大学入学考试中心九十三学年度数学学科能力测验试卷
(详细解析)1993年普通高等学校招生全国统一考试(文史类)数学1
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）一、选择题：（本题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内）1．（同理科1）如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率为A B C ．32 D ．2【答案】C 【解析】32c e a ==．2．（同理科2）函数221tan 21tan 2xy x-=+的最小正周期是 A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 【答案】B【解析】2222221tan 2cos 2sin 2cos 41tan 2cos 2sin 2x x xy x x x x--===++，所以最小正周期是2π．3．（同理科3） A ．45︒ B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 【答案】C【解析】设圆锥的底面半径和母线长分别为,r l ，则2S rlS rππ==侧底l =，圆锥的高为r ，轴截面顶角是24590⨯︒=︒．4．（同理科4）当z =100501z z ++的值等于 A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 【答案】D【解析】33cos sin44z i ππ===+，所以1005031[cos(100)4z z π++=⨯ 33375sin[(100)][cos(50)sin[(50)]1(cos 75sin 75)(cos 4442i i i ππππππ+⨯+⨯+⨯+=++7533sin )1(cos sin )(cos sin )111222i i i i i πππππ++=++++=--+=-．5．（同理科13）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是．． A ．三棱锥 B ．四棱锥 C ．五棱锥 D ．六棱锥【答案】D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面构成等边三角形，侧面的六个顶角都为60︒，∴六个顶角的和为360︒，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的，故选D ．6．（同理科6）在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin sin A B A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，无最小值 C ．既无最大值也无最小值 D ．有最大值1，但无最小值 【答案】B【解析】1sin sin sin sin()sin 222A B A A A π=-=，∵02A π<<，∴02A π<<，则1sin sin sin 22A B A =有最大值12，无最小值．7．（同理科7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a =，则3132310log log ...log a a a +++=A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+ 【答案】B 【解析】5313231031210312103563log log ...log log ...log ...log ()log 9a a a a a a a a a a a +++====103log 310==．8．（同理科8）1()(1)()(0)21x F x f x x =+≠-是偶函数，且()f x 不恒为零，则()f x A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．可能是奇函数也可能是偶函数D ．不是奇函数也不是偶函数 【答案】A【解析】11()(1)()[(1)]()2121x x F x f x f x --=+-=-+---，又()()F x F x =-，所以()f x是奇函数．9．设直线20x y -=与y 轴的交点为P ，点P 把圆22(1)25x y ++=的直径分为两段，则其长度之比为 A ．73或37 B ．74或47 C ．75或57 D ．76或67【答案】A【解析】圆心(1,0)C -，则2PC ==，所以两段，则其长度之比为5252+-或5252-+，即73或37．10．（同理科10）若,a b 是任意实数，且a b >，则 A ．22a b > B ．1b a< C ．lg()0a b -> D ．11()()22a b <【答案】D【解析】由于不知道,a b 的正、负，只有D 正确．11．（同理科11）已知集合{}{}cos sin ,02,tan sin E F θθθθπθθθ=<≤≤=<||，那 么E F 为区间A ．(,)2ππ B ．3(,)44ππ C ．3(,)2ππ D ．35(,)44ππ【答案】A 【解析】{}5cos sin ,0244E ππθθθθπθθ⎧⎫=<≤≤=<<⎨⎬⎩⎭||．又在区间(,)4ππ内，sin 0θ>，则tan sin θθ<的解集即11cos θ<的解集为(,)2ππ；而在区间5(,)4ππ内，sin 0,cos 0θθ<<，不等式tan sin θθ<即11cos θ>无解．所以E F 为区间为(,)2ππ．12．（同理科12）一动圆与两圆：221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为A ．抛物线B ．圆C ．双曲线的一支D ．椭圆 【答案】C【解析】圆221x y +=的圆心和半径分别为11(0,0),1C r =，圆228120x y x +-+=的圆心和半径分别为22(4,0),2C r =，设动圆的圆心为(,)C x y ，则由题设可得212(C C C C r -=121)()1r r r r r +-+=-=，又124C C =，由抛物线的定义可知C 正确．13．直线0ax by c ++=在第一、二、三象限，则A ．0,0ab bc >>B ．0,0ab bc ><C ．0,0ab bc <>D ．0,0ab bc << 【答案】D【解析】将直线方程变形为a c y x b b =--，由于直线在第一、二、三象限，所以斜率0ab->，截距0cb->，则0,0ab bc <<，故选D ．14．（同理科14）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 A ．3()6l π B ．3()3l π C ．3()4l π D ．31()44l π 【答案】A【解析】设圆柱的底面半径和高分别为,r h ，则2(2)r h l +=，22lh r =-，圆柱的体积为 22322l V r h r r πππ==-，对V 求导26(6)V lr r r l r πππ'=-=-，易知当6lr =时，体积取得最大值为3()6l π．15．（同理科15）由100展开式所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有 A ．50项 B ．17项 C ．16项 D ．15项【答案】B【解析】100100100100100321100100100)()32()r r r r rr r rrr r r T C C x C x -----+===⨯，则23r与10032r -均为有理数，显然r 为6的倍数，而0100r ≤≤，所以0,6,12,...,,90,96r =共17个．16．（同理科16）设,,a b c 都是正数，且346abc==，那么 A ．111c a b =+ B ．221c a b =+ C ．122c a b =+ D ．212c a b=+ 【答案】B【解析】设346abck ===，则346log ,log ,log a k b k c k ===，也就是11log 3,k a b= 1log 4,log 6k k c ==，显然2212(log 6)log 36log 9log 4k k k k c a b===+=+．17．（同理科17）同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有A ．6种B ．9C ．11种D ．23种 【答案】B【解析】法一：设四人分别为,,,a b c d ，写的卡片分别为,,,A B C D ，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a 有三种拿法，不妨设a 拿了B ，则b 可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c 和d 只能有一种拿法，所以共有33119⨯⨯⨯=种分配方式． 法二：根据题意，列举出所有的结果，1、甲乙互换，丙丁互换；2、甲丙互换，乙丁互换；3、甲丁互换，乙丙互换；4、甲要乙的 乙要丙的丙要丁的丁要甲的；5、甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的；6、甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的；7、甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的；8、甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的；9、甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的．通过列举可以得到共有9种结果．故选B ．18．在正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别为棱1AA 和1B B 的中点（如图）．若θ为直线CM 与1D N 所成的角，则sin θ=A ．19 B ．23 C D 【答案】D【解析】方法一：不妨设正方体边长为2．以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴、z 轴建立空间直角坐标，则1(0,0,2),(2,0,1),(0,2,0),(2,2,1)D M C N ．可得1(2,2,1),(2,2,1)CM D N =-=-． ∴1111cos ,92CMD N CM D N CM D N⋅<>===-．∴11cos cos ,9CM D N θ=<>=，∴sin θ=． 方法二：取1DD 中点E ，显然1//D N EB 且与CM 相交于O ，则BOC ∠就是所求角或其补角．不妨设正方体边长为2．则33,,22BE CM BO CO BC =====．在BOC ∆中由余弦定理可得1cos 9θ=，∴sin 9θ=．二、填空题：本大题共6小题；每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．19．（同理科19）抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为AB 的距离为． 【答案】2【解析】由题设可得,A B 的横坐标为3x =，焦点为(1,0)，焦点到AB 的距离为2．20．（同理科20）在半径为30m 的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120︒．若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为 m （精确到0.1m ）．【答案】17.3 【解析】17.3tan 60r h ===︒．21．（同理科21）在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共 种（用数字作答）．【答案】4186【解析】32414464464186C C C C +=．22．（同理科22）建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元． 【答案】1760【解析】设长方形的长为x ，则宽4y x =，由题设可得总造价422()804120R x x=⨯+⨯+⨯ 4320()480x x =++，求导得24320(1)R x'=-，令0R '=德尔2x =时，根据函数的单调性可知水池的总造价最低为1760元．23．（同理科23）设1()42xx f x +=-，则1(0)f-= ．【答案】1【解析】由于1(1)420xx f +=-=，所以1(0)1f -=．24．设1a >，则111lim1n n n a a ++→∞-=+ ． 【答案】1- 【解析】11111()11limlim 111()1n n n n n n a a a a+++→∞→∞+--==-++．三、解答题：（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、演算步骤）25．（本小题满分8分）解方程2lg(426)lg(3)1x x x +---=． 【解】本小题考查对数方程的解法和运算能力．原方程可化为2426lglg103x x x +-=-，2426103x x x +-=-． （3分）解得：1233x x == （6分）检验：3x =30x -=，负数的对数没有意义，所以3x =3x =lg101====右边．