28分段函数解析式
分段函数知识点及例题解析
分段函数常见题型例析所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：１．求分段函数的定义域、值域例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2)2(,42x x x x x 的值域．解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞22-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．２．作分段函数的图象例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩，，，，，，，画函数(f x 解：函数图象如图１所示．评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值例３．已知)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，∴ f （f （－３））＝f （０）＝π又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． 评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．４．求分段函数的最值x 图1例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥， 求出这个函数的最值．解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，没有最大值．５．表达式问题例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；当P 点在BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；当P 点在CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，所以y 关于x的表达式是01122343 4.x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正同学们的错误认识． A BP 图３。
分段函数、解析式与图像含详解答案
解析式、分段函数、函数图像作业题型一分段函数1．已知函数2,01,()2,12,1,2,2x x f x x x ⎧⎪≤≤⎪=<<⎨⎪⎪≥⎩，则3[()]2f f f ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的值为2．设函数23,0()(2),0x x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则(3)f -=_____3．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()12f a =，则a =4.分段函数已知函数3,0,()4,0.x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩(1)画函数图像(2)求((1))f f -；(3)若0()2f x >,求0x 的取值范围.题型二解析式1.求下列函数的解析式（1）已知2()f x x x =+，求(1)f x -的解析式（2）若1)f x +=+()f x 的解析式（3）如果1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1x x-，则当x ≠0，1时，求()f x 的解析式（4）已知2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式2.求下列函数的解析式（1）已知函数()f x 是一次函数，若()48f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +-=，求()f x 的解析式（3）已知函数f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x，求()f x 的解析式．（4）已知函数()f x 的定义域是一切非零实数，且满足13()24f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭．求()f x 的解析式．3.已知函数()21f x x =-，2,0,(){1,0,x x g x x ≥=-<求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦的解析式．题型三函数图像1.画出函数2)(x x f =的图像，并用变换的方法画出以下函数的图像。
（1）2)(2+=x x f （2）2)1()(-=x x f （3）2)2()(2+-=x x f （4）32)(2+-=x x x f （5）542)(2-+=x x x f 2.画出下列函数函数的图像。
人教版初二数学下册《 分段函数》
2x
2
2
2
由题易得直线AB的解析式为
y
3 4
x
3. 2
n 3m3.
42
由此可得
n
3 m 3 42
12m4n12nm21812
解之得
m n
42 11 15 11
点P为42，15. 11 11
易得P直 的 D 线 解析 y2 式 9 x为 4.
（1）在注水过程中，注满A所用时间为 s，再注满B又 用了 s；
（2）求A的高度hA及注水的速度v； （3）求注满容器所需时间及容器的高度．
2.(1)在同一坐标平面内，画出 y1
x
和 y2
1 3
x
4 3
函数的图象；
(2)求出两函数图象的交点坐标；
(3)比较两函数值的大小.
y
2 1━
┃
-1
y1 x
求S与t之间的函数解析式；（3）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等
的两部分，求直线PD的函数关系式.
解：(1)由题得
OAOD 6 OAOD 8
解之 O O得 D A 24 或 O O D A 42
M
由题知 3＜OD＜6， ∴ OA=2， OD=4.
延长CB交x轴于点M.
2t 84＜t 6
S与t的函数关系式为85t
486＜t
5
11
1211＜t 12
2t 3612＜t 18
例题 如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出 发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、 O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的 函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．（1）求A、B两点的坐标； （2）
解读分段函数
解读分段函数分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考.一、分段函数解读在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，相应的对应关系不同，这样的函数称之为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应关系)不同而已.二、常见的题型及其求解策略1.求分段函数的定义域、值域例1 求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≤－2，x 2，x ＞－2的值域.解 当x ≤－2时，y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，∴y ≥－4；当x ＞－2时，y ＝x 2，∴y ＞－22＝－1.∴函数f (x )的值域是{y |y ≥－4}.解题策略 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集.2.求分段函数的函数值例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ＞10，f [f (x ＋6)]，x ＜10，求f (5)的值. 解 ∵5＜10，∴f (5)＝f [f (5＋6)]＝f [f (11)]，∵11＞10，∴f [f (11)]＝f (9)，又∵9＜10，∴f (9)＝f [f (15)]＝f (13)＝11.即f (5)＝11.解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理.3.画出分段函数的图象例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，x 2，x ＜0，作出此函数的图象. 解 由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧，另一条是射线，画出图象如图所示.解题策略 分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每段端点的虚实.4.求解分段函数的解析式例4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x (分钟)与相应话费y (元)之间的函数图象如图所示.则：(1)月通话为50分钟时，应交话费多少元；(2)求y 与x 之间的函数关系式.解 (1)由题意可知当0＜x ≤100时，设函数的解析式y ＝kx ，又因过点(100,40)，得解析式为y ＝25x ，当月通话为50分钟时，0＜50＜100，所以应交话费y ＝25×50＝20元.(2)当x ＞100时，设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由图知x ＝100时，y ＝40；x ＝200时，y ＝60.则有⎩⎨⎧ 40＝100k ＋b ，60＝200k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝15，b ＝20，所以解析式为y ＝15x ＋20，故所求函数关系式为y ＝⎩⎨⎧25x ，0＜x ≤100，15x ＋20，x ＞100.解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在高考试题中，解决此类问题的关键是正确的理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点.。
2020版新教材高中数学第三章函数3.1.1.4分段函数课件新人教B版必修1
2.已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式是 ________.
