10第十章无穷级数1
无穷级数知识点
⽆穷级数知识点⽆穷级数知识点⽆穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯⼀，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。
2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数⼀定条件收敛。
. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞===∑∑。
②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。
③若⼆者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，⽽()1110k ∞=-=∑收敛。
4．三个必须记住的常⽤于⽐较判敛的参考级数：a) 等⽐级数：0111n n ar ar r ∞=?-=??≥?∑,收敛，r 发散，b) P 级数： 11p n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 1c) 对数级数： 21ln pn n n ∞=>?=?≤?∑收敛，p 1发散，p 15.三个重要结论①11()n n n a a ∞-=-∑收敛lim n n a →∞存在②正项（不变号）级数n a ∑收2n a ?∑收，反之不成⽴，③2n a ∑和2n b ∑都收敛n n a b ?∑收，n na b n n∑∑或收6．常⽤收敛快慢正整数 ln (0)(1)!n n n n a a n n αα→>→>→→由慢到快连续型 ln (0)(1)x x x x a a x αα→>→>→由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常⽤技巧1.达朗贝尔⽐值法 11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l µµ+→∞→+∞=>≠??=??收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 柯西根值法 1,1,1,n n n n l u l l n l µ=>??=?收发（当为某次⽅时）单独讨论3. ⽐阶法①代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤∑∑∑∑收敛收敛，发散发散②极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
高数第十单元无穷级数
第十单元 无穷级数10－1 常数项级数的概念与审敛法［教学基本要求］高等数学 1. 理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与p -级数的敛散性，掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理；4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．微积分 1。
理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；２．了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数与p -级数的敛散性结果,掌握正项级数的比较审敛法；３．了解交错级数的莱布尼茨定理;4．了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系．[知识要点]一、常数项级数的敛散性判别法及其说明除开因lim n n u →∞≠0，而判定n n u ∞=1∑发散外，常用以下方法判别级数的收敛性.)，(2)limn≤，其且其和S u1几何级数(等比级数)n n aq ∞=1∑：当|q |<1时级数收敛；当|q |≥1时级数发散。
p -级数p n n ∞=11∑：当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散。
级数ln pn n n∞=21∑,当p >1时级数收敛，当p 0<≤1时级数发散. 二、正项级数判敛的一般程序：nu∞=1∑ ρ=1 n u n n u ∞=1∑发散 n n u ∞=1∑发散,n n u ∞=1∑收敛三、任意项级数的判敛程序：收敛 n n u ∞=1∑条件收敛nn u∞=1∑发散nn u∞=1∑绝对收敛nn u∞=1∑发散［错误诊断］例1 判别下列级数的敛散性：(1）n ∞=1 （2）()nn n ∞=14+-12∑． （1）［错解］因为n =0，故该级数收敛．［错误分析］ lim n n u →∞=0是级数n n u ∞=1∑收敛的必要条件，不是充分条件．因此不能用一般项的极限为零判别级数收敛，但如果lim n n u →∞≠0,级数n n u ∞=1∑一定发散.[正确解法］因n n ==1,由n n ∞=11∑发散，知该级数发散． (2）[错解］因为()()()lim lim lim[()]n n n n n nn n n n nu u +1+1+1+1→∞→∞→∞4+-14+-14+-1==2224+-1不存在,所以该级数发散． ［错误分析]正项级数的比值判别法只是正项级数收敛的充分条件，不是必要条件．也就是说，正项级数n n u ∞=1∑收敛，并不一定有limn n nu u ρ+1→∞=<1．［正确解法］因为该级数是正项级数，且当n ≥1时，()n n n n u 4+-15=≤22．由于等比级数nn ∞=152∑收敛，由比较判别法知所给级数收敛．例２ 若n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑皆收敛，且对于一切自然数n 有n n n u c v ≤≤，证明n n c ∞=1∑也收敛．[错误证明］由于n n c v ≤，且n n v ∞=1∑收敛，故由比较判别法可知n n c ∞=1∑收敛．［错误分析]上述证明的依据是级数的比较判别法，但是这个判别法只适用于正项级数．