所以原方程的根是3x = （8分）26．（本小题满分8分）已知数列22222281828,,,,1335(21)(21)nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅+，n S 为其前n 项和，计算得189S =， 234244880,,254981S S S ===．观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．22(21)1()(21)n n S n N n +-=∈+． （2分）证明如下：（Ⅰ）当1n =时，21231839S -==，等式成立． （4分） （Ⅱ）设当n k =时等式成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+． （5分）则21222228(1)(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k S S k k k k k +++-+=+=++++++ 222222222[(21)1](23)8(1)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)k k k k k k k k k k k +-+++++-+++==++++2222222(21)(23)(21)(23)1(21)(23)(23)k k k k k k k ++-++-==+++． 由此可知，当1n k =+时等式也成立． （7分）根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n N ∈都成立． （8分）27．（同理科26）（本小题满分10分）如图，111A B C ABC -是直三棱柱，过点11,,A B C 的平面和平面ABC 的交线记作l ．（Ⅰ）判定直线11AC 和l 的位置关系，并加以证明； （Ⅱ）若11,4,3,90AA AB BC ABC ===∠=︒，求顶点1A 到直线l 的距离．【解】本小题主要考查空间图形的线面关系、三棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力． （Ⅰ）11//l AC ．证明如下：根据棱柱的定义知平面111A B C 和平面ABC 平行． 由题设知直线11AC =平面111A B C 平面11A BC ，直线l =平面11A BC 平面ABC ．根据两平面平行的性质定理有11//l AC ． （4分）（Ⅱ）解法一：过点1A 作1A E l ⊥于E ，则1A E 的长为点1A 到l 的距离． 连结AE ．由直棱柱的定义知1A A ⊥平面ABC ．∴直线AE 是直线1A E 在平面ABC 上的射影．又l 在平面ABC 上，根据三垂线定理的逆定理有AE l ⊥． 由棱柱的定义知1//AC AC ，又11//l AC ，∵//l AC ． （8分）作BD AC ⊥于D ，则BD 是Rt ABC ∆斜边AC 上的高，且BD AE =， 从而431255AB BC AE BD AC ⨯⨯====．在1Rt A AE ∆中，∵111,90AA A AE =∠=︒，∴1135A E ===．故点1A 到直线l 的距离为135． （10分） 解法二：同解法一得11//l AC ． （8分）由平行直线的性质定理知CAB ABE ∠=∠，从而有Rt ABC Rt BEA ∆∆∠，::AE BC AB AC =，∴BC ABAE AC⨯=．以下同解法一．28．（同理科27）（本小题满分10分）在面积为1的PMN ∆中，1tan ,tan 22M N ==-．建立适当的坐标系，求出以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程．【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用的能力．解法一：建立直角坐标系如图：以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴．设所求椭圆方程为22221x y a b+=．分别记,,M N P 点的坐标为(,0),(,0)c c -和00(,)x y ． （1分） ∵ tan tan()2N απ=-=，∴由题设知00001(),22(),y x c y x c ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得005,34,3x c y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即54(,)33P c c ． （4分） 在PNM ∆中，2MN c =，MN 上的高为43c ．∴142123MNP S c c ∆=⨯⨯=，∴2c =P ． （6分）33PM PN ====．∴1()2a PM PN =+=2223b a c =-=． （9分） 故所求的椭圆方程为2241153x y +=． （10分） 解法二：同解法一得：c =P ． （6分）1993年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学11 ∵点P 在椭圆上，且222a b c =+22231b +=， 解得23b =或213b =-（舍去）． （9分） 222154a b c =+=． 故所求的椭圆方程为2241153x y +=． （10分）29．（同理科28）（本小题满分10分）设复数cos sin (0)z i θθθπ=+<<，441()1z z ω-=+．已知32πωω=<，求θ． 【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．441[cos()sin()]1cos(4)sin(4)1[cos sin ]1cos 4sin 4i i i i θθθθωθθθθ--+-----==++++ （2分） 222s i n 22s i n 2c o s 2t a n 2(s i n 4c o s 4)2c o s 22s i n 2c o s 2i i i θθθθθθθθθ+==++；tan 2sin 4cos 4tan 23i ωθθθθ=⋅+==， （6分） 因0θπ<<，故有（1）当tan 2θ=时，得12πθ=或712πθ=，这时都有sin )66i ππω=+，得 arg 62ππω=<，适合题意． （10分）（2）当tan 2θ=512πθ=或1112θπ=，这时都有1111sin )366i ππω=+，得11arg 62ππω=>，不适合题意，舍去． 综合（1）、（2）可知512πθ=或1112θπ=． （12分）。
93数学试题及答案
93数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14B. πC. 0.33333D. √22. 一个圆的半径是5，它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π3. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 3 + 2B. 4 × 5C. 6 ÷ 2D. 7 - 34. 如果一个三角形的三个内角分别为30°、60°和90°，那么这个三角形是什么类型的三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形5. 下列哪个不等式是正确的？A. 3 > 4B. 5 ≥ 5C. 2 < 1D. 8 ≤ 7二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
7. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。
8. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可以是________或________。
9. 一个数除以2等于3，那么这个数是________。
10. 如果一个分数的分子是5，分母是10，那么这个分数化简后的结果是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算下列表达式的值：(3 + 5) × (7 - 2)。
12. 解方程：2x + 5 = 13。
13. 证明：如果一个角是直角三角形的一个锐角，那么这个角的度数小于90°。
四、应用题（每题15分，共30分）14. 某工厂生产了一批产品，每件产品的成本是50元，销售价格是80元。
如果工厂卖出了200件产品，求工厂的总利润。
15. 一个长方形的长是15米，宽是10米，求这个长方形的周长和面积。
五、附加题（20分）16. 一个圆的直径是14厘米，求这个圆的周长和面积。
答案：一、选择题1. B2. B3. C4. B5. B二、填空题6. 167. 88. 5, -59. 610. 1/2三、解答题11. 6412. x = 413. 证明略四、应用题14. 利润 = (80 - 50) × 200 = 6000元15. 周长= 2 × (15 + 10) = 50米，面积= 15 × 10 = 150平方米五、附加题16. 周长= π × 14 = 43.98厘米（保留两位小数），面积= π × (14/2)^2 ≈ 153.94平方厘米（保留两位小数）。
2022年台湾大学入学考试中心学科能力测验试题
台湾大学入学考试中心103年学科能力测验试题国文考科第壹部分：选择题（占54分）一、单选题（占30分）阐明：第1题至第15题，每题有4个选项，其中只有一种是对旳或最合适旳选项，请画记在答案卡之「选择题答案区」。
各题答对者，得2分；答错、未作答或画记多于一种选项者，该题以零分计算。
1.下列各组「」内注音符号所示旳字，字形相似旳选项是：（A）轮「匸马」上阵/漏鼓移，则「匸马」代⑻胡丨幺▽」幸获胜/「耳丨幺▽」俗干名（C）消灾解「艺'」/运会之趋，莫可阻「艺'」（D）「丨马▽」旗息鼓/土地平旷，屋舍「丨马▽」然2•阅读下文，选出依序最适合填入口内旳选项：对于如乐生院这般极具保存价值旳历史遗产，一方面，内政部身为主管机关，固然口□口□，应积极进行古迹审查与指定作业；再者，过去许近年「文资法」旳修订，口口不是为了限制内政部指定古迹旳权力，而是将原先只属于中央政府旳权力释放出来，让地方政府有更多□□，共同为保存台湾贵重旳文化资产与集体记忆，担起重要旳任务。
（改写自夏铸九〈正视历史教育，莫做古迹杀手〉）（A）责无旁贷/历来/权责（B）责无旁贷/反而/自由（C）依法行政/历来/自由（D）依法行政/反而/权责3.桃花因颜色鲜艳美丽，故诗人常藉以比方美丽旳女子。
下列诗歌中旳桃花，不具此喻意旳选项是:减却桃花一半红(B)每坐台前见玉容,今朝不与昨朝同。
良人一夜出门宿,(C)浅色桃花亚短墙, 不因风送也闻香。
凝情尽日君知否, 还似红儿淡薄妆(D)暮春三月日重三, 春水桃广乐逶迤天上下, 仙舟摇衍镜中酣(A)—夜清风动扇愁，背时容色入新秋。
桃花眼里汪汪泪，忍到更深枕上流4•阅读下文，选出最接近其意旨旳选项:坚信一首诗旳沉默比所有旳扩音器加起来更清晰，比机枪旳口才野炮旳雄辩更持久。
坚信文字旳冰库能冷藏最烫旳激情最新鲜旳想象。
时间，你带得走歌者带不走歌。
(余光中《青青边愁》)(A)笔落惊风雨，诗成泣鬼神(B)不惜歌者苦，但伤知音稀(C)屈平词赋悬日月，楚王台榭空山丘(D)诗可以兴，可以观，可以群，可以怨5.某生为「先秦诸子散文」绘制便于理解旳图形如右，选出论述对旳旳选项:(A)甲可填：《墨子》(B)乙可填：作者亲撰与弟子对话内容(C)丙可填：《孟子》(D)丁可填：浮现概括全篇主旨旳篇题6•阅读下文，选出论述对旳旳选项:四凶之才皆可用。
入学智力测试题目答案(3篇)
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个数列的下一项是7, 10, 8, 11, 9, 12, ...？A. 13B. 14C. 15D. 16答案：A. 132. 以下哪个不是勾股数（即满足a² + b² = c²的三个正整数）？A. 3, 4, 5B. 5, 12, 13C. 6, 8, 10D. 7, 24, 25答案：C. 6, 8, 103. 小明有3个苹果，小红有5个苹果，他们一共有多少个苹果？A. 8B. 10C. 12D. 15答案：B. 104. 一个正方形的边长增加了50%，那么它的面积增加了多少？A. 50%B. 100%D. 200%答案：C. 150%5. 下列哪个国家的首都是伦敦？A. 法国B. 英国C. 意大利D. 德国答案：B. 英国6. 下列哪个数是偶数？A. 17B. 18C. 19D. 20答案：B. 187. 小华的自行车每小时可以行驶15公里，他行驶了3小时，那么他行驶了多少公里？A. 30B. 45C. 60D. 75答案：C. 608. 下列哪个国家的货币单位是欧元？A. 法国C. 英国D. 意大利答案：B. 德国9. 一个圆形的半径增加了20%，那么它的面积增加了多少？A. 20%B. 40%C. 60%D. 100%答案：D. 100%10. 小明有5个橙子，他吃掉了其中的3个，剩下多少个橙子？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A. 2二、填空题（每题3分，共15分）11. 2 + 3 × 4 = __________答案：1412. 100 - 25 ÷ 5 = __________答案：9513. 8 × 8 × 8 = __________答案：51214. 5 ÷ (1 + 2) = __________答案：115. 3² + 4² = __________答案：25三、判断题（每题2分，共10分）16. 圆的直径是半径的两倍。