【解析】因为f(x)的图像由两条线段组成，
所以结合函数图像和一次函数解析式的求法可得
f(x)=
x 1，1 x 0， x，0 x 1.
答案：f(x)=
x 1，x [1，0)， x，x [0，1]
类型三 分段函数的综合问题
角度1 范围问题
【典例】已知f(x)=
1, x 0, 1, x 0,
则不等式x+(x+2)·f(x+2)
≤5的解集是世纪金榜导学号( )
A.[-2，1] C.[2, 3]
2
B.(-∞，-2] D. ( , 3 ]
2
【思维·引】 分x+2≥0，x+2&[-4，2] D.(-4，2]
【解析】选B.因为f(x)≥-1，
x 0,
所以
1 2
x
1
1,
或
x 0, (x 1)2
1,
所以-4≤x≤0或0<x≤2，即-4≤x≤2.
2.若f(x)=
x 7, x [1,1], 2x 6, x [1, 2],
1 4
(x－2)2－1，x
0.
x 1，－1 x 0，
答案：f(x)=
1 4
(x－2)2－1，x
0
【内化·悟】 已知分段函数的函数值求自变量的值时需要注意什么？ 提示：分段求，求出的自变量的值要符合相应段的定 义域.
【类题·通】 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值.
初二数学分段函数知识点解析
初二数学分段函数知识点解析分段函数是初中数学中的重要内容之一，它通过不同的定义域范围将一个函数分成若干个部分，每个部分使用不同的表达式描述。
分段函数在数学中的应用非常广泛，能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
本文将对初二数学分段函数的知识点进行解析，并以具体的例子来说明其应用。
一、什么是分段函数分段函数（piecewise function），又称离散函数，指的是在定义域上不同区间内可以有不同的表达式。
通常我们用一个大括号表示不同区间上的表达式，例如：\[ f(x)=\begin{cases}x+1, & x<0 \\x^2, & x\geq0\end{cases} \]这个函数在定义域上可以分为两个区间，即负无穷到0和0到正无穷，分别使用了x+1和x^2作为函数表达式。
二、分段函数的定义域和值域对于分段函数来说，每个区间上都有一个对应的函数表达式。
因此，我们需要确定每个区间的定义域。
在上面的例子中，第一个区间定义域为负无穷到0，第二个区间定义域为0到正无穷。
而对于整个分段函数的定义域，应该是各个区间定义域的并集。
在上面的例子中，整个函数的定义域为负无穷到正无穷，即(-∞, +∞)。
值域的确定需要分别计算每个区间的值域，然后取所有值域的并集。
对于上面的例子来说，第一个区间的值域为(-∞, 1)，第二个区间的值域为[0, +∞)。
因此，整个函数的值域为(-∞, 1]。
三、分段函数的图像和性质分段函数的图像通常由各个区间的图像组成。
在上面的例子中，第一个区间图像为一条斜率为1的直线，第二个区间图像为一条开口向上的抛物线。
分段函数具有一些特殊的性质。
首先，分段函数的图像是不连续的，因为在不同的区间上使用了不同的表达式。
其次，分段函数可能具有端点处的间断点。
例如，在上面的例子中，函数在x=0处具有间断点，因为0既属于第一个区间也属于第二个区间。
四、分段函数的应用举例分段函数在实际问题中具有广泛的应用。
分段函数
函数 中 的取值 范 围时 ，要确 保做
赢 熹
的值 域是 （ ）
．
后ｇ － ￣ｆ （ ３ ） 的值代 入 函数ｌ ， （ ） 相应
的解析式中， 求 ３ ） ） ．分段 函数 ｙ ＝ ｔ 与 函数ｙ ） 的图象 自左 向右依 次 交 于 四个 不 同 点Ａ， 曰， Ｃ ， Ｄ ．若 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ． 则实数ｔ 的值为— 思索 — 一
号 ≤ ６ 觯
增 函数 ．则 实 数 ａ 的取 值 范 围 是
性， 偶 函数 的 图 象 关 于Ｙ 轴对称 ， 抛 物线 的图 象关于对称轴 对称 ， 从而 得 到点 Ｂ 的 坐标 ． 求出 的值 ．
围， 即可得厂 （ ） 的值域．
破解
…
由题 意 ：
思索
分段 函数单 调递增 ， 则
ｂ ＝ ２ ， ｃ 一１ ．Ａ， Ｂ两 点 关 于 ＝ 一 １ 对称 ， 所 以 ＋ Ｂ ＝ 一 ２； Ｂ， Ｃ两 点 关 于 Ｙ 轴 对 称， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ，所 以Ｘ Ｂ ＝ — Ｘ ＿ Ａ ＋ ＝ － Ｘ — ｃｘ ｓ ＋ ｘ ｃ ＝Ｏ，
，
ｆ
＋ ２ ， ∈（ 一 ∞， 一 １ ） ｕ（ ２ ， ＋ 。 。 ） ，
一
１ ． 分段函数 的定义域和值域
分 段 函数 的 定 义 域 为 每一 段 函数定义域的并集 ，在表示每一段
到 定 义 域不 重 不漏 ，即交 集 为 空 集 ，并集 为整个定义域．值域应 是
其 定 义域 内不 同子 集上 各 关 系 式 的值域 的并集．
倒１ 设函数ｇ （ ） ＝ ｚ 一 ２ （ ∈
是几个 函数 ．只不过在定义域 的不
（ ４ ） 画分 段 函数 图象 时一 定要
最新八年级一次函数分段函数经典讲解
认清分段函数,解决收费问题定义：一般地，如果有实数a i, a2, a3 .......... k i,k, 2k3 ......... b,b2,b3 ............... 且a i W a z W a s ............ 函数Y与自变量X之间存在-k i x+b i x < a i（k 2x+b2 a i< x w a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分Ksx+b s a 2<x w a s应该指出：（一）,函数解析式①这个整体只是一个函数，并非是Y=KX+b Y=KX+b2……等几个不同函数的简单组合,而k i x+b i, k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。
所以上例中Y= { u =沆fl这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110X 80%混同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。