而题中并没有指明n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑为正项级数，因此上述证明方法不正确．［正确证法]由于n n n u c v ≤≤，因此n n n n c u v u 0≤-≤-，即()n n n c u ∞=1-∑与()n n n v u ∞=1-∑皆为正项级数．由于n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，因此()n n n v u ∞=1-∑收敛．由正项级数的比较判别法可知()n n n c u ∞=1-∑收敛．又()n n n n c u c u =+-，由级数的性质可知n n c ∞=1∑收敛．[典型例题补充］例1 选择题 下列命题中正确的是（ ）．A ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都收敛，则()n n n u v ∞=1+∑可能发散．B ． 若nn u∞=1∑收敛,n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．C ． 若nn u∞=1∑与n n v ∞=1∑都发散,则()n n n u v ∞=1+∑必定发散．D ． 若()nn n uv ∞=1+∑收敛，则n n u ∞=1∑与n n v ∞=1∑必定收敛．解 正确答案是B ．由级数的性质知命题A 错误．由反正法知命题B 正确．事实上，假设()n n n u v ∞=1+∑收敛，由n n u ∞=1∑收敛及()n n n n v u v u =+-知，n n v ∞=1∑也收敛，这与已知矛盾．故()n n n u v ∞=1+∑必定发散．若设n n n u ∞∞=1=1=1∑∑发散,()n n n v ∞∞=1=1=-1∑∑也发散，但是()()n n n n u v ∞∞=1=1+=1-1=0∑∑收敛．可知命题C 与D 都不正确．说明 若n n u ∞=1∑收敛，n n v ∞=1∑发散，则()n n n u v ∞=1±∑必定发散可以作为判定级数()n n n u v ∞=1±∑发散的充分条件使用．例1表明有限项相加的性质不能随意使用到无穷多项相加之中． 例2 判别下列级数的敛散性：（1）()n nn n n ∞=131+∑；(2） (cos )n n ∞=111-∑;（3)nn n n ∞=1⎛⎫⎪2+1⎝⎭∑;（4) !()n n n a n a n ∞=1>0∑． 解 （1）因为lim lim()n n n n u e n→∞→∞13=3=≠011+，所以n n u ∞=1∑发散． (2)分析：由于lim(cos )n n →∞11-=0，而cos sin n u n n211=1-=2>02 注意：sin ()lim lim lim ()sinn n n n nu n u n n n222+1→∞→∞→∞212⎡⎤112+1⎛⎫===1 ⎪⎢⎥12+12⎝⎭⎣⎦22 可知所给级数不能利用比值判别法判定．解法1 注意 cossin n u n n211=1-=2>02 由于当x >0时，sin x x <,可知sin n n 11<22，sin n n 2211<24 正项级数n n ∞2=114∑为收敛级数，由比较判别法可知(cos )n n ∞=111-∑收敛．解法2 由于当x →0时,sin x ～x ．可知当n →∞时sin n u n 21=22～n v n21=2则 sin lim lim n n n nu n u n 2+1→∞→∞2122==112,由于n n ∞2=11∑收敛，可知(cos )n n ∞=111-∑收敛． （3）因为n n 1==<12，所以nn n n ∞=1⎛⎫ ⎪2+1⎝⎭∑收敛． （4)分析：题中的a 没有限制其值，因此应该对a 加以讨论．解 因为()!!lim limlim ()n n n n n n n n n nu a n a n a au e n n n +1+1+1→∞→∞→∞+1===+11⎛⎫1+ ⎪⎝⎭故当a e >时,原级数发散;当a e <时，原级数收敛;当a e =时，不能用比值判别法判定所给级数的收敛性．但注意到数列nn ⎧⎫1⎪⎪⎛⎫1+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为单调增加且有上界，由于n n u u +1≥，又lim n n nu u +1→∞=1,由极限的性质可知当n 充分大时,必有n n u u +1>>0，因此lim n n u →∞≠0．故!n n n a n n ∞=1∑发散．例3 讨论级数ln ()pn np n∞=3>1∑的敛散性． 分析:通项中有ln n 因子,可考虑用积分判别法．解 令ln ()p x f x x =，当x ≥3时()f x ≥0，又ln ()()p p xf x p x +11-'=<0>1，故()f x 在[,)3+∞是正的单调递减函数，且ln ()p nf n n=，ln ()ln pp px x x f x dx dx xdx p p xx +∞1-1-+∞+∞+∞33331==-⋅1-1-⎰⎰⎰ln ()p ppp 1-1-233=-3<+∞1-1- 故由积分判别法知级数收敛．例4 设()ln nn n u n +1=-1，试判定n n u ∞=1∑与n n u ∞2=1∑的收敛性，并指出是绝对收敛，还是条件收敛？分析:n n u ∞=1∑是交错级数，n n u ∞2=1∑是正项级数．由于||ln ln()n n u n n+11==1+，注意到x →0时，ln()x x1+等价．解 因为ln()()n nn 111+→∞，所以lim ln ()n n n →∞111+=1，由于n n∞=11∑为发散的调和级数，因此lnn n n∞=1+1∑为发散级数． 因为ln()ln()n n 111+>1++1，且lim ln()lim n n n n →∞→∞111+==0，则由莱布尼兹定理知()ln n n n n ∞=1+1-1∑收敛．从而知其条件收敛．因ln ()nu n 221=1+，且lim ln ()lim()n n n n nn 2222→∞→∞11111+==1 由于级数n n ∞2=11∑为收敛级数，故由极限形式的比较判别法可知n n u ∞2=1∑收敛．