1993考研数学一真题及答案解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为______________. (2) 由曲线223212,x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为______________.(3) 设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑,则其中系数3b 的值为______________. (4)设数量场u =则(grad )div u =______________.(5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1n -,则线性方程组0Ax =的通解为______________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设sin 20()sin()xf x t dt =⎰,34()g x x x =+则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 等价无穷小 (B) 同阶但非等价无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小(2) 双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为 ( )(A) 402cos 2d πθθ⎰(B) 404cos 2d πθθ⎰(C) 2θ (D) 2401(cos 2)2d πθθ⎰(3) 设有直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩,则1L 与2L 的夹角为 ( ) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设曲线积分[()]sin ()cos xLf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0f =,则()f x 等于 ( )(A) 2x x e e -- (B) 2x xe e --(C) 12x x e e -+- (D) 12x xe e -+- (5) 已知12324369Q t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,P 为三阶非零矩阵,且满足0PQ =,则(A) 6t =时,P 的秩必为1 (B) 6t =时,P 的秩必为2(C) 6t ≠时,P 的秩必为1 (D) 6t ≠时,P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 21lim(sincos )x x x x→∞+. (2) 求x. (3) 求微分方程22x y xy y '+=,满足初始条件1|1x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,+)∞内有且仅有一个零点. (2) 设b a e >>,证明b aa b >.七、(本题满分8分)已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>,通过正交变换化成标准形22212325f y y y =++,求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中n m <,E 是n 阶单位矩阵,若AB E =,证明B 的列向量组线性无关.九、(本题满分6分)设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2v ,方向始终指向A ,试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为_______. (2) 设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =_______.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率分布密度为||1()2x f x e -=,x -∞<<+∞. (1) 求X 的数学期望()E X 和方差()D X .(2) 求X 与||X 的协方差,并问X 与||X 是否不相关？ (3) 问X 与||X 是否相互独立？为什么？1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性.将函数1()(2,xF x dt =⎰两边对x 求导,得()2F x '=-.若函数()F x 严格单调减少,则()20F x '=-<,12<.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.(2)【解析】先写出旋转面S 的方程：2223()212x z y ++=. 令 222(,,)3()212F x y z x z y =++-. 则S 在点(,,)x y z 的法向量为{},,6,4,6F F F n x y z x y z ⎧⎫∂∂∂=±=±⎨⎬∂∂∂⎩⎭,所以在点处的法向量为{{2n =±=±. 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为()0220,0,||0n n n ====. (3)【答案】23π【解析】按傅式系数的积分表达式 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰,所以 22311()sin 3sin 3sin 3b x x xdx x xdx x xdx πππππππππ---=+=+⎰⎰⎰.因为2sin 3x x 为奇函数,所以2sin 30x xdx ππ-=⎰；sin3x xdx 为偶函数,所以30sin 32sin 3b x xdx x xdx πππ-==⎰⎰01222(cos3)cos3cos3333x xd x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰022sin 323333x πππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. (4)【答案】2221x y z ++【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x yz ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u zz x y z∂=∂++, 将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++,因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z ∂∂∂=++=∂∂∂++.(5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 222034232300000sin()()sin(sin )cos sin(sin )lim lim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++,所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||1cos |cos(,)|2||||66l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关⇔((())sin )(()cos )x f x e y f x y y x∂∂-=-∂∂, 即 (())cos ()cos xf x e y f x y '-=-,化简得 ()()xf x f x e '+=, 即 2()x x e f x e '⎡⎤=⎣⎦, 解之得 21()2xx e f x e C =+, 所以 21()()2x x f x e e C -=+. 由(0)0f = 得12C =-,因此 1()()2x xf x e e -=-,故应选(B).【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy +⎰在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是P Qy x∂∂=∂∂. (5)【答案】(C)【解析】若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤.当6t =时,矩阵的三行元素对应成比例,()1r Q =,有()()3r P r Q +≤,知()2r P ≤, 所以,()r P 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当6t ≠时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2r Q =,于是从()()3r P r Q +≤得()1r P ≤,又因0P ≠,有 ()1r P ≥,从而()1r P =必成立,所以应当选(C).三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】令1t x=,则当x →∞时,0t →, 1021lim(sin cos )lim(sin 2cos )xt x t t t x x→∞→+=+, 这是1∞型未定式,11sin 2cos 1sin 2cos 10lim(sin 2cos )lim(1sin 2cos 1)t t t t t tt t t t t t +-⋅+-→→+=++-,而1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t +-→++-是两个重要极限之一,即1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t e +-→++-=.所以 01sin 2cos 1sin 2cos 1limlim(sin 2cos )lim t t t t t t ttt t t t ee→+-+-→→+==.而 00sin 2cos 12cos 2sin lim lim 21t t t t t tt →→+--=洛,故 221lim(sin cos )x x e x x→∞+=.(2)【解析】方法一：222x==⎰.t =,则 222ln(1),1tdtx t dx t =+=+, 所以22222122(1)111tdt t t dt dt t t t =⋅==-+++⎰⎰⎰22arctan t t C C =-+=, 所以22x=2C =. 方法二t =,则 22221,ln(1),1xtdte t x t dx t =+=+=+, 所以2222(1)ln(1)22ln(1)1xt t t dt t dt t t ++=⋅=++⎰⎰222222ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t td t t t dt t =+-+=+-+⎰⎰. 关于221t dt t +⎰的求解同方法一,所以22ln(1)4(arctan )xt t t t C =+--+2C =. (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以2y 得2211x y y xy --'+=,即211()1x y xy --'-+=.令1yz -=,则方程化为21x z xz '-+=,即211z z x x'-=-, 即 31()z x x '=-, 积分得 212z x C x -=+.由1yz -=得2112x C xy -=+, 即 2212xy Cx=+, 代入初始条件1|1x y ==,得 12C =,所以所求方程的特解是221x y x =+. 解法二：所给方程可写成 2()y yy x x'=-的形式,此方程为齐次方程.令yu x=,则,y xu y u xu ''==+,所以方程可化为 2u xu u u '+=-,分离变量得(2)du dxu u x=-,积分得112ln ln ||2u x C u -=+, 即22u Cx u-=. 以yu x=代入上式,得22y x Cx y -=.代入初始条件1|1x y ==,得1C =-, 故特解为221xy x =+.四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是2240cos sin I zdV d d d ππθϕϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰3402sin sin d d ππϕϕρ=⋅⎰42401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,2000(1)(1)(1)(1)1()222n n nn nn n n n n n n A ∞∞∞===--+--==+-∑∑∑. 第二个级数是几何级数,它的和已知112()1231()2n n ∞=-==--∑. 求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察1(1)(||1)1n n n x x x∞=-=<+∑. 