数值计算方法 曲线拟合1 - 曲线拟合1
曲线拟合算法
曲线拟合算法
曲线拟合算法是一种数值分析中的重要技术，它可以将数据点转换成曲线，以便更好地描述数据的分布情况。
它可以增强数据的可视化效果，从而帮助人们更清晰地了解数据的规律和趋势，从而有效地改进业务流程，提高数据分析的准确性和可靠性。
曲线拟合算法的实现步骤大致为：首先，确定拟合曲线的类型，通常需要根据数据的特点来选择相应的拟合曲线，例如线性拟合、二次拟合、三次拟合等。
其次，根据拟合曲线的类型，计算拟合曲线的参数，一般根据最小二乘法来计算。
最后，根据计算出的参数绘制拟合曲线，以及计算拟合曲线的误差。
曲线拟合算法在很多领域都得到了广泛的应用，例如工程设计、统计分析、技术分析、科学研究等。
例如，曲线拟合算法可以用于预测经济数据的变化趋势，以及分析市场的发展趋势；也可以用于工程设计，例如根据数据拟合出函数，以便实现工程设计中的优化控制；此外，曲线拟合算法还可以用于科学研究，例如研究气候变化等。
总之，曲线拟合算法是一种重要的数值分析技术，它可以有效地描述数据的分布规律，可以在很多领域得到有效的应用，从而发挥重要作用。
计算机 曲线 拟合公式
计算机曲线拟合公式
拟合曲线是指在已知一组数据的前提下，通过一定的数学方法，找出一个代表这组数据的曲线方程。
这个曲线方程可以用于对数据进行预测、分析和优化等操作。
常见的曲线拟合公式包括线性拟合、多项式拟合、指数拟合等。
1. 线性拟合
线性拟合是指拟合一个一次函数y=kx+b，其中k和b分别为
拟合曲线的斜率和截距。
通常使用最小二乘法来求解k和b。
最小二乘法是指通过最小化误差平方值的方法来确定k和b的值，误差平方值=∑(yi-(kxi+b))^2，其中yi为实际的数据值，
xi为自变量的取值。
通过求解误差平方值的导数，可以得到k
和b的值。
2. 多项式拟合
多项式拟合是指将一个多项式函数拟合到一组数据上。
多项式函数的一般形式为y=a0+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n。
多项式拟
合的主要目的是通过多项式来描述数据中的非线性趋势。
常见的拟合方法包括最小二乘法、牛顿法、拉格朗日法等。
3. 指数拟合
指数拟合是指将一个指数函数y=a*exp(b*x)拟合到数据上。
这
种拟合常用于数据呈现出指数增长或衰减趋势的情况。
指数拟合的关键是通过对数变换将指数函数转化为线性函数，然后再进行线性拟合。
具体方法是对数据进行对数变换，然后用线性拟合的方法求解出a和b的值，再通过指数函数进行反推，得
到拟合曲线的方程。
以上是常见的曲线拟合公式及方法，拟合的具体选择要根据不同的数据趋势和实际需求进行决定。
曲线拟合方法
今天帮同学做了一个非线性函数的曲线拟合，以前没做过，所以是摸着石头过河。
费了一下午时间，终于把曲线拟合出来了，顺道也学习了使用Matlab进行曲线拟合的方法，把学习所得记录下来，和大家共享。
一、单一变量的曲线逼近Matlab有一个功能强大的曲线拟合工具箱 cftool ，使用方便，能实现多种类型的线性、非线性曲线拟合。
下面结合我使用的 Matlab R2007b 来简单介绍如何使用这个工具箱。
假设我们要拟合的函数形式是y=A*x*x + B*x, 且A>0,B>0 。
1、在命令行输入数据：》x=[110.3323 148.7328 178.064 202.8258033 224.7105 244.5711 262.908 280.0447 296.204 311.5475]；》y=[5 10 15 20 25 30 35 40 45 50]；2、启动曲线拟合工具箱》cftool3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool”（1）点击“Data”按钮，弹出“Data”窗口；（2）利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y，可修改数据集名“Data set name”，然后点击“Create data set”按钮，退出“Data”窗口，返回工具箱界面，这时会自动画出数据集的曲线图；（3）点击“Fitting”按钮，弹出“Fitting”窗口；（4）点击“New fit”按钮，可修改拟合项目名称“Fit name”，通过“Data set”下拉菜单选择数据集，然后通过下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型，工具箱提供的拟合类型有：•Custom