［课堂练习］一、填空题１．若正项级数n n u ∞=1∑收敛，则n ∞=1是 级数．２．已知lim ()n n nu k →∞=≠0，则n n u ∞=1∑是 级数．３．已知lim n n a a b →∞=>>0，则nn n b a ∞=1⎛⎫⎪⎝⎭∑是 级数．４．级数(ln )nnn ∞=153∑的和为 ． ５．级数()()()n n n n n n 3∞=1-2+52-12+12+3∑是 级数．二、选择题1．下列命题中正确的是（ ）．A ．若n n u ∞=1∑收敛，则必有lim n n u →∞=0； Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则必有lim n n u →∞≠0;Ｃ．若lim n n u →∞=0,则n n u ∞=1∑必定收敛； Ｄ．若lim n n u →∞=0，则n n u ∞=1∑必定发散．2．下列命题中正确的是（ ）．A ．若||n n u ∞=1∑收敛，则n n u ∞=1∑必条件收敛；Ｂ．若n n u ∞=1∑发散，则||n n u ∞=1∑必定发散;Ｃ．若||n n u ∞=1∑发散，则n n u ∞=1∑必定发散； Ｄ．若n n u ∞=1∑收敛,则||n n u ∞=1∑必定收敛．3．若级数n n u ∞=1∑收敛于S ，则级数()n n n u u ∞+1=1+∑( ）．A ．收敛于S 2； Ｂ．收敛于S u 12+； Ｃ．收敛于S u 12-； Ｄ．发散．4．若级数nn a ∞2=1∑和nn b ∞2=1∑都收敛,则级数n n n a b ∞=1∑（ ）A ．一定条件收敛；Ｂ．一定绝对收敛；Ｃ．一定发散；Ｄ．可能收敛可能发散． ５．设a为常数，则sin ()n na n ∞2=1-∑为（ ）． A ．绝对收敛； Ｂ．条件收敛； Ｃ．发散；Ｄ．收敛性与a 有关．三、判别下列级数的敛散性1．n n 1∞3=11⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； 2．nn n 1∞=11⎛⎫⎪⎝⎭∑； 3．n ∞=1．四、判别下列级数的敛散性,若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？ 1．ln()()nn n n ∞=11+-11+∑； 2． ()(cos )n n n α∞=1-11-∑ （α>0为常数）．答案 一、1．收敛;2．发散;3．收敛；４．ln 33-5；5．发散．二、1．A ； 2．B ； ３．C; ４．B; ５．C三、１．发散,p 级数;→1； ３．收敛． 四、1．条件收敛； 2．绝对收敛．10－2 幂级数［教学基本要求］高等数学 1。
无穷级数
第十章 无穷级数一、本章结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→⎪⎩⎪⎨⎧→函数的幂级数展开收敛半径、收敛区间和函数求解幂级数函数项级数发散条件收敛绝对收敛敛散性判定交错级数根值审敛法比值审敛法比较审敛法敛散性判定正项级数常数项级数无穷级数二、基本概念1．无穷级数：设给定一个数列1u ，2u ，， n u ，，则由这数列构成的表达式12n u u u ++++称为无穷级数，简称级数，记为1nn u∞=∑，即121nn n uu u u ∞==++++∑其中n u 称为级数的一般项（或通项），2．级数1n n u ∞=∑前n 项的部分和：级数1n n u ∞=∑的前n 项的和，记作n S3．级数的和：若级数1n n u ∞=∑的部分和数列{}n S 的极限存在，即lim n n S S →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛，S 为级数1nn u∞=∑的和，记为121nn n uu u u S ∞==++++=∑如果lim n n S →∞不存在，则称级数1nn u∞=∑发散4．正项级数：如果级数1nn u∞=∑的每一项都是非负数，即0(1,2,)n u n ≥=，则称此级数为正项级数5．交错级数：如果各项是正负交错的级数，可以写成下面的形式1234u u u u -+-+-或 1234u u u u -+-+其中1u ，2u ，都是正数，则称此级数为交错级数6．绝对收敛：如果级数1nn u∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u∞=∑收敛，则称级数1nn u∞=∑绝对收敛7．条件收敛：如果级数1nn u∞=∑收敛，而级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛8．函数项级数：如果给定一个定义在区间I 上的函数列12(),(),,(),n u x u x u x ，则称有这个函数列构成的表达式121()()()nn n uu x u x u x ∞==++++∑ （1）为定义在区间I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数9．收敛点：对于任意的0x I ∈，函数项级数就成为常数项级数1()nn u x ∞=∑，若此常数项级数收敛，则称点0x 是函数项级数的收敛点；若常数项级数发散，则称点0x 是函数项级数的发散点10．收敛域：函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域；所有发散点的全体称为它的发散域11．和函数：在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()S x ，称()S x 为函数项级数的和函数，这个函数的定义域就是级数的收敛域，即12()()()()n S x u x u x u x =++++12．幂级数：形如2012nn a a x a x a x +++++的级数称为幂级数，记作nn n a x∞=∑，其中012,,,,,n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数13．