2()(1)(1)((1))nn n n n n S x n n xx ∞∞-==''=--=-∑∑312()1(1)x x ''==++, 所以 23(1)(1)11124()1222427(1)2n n n n n S ∞=--===+∑. 因此原级数的和 422227327A =+=.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞.由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)x xf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->.从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 baa b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x -'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即baa b >.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,它的特征方程是22200||03(2)(69)003E A a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--.f 经正交变换化成标准形22212325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的特征值.把1λ=代入特性方程,得240a -=2a ⇒=±.因0a >知2a =.这时 200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于11λ=,由()0E A x -=, 100100022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得 1(0,11)TX =-.对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得2(1,0,0)TX =.对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,得3(0,1,1)TX =.将123,,X X X 单位化,得1230101,0,1101γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭. 故所用的正交变换矩阵为123010(,,)00P γγγ⎛⎫⎪ ⎪ ==⎝. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型.令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()TA A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k k k βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k Bk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤. 又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分6分)【解析】如图,设当A 运动到(0,)Y 时,B 运动到(,)x y . 由B 的方向始终指向A ,有0dy y Ydx x -=-,即 .dyY y xdx=- (1) 又由dYv dt =,222()()dy dx v dt dt =+,得22()()2dy dx dY dt dt dt+=. 由题意,()x t 单调增,0dxdt>,所以 21()2dx dy dY dt dx dt +=.亦即2dY dx=. (2) 由(1),(2)消去Y ,dYdx,便得微分方程20xy ''=. 初始条件显然是(1)0,(1)1y y '-=-=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=. 方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪ ≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Yyf y F y<<'==⎩其他.故随机变量2Y X=在(0,4)内的概率分布密度()Yf y=方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x=在(0,4)内单调,反函数()x h y=(0,2)内可导,且导数()h y'=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y的概率密度为[]1,04,04, ()(),042()0,0,0,XYy yh y f h y yf y<< << '⎧ <<⎪===⎨⎪⎩⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X=在(0,4)内的概率分布密度()Yf y=十一、(本题满分6分)【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.||()()02xxE X xf x dx e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰.(因为被积函数||2xxe-是奇函数,积分区域关于y轴对称,所以积分值为0.)22||2||2()()211222xx xxD X x f x dx e dxx e dx x e dx+∞+∞--∞-∞+∞+∞---∞===⋅⎰⎰⎰⎰偶函数积分的性质220000222() 2.x x xx xxx e dx x e xe dxxe e dxe+∞+∞--+∞-+∞-+∞--+∞==-+=-=-=⎰⎰⎰（+）(2) 根据协方差的计算公式(,)(||)()(||)cov X Y E X X E X E X=-来计算协方差.因为||()()02xxE X xf x dx e dx+∞+∞--∞-∞===⎰⎰,所以||(,)(||)0(||)(||)1||()||0.2x Cov X Y E X X E X E X X x x f x dx x x e dx +∞+∞--∞-∞=-====⎰⎰(因为被积函数||||2x xx e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 所以X 与||X 不相关. (3) 方法一：对于任意正实数(0)a a <<+∞,事件{}||X a <含于事件{}X a <,且{}01P X a <<<,所以 {}{},||||P X a X a P X a <<=<,{}{}{}||||P X a P X a P X a <<<<, 可见 {}{}{},||||P X a X a P X a P X a <<≠<<, 因此X 与||X 不独立.方法二：因为11111111{1}()1112222x x x P X f x dx e dx e dx e e+∞---+∞-∞-∞≤===-=+=-⎰⎰⎰； 又1111011011{1}()12x x xP X f x dx e dx e dx e e-----≤====-=-⎰⎰⎰，显然有{,}{}{}{}P X X P X P X P X ≤≤=≤≠≤≤11111，因此X 与||X 不独立.。
1993年全国高考数学试题(理)
1993年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k kn k n n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共68分）一、选择题：本大题共17小题，每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB． C ．πD ．4π 2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为A ．32BCD ．23．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为 A ．3450x y +-= B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=4．极坐标方程435cos ρθ=-所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为45的椭圆B ．焦点到准线距离为45的双曲线右支C ．焦点到准线距离为43的椭圆D ．焦点到准线距离为43的双曲线右支5．35y x =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数6．2251lim 25n n n n →∞--+的值为A ．15-B ．52-C ．15 D ．527．集合{|,}24k M x x k Z ππ==+∈，{|,}42k N x x k Z ππ==+∈，则A ．M N =B ．M N ⊃C ．M N ⊂D ．M N =∅I8．sin 20cos70sin10sin 50+oooo的值是A ．14BC ．12D9．参数方程|cos sin |22(02)1(1sin )2x y θθθπθ⎧=+⎪⎪<<⎨⎪=+⎪⎩表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过点1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过点1(1,)2- 10．若a 、b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b >B ．1ba<C ．lg()0a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线12．圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是A ．36l π⎛⎫⎪⎝⎭B ．3192l π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．34l π⎛⎫⎪⎝⎭D ．324l π⎛⎫⎪⎝⎭13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．4514．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的32，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB C D ．73π15．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1q ≠，则A ．1845a a a a +>+B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +与45a a +的大小关系不能确定16．设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内．乙：l ，m 之中至少有一条与β相交．丙：α与β相交．当甲成立时 A ．乙是丙的充分而不必要的条件 B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件17．将数字1，2，3，4填入1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+＝ ． 19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 20．从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法．（用数字作答） 21．设1()42xx f x +=-，则1(0)f-＝ ．22．建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．三、解答题：本大题共6小题，共58分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1a xf x a a x+=>≠-． （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （3）求使()0f x >的x 取值范围．25．（本小题满分12分）已知数列228113⋅⋅，228235⋅⋅，…，228(21)(21)n n n -+，…．n S 为其前n 项和．计算得189S =，22425S =，34849S =，48081S =． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（本小题满分12分）已知平面αI 平面β＝直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证： （1）a γ⊥；（2）b γ⊥．27．（本小题满分12分）在面积为1的△PMN 中，1tan 2PMN ∠=，tan 2MNP ∠=-．建立ECD PABC D E βαγab适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程．