整式的加减知识点

第二章《整式的加减》知识点填空

一、整式

1. 代数式：用基本的运算符号把 和表示 连接起来的式子叫做代数式，单独

的一个数或一个字母也是代数式。

2. 代数式的值：一般地，用 代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系计算得出

的结果，叫做代数式的值。

注意：（1）当数与字母相乘时，乘号通常简写为“ ”或 ，并且数在 ，字

母在 ，若数字是带分数， 要化为 。

（2）字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或者写为“· ”。

（3）除法写成 的形式。

3. 单项式：如100t 、6a 2b 、2.5x 、vt 、-n ，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫

做 ，单独的一个数或一个字母也是 。

4. 单项式的系数：单项式中的 叫做这个单项式的系数。例如：单项式100t 、6a 2b 、

2.5x 、vt 、-n 的系数分别

是 、 、 、 、 。

5. 单项式的次数：一个单项式中， 叫做这个单项式的次数。例如：单项

式100t 、6a 2b 、2.5x 、vt 、

-n 的次数分别是 、 、 、 、 。

6. 多项式：如2x-3，3x+5y+2z ，2

1ab-πr 2，它们都可以看作几个单项式的和，像这样 叫做多项式。其中 叫做多项式的项，不含字母的项叫做 项。例如：

在多项式2x-3中，2x 和-3是它的项，其中-3是常数项。

7. 多项式的次数：多项式里 次数，叫做这个多项式的次数。例如：在多项式

2x-3中，次数最高的项是一次项2x ，这个多项式的次数是1；在多项式x 2

+2x+18中，

次数最高的项是二次项x 2，这个多项式的次数是2。

注意：（1）多项式的次数取决于多项式中次数最高项的次数。（2）多项式的每一项都包括

它前面的符号。（3）多项式的次数不是所有项的次数之和。（4）多项式中含有几项，就是几项式，最高次数是几，就是几次式。(5)多项式没有系数的概念，但对多项式中的每一项来说都有系数。（6）判断一个代数式是不是多项式，关键是代数式能不能写成单项式的和。

8. 整式： 与 统称为整式。例如：单项式100t 、vt 、-n ，以及多项式2x-3，

3x+5y+2z ，2

1ab-πr 2等都是整式。 注意：（1）注意单项式、多项式、整式三者的区别。单项式是整式，多项式是整式，但不 能说整式是单项式或多项式。

（2）在整式中，分母里不含字母。

二、整式的加减

1.同类项： 相同，并且 也相同的项想叫做同类项，几个常数项也叫做同类项。例如：单项式3ab 2与-4 ab 2

，它们都含有字母a ，b ，并且a 都是一次，b 都是二次，所以3ab 2与-4 ab 2同类项。

2.合并同类项：把多项式中 合并成一项叫做合并同类项。我们可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。

合并同类项的步骤：

（1）准确的找出同类项（2）利用合并同类项的法则合并同类项（3）写出合并后的结果

9. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后括号内各项的符号与原来的符

号 ；如果括号外的因数是负数，去括号后括号内各项的符号与原来的符号 。

添括号法则：添括号后，括号前面是正因数，添进括号内的各项符号都 ；添括号后，括号前面是负因数，添进括号内的各项的符号都 。

10. 整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接另一

个整式。

整式加减的一般步骤：

（1） （2）

《整式的加减》知识点

一、代数式与有理式

1、用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独的一个数或字母也是代数式。

2、整式和分式统称为有理式。

3、含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

二、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、单项式或多项式都是整式。

3、整式不一定是单项式。

4、整式不一定是多项式。

5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

整式与分式区别：

1、没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

2、有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

三、单项式与多项式

1、单项式

概念：数字与字母的乘积的代数式（没有加减运算的整式）叫做单项式。

重点提示：1、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

2、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

3、单独一个数或一个字母也是单项式。

4、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。

5、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。

6、单独的一个非零常数的次数是0。

7、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。

8、单项式的系数包括它前面的符号。

9、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。

10、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 11、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。

例题1：单项式8

53

ab -的系数是 ,次数是 . 例题2：下列说法错误的是（ ）

A ．232x y -的系数是32-

B ．0也是单项式

C ．2

3xy π的系数是23 D ．x π-是一次单项式

2、多项式

概念：几个单项式的和叫做多项式。

（其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。）

重点提示：1、一个多项式有几项，就叫做几项式。

2、多项式的每一项都包括项前面的符号。

3、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

4、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式的区别

区别：单项式不含加减运算，多项式含加减运算。

联系：多项式是几个单项式的和，但多项式不包含单项式，多项式和单项式都是整式。

说明：①根据除式中是否有字母，将整式和分式区别开；根据整式中是否有加减运算，把单

项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。

例题：多项式32412x y xy x ++-是 次 项式，常数项是 .

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

去括号法则：如果括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；如果括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

.计算：2222

4(2)(2)a b ab a b ab --+= ；

2、合并同类项：

（同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。）

1）.合并同类项的概念：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。

2）.合并同类项的法则：

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。

3）.合并同类项步骤：

a ．准确的找出同类项。

b ．逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。

c ．写出合并后的结果。

4）.在掌握合并同类项时注意：

a.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.

b.不要漏掉不能合并的项。

c.只要不再有同类项，就是结果（可能是单项式，也可能是多项式）。

说明：合并同类项的关键是正确判断同类项。

例题1：若12351+k y x 与833

7y x -是同类项,则k = . 例题2：把(x －3)2－2(x －3)－5(x －3)2+(x －3)中的(x －3)看成一个因式合并同类项，结果

应是（ ）

A.－4(x －3)2+(x －3)

B. 4(x －3)2－x (x －3)

C. 4(x －3)2－(x －3)

D.－4(x －3)2－(x －3)

3、几个整式相加减的一般步骤：

1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

2）按去括号法则去括号。

3）合并同类项。

例题：⑴2237(43)2x x x x ??----??