Equations：用户自定义的函数类型•Exponential：指数逼近，有2种类型， a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x) •Fourier：傅立叶逼近，有7种类型，基础型是 a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)•Gaussian：高斯逼近，有8种类型，基础型是 a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)•Interpolant：插值逼近，有4种类型，linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving•Polynomial：多形式逼近，有9种类型，linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~•Power：幂逼近，有2种类型，a*x^b 、a*x^b + c•Rational：有理数逼近，分子、分母共有的类型是linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~；此外，分子还包括constant型•Smoothing Spline：平滑逼近（翻译的不大恰当，不好意思）•Sum of Sin Functions：正弦曲线逼近，有8种类型，基础型是 a1*sin(b1*x + c1)•Weibull：只有一种，a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)选择好所需的拟合曲线类型及其子类型，并进行相关设置：——如果是非自定义的类型，根据实际需要点击“Fit options”按钮，设置拟合算法、修改待估计参数的上下限等参数；——如果选Custom Equations，点击“New”按钮，弹出自定义函数等式窗口，有“Linear Equations线性等式”和“General Equations构造等式”两种标签。
数值计算方法 曲线拟合1 - 曲线拟合1
曲线拟合的程序设计
L={{-1,0.22},{-0.5,0.8},{0,2},{0.75,2.5},{1,3.75}}; k1=ListPlot[L,Prolog->AbsolutePointSize[15]] f=Fit[L,{1,x,x^2,x^3,x^4,x^5},x]
曲 线 拟 合
曲线拟合的程序设计
Clear[X,Y,f,k1,k2] L={{2,1},{3,6},{5,22},{7,46},{8,61}}; f=Fit[L,{1,x^2},x]
曲 k1=ListPlot [L,Prolog->AbsolutePointSize[15]] 线 k2=Plot[f,{x,0,10}] 拟 Show[k1,k2] 合
+ + ++
a1 a2u
u 1 x
a1ea2x ln ln a1 a2 x
情形分析
例 3.1 根据离散数据做出线性拟合并计算均方误差：
xi
-1.00
-0.50
0
0.75
1.00
曲 线
yi
0.2200 0.8000 2.0000 2.5000 3.7500
拟
设拟合直线 p( x) a0 a1 x
化简法方程
5 0.25
0.25 2.8125
a0 a1
9.45 5.005
求解法方程 a0 1.80906, a1 1.61875
求拟合曲线 ( x) 1.80906 1.61875x
拟合的误差
5
R ( p( xi ) yi )2 0.42 i 1
曲线拟合的程序设计
Clear[X,Y,f,k1,k2]
曲线拟合方法
曲线拟合方法曲线拟合方法是在数据分析中应用广泛的一种数学模型，它能够有效地拟合一组数据，从而推断出它背后的现象，同时推断出现象的规律。
曲线拟合方法是最常用的无比可以满足实际应用要求的符号方法之一，在实际应用中可以清楚地看到它的优越性。
一、曲线拟合方法的定义曲线拟合方法是一种用来拟合数据的数学方法，即将一组数据拟合到一条曲线上，从而求解出拟合曲线的方程。
一般来说，曲线拟合方法是根据给定的数据集，通过最小二乘法来拟合出曲线的方程，以表述和描述该数据的特征。
曲线拟合方法给我们提供了一种比较直观和有效的数据分析工具，可以有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象及其规律。
二、曲线拟合方法的基本思想曲线拟合方法的基本思想是将一组数据以曲线的形式，以拟合精度最高的方式拟合出曲线的方程。
有多种拟合方法，比如线性拟合、参数拟合、二次拟合、多项式拟合等，可以根据实际的数据特点，选择合适的拟合方法。
拟合方法的最终目的是使拟合曲线越接近原始数据，越接近实际情况，以此来求解出拟合曲线的方程，并且能够有效地反映出数据的规律特征。