28．（本小题满分12分）设复数cos sin (0)z i θθθπ=+<<，441()1z z ω-=+，并且||ω=，arg 2πω<，求θ．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分68分．(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)D (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．(18)6322+ (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30 三、解答题(24)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．M NP解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则－1<x <1；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故f (x )的定义域为(－1，1)(Ⅱ) ∵ ()()x f x xx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ，∴ f (x )为奇函数． ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1，log a 011>-+x x 等价于111>-+xx， ①而从(Ⅰ)知1－x >0，故①等价于1+x >1－x ，又等价于x >0．故对a >1，当x ∈(0，1)时有f (x )>0． ——9分(ⅱ)对0<a <1，log a011>-+x x 等价于0<111<-+xx． ② 而从(Ⅰ)知1－x >0，故②等价于－1<x <0．故对0<a <1，当x ∈(－1，0)时有f (x )>0． ——12分(25)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112． ——4分 证明如下：(Ⅰ)当n =1时，98313221=-=S ，等式成立． ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k ——7分 则()()()221321218++++=+k k k S S k k ()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k ()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k ()()2232132+-+=k k ()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当n =k +1时等式也成立． ——9分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n ∈N 都成立． ——10分 (26)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC ．在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC ． ——1分 ∵ γ⊥α，∴ PM ⊥α．而 a ⊂α，∴ PM ⊥a ．同理PN ⊥a ． ——4分 又 PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ． ——6分(Ⅱ)于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线a 1，交β于直线a 2．—7分∵ b ∥α，∴ b ∥a 1．同理b ∥a 2． ——8分 ∵ a 1，a 2同过Q 且平行于b ，∵ a 1，a 2重合．又 a 1⊂α，a 2⊂β，∴ a 1，a 2都是α、β的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵ b ∥a 1，∴ b ∥a ．而a ⊥γ，∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分． 证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ，过P 作直线a ′⊥γ． ——1分 ∵ α⊥γ，P ∈α， ∴ a ′⊂α．同理a ′⊂β． ——3分 可见a ′是α，β的交线．因而a ′重合于a ． ——5分 又 a ′⊥γ，∴ a ⊥γ． ——6分(Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ——7分∵ b ∥α，b ∥β．∴ b ∥c ，b ∥d ． ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合．因而c ∥d ．于是c ∥β． ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴ c ∥a ． ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴ b ∥a ． ——11分 而 a ⊥γ，∴ b ⊥γ． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分．(27)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分． 解法一如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为M (－c ，0)，N (c ，0)． —1分由tg M =21，tg α=tg(π－∠MNP )=2，得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x －c )．将此二方程联立，解得x =35c ，y =34c ，即P 点坐标为(35c ，34c )． ——5分在△MNP 中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆由题设条件S △MNP =1，∴ c =23，即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ．得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又 b 2=a 2－c 2=343415=-，故所求椭圆方程为 1315422=+y x ． ——12分 解法二同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且a 2=b 2+c 2．∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b ．化简得3b 4－8b 2－3=0． 解得b 2=3，或b 2=31-(舍去)． ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三同解法一建立坐标系． ——1分∵ ∠P =∠α－∠PMN ，∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ． ∴ ∠P 为锐角．∴ sin P =53，cos P =54．而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1，∴ |PM |·|PN |=310． ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ，|MN |=2c ，由余弦定理，(2c )2=|PM |2+|PN |2－2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2－2|PM |·|PN |(1+cos P )=(2a )2－2·310－2·310·54， ∴ c 2=a 2－3，即b 2=3． ——7分 又 sin M =51，sin N =52，由正弦定理，PMN MPN NPM sin sin sin ==，∴PMNM N PNPM sin sin sin =++．即 53251522ca =+，∴ a =5c ． ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a ．∴ a 2=415．① ② ③ 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 (28)本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一()()[][]44sin cos 1sin cos 1θθθθωi i ++-+--=()()θθθθ4sin 4cos 14sin 4cos 1i i ++----=——2分θθθθθθ2cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222i i ++=()θθθ4cos 4sin 2tg i += ——5分 332tg 4cos 4sin 2tg ==+⋅=θθθθωi 332tg ±=θ． ——6分因πθ<<0，故有(ⅰ)当332tg =θ时，得12πθ=或127πθ=，这时都有⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ，得26arg ππω<=，适合题意． ——10分(ⅱ)当332tg -=θ时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ， 得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合(ⅰ)、(ⅱ)知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=． ——2分()ϕϕϕϕcos sin cos 1sin i ++=()ϕϕϕcos sin 2tg i +=． ——5分 ∵ 33=ω，2arg πω<， ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⋅>⋅=0cos 2tg 0sin 2tg 332tg ϕϕϕϕϕ ——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足(ⅰ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=<<04cos 332tg 0θθπθ，或(ⅱ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=<<04cos 332tg 0θθπθ，——10分解(ⅰ)得12πθ=或127πθ=．(ⅱ)无解．综合(ⅰ)、(ⅱ) 12πθ=或127πθ=． ——12分。
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为 (A)6π(B)4π (C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则 (A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2 (C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和. 六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.b aa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关? (3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】104x <≤【解析】由连续可导函数的导数与0的关系判别函数的单调性. 将函数1()(2,xF x dt =⎰两边对x 求导,得 ()2F x '=-.若函数()F x 严格单调减少,则()20F x'=-<,12<.所以函数()F x 单调减少区间为104x <≤. 【相关知识点】函数的单调性：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.(1) 如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； (2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.(2)【解析】先写出旋转面S 的方程：2223()212x z y ++=. 令 222(,,)3()212F x y z x z y =++-. 则S 在点(,,)x y z 的法向量为{},,6,4,6F F F n x y z x y z ⎧⎫∂∂∂=±=±⎨⎬∂∂∂⎩⎭,所以在点处的法向量为{{0,42n =±=±. 因指向外侧,故应取正号,单位法向量为()0220,0,||0nn n ====. (3)【答案】23π【解析】按傅式系数的积分表达式 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰,所以 22311()sin 3sin 3sin 3b x x xdx x xdx xxdx πππππππππ---=+=+⎰⎰⎰.