B y = y(x) dy
y Y ( x ) y ( x)
▲ 变分法是有限元法等近似解法的理论基础。
二、弹性问题中的能量泛函
1 弹性力学问题的定义
弹性体定义在空间区域: ( x, y, z ) V 体积力为:{ f } { f x , f y , f z }T 任意点在坐标方向的位移分量为:u ( x, y, z ), v( x, y, z ), w( x, y, z )
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如果对于某个������0 , 使得������ ������0 = ������0 ������0 有非零解,则称������0 为������的固有值,������0 称
为相应������0 的固有元素,显然固有值属于谱。
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不动点
设������为Banach空间,ℱ 为由������到������的算子,且������ ℱ ⋂������ ℱ 非空,如果点 ������ ∗ ∈ ������, 满足ℱ ������ ∗ = ������ ∗ , 则称������ ∗ 为算子ℱ的不动点,或者说不动点������ ∗ 是算 子方程������ = ℱ ������ 的解。
3
§4.2 某些空间的共轭
力学中的共轭空间
令������和������是应力和应变空间,线弹性体应变能是 1 ������ = 2 间的共轭空间。 物体的总势能: Π= 对 ������������������ , ������������ ∈ ������ × ������∗ 是对 1 2 ������������������ ������ ������������ ������������ − ������������������ ������������ ������������
称算子 ������ 强收敛于������. ������
→ 0, 则
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逆算子
设有算子������: ������ → ������, 如果对于每一个������ ∈ ������ ������ 均有唯一的������ ∈ ������ ������ 与之对 应, 使得������ ������ = ������, 则称算子������是一对一的(或单射的),这些确定了一个由 ������到������的算子,称为������的逆算子,记为������ −1 . 定理:线性算子������是一对一的充分必要条件是其零空间只含零元素。
§4.2 某些空间的共轭
Hilbert空间的共轭空间
ℍ为Hilbert空间,固定������ ∈ ℍ,ℱ ������ = ������, ������ 是定义在ℍ上的有界线性泛函。 由 ℱ ������ = ������, ������ ≤ ������ ������ ,又有 ℱ 是 ℱ ������ = ������, ������ ≤ ������ ������ 中������的下确界,于 = ������ ������ ≤ ℱ ������ , 故 是 有 ℱ ≤ ������ . 若 取 ������ = ������ , 有 ℱ ������
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泛函
设������是实数域ℝ上的线性赋范空间,������是������的线性子空间,ℱ: ������ → ℝ, 若ℱ满 足: ∀ ������, ������ ∈ ℝ, ������, ������ ∈ ������, ℱ ������������ + ������������ = ������ℱ ������ + ������ℱ ������
������=1
������������ ������������
4.2.1
其中������������ = ℱ ������������ .即������������ 上任一有界线性泛函均可表示为(4.2.1)的形式,或者说 4.2.1 是定义在������������ 上有界线性泛函的一般形式。 1
或者每给定������个标量������1 , ������2 , … , ������������ ,由 4.2.1 可确定������上的一个泛函。特别地,
若把������个标量分别取为 ������1 , ������2 , … , ������������ = 1,0, … , 0 , 0,1, … , 0 , … , 0,0, … , 1 ,则 由 4.2.1 可以确定������个泛函,分别记为ℱ1 , ℱ2 , … , ℱ������ ,它们在基向量上的取值为 ℱ������ ������������ = ������������������ = ℱ1 , ℱ2 , … , ℱ������ 称为 ������1 , … , ������������ 的对偶基。 设������维向量空间������������ 的基为 ������1 , … , ������������ , ℱ1 , ℱ2 , … , ℱ������ 是������∗ 的基。������������ 上的任一线 ������ 性泛函可表示为:ℱ = ������1 ℱ1 + ������2 ℱ2 + ⋯ + ������������ ℱ������ . ������维欧氏空间������������ 的共轭空间是它自身,即������∗ = ������������ . ������ 定理:设������是一个有限维空间,若������0 ∈ ������,对一切ℱ ∈ ������∗ 都有ℱ ������0 = 0,即 ∀ℱ ∈ ������∗ , ������0 , ℱ = 0 ⇒ ������0 = ������. 2 1, ������ = ������ 0, ������ ≠ ������
若ℱ(������)是������������ 上的有界线性泛函,取������������ 一组基 ������1 , … , ������������ ,其中������������ = 0, … , 1, … ,
其第������个分量为1,其余为0.������������ 中任一元素均可表示为������ = 线性,有
研究生课程
力学中的泛函分析 与变分原理
第八讲:有界线性泛函与共轭空间
授课教师:郭旭教授
大连理工大学工程力学系
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设������和������都是线性赋范空间,定义在整个������上,而在������上取值的有界线性算 子的全体,记为������ ������, ������ . 如果规定������ ������, ������ 中任意两个算子 (1) 加法为: ������ + ������ ������ = ������ ������ + ������ ������ 1 2 1 2 (2) 数与算子乘积为: ������������ ������ = ������������ ������
Ω
������������������ ������ ������������ ������������
Ω
这表示应力(1/2倍)是应变空间������上的(连续)线性泛函,应力空间������是应变空
٠������ ������������ , ������������
∈ ������ × ������上的连续线性泛函映射为标量势能Π.
压缩算子、压缩系数
设集合ℚ ⊂ ������ ℱ ,如果存在常数������ ∈ 0,1 , 使对任意的������ ′ , ������ ′′ ∈ ℚ均有不等 式 ℱ ������ ′ − ℱ ������ ′′ 缩系数。 ≤ ������ ������ ′ − ������ ′′ ,则称ℱ为集合ℚ上的压缩算子,������称为压
������ ������=1
������������
2 1/2
. 若给定一������个有序数组 ������1 , ������2 , … , ������������ , 则ℱ ������ =
������ ������=1 ������������ ������������
是������������ 上的一个有界线性泛函。
则������ ������, ������ 便成为线性空间。
定理:设������为线性赋范空间,而������为Banach空间,则������ ������, ������ 为Banach空间。
算子强收敛
设 ������ ⊂ ������ ������, ������ ,������ ⊂ ������ ������, ������ , 如果对∀ ������ ∈ ������, 均有 ������ ������ − ������ ������ ������ ������
共轭空间
定义在整个线性赋范空间������上的所有有界线性泛函所构成的空间������ ������, ℝ 称 为空间������的共轭空间,记为������∗ .
§4.2 某些空间的共轭
������维欧氏空间������������ 的共轭空间
空间������������ 中每个元素均可表示为������个有序数组������ = ������1 , ������2 , … , ������������ , 其范数定义为 ������ =
������ ������ ������ ������ ������=1 ������������ ������������ .由于ℱ的
ℱ ������ = ℱ
������=1
������������ ������������ =
������=1
������������ ℱ ������������ =
§4.2 某些空间的共轭
������维欧氏空间������������ 的共轭向量������1 , ������2 , … , ������������ 上的值������1 , ������2 , … , ������������ 唯一地确定,
则ℱ是������上的一个线性泛函,或者说由������到实数域的算子称为泛函。
有界线性泛函ℱ在������处的值ℱ(������)也可表示为:ℱ ������ = ������, ℱ , ������ ∈ ������. ℱ的线性是指: ������������ + ������������, ℱ = ������ ������, ℱ + ������ ������, ℱ .
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