三、曲线拟合方法的应用曲线拟合方法在实际工程中被广泛应用，它的应用非常广泛，可以用于各种数据的拟合，其中包括统计学中的数据拟合、物理学中拟合各种非线性函数曲线，以及优化、控制理论中根据给定数据拟合控制参数等。
曲线拟合方法可以有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象，以及它们背后的规律，因此，曲线拟合方法在预测及数据分析中具有重要的作用。
四、曲线拟合方法的优缺点曲线拟合方法的优点在于它的拟合效果好，能够有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象，以及它们背后的规律，因此它可以提供丰富、有价值的数据分析以及预测服务。
但是，曲线拟合方法也有一些缺点，比如它拟合的曲线不一定能够代表实际情况，有可能导致拟合出错误的结果，因此在使用时要注意控制拟合精度。
曲线拟合的方法及过程
一、课程设计题目： 对于函数 xex x f --=)(从00=x 开始，取步长1.0=h 的20个数据点，求五次最小二乘拟合多项式5522105)()()()(x x a x x a x x a a x P -++-+-+= 其中 ∑===1995.020i ix x 二、原理分析 （1）最小二乘法的提法当数据量大且由实验提供时，不宜要求近似曲线）（x y φ=严格地经过所有数据点),(i i y x ，亦即不应要求拟合函数）（x ϕ在i x 处的偏差（又称残差）i i i y x -=)(φδ(i=1,2,…,m)都严格的等于零，但是，为了使近似曲线能尽量反应所给数据点的变化趋势，要求偏差i δ适当的小还是必要的，达到这一目标的途径很多，例如，可以通过使最大偏差i δmax 最小来实现，也可以通过使偏差绝对值之和∑ii δ最小来实现……，考虑到计算方便等因素，通常用使得偏差平方和∑ii 2δ最小（成为最小二乘原则）来实现。
按最小二乘原则选择近似函数的方法称为最小二乘法。
用最小二乘法求近似函数的问题可以归结为：对于给定数据),(i i y x(i=1,2,…,m)，要求在某个函数类Φ中寻求一个函数）（x *ϕ，使[][]21)(21*)()(min ∑∑=Φ∈=-=-mi iix mi iiy x y x ϕϕϕ（1-1） 其中）（x ϕ为函数类Φ中任意函数。
（1）确定函数类Φ，即确定）（x ϕ的形式。
这不是一个单纯的数学问题，还与其他领域的一些专业知识有关。
在数学上，通常的做法是将数据点),(i i y x 描绘在坐标纸上，然后根据这些点的分布情况来选择的）（x ϕ形式。
（2）球最小二乘法的解，即求满足条件（1-1）的近似函数）（x *ϕ。
（3）最小二乘法的实验原理 设）（x ϕ具有如下形式）（x ϕ=F),,,,10x a a a n ⋅⋅⋅（ （1-2） 其中n<m, k a (k=0,1,…,n)是待定参数，求具有这种形式的最小二乘解的实质，就是要适当选择k a =*k a (k=0,1,…,n)，使相应的函数 ),,,,()(**1*0*x a a a x n ⋅⋅⋅=ϕ （1-3） 满足条件（1-1），也就是说，点),,,(**1*0n a a a ⋅⋅⋅是多元函数 []211010),,,,),,,∑=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅mi i i n n y x a a a F a a a s （（的极小点，从而使**1*0,,,n a a a ⋅⋅⋅满足方程组0S=∂∂ka ，(k=0,1,…,n) （1-4） 因此，可以通过解上述方程组（称为法方程组）来求取*k a (k=0,1,…,n)，以便获得最小二乘解。
拟合曲线公式
拟合曲线公式拟合曲线公式（CurveFittingFormula，简称CFF）指的是根据一组已知的数据点，以函数的形式得出拟合曲线的方法。
拟合曲线公式通常是以最小二乘法（Least Squares Method）来求解的。
最小二乘法是指将拟合曲线的数学表达式引入给定的点集中，并对给定点的离散程度进行最小化，以此达到拟合曲线的目的。
最小二乘法可以用于拟合线性函数，也可以用于拟合非线性函数。
拟合曲线公式包括多项式函数、指数函数、对数函数、函数和指节函数等。
多项式函数是指以x为自变量，系数构成的多项式为因变量的函数。
如常见的一元二次方程式：y=ax2+bx+c（a、b、c为系数）。
多项式函数可以拟合简单的数据，但当数据的起伏较大时，它的拟合性就不太好，此时可以考虑使用指数函数或其他更复杂的函数。
指数函数是指以x为自变量，以e为底数构成的指数式为因变量的函数。
如：y=2e^x（2为系数）。