因为2sin 3x x 为奇函数,所以2sin 30xxdx ππ-=⎰；sin3x xdx 为偶函数,所以30sin 32sin 3b x xdx x xdx πππ-==⎰⎰01222(cos3)cos3cos3333x xd x x xdx πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰22sin 323333x πππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦. (4)【答案】2221x y z ++【解析】先计算u 的梯度,再计算该梯度的散度. 因为 grad u u u u i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂, 所以 222222(grad ),,u u u u u udiv u div x y z x y z ⎧⎫∂∂∂∂∂∂==++⎨⎬∂∂∂∂∂∂⎩⎭.数量场u =,,x y z 求偏导数,得222uxxx y z∂==∂++, 由对称性知222u y y x y z ∂=∂++, 222u zz x y z∂=∂++, 将,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂分别对,,x y z 求偏导,得 2222222222222222()2()()u x y z x x y z x x x y z x y z ∂++-⋅+-==∂++++, 222222222()u z x y y x y z ∂+-=∂++, 222222222()u x y z z x y z ∂+-=∂++, 因此, 2222222221(grad )u u u div u x y z x y z ∂∂∂=++=∂∂∂++.(5)【答案】(1,1,,1)T k【解析】因为()1r A n =-,由()1n r A -=知,齐次方程组的基础解系为一个向量,故0Ax =的通解形式为k η.下面根据已知条件“A 的各行元素之和均为零”来分析推导0Ax =的一个非零解,它就是0Ax =的基础解系.各行元素的和均为0,即111212122212000n n n n nn a a a a a a a a a ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩,而齐次方程组0Ax =为111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩. 两者比较,可知121n x x x ====是0Ax =的解.所以应填(1,1,,1)T k .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B) 【解析】0()lim()x f x g x →为“0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 运用洛必达法则,有sin 22203423230000sin()()sin(sin )cos sin(sin )limlim lim lim lim cos ()3434xx x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x →→→→→===⋅+++⎰洛2230sin(sin )lim 34x x x x →=+.因为当0x →,sin 0,x →所以222sin(sin )sin x x x ,所以222323000sin(sin )11lim lim lim 3434343x x x x x x x x x x →→→===+++, 所以()f x 与()g x 是同阶但非等价的无穷小量.应选(B). 【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=.若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出双纽线关于x 轴、y 轴对称,(如草图) 只需计算所围图形在第一象限部分的面积； 双纽线的直角坐标方程复杂,而极坐标方程 较为简单：2cos 2ρθ=.显然,在第一象限部分θ的变化范围是[0,]4πθ∈.再由对称性得2441001442cos 22S S d d ππρθθθ==⋅=⎰⎰,应选(A). (3)【答案】(C)【解析】这实质上是求两个向量的夹角问题,1L 与2L 的方向向量分别是12(1,2,1),110(1,1,2)021i j k l l =- =-=--,1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为121212||1cos |cos(,)|2||||66l l l l l l ϕ⋅====,所以3πϕ=,应选(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的单连通区域上,该曲线积分与路径无关⇔((())sin )(()cos )x f x e y f x y y x∂∂-=-∂∂, 即 (())cos ()cos xf x e y f x y '-=-,化简得 ()()xf x f x e '+=, 即 2()x x e f x e '⎡⎤=⎣⎦, 解之得 21()2xx e f x e C =+, 所以 21()()2x x f x e e C -=+.由(0)0f = 得12C =-,因此 1()()2x xf x e e -=-,故应选(B). 【相关知识点】曲线积分LPdx Qdy +⎰在单连通区域内与路径无关的充分必要条件是P Qy x∂∂=∂∂. (5)【答案】(C)【解析】若A 是m n ⨯矩阵,B 是n s ⨯矩阵,0AB =,则()()r A r B n +≤.当6t =时,矩阵的三行元素对应成比例,()1r Q =,有()()3r P r Q +≤,知()2r P ≤, 所以,()r P 可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不准确；当6t ≠时,矩阵的第一行和第三行元素对应成比例,()2r Q =,于是从()()3r P r Q +≤得()1r P ≤,又因0P ≠,有 ()1r P ≥,从而()1r P =必成立,所以应当选(C).三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】令1t x=,则当x →∞时,0t →, 1021lim(sin cos )lim(sin 2cos )xt x t t t x x→∞→+=+, 这是1∞型未定式,11sin 2cos 1sin 2cos 10lim(sin 2cos )lim(1sin 2cos 1)t t t t t tt t t t t t +-⋅+-→→+=++-,而1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t +-→++-是两个重要极限之一,即1sin 2cos 1lim(1sin 2cos 1)t t t t t e +-→++-=.所以 01sin 2cos 1sin 2cos 1limlim(sin 2cos )lim t t t t t t ttt t t t ee→+-+-→→+==.而 00sin 2cos 12cos 2sin lim lim 21t t t t t tt →→+--=洛,故 221lim(sin cos )x x e x x→∞+=.(2)【解析】方法一：222x==⎰.t =,则 222ln(1),1tdtx t dx t =+=+,所以22222122(1)111tdt t t dt dt t t t =⋅==-+++⎰⎰⎰22arctan t t C C =-+=, 所以22x=2C =. 方法二t =,则 22221,ln(1),1xtdte t x t dx t =+=+=+, 所以2222(1)ln(1)22ln(1)1xt t t dt t dt t t ++=⋅=++⎰⎰222222ln(1)2ln(1)2ln(1)41t t t td t t t dt t =+-+=+-+⎰⎰. 关于221t dt t +⎰的求解同方法一,所以22ln(1)4(arctan )xt t t t C =+--+2C =. (3)【解析】解法一：所给方程为伯努利方程,两边除以2y 得2211x y y xy --'+=,即211()1x y xy --'-+=.令1yz -=,则方程化为21x z xz '-+=,即211z z x x'-=-, 即 31()z x x '=-,积分得 212z x C x -=+.由1yz -=得2112x C xy -=+, 即 2212xy Cx =+,代入初始条件1|1x y ==,得 12C =,所以所求方程的特解是221x y x =+.解法二：所给方程可写成 2()y yy xx'=-的形式,此方程为齐次方程. 令yu x=,则,y xu y u xu ''==+,所以方程可化为 2u xu u u '+=-,分离变量得(2)du dxu u x=-,积分得112ln ln ||2u x C u -=+, 即22u Cx u-=. 以yu x=代入上式,得22y x Cx y -=.代入初始条件1|1x y ==,得1C =-, 故特解为221xy x =+.四、(本题满分6分) 【解析】将I 表成I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰,则22P Q R z z z z x y z∂∂∂++=+-=∂∂∂. 又∑是封闭曲面,可直接用高斯公式计算.记∑围成区域Ω,见草图,∑取外侧,由高斯公式得P Q R I dV zdV x y z ΩΩ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰.用球坐标变换求这个三重积分.在球坐标变换下,Ω为：02,0,024πθπϕρ≤≤≤≤≤≤,于是22240cos sin I zdV d d d ππθϕρϕρϕρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰2342sin sin d d ππϕϕρρ=⋅⎰⎰242401112sin 212442πππϕρπ⎡⎤⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.五、(本题满分7分) 【解析】先将级数分解,2000(1)(1)(1)(1)1()222n n nn nn n n n n n n A ∞∞∞===--+--==+-∑∑∑.第二个级数是几何级数,它的和已知112()1231()2n n ∞=-==--∑. 求第一个级数的和转化为幂级数求和.考察1(1)(||1)1nn n x x x∞=-=<+∑. 2()(1)(1)((1))nn n n n n S x n n xx ∞∞-==''=--=-∑∑312()1(1)x x ''==++, 所以 230(1)(1)11124()1222427(1)2n n n n n S ∞=--===+∑. 因此原级数的和 422227327A =+=.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分.)(1)【解析】证法一：由拉格朗日中值定理可知,在(0,)x 存在一点ξ,使得()(0)()(0)()f x f f x xf ξξ''-=-=,即 ()()(0)f x xf f ξ'=+.因为()0f k ξ'≥>,所以当x →+∞时,()xf ξ'→+∞,故()f x →+∞. 由(0)0f <,所以在(0,)x 上由介值定理可知,必有一点(0,)x η∈使得()0f η=.又因为()0f k ξ'≥>,故()f x 为严格单调增函数,故η值唯一. 证法二：用牛顿-莱布尼兹公式,由于()(0)()(0)(0)xxf x f f t dt f kdt f kx '=+≥+=+⎰⎰,以下同方法1.(2)【解析】先将不等式做恒等变形:因为b a e >>,故原不等式等价于ln ln b a a b >或ln ln a ba b>. 证法一：令()ln ln ,()f x x a a x x a e =- >>,则 ()ln af x a x'=-.因为x a e >>,所以ln 1,1a a x ><,故()ln 0af x a x'=->.从而()f x 在x a e >>时为严格的单调递增函数,故 ()()0,()f x f a x a e >= >>. 由此 ()ln ln 0f b b a a b =->,即 baa b >. 证法二：令ln ()()x f x x e x =>,则 21ln ()xf x x-'=. 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 为严格的单调递减函数,故存在b a e >>使得ln ln ()()b af b f a b a=<=成立.即baa b >.七、(本题满分8分)【解析】写出二次型f 的矩阵为2000303A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,它的特征方程是22200||03(2)(69)003E A a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--.f 经正交变换化成标准形22212325f y y y =++,那么标准形中平方项的系数1,2,5就是A 的特征值.把1λ=代入特性方程,得240a -=2a ⇒=±.因0a >知2a =.