2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目影子定位
2015数学建模竞赛优秀论文
图 2 太阳高度角
由三角形性质，显然，
OB
tan θ =
(1)
OA
即得，
OB H
L = OA =
=
(2)
tan θ tan θ
根据参考文献[1],太阳高度角θ的计算公式为：
sin θ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos σ
(3)
其中，φ为观测地地理纬度，δ为赤纬角，σ为时角。 参考文献[2]:所谓日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的
图 1 夏半年日影运动
由于太阳和地球最短距离为1.471 × 108km，所以太阳光接近地球表面时可以近似看成 是平行光。参考文献[1]，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上 讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。如图（2）所 示，OB为竿长，OA为影长，θ即为太阳高度角。
4. 模型的建立
4.1. 问题一模型的建立
4.1.1. 立杆影长随参数变化的模型的建立 为了探求不同时间、不同经纬度下立杆影长的变化规律，我们建立以立杆为参考系的数
学模型。一年四季中除去春分、夏至、秋分、冬至以外，太阳相对于地球都不是严格由正东 向正西方向运动，因此立杆的影子变化不仅在于长度的改变，方向也在改变。同一天，随着 时间的推移，立杆的影子顶点应当是一个弧状轨迹。如图（1），为夏半年日影运动静态模 拟图。图中白色虚线表示影子顶点运动的部分轨迹。
太阳影子定位
摘要
本文通过分析影响立杆影长的相关参数的变化，建立了时间、太阳位置和影子轨迹关系 的数学模型，探究了影子变化的影响因素，以及通过影子变化如何确定拍摄时间和地点。
针 对 问 题1， 我 们 利 用 太 阳 高 度 角 的 定 义 及 太 阳 高 度 角 的 大 小 跟 赤 纬 角 、 时 角 、 当 地纬度相关，建立了影长关于太阳高度角、杆长、日期这三个因素变化的模型。然后依 据题目给定的参数利用MATLAB得到影长，并进行检验。结果显示2015年10月22日当天北 京时间9:00–15:00之间天安门广场上一根3米高的竿子在12:36分时取到最短影长为3.68米， 在9：00时取到最长影长为6.78米。
2015数学建模国赛论文A题
利用影子确定视频拍摄地点和日期的建模和算法摘要本文研究的问题是如何通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期。
建模整体思路是，先建立一系列分析用到的物理量，设定一些假设和约束条件，使得问题求解有可行性，之后对这些物理量进行演绎。
建模使用的软件平台主要是matlab ，分析用到的主要参量是太阳赤纬、时角、高度角、方位角、纬度，分析过程当中用到的方法有，建立物理概念，明确物理意义，比如引用天球坐标系的概念，在天球坐标系的基础上进行物理分析，通过对建立的参变量进行物理关系的推导，形成公式体系进行求解，对题目所给予的影子坐标数据进行适当变换处理，使用matlab 进行合理的拟合，对于用公式法和方程法没法顺利解决的问题使用穷举法作为解题的补充，对于视频中坐标的取法用到了坐标转换的思想。
其中主要公式有 1.cos sin sin coshA δω= 2.tanh H L= 3. sinh sin sin cos cosh cos A ϕδϕ-= 4. sinh=cos Ωcos φcos δ+sin φsin δ第一问，通过物理量变换，先求出高度角，进而得到影子长度与时间变化关系。
第二问，拟合点求经度，取点套公式求纬度。
第三问，方程思想，过程复杂，采用穷举法近似实现求解。
第四问，难点在于通过视频分析，得到影子端点的变化坐标，进而将问题转化成第二问，已知日期（太阳赤纬），时间（时角），求解经度纬度。
关键词：天球坐标系 物理量演绎分析 matlab 数据拟合分析 二元方程组近似穷举法 坐标转换思想1.问题重述与分析如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2015年数学建模竞赛题目
2015年数学建模竞赛题目
2015年数学建模竞赛题目包括：
1. 飞行器设计优化：根据给定的飞行器参数，建立数学模型，并求解最优设计方案。
此题属于优化问题，需要运用线性规划、非线性规划等相关知识。
2. 水质监测与评价：分析给定的水质监测数据，建立评价模型，对水质进行评价。
此题涉及数据处理、统计分析、模糊评价等知识。
3. 智能家居系统：设计一个智能家居系统，满足给定的功能需求。
此题需要了解图论、动态规划等知识，以解决网络拓扑结构、任务调度等问题。
4. 太阳影子定位：建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型给出若干个可能的地点。
此题涉及太阳高度、地理坐标、时间等因素的分析和建模。
此外，还有2015年题目包括但不限于交通流量、营销策略等主题，具体的主题内容可以根据具体的竞赛背景和要求来确定。
在选择和确定数学建模题目时，应综合考虑自身兴趣、专业知识储备、数据可得性以及问题实际意义等多个方面因素。
2015年数学建模国赛A题