指数函数一般用于拟合快速增长或下降的数据，它的优点是能够很好地拟合大范围的数据。
对数函数是指以x为自变量，以a为底数构成的对数函数为因变量的函数。
如：y=loga(x)（a为系数）。
对数函数一般用于拟合大范围的数据，它的优点是可以拟合大范围的数据，但是对数函数只能拟合正数，负数无法用对数函数拟合。
函数是指以x为自变量，构成的式为因变量的函数。
如：y=x^2（2为系数）。
函数可以拟合快速增长或下降的数据，但它只能拟合一个范围，如果要拟合多个范围的数据就需要使用多元函数了。
指节函数是指以x为自变量，构成的指节式为因变量的函数。
如：y=sin(x)（x为系数）。
指节函数可以拟合周期性的数据，它的优点是可以拟合大范围的数据。
除了上面介绍的几种拟合曲线公式，还有许多其他的拟合曲线公式，如勒让德曲线、五次多项式函数、数据密集拟合函数等等，这些拟合曲线公式都有比较好的拟合效果。
总之，拟合曲线公式是一种定性分析技术，能够更好地描述和分析给定数据点之间的联系，帮助人们更好地理解事物之间的关系和规律。
曲线拟合的数值计算方法实验教材
曲线拟合的数值计算方法实验【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。
对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。
常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。
关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束一、实验目的1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。
2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。
二、实验原理1.曲线拟合曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。
用解析表达式逼近离散数据的一种方法。
在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。
人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。
f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。
有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在各点的残差(或离差)，c）-f （f y e k k k =的加权平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。
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x m 1 1
x m 1 2
a1 a2
1 x1
x m 1 n
am
x m 1 1
1 x2
x m 1 2
1 y1
xn
y2
x m 1 n
yn
拟 合
即
n
n
xi
i 1
n
x m1 i
i1
n
xi
i 1
n
xi2
i 1
n
xim
i 1
n
xm1 i
i 1 n
xim
线 拟
{a1,…am}有唯一解
QTQ 可逆
Rank (QTQ) = m
合
Rank(Q)=m
Q列满秩 {r1(x), …rm(x)}线性无关
r1( x1 ) rm ( x1 )
Q
特别地取
r1( xn ) rm ( xn )nm
{r1( x), r2 ( x)...rm ( x)} {1, x, x2 , ...xm1}
( x, y) x1 y1 x2 y2 ... xn yn
引入记号
n
n
(rk , rj ) rk ( xi )rj ( xi ), ( y, rj ) yirj ( xi )
i 1
i 1
则方程组(1)的矩阵形式为：
曲 线
(r1, r1 )
(r2
,
r1
)
(r1, r2 ) (r2 , r2 )
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5
最佳平方逼近
曲线拟合的一般提法 曲线拟合的常用解法 线性最小二乘法的求解
曲线拟合的一般提法
问题描述
y
曲
y f (x)
f (x0 )
线
拟
合
0
x0
x
y
y f (x)
a o x1
x2
x3
x4
b x5
+ + ++
a1 a2u
u 1 x
a1ea2x ln ln a1 a2 x
情形分析
例 3.1 根据离散数据做出线性拟合并计算均方误差：