这时 200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.对于11λ=,由()0E A x -=, 100100022011022000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得 1(0,11)TX =-.对于22λ=,由(2)0E A x -=,000012012003021000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,得2(1,0,0)TX =.对于35λ=,由(5)0E A x -=,300300022011022000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,得3(0,1,1)TX =.将123,,X X X 单位化,得1230101,0,1101γγγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪===⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭. 故所用的正交变换矩阵为123010(,,)00P γγγ⎛⎫⎪ ⎪ ==⎝. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型.令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.八、(本题满分6分)【解析】证法一：对B 按列分块,记12(,,)n B βββ=,若11220n n k k k βββ+++=,即 1212(,,,)0n n k k k βββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 亦即 120n k k Bk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 两边左乘A ,得 120n k k AB k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,即 120n k k E k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,亦即 120n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以12,,n βββ线性无关.证法二：因为B 是m n ⨯矩阵,n m <,所以()r B n ≤.又因()()()r B r AB r E n ≥==,故()r B n =.所以12,,n βββ线性无关.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2. 矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩九、(本题满分6分)【解析】如图,设当A 运动到(0,)Y 时,B 运动到(,)x y . 由B 的方向始终指向A ,有0dy y Ydx x -=-,即 .dyY y xdx=- (1) 又由dYv dt =,222()()dy dx v dt dt =+,得22()()2dy dx dY dt dt dt+=. 由题意,()x t 单调增,0dxdt>,所以 21()2dx dy dY dt dx dt +=.亦即 21()2dy dY dx dx+=. (2) 由(1),(2)消去Y ,dY dx,便得微分方程 2210xy y '''++=. 初始条件显然是(1)0,(1)1y y '-=-=.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分,把答案填在题中横线上.) (1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽签原理.方法一：从直观上看,第二次抽出次品的可能性与第一次抽到正品还是次品有关,所以考虑用全概率公式计算.设事件i B =“第i 次抽出次品”1,2,i =由已知得11210(),(),1212P B P B == 121212(|),(|)1111P B B P B B ==.应用全概率公式 1121212211021()()(|)()(|)121112116P B P B P B B P B P B B =+=⨯+⨯=.方法二：对填空题和选择题可直接用抽签原理得到结果.由抽签原理(抽签与先后次序无关),不放回抽样中第二次抽得次品的概率与第一次抽得次品的概率相同,都是21126=. (2)【解析】方法一：可以用分布函数法,即先求出分布函数,再求导得到概率密度函数.由已知条件,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,得X 的概率密度函数为1,02()20,X x F x ⎧ <<⎪=⎨⎪ ⎩其它. 先求F 的分布函数2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤.当0y ≤时,()0Y F y =；当4y ≥时,()1Y F y =；当04y <<时,{}{}{2()Y F y P Y y P X y P X =≤=≤=≤≤1()2X x dx dx dx ==+=⎰. 即0,0()04,1, 4.Y y F y y y ≤ ,⎧=<<⎪ ≥⎪⎩于是,对分布函数求导得密度函数04()()0,Y Y y f y F y <<'== ⎩其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =方法二：也可以应用单调函数公式法.由于2y x =在(0,4)内单调,反函数()x h y =(0,2)内可导,且导数()h y '=恒不为零,因此,由连续型随机变量函数的密度公式,得到随机变量Y 的概率密度为[]1,04,04,()(),042()0,0,0,X Y y y h y f h y y f y << <<'⎧ <<⎪===⎨ ⎪⎩ ⎩⎩其他其他,其他.故随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =十一、(本题满分6分)【解析】(1)第一问是常规问题,直接运用公式对其计算可得期望与方差.||()()02x x E X xf x dx e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰. (因为被积函数||2x x e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 22||2||20()()211222x x x x D X x f x dx e dx x e dx x e dx +∞+∞--∞-∞+∞+∞---∞===⋅⎰⎰⎰⎰偶函数积分的性质220222() 2.x xx x x xx e dx x e xe dxxe e dx e +∞+∞--+∞-+∞-+∞--+∞==-+=-=-=⎰⎰⎰（+）(2) 根据协方差的计算公式(,)(||)()(||)cov X Y E X X E X E X =-来计算协方差.因为||()()02x x E X xf x dx e dx +∞+∞--∞-∞===⎰⎰,所以 ||(,)(||)0(||)(||)1||()||0.2x Cov X Y E X X E X E X X x x f x dx x x e dx +∞+∞--∞-∞=-====⎰⎰(因为被积函数||||2x xx e -是奇函数,积分区域关于y 轴对称,所以积分值为0.) 所以X 与||X 不相关. (3) 方法一：对于任意正实数(0)a a <<+∞,事件{}||X a <含于事件{}X a <,且{}01P X a <<<,所以 {}{},||||P X a X a P X a <<=<,{}{}{}||||P X a P X a P X a <<<<, 可见 {}{}{},||||P X a X a P X a P X a <<≠<<, 因此X 与||X 不独立.方法二：因为11111111{1}()1112222x x x P X f x dx e dx e dx e e+∞---+∞-∞-∞≤===-=+=-⎰⎰⎰； 又1111011011{1}()12x x xP X f x dx e dx e dx e e-----≤====-=-⎰⎰⎰，显然有{,}{}{}{}P X X P X P X P X ≤≤=≤≠≤≤11111，因此X 与||X 不独立.。
93年数三真题答案解析
93年数三真题答案解析1993年的数学三真题可以说是数学史上一个重要的里程碑。
在当时，国内的数学考试水平还不够完善，许多学生对于数学的理解和应用都存在一定的困惑。
针对这一情况，当年的数学三真题提供了一个极好的学习和复习的机会，也为学生们提供了更好的理解数学的途径。
首先，我们来看一下第一题。
这道题是一个经典的几何题型，涉及到了三角形的性质和相关的证明。
这个题目的解法比较简单，主要是通过角的定义和角度和为180度的性质来推导。
通过解答这一题，学生可以更好地理解三角形的性质，加深对几何学的认识。
接下来，我们再来看一下第二题。
这道题是一个典型的代数题型，要求求出一个二次方程的根的情况。
解这道题的关键在于运用二次方程求根公式和因式分解的方法。
通过解答这一题，学生可以进一步巩固和应用代数方程的求解方法，提高自己的分析和计算能力。
第三题是一个实际应用问题，涉及到了速度与距离的关系。
这种类型的问题在日常生活中非常常见，通过解答这类问题，可以锻炼学生的实际问题解决能力和数学建模能力。
解答这一题的关键在于分析题目中提供的速度和距离的关系，然后将其转化为代数方程，进而求解。
第四题是一个有趣的概率问题，要求计算两个人相遇的概率。
这种类型的问题需要学生具备一定的概率和统计知识，同时需要具备较强的逻辑分析和推理能力。
解答这种问题的关键在于正确理解问题的条件和要求，然后运用相关的概率公式进行计算。
最后一题是一个三角函数题型，要求求出一个三角函数的值。
这种类型的问题在数学中非常常见，通过解答这一题，学生可以更好地掌握三角函数的性质和运算规则。
解答这一题的关键在于熟练应用三角函数的定义和相关的公式，找出解题的关键。
综上所述，1993年数学三真题涵盖了几何、代数、概率和三角函数等多个数学领域的知识。
通过解答这些题目，学生可以巩固和应用相关的数学知识，提高自己的思维能力和解决问题的能力。
无论是对于对数学感兴趣的学生还是考研备考的学生来说，都可以从这些真题中受益良多，并可以借此提升自己的数学能力。
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大学入学考试中心九十三学年度数学学科能力测验试卷第一部分﹕选择题 一﹑单一选择题说明﹕第1至6题﹐每题选出最适当的一个选项﹐每题答对得5分﹐答错不倒扣﹒( ) 1. 已知一等差数列共有十项﹐且知其奇数项之和为15﹐偶数项之和为30﹐则下列哪一选项为此数列之公差﹖ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (E)5﹒( ) 2. 下列选项中的数﹐何者最大﹖[其中n !＝n ⨯ (n －1) ⨯ … ⨯ 2 ⨯ 1](A)10010(B)10100(C)5050(D)50! (E)100!50!﹒ ( ) 3. 右图阴影部分所示为复数平面上区域A ＝{z ：z ＝r (cos θ＋i sin θ)﹐0 ≤ r ≤ 1﹐ 34π≤ θ ≤54π}之略图﹒令D ＝{w ：w ＝z 3﹐z ∈A }﹐试问下列选项中之略图﹐何者之阴影部分与区域D 最接近﹖( ) 4. 在坐标空间中给定两点A (1 , 2 , 3)与B (7 , 6 , 5)﹒令S 为xy －平面上所有使得向量PA 垂直于向量PB 的P 点所成的集合﹐则 (A)S 为空集合 (B)S 恰含一点 (C)S 恰含两点 (D)S 为一线段 (E)S 为一圆﹒( ) 5. 设△ABC 为平面上的一个三角形﹐P 为平面上一点且AP ＝13AB ＋t AC ﹐其中t 为一实数﹒请问下列哪一选项为t 的最大范围﹐使得P 落在△ABC 的内部﹖(A)0＜t ＜14 (B)0＜t ＜13(C)0＜t ＜12 (D)0＜t ＜23 (E)0＜t ＜34﹒ ( ) 6. 台湾证券交易市场规定股票成交价格只能在前一个交易日的收盘价（即最后一笔的成交价）的涨﹑跌7%范围内变动﹒例如﹕某支股票前一个交易日的收盘价是每股100元﹐则今天该支股票每股的买卖价格必须在93元至107元之间﹒假设有某支股票的价格起伏很大﹐某一天的收盘价是每股40元﹐次日起连续五个交易日以跌停板收盘（也就是每天跌7%）﹐紧接着却连续五个交易日以涨停板收盘（也就是每天涨7%）﹒请问经过这十个交易日后﹐该支股票每股的收盘价最接近下列哪一个选项中的价格﹖ (A)39元 (B)39.5元 (C)40元 (D)40.5元 (E)41元 二﹑多重选择题说明﹕第1至5题﹐每题至少有一个选项是正确的﹐选出正确选项﹒每题答对得5分﹐答错不倒扣﹐未答者不给分﹒只错一个可获2.5分﹐错两个或两个以上不给分﹒( ) 1. 中山高速公路重庆北路交流道南下入口匝道分成内﹑外两线车道﹐路旁立有标志「外侧车道大客车专用」﹒请选出不违反此规定的选项﹕ (A)小型车行驶内侧车道 (B)小型车行驶外侧车道 (C)大客车行驶内侧车道 (D)大客车行驶外侧车道 (E)大货车行驶外侧车道﹒( ) 2. 