因此对于地球来说太阳的曲率可忽略不计，故可将太阳光看作平行光。在太阳高 度角为 时，物体影长如图 1 所示：
太阳光
l
L
地面
图 1 物体影长及太阳高度角示意图 由图可知，物体高度 L 、直杆影长 l 及太阳高度角 满足三角函数关系，故在太 阳光下直杆的影子长度为 L l tan 太阳高度角 的计算公式为 (1) sin =sin sin +cos cos cos w 其中 表示观测地的地理纬度（北纬为正，南纬为负） ， 表示太阳赤纬角(太阳 直射点纬度） ， w 表示地方时时角，太阳高度角随观测地点地理纬度、地方时时 角及观测日期对应太阳赤纬角的变化而变化。 太阳赤纬角是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角， 在地球的 公转运动中，赤纬角在+23 °26′与-23 °26′的范围内移动，其具体值是已知 的且只与 有关，表达式为 0.3723 23.2567sin 0.1149sin 2 0.1712sin 3 (2) 0.758cos 0.3656cos 2 0.0201cos3 式中 称日角，日角满足公式 2 ( N N 0 ) (3) 365.2422 其中 N 表示积日，所谓积日，就是日期在年内的顺序号，例如，1 月 1 日其积日 为 1，平年 12 月 31 日的积日为 365，闰年则为 366，等等。设年份为 T ，则 N 0 可 表示为
表示含义 直杆影子长度 太阳高度角 观测地地理纬度 观测地地理经度 太阳赤纬 积日 地区时角 日角 直杆高度 时间 年份 比例尺
五、 模型建立与求解
在地球上不同地区和不同时间，太阳下物体的影子长度各不相同。根据太阳 影子变化情况，判断物体具体位置和时间在实际生活中有重要意义。通过研究物 体在水平地面上太阳影子随时间变化规律，太阳影子长度与位置、时间的关系， 可根据太阳影子方向及其变化规律了解物体所在的大致位置和时间。 5.1 影子长度变化模型 在不同日期、不同时间，太阳光线照射物体的角度不相同，引起物体影子的 长度和方向随着太阳高度和角度的变化而变化， 因此同一物体在不同时间的太阳 影子长度和方向各不相同。为了建立影子长度变化的模型，根据相关公式，研究 影子长度变化规律。 5.1.1 影长变化模型 物体影子在不同时间的长度和方向均不相同。故假设某物体垂直于水平地 面，高度为 L ，其影子长度为 l 。首先引入太阳高度角，即太阳光的入射方向和 地平面之间的夹角。 太阳半径为 696300 千米， 远大于地球的半径 6371.393 千米，
太阳影子定位-2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题太阳影子定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。
针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度ϕ、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数间关系的模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan)cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位技术问题的数学模型摘要本文涉及的是太阳影子定位技术问题。
在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。
首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。
第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。
得到基于模型的合理结果。
最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。
对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。
问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10−8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。
同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。
问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。
关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。
2015年全国大学生数学建模大赛国家二等奖论文
太阳影子定位摘要太阳与地球的运转规律造就了太阳在地球上的阴影规律，本文将根据其规律，通过太阳的变化确定阴影的位置。
本文问题探究由浅到深，最终可通过视频中的阴影判断出视频的拍摄位置和拍摄时间。
针对问题1，本文基于对太阳与地球的运转规律和太阳光在地球上的阴影变化规律分析，考虑到太阳高度角和经纬度及北京时间与当地时间等转换，建立了直杆影子长度和直杆杆长、直杆所在地经纬度、日序数、北京时间之间关系的空间解析几何模型，并最终通过已知数据计算并绘制出直杆在2015年10月22日北京时间9：00-15：00之间天安门广场3米高的直杆影子长度变化曲线。