xi
-1.00
-0.50
0
0.75
1.00
曲 线
yi
0.2200 0.8000 2.0000 2.5000 3.7500
拟
设拟合直线 p( x) a0 a1 x
近似函数求得的近似值
y
* i
与观测值
yi
之差
i
yi
yi*
称为残差。
曲线拟合的残差
近似函数求得的近似值 yi*与观测值 yi之差 i yi yi* 称为残差。
残差的大小可反映近似函数的好坏, 常用的准则有以下三种
曲
（1）使残差的绝对值之和最小，即 i min
线
i
拟
（2）使残差的最大绝对值最小，即
令 ( x) a1r1( x) a2r2 ( x) ... amrm ( x)
(a1 , a2 , am 待定）
曲
确定 a1, a2 , am ，使得：
线 拟
i2 min
i
i yi yi*
(i 1, 2, ...m)
合
n
n
记 J (a1, a2 , am )
2 i
[ f ( xi ) yi ]2
i 1
i 1
nm
[ ak rk ( xi ) yi ]2 i 1 k 1
问题归结为，求 a1, a2 , am 使J (a1 , a2 , am ) 最小。
最小二乘法原理
n
m
r1 ( xi )[ ak rk ( xi ) yi ] 0
曲
J
0 ak (k 1,m)
i 1
k 1
i 1
n
x 2m2 i
i 1
a1 a2
am
n
yi
i 1 n
yi xi
i 1
n
yi xi m1
i 1
最小二乘法原理
思考
(QTQ)a QT y
(3)
当 (QTQ可) 逆时，（3）有唯一解：
a (QTQ)1QT y
(4)
曲
怎样选择 {r1(x), …rm(x)}，以保证系数 {a1,…am} 有唯一解？
情形分析
将数据 ( xi , yi ) i=1, …n 作图，通过直观判断确定 ( x) ：
a1 a2 x
+
曲
++
线
++
拟
合
a1
a2
1 x
+
+++ +
a1 a2 x a3 x2
+
+
+ +
+
a1ea2x +
+
++ +
a1 a2 x a3 x2
++ +
+ +
+ a1ea2x
rm ( x1 )
rm ( xn )
a1
y1
a
,
y
am
yn
(QT Q)a QT y (3)
称为正则方程或法方程
最小二乘法原理
此时正则方程组为: (QT Q)a QT y
曲 线
1
x1
x m 1 1
1 x2
x m 1 2
1 1
xn
1
x1 x2
x m 1 n
1
xn
合
写出法方程
(QT Q)a QT y
1 1 R 1 1 1
1.00
0.50
0
0.75
1.00
a
a0
a1
0.2200 0.8000 Y 2.0000 2.5000 3.7500
例题分析
n
m
i 1
rm
(
xi
)[
k 1
ak rk
( xi
)
yi ] 0
线
拟
m
n
n
ak r1 ( xi )rk ( xi )
yi r1 ( xi )
合
k 1
i 1
i 1
(1)
m
n
n
k
1
ak
i 1
rm ( xi )rk ( xi )
i 1
yi rm ( xi )
最小二乘法原理
内积 ( x, y) x1 y1 x2 y2 x3 y3
(r1, rm ) a1 ( y, r1 )
(r2 ,
rm
)
a2
(
y,
r2
)
(rk , rj ) (rj , rk )
(2)
拟 合
(rm , r1 ) (rm , r2 )
(rm , rm ) am ( y, rm )
若记
r1( x1 )
Q
r1( xn )
max i
i
min
合
（3）使残差的平方和最小，即 i 2 min
i
准则（1）有绝对值，使用不方便。 准则（2）求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近。 准则（3）确定参数求近似函数的方法称为函数的最佳平方逼近，也称曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘法原理
先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m<n,
x6
x
曲线拟合的一般提法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点 y ( x) , 使( x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，
即曲线拟合得最好。
y
曲
+
线 拟
+
++ +
i
+
y (x)
合
+
+
( xi , yi )
+
x
i 为点 ( xi , yi ) 与曲线 y f ( x) 的距离。