在坐标平面上﹐下列哪些方程式的图形可以放进一个够大的圆里面﹖(A)3x ＝2y 2 (B)3x 2＋2y 2＝1 (C)3x 2－2y 2＝1 (D)|x ＋y |＝1 (E)|x |＋|y |＝1﹒( ) 3. 如右图O －ABCD 为一金字塔﹐底是边长为1之正方形﹐顶点O 与A ﹑B ﹑C ﹑D 之距离均为2﹒试问下列哪些式子是正确的﹖ (A)OA ＋OB ＋OC ＋OD ＝0 (B)OA ＋OB －OC －OD ＝0 (C)OA －OB ＋OC －OD ＝0(D)OA ⨯ OB ＝OC ⨯ OD (E)OA ⨯ OC ＝2﹒( ) 4. 从1﹐2﹐…﹐10这十个数中随意取两个﹐以p 表示其和为偶数之机率﹐q 表示其和为奇数之机率﹒请问下列哪些叙述是正确的﹖(A)p ＋q ＝1 (B)p ＝q (C)|p －q | ≤110 (D)|p －q | ≥120(E)p ≥12﹒ ( ) 5. 设f (x )为三次实系数多项式﹐且知复数1＋i 为f (x )＝0之一解﹒试问下列哪些叙述是正确的﹖(A)f (1－i )＝0 (B)f (2＋i )≠0 (C)没有实数x 满足f (x )＝x (D)没有实数x 满足f (x 3)＝0 (E)若f (0)＞0且f (2)＜0﹐则f (4)＜0﹒第二部分﹕填充题说明﹕第1至9题﹐每题完全答对给5分﹐答错不倒扣﹐未完全答对不给分﹒1. 某数学老师计算学期成绩的公式如下﹕五次平时考中取较好的三次之平均值占30%﹐两次期中考各占20%﹐期末考占30%﹒某生平时考成绩分别为68﹑82﹑70﹑73﹑85﹐期中考成绩分别为86﹑79﹐期末考成绩为90﹐则该生学期成绩为__________﹒（计算到整数为止﹐小数点以后四舍五入）2. 某电视台举办抽奖游戏﹐现场准备的抽奖箱里放置了四个分别标有1000﹑800﹑600﹑0元奖额的球﹒参加者自行从抽奖箱里摸取一球（取后即放回）﹐主办单位即赠送与此球上数字等额的奖金﹐并规定抽取到0元的人可以再摸一次﹐但是所得奖金折半（若再摸到0就没有第三次机会）﹔则一个参加者可得奖金的期望值是__________元﹒（计算到整数为止﹐小数点以后四舍五入）3. 设a ﹐b ﹐c 为正整数﹐若a log 5202＋b log 5205＋c log 52020＝3﹐则a ＋b ＋c ＝__________﹒4. 设△ABC 为一等腰直角三角形﹐∠BAC ＝90︒﹒若P ﹑Q 为斜边BC 的三等分点﹐则tan ∠PAQ ＝ __________﹒ （化成最简分数）5. 某高中招收高一新生共有男生1008人﹑女生924人报到﹒学校想将他们依男女合班的原则平均分班﹐且要求各班有同样多的男生﹐也有同样多的女生﹔考量教学效益﹐并限制各班总人数在40与50人之间﹐则共分成__________班﹒6. 在坐标空间中﹐平面x －2y ＋z ＝0上有一以点P (1 , 1 , 1)为圆心的圆Γ﹐而Q (－9 , 9 , 27)为圆Γ上一点﹒若过Q 与圆Γ相切的直线之一方向向量为(a , b , 1)﹐则a ＝__________﹐b ＝__________﹒7. 设270︒＜A ＜360︒3sin A ＋cos A ＝2sin2020︒﹐若A ＝m ︒﹐则m ＝__________﹒8. 坐标平面上的圆C ﹕(x －7)2＋(y －8)2＝9上有__________个点与原点的距离正好是整数值﹒9. 在坐标平面上﹐设直线L ﹕y ＝x ＋2与拋物线Γ﹕x 2＝4y 相交于P ﹑Q 两点﹒若F 表拋物线Γ的焦点﹐则PF ＋QF ＝__________﹒[参考答案]第一部分﹕选择题 一﹑单一选择题1． C 2． B 3． E 4． A 5． D 6． A 二﹑多重选择题1．ACD 2． BE 3． CD 4． AD 5． ABE第二部分﹕填充题1．84 2．675 3． 15 4． 345． 42 6． 5﹐3 7. ．306 8． 12 9． 10第一部分﹕选择题 一﹑单一选择题 1． 设公差为d ﹐由题意知﹕135792468101530a a a a a a a a a a ⎧⎨⎩＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝﹐因为a 2－a 1＝a 4－a 3＝a 6－a 5＝a 8－a 7＝a 10－a 9＝d ﹐ 所以由 － 得5d ＝15 ⇒ d ＝3﹒2． (A)10010＜10050﹒(B)10100＝(102)50＝10050﹒(C)5050＜10050﹒(D)50!＝50 ⨯ 49 ⨯ … ⨯ 2 ⨯ 1＜50 ⨯ 50 ⨯ … ⨯ 50 ⨯ 50＝5050＜10050﹒(E)100!50!＝100 ⨯ 99 ⨯ … ⨯ 52 ⨯ 51＜100 ⨯ 100 ⨯ … ⨯ 100 ⨯ 100＝10050﹒ 故选(B)﹒3． 由棣美弗定理知﹕w ＝z 3＝r 3(cos3θ＋i sin3θ)﹐其中0＜r 3＜1﹐94π＜3θ＜154π﹒ 故选(E)﹒4． 【解一】设点P (x , y , 0)为xy 一平面上任一点 因为PA ⊥PB ﹐所以PA ．PB ＝0即(1－x , 2－y , 3)．(7－x , 6－y , 5)＝0 ⇒(1－x )(7－x )＋(2－y )(6－y )＋15＝0⇒x 2＋y 2－8x －8y ＋34＝0⇒(x －4)2＋(y －4)2＝－2由实数的平方和恒大于或等于0﹐知道无任何实数x ﹐y 满足上式﹐故S 为空集合﹒【解二】因为PA ⊥PB ﹐所以∠APB ＝90︒﹐ 推得P 点在以AB 为直径的球面K ﹕(x －4)2＋(y －4)2＋(z －4)2＝14上﹐又因球心(4 , 4 , 4)到xy 一平面的距离4所以球面K 与xy －平面不相交﹐故S 为空集合﹒5． 因为AP ＝13AB ＋t AC ﹐ 所以点P 必在过E 且与AC 平行的直线ED 上﹐其中AE ＝13AB ﹒ 又(1)当P ＝E 时﹐t ＝0﹔ (2)当P ＝D 时﹐因D ﹐B ﹐C 三点共线﹐所以13＋t ＝1 ⇒ t ＝23﹒ 因此当0＜t ＜23时﹐P 落在△ABC 的内部﹒6． 【解一】依题意最后的收盘价为40(1－7%)5(1＋7%)5＝40 ⨯ 0.935 ⨯ 1.075﹐ 又由对数表得log(0.935 ⨯ 1.075)＝5(log0.93＋log1.07)＝5(0.9685－1＋0.0294)＝5(－0.0021) ＝－0.0105＝－1＋0.9895＝－1＋log9.762＝log0.9762﹐ 所以收盘价约为40 ⨯ 0.9762＝39.0480 ≈ 39﹐故选(A)﹒【解二】依题意最后的收盘价为40(1－7%)5(1＋7%)5＝40[(1－0.07)(1＋0.07)]5＝40(1－0.0049)5＝40[50C 1＋51C (0.0049)＋52C (－0.0049)2＋…＋55C (－0.0049)5]≈ 40(1－5 ⨯ 0.0049)＝40 ⨯ 0.9755＝39.0200 ≈ 39﹐故选(A)﹒二﹑多重选择题1． 此标志意思为「外侧车道只限行驶大客车﹐而内侧车道则无限制」﹐因此不违反此规定的选项有(A)(C)(D)﹒ 2． (A)y 2＝32x 图形为开口向右的拋物线﹒(B)213x ＋212y ＝1图形为椭圆﹒(C)213x－212y＝1图形为双曲线﹒(D)|x＋y |＝1 ⇒x＋y＝1或x＋y＝－1图形为二平行直线﹒(E)|x|＋|y|＝1图形为正方形﹒故选(B)(E)﹒3．设P 为O关于平面ABC的对称点﹐因四边形OAPC及OBPD均为平行四边形﹐所以OA＋OC ＝OP﹐OB＋OD ＝OP﹒(A)OA ＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD )＝OP＋OP＝2OP≠0﹒(B)因为OA＋OB ≠OC ＋OD﹐所以OA ＋OB－OC －OD ≠0﹒(C)因为OA ＋OC＝OP ＝OB ＋OD﹐所以OA－OB ＋OC－OD＝0﹒(D)因为|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝2﹐且∠AOB＝∠COD﹐所以OA⨯OB＝2 ⨯ 2 ⨯ cos∠AOB＝2 ⨯ 2 ⨯ cos∠COD＝OC⨯OD﹒4．因为若两数的和为偶数﹐则两数必都是奇数或都是偶数﹐所以p ＝5522102C C C ＋＝101045＋＝49﹒ 又若两数的和为奇数﹐则两数必是一奇数一偶数﹐所以q ＝5512102C C C ＝2545＝59﹒故选(A)(D)﹒5．由虚根成双定理知﹕方程式f (x )＝0的三个根为1＋i ﹐1－i ﹐α﹐其中α为实数﹒ (A)因1－i 为方程式f (x )＝0的一根﹐所以f (1－i )＝0﹒ (B)因2＋i 不是方程式f (x )＝0的一根﹐所以f (2＋i )≠0﹒(C)因f (x )－x ＝0为3次实系数多项方程式﹐由虚根成双定理知道方程式至少有一实根﹐ 因此至少有一实数x 满足f (x )－x ＝0 ⇒ f (x )＝x ﹒(D)因f (x 3)＝0为9次实系数多项方程式﹐由虚根成双定理知道方程式至少有一实根﹐因此至少有一实数x 满足f (x 3)＝0﹒(E)因f (0)＞0且f (2)＜0﹐根据勘根定理知﹕0＜α＜2﹐又因y ＝f (x )的图形是连续不 断的﹐且与x 轴恰交一点(0 , α)﹐所以图形在x ＞2的部分恒在x 轴的下方﹐因此 f (4)＜0﹒故选(A)(B)(E)﹒第二部分﹕填充题 1．学期成绩为8273853＋＋⨯ 30%＋86 ⨯ 20%＋79 ⨯ 20%＋90 ⨯ 30%＝84﹒ 2．依题意得獎金 1000 800 600 500 400 300 0 機率 141414116116116116所以期望值为14(1000＋800＋600)＋116(500＋400＋300＋0)＝600＋75＝675﹒3． a log 5202＋b log 5205＋c log 52020＝3⇒ log 520(2a ⨯ 5b ⨯ 13c)＝3⇒ 2a ⨯ 5b ⨯ 13c ＝5203＝(23 ⨯ 5 ⨯ 13)3＝29 ⨯ 53 ⨯ 133⇒ a ＋b ＋c ＝9＋3＋3＝15﹒4．设AB ＝AC ＝1﹐BC ＝2﹒ 【解一】因为2AQ ＝12＋(23)2－2 ⨯ 1 ⨯23⨯ cos45︒＝59﹒ 所以AQ ＝53﹔同理AP ＝53﹒因此cos ∠PAQ ＝55299955233⨯⨯＋－＝89109＝45﹐又因∠PAQ 为锐角﹐所以tan ∠PAQ ＝34﹒ 【解二】建立直角坐标系﹕A (0 , 0)﹐B (0 , 1)﹐C (1 , 0)﹐ 因为P ﹐Q 为BC 的三等分点﹐所以P (13,23)﹐Q (23,13)﹐因此cos ∠PAQ ＝||||AP AQ AP AQ ⨯⨯＝1221(,)(,)33335533⨯⨯＝4959＝45﹐ 又因∠PAQ 为锐角﹐所以tan ∠PAQ ＝34﹒ 【解三】由向量分点公式知﹕AP ＝23AB ＋13AC 因为AB ⊥AC ﹐所以AB ⨯ AC ＝0因此|AP |2＝24||9AB ＋49AB ⨯AC ＋21||9AC ＝49＋0＋19＝59⇒||AP ＝53﹒ 同理可得﹕AQ ＝13AB ＋23AC ﹐||AQ ＝53﹒又AP ⨯AQ ＝(23AB ＋13AC ) ⨯ (13AB ＋23AC )＝29＋0＋0＋29＝49﹐所以cos ∠PAQ ＝||||AP AQ AP AQ ⨯．＝495533⨯＝45﹐ 又因∠PAQ 为锐角﹐所以tan ∠PAQ ＝34﹒5． 设共分成d 班﹐因各班有同样的男生数﹐也有同样的女生数﹐ 所以d 为1008与924的公因子﹒ 又1008与924的最大公因子为84﹐所以d 可能为1﹐2﹐3﹐4﹐6﹐7﹐12﹐14﹐21﹐28﹐42﹐84﹐但每班的人数1008924d ＋＝1932d须介于40与50之间﹐ 即40＜1932d ＜50 ⇒193250＜d ＜193240⇒ 38.…＜d ＜48.…﹐故d ＝42﹒6． 因为(a , b , 1)⊥PQ ﹐所以(a , b , 1) ⨯ (－10 , 8 , 26)＝0 ⇒－10a ＋8b ＋26＝0 ⇒5a －4b －13＝0…又方向向量(a , b , 1)与平面x －2y ＋z ＝0的法向量n ＝(1 ,－2 , 1)垂直﹐所以(a , b , 1) ⨯ (1 ,－2 , 1)＝0 ⇒ a －2b ＋1＝0…由 ﹑ 解得a ＝5﹐b ＝3﹒7． 3sin A ＋cos A ＝3sin A ＋12cos A )＝2(sin A cos30︒＋cos A sin30︒) ＝2sin(A ＋30︒)且sin2020︒＝sin(5 ⨯ 360︒＋204︒)＝sin204︒＝sin(180︒＋24︒)＝－sin24︒﹐ 所以sin(A ＋30︒)＝－sin24︒﹐ 又因300︒＜A ＋30︒＜390︒﹐所以A ＋30︒＝360︒－24︒﹐即A ＝306︒﹒ 8． 设P 为圆C 上任一点﹐O 为圆点﹐因C ﹕(x －7)2＋(y －8)2＝9的圆心为K (7 , 8)﹐ 半径r ＝3﹐所以OP 的最大值为OK ＋r 2278＋31133＝13.…﹐ 最小值为OK －r 2278＋3113－3＝7.…﹐ 因此若OP 为整数值﹐则OP ＝8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13﹐若以O 为圆心﹐分别以8﹐9﹐10﹐11﹐12﹐13为半径画弧﹐与圆C 共交于12个点﹒ 因此所求的P 点共有12个﹒9． 242x y y x ⎧⎨⎩＝＝＋由 代入 得x 2＝4(x ＋2) ⇒ x 2－4x －8＝0 ⇒ x ＝2 ±23﹐ 代入 得y ＝4 ±23﹐ 因此P (2－23－23﹐ Q (2＋23, 4＋23﹒ 又由拋物线的定义知﹕PF ＝d (P , L 1)﹐QF ＝d (Q , L 1)﹐其中L 1﹕y ＝－1为拋物线x 2＝4y 的准线﹐故PF ＋QF ＝d (P , L 1)＋d (Q , L 1)＝(5－23)＋(5＋23)＝10﹒。