针对问题2，本文根据问题1得出的影子长度变化规律，将问题转换为寻找最优未知参数集{},,P P H δλ使得所给实测影子长度和理论影长的最小二乘偏差最小。
由于计算的复杂度，我们考虑“大小步长套用搜索”算法并通过合理地分析计算优化了搜索范围，最终通过相应Matlab 程序计算出一组最可能参数集，即最可能地点为东经84.9950, ，南纬4.3170 。
针对问题3，相对问题2增加了未知参数赤纬角，因此利用与问题二类似的思想建立了相应的最小二乘模型，针对附件2和附件3给出的两种不同情况给出了相应的搜索算法，并最终各拟合出两组最可能地点，四个最可能日期，如附件2给出的数据一组最可能的地点为东经79.85, 北纬39.6, 相应日期为5月2日或7月21日。
针对问题4，先对视频进行了去帧和图片的灰度处理，从而提取出了影子的变化数据，推算出了真实的影子变化数据。
进而按照问题一所建立的关系式通过最小二乘法拟合参数。
最后推算出的视频拍摄地点东经为110.48 ，北纬40.245 ，并在拍摄日期未知的情况下对模型进行了验证。
本文严格推导了太阳光阴影变化规律，探究问题层层深入，最终解决了根据视频上的阴影变化确定视频拍摄地点及日期，同时也验证了我们建立的物体影子和物体所在经纬度之间关系的正确性。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
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2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题太阳影子定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。
针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度ϕ、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数间关系的模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan)cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。
影子长度的变化曲线（图5），9时至12时15分影子长度呈现下降趋势，12时15分之15时影子长度呈现上升趋势；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。
针对问题二，关键词 一、问题重述：如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析：针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度ϕ、时刻t 、直杆长度l 、季节J （日期N )等，引入地理学参数：太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数 间关系的模型；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而根据所建模型分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后做出影子长度的变化曲线；最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。
针对问题二，三、模型假设：1、求解此问题时忽略地球的自转2、不考虑太阳光线在穿过大气层时的折射、太阳的视面角、高山阻挡、海拔高度等因素。
3、认为照射到地球上的太阳光可以看成是平行光线，地球上某地的水平地面是地球球面上过该地的切面。
四、符号说明：δ：太阳赤纬 α：太阳时角ϕ：表示某地的地理纬度λ：表示某地的地理经度h：太阳高度角五、问题一的模型建立与求解5.1影响影子长度参数的确定 1、太阳赤纬太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角且以年为周期，在周年运动中任何时刻的赤纬值δ都是严格已知的，可用下式计算：）（13cos 0201.02cos 3656.0cos 758.03sin 1712.02sin 1149.0sin 2567.233723.0θθθθθθδ++--++=式中θ称为日角，即2422.365/2t πθ=，这里0N N t -=,式中N 为积日，就是日期在年内的顺序号（例如1月1日其积日为1，平年1212月31日的积日为365，闰年则为366等）。
)4/9851-((-1985-2422.06764.790）年份）（年份INT N ⨯+=（式中INT 表示取整数部分）故如果已知某日期的年、月、日，代入式（1），即可求得此日期的太阳赤纬值δ。
2、时角时角表示一天体是否通过了当地的子午圈，其数值表示该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位以小时来计量，其中当地时间12点时的时角为零，令上午的时角为正，下午为负。
某地t 0的时角α计算式如下：故若给定某地时刻t 0的值，代入式（2），即可求出此时的时角值α3、太阳高度角太阳高度角,是指太阳光线与地平面的夹角。