⑵2222

5(3)2(7)a b ab a b ab ---.

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

例题：当2x =-时，代数式651x x

+-的值是 ； 例题：已知33-=-y x ，则y x 35+-的值是（ ）

A ．0

B ．2

C ．5

D ．8

五、同底数幂的乘法

1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n

为指数，a n 的结果叫做幂。

2、底数相同的幂叫做同底数幂。

3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。

4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。

5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再

运用法则。

六、幂的乘方

1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。

2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。

3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。

七、积的乘方

1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。

2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相

乘。即（ab ）n =a n b n 。

3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。

九、零指数幂

1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。

十、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其

余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、系数相乘时，注意符号。

3、相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。

4、对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。

5、单项式乘以单项式的结果仍是单项式。

6、单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项

式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。

2、运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3、积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

4、混合运算中，注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果。

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个

多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多

项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异

号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公

式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2+(a+b)x+ab 。

十二、平方差公式

1、（a+b ）(a-b)=a 2-b 2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

（a+b ）?(a-b)的形式，然后看a 2与b 2是否容易计算。

十三、完全平方公式

1、(a ±b)2=a 2±2ab+b 2即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a ，b 可以是单项式，也可以是多项式。 十四、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。

做一做

1、()()22223233x y xy xy x y ---，其中1,12x y ==-。

2、

123213223223

22x x y x y x y +-+?? ???--?? ???=-=,,;其中

3、当2

5(2)0x y ++-=时，求代数式22(42)5()x y x x y x ??-----??的值．

4、张华在一次测验中计算一个多项式加上5xy-3yz+2xz 时，误认为减去此式，计算出错误

结果为2xy-6yz+xz ，试求出正确答案.

5、观察下列单项式：0，3x 2，8x 3，15x 4，24x 5，……，按此规律写出第13个单项式是______。

6、观察下列算式：

12-02=1+0=1；22-12=2+1=3；32-22=3+2=5；42-32=4+3=7；52-42=5+4=9；62-52=6+5=11；72-62=7+6=13，82-72=8+7=15；···若字母n 表示自然数，则第n 个式子为_____________．

7、已知多项式221345

xy x y --，试按下列要求将其重新排列．

（1）按字母x 作降幂排列；

（2）按字母y 作升幂排列．

8、当x =2时，多项式535-++cx bx ax 的值为7，则当x =-2时，求这个多项式的值．

9、对于任意实数m 、n ，都有n m n m 23+= ，n m n m 32-=?，

求()[])1(32-?- 的值．

《整式的加减》测试题

（时限：100分钟总分：100分）

班级总分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题2分，共计24分）

1.下列说法中，正确的是（）

A. 单项式b的次数是0

B. 是一次单项式

C. 24x3是7次单项式

D. －5是单项式

2.对于单项式－的系数和次数分别是（）

A. －2，2

B. －2，3

C. －，2

D. －，3

3.下列单项式中，书写规范的是（）

A. 1a

B. x·2

C. 0.5x

D. 1mn

4.若－是7次单项式，则n＝（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5.下列说法正确的是（）

A. －x＋3x三次二项式

B. x－1二次二项式

C. x2－2x＋34是二次三项式

D. －5x5＋2x4y2－1是八次三项式

6.一个n次多项式（n 为正整数），它的每一项的次数是（）

A. 都等于n

B. 都小于n

C. 都不小于n

D. 都不大于n

7.设M，N都是关于x的五次多项式，则M＋N是（）

A.十次多项式

B.五次多项式

C.次数不大于5的多项式

D.次数不大于5的整式

8.－3x4与3y是同类项，则mn的值为（）

A. 6

B. 8

C. 2

D. 1

9.化简：ab－（2ab－3ab2）结果是（）

A.3a2b＋3ab

B.－3ab2－ab

C.3ab2－ab

D.－3ab2＋3ab

10.若x 是两位数，y是一位数，如果把y 置于x左边所得的三位数是（）

A.100y＋x

B. 100y＋10x

C.10y＋x

D. yx

11.减去2－3x等于6x2－3x－8的代数式是（）

A.6x2－6x－10

B.6x2－10

C.6x2－6

D.6x2－6x－6

12.若＋＝0，则代数式3a2b－（a2b－3a2b）的值为（）

A. 20

B. －20

C. 4

D. －4

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

13.用式子表示“数a的3倍与3的差的一半”是.

14.把多项式6＋2x4－3x2＋7x3按各项的次数从高到低重新排列为.

15.某项工程。甲单独做需要m天完成，甲、乙合做需要n天完成，那么乙单独做完成

这项工程需要.

16.有一串单项式：x，－2x2，3x3，－4x4，…，请你写出第100个单项式是，

第n个单项式是.

17.三个连续奇数中，最小的一个是2n－3，最大的一个是，这三个数的和是.

18.某班有学生a人，若每4人分成一组，有一组少2人，则所分的组数是组.

19.已知：a＝11，b＝，则代数式a＋2a＋3a＋…＋9a＋10a＋10b＋9b＋…＋3b＋2b＋b

的值是.

20.观察图形.（用火柴棒搭成的图形）