（二），由于k l,k2,k3……b l,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数，如正比例函数和常数函数。
（三）,由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
（四）,一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关，如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x （分钟）与相应话费y （元）之间的函数图象如图1所示：（1）月通话为100分钟时，应交话费_____ 元；（2）当x> 100时，求y与x之间的函数关系式;（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y（元）是月通话时间x（分钟）的正比例函数，当x> 100时,月话费y（元）是月通话时间x（分钟）的一次函数.解：（1 ）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b 由图上知：x=100 时,y=40 ; x=200 时，时，y=601□ ― 「40=100k+b l k =丄则有，解之得5[60 = 200k + b |l b = 201 所求函数关系式为y x 20..51 1（3）把x=280 代入关系式y x 20,得y 280 20 =765 5即月通话为280分钟时，应交话费76元.二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图2.（1）分别写出当0 w x< 15和x > 15时,y与x的函数关系式；（2）若某户该月用水21吨，则应交水费多少元？分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题•观察图象可知，0 w x w 15时y是x 的正比例函数；x> 15时,y是x的一次函数.27 9解：⑴当0 < x< 15时，设y=kx,把x=15,y=27代入，得27=15k,所以k= ,所以15 5y= x;当x> 15 时，设y=ax+b,将x=15,y=27 和5x=20,y=39.5 代入，得'15a +b =27,20a + b = 39.5解得a=2.5,b=-10.5所以y=2.5x-10.5(2)当该用户该月用21吨水时，三、电费中分段函数例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y (元)与用电量x (度)的函数图象是一条折线(如图3所示)，根据图象解下列问题：(1)分别写出当0< x< 100和x > 100时，y与x的函数关系式；(2 )利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？分析:从函数图象上看图象分为两段，当0 < x< 100时，电费y是电量x的正比例函数当x > 100时,y是x的一次函数，且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式，根据函数关系式可解决问题.解：(1)设当0 < x < 100时,函数关系式为y=kx,将x=100,y=65代入，得k=0.65,所以y=0.65x;设当x > 100时,函数关系式为y=ax+b，将x=100,y=65和x=130,y=89代入，得100^^65,解得a=0.8,b=-15.所以y=0.8x-15 J30a +b =89.综上可得“ °.65x(°仝X-p.8x-15(x > 100)100)⑵用户月用电量在0度到100度之间时海度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.（3）用户月用电62度时，用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150 度电.谈谈中考中的分段函数分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例2】已知定义在 上的函数 .
⑴若不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围；
⑵设 ，求函数 在 上的最大值 的表达式．
【分析】此题要注意分情况讨论，可以结合图像来分析。
【解析】法一：不等式不等式 对一切 恒成立等价于 在 上恒成立，即 对一切 恒成立，令 ， 的对称轴为 ，则有 或 或 ，解得 ，故实数 的取值范围为 。
专题28、分段函数的解析式问题
求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合，即先分后总。注意分段函数的书写格式为： ，不要写成 .注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域 .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.
【例1】已知函数 对实数 满足 ，若当 时， .
⑴求 时， 的解析式；⑵求方程 的实数解的个数.
【分析】解决此题，要根据题目中给出的信息，判断出函数的奇偶性及周期，注意写成分段函数时，定义域要做到不重不漏。
【解析】 ， 函数 为奇函数，且 ，即 ，又 ， 周期为 ， ， ， 当 时， ， 当 时， ， ， ， ， ，得 ，综上所述， 。
⑵ ， 是奇函数，且以 为周期。方程 的实数解的个数也就是函数 的交点的个数。在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像，
法二：不等式 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，即等价于 对一切 恒成立， 即 恒成立，得
恒成立，即 ， 当 时， ， ， 因此，实数 的取值范围是 ；
⑵ ，其图像如图所示，
当 时， ，根据图像得：
①当 时， ;
②