应用球面三角形余弦公式A c b c b a cos sin sin cos cos cos +=，结合图形,可以推出任意时刻太阳高度角h 0的计算公式为：）（3cos )sin()sin()cos()cos()cos(90909090900αϕδϕδ--+--=-h进一步可以得到：）（4cos cos cos sin sin sin 0αϕδϕδ+=h 式中，ϕ表示当地的地理纬度,δ表示太阳赤纬，α表示太阳时角、h 0表示太阳高度角。
ϕ、δ的取值为北正南负。
故若已知某地的地理纬度ϕ、太阳赤纬δ、太阳时角α，代入式（4），即可求得太阳高度角。
4、直杆的长度直杆的影子始终在物体背着光源的一面，光从物体顶端照射到地面形成影子，直杆的长度l 0直接影响着影子长度的变化。
5.2模型一的建立首先分析影子长度变化直接受直杆长度l 0和太阳高度角h 0的影响，其关系式为：）（5tan 0h ll =其中l 表示影子的长度。
然后以太阳高度角与太阳赤纬、时角、地理纬度的关系为基础，即式（4），引进参数当地的经度，构建影子长度变化模型如下：)6(tan)cos cos sin sin sin arccos(300151000⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t δϕδϕλ式中λ、ϕ、δ、h 0、t 分别代表当地的经度、纬度、太阳赤纬、太阳高度角和时刻（北京时间）。
编写程序计算时注意到，当1cos cos sin sin sin 0≤⋅⋅-δϕδϕh 时，反余弦函数值才存在，应采用判断，当其大于t 时则进行下一个t 的计算。
5.3模型一的检验以实际某地情况为例，已知当地的经度为，纬度为，5.4影子长度关于各个参数的变化规律根据影子长度变化模型，以影子长度l为因变量，依次选择各个参数为自变量，其余参数看为固定值，进而描述出影子长度关于各个参数变化规律。
1、影子长度关于直杆长度的变化规律以直杆长度l0为自变量，以影子长度为因变量，太阳高度角h0为固定值，取直杆长度为50米，间隔为0.5米，根据公式（5），得到h0与l0之间的关系，~画出关系图像如图1：由图1我们可以很直观的的看出，在其他参数不变时，直杆长度越长，影子长度越长，且两者的比值是不变的。
2、影子长度的日变化规律以每日的时间t作为自变量，影子长度为因变量，其它参数为固定值，取为2015年10月22日北京时间8:00-16:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的日变化规律。
由于地球是个固体球,且自西向东自转,因此太阳高度也呈现出与之对应的日变化规律:地球上观察太阳为东升西落,早晨太阳从东方地平线上升起,晨昏线上太阳高度为0 ，随着太阳的逐渐升高,太阳高度是逐渐增大的，影子的长度逐渐减小。
当某地经线正对太阳光时,地方时为正午12点，即为北京时间12时15分,此时太阳高度角达到一天中的最大，影子长度最小。
之后太阳逐渐西落,太阳高度也慢慢变小，影子逐渐变长,到西方地平线落下时,没有影子。
3、影子长度随纬度变化规律以纬度 作为自变量，影子长度为因变量。
其它参数为固定值，由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年10月22日北京时间12时东经116度23分29秒3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随纬度的变化规律。
正午太阳高度由直射点向南北两侧递减，故影子长度由直射点向南北两侧递增。
夏至:6223'+=ϕ，影子长度从北回归线向南北两侧递增;同样冬至:6223-'=ϕ，影子长度从南回归线向南北两侧递增;春秋分:0=ϕ，影子长度从赤道向南北两侧递增,且离直射点距离越近,与直射点纬度差越小,影子长度就越小。
4、影子长度随季节的变化规律 以季节作为自变量，影子长度为因变量。
由于正午太阳高度角最能反映太阳辐射的强弱变化,故取2015年北京时间12时天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆，根据公式（6），得到影子长度的随季节的变化规律。
北回归线及以北地区,6月22日正午太阳高度达一年中最大值，此时影子长度最小,12月22日达一年中最大值;南回归线以南地区,12月22日达一年中最小值,6月22日达一年中最大值;南北回归线之间,一年中因有两次太阳直射机会,赤道至北回归线之间12月22日的正午影子长度达一年中最大值,而赤道至南回归线之间6月22日达一年中最大值。
5.5问题一的求解求解步骤：1）将2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆符号化为907.39+=λ，491.116=ϕ，30=l ；2）计算太阳赤纬：已知年份为2015年，积日为295，代入公式得：9424.79)4/9851-((-1985-2422.06764.790=⨯+=）年份）（年份INT N067.2150=-=N N t6996.32422.365/2==t πθ8627.10-3cos 0201.02cos 3656.0cos 758.03sin 1712.02sin 1149.0sin 2567.233723.0=++--++=θθθθθθδ得到太阳的赤纬角为8627.10-3）计算太阳时角：需将当地时间转化为北京时间，得到2015年10月22907.39+=λ。