幂级数收敛半径：对于幂级数nn n a x∞=∑，若存在正数R ，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；使得当x R >时，幂级数发散；当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散，这个正数R 称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径，收敛域内的最大开区间),R R -（称为幂级数nn n a x∞=∑的收敛区间14．泰勒级数：如果函数)(x f 在点0x 的某邻域内具有任意阶导数，有泰勒公式可知，函数)(x f 将展成幂级数+-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000称以上幂级数为函数)(x f 在点0x 处的泰勒级数，其系数称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒系数三、基本定理1．收敛级数的基本性质：（1）如果级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1n n ku ∞=∑也收敛，且级数1nn ku∞=∑收敛于kS（2）如果级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑分别收敛于1S 和2S ，则级数1()n n n u v ∞=±∑也收敛，且级数1()nn n uv ∞=±∑收敛于12S S ±（3）在级数1n n u ∞=∑中任意去掉、增加或改变有限项，级数的敛散性不会改变，但对于收敛级数，其和将受到影响（4）如果级数1n n u ∞=∑收敛，则任意加括号后得到的级数1121111()()()k k n n n n n u u u u u u -++++++++++++仍收敛，其和不变（5）如果加括号后所得的级数发散，则原来级数也发散 （6）级数收敛的必要条件：若级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=（7）lim 0n n u →∞≠（包括极限不存在），则级数1nn u∞=∑必发散2、正项级数审敛法（1）正项级数1nn u∞=∑收敛的成分必要条件是它的部分和数列有界（2）比较审敛法：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且(1,2,)n n u v n ≤=，若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；反之，若级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑发散（3）设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果级数1nn v∞=∑收敛，且存在自然数N ，使当n N ≥时，有(0)k n u kv k ≤>成立，则级数1nn u∞=∑收敛；若级数1nn v∞=∑发散，且当n N≥时，有(0)k n u kv k ≥>成立，则级数1nn u∞=∑发散（4）设级数1n n u ∞=∑是正项级数，如果有1p >，使1(1,2,)n p u n n ≤=，则级数1nn u ∞=∑收敛；如果1(1,2,)n u n n≥=，则级数1n n u ∞=∑发散（5）比较审敛法的极限形式：设级数1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，如果lim (0)nn nu l l v →∞=<<+∞，则级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑有相同的敛散性 （6）比值审敛法：若正项级数1n n u ∞=∑的后项与前项的比的极限等于ρ，即1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或1lim n n nu u +→∞=∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散，要用其他方法判定（7）根值审敛法：设级数1nn u∞=∑是正项级数，如果它的一般项n u 的n 次根的极限等于ρ，即n ρ=，则当1ρ<时级数收敛；当1ρ>（或n =∞）时级数发散；当1ρ=时级数可能收敛也可能发散 3、交错级数审敛法莱布尼茨定理：如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件1(1,2,)n n u u n +≥=及lim 0n n u →∞=，则级数收敛，且其和1S u ≤，其余项n r 的绝对值1n n r u +≤4、绝对收敛与条件收敛的关系如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑一定收敛 （逆定理不成立）5、幂级数收敛域的定理（1）阿贝尔定理：如果幂级数nn n a x∞=∑，当00(0)x x x =≠时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使次幂级数绝对收敛。
10第十章 无穷级数
练习 10.1 1.解：(1) =n u 1(1)n +-；(2) =n u 1121(1)n n n a +-+-；(3) =n u 12+n n； (4) =n u 21n n -+。
2.解：(1) 当n 为奇数时, 前n 项和1=n S ；当为偶数时，前n 项和0=n S ,所以n n S ∞→lim 不存在。
故此级数发散。
(2) 由于)1ln(]1ln 2[ln )]1ln([ln ]ln )1[ln(+=-++--+-+=n n n n n S n所以，=∞→n n S lim +∞。
故此级数发散。
(3) 由于此级数为公比是15的等比级数，故此级数收敛。
(4) 由于此级数为公比是x -的等比级数，所以，当1x <时，级数收敛; 当1x ≥时，级数发散。
(5) 由于)1211(21)121121(21)12)(12(111+-=+--=+-=∑∑==n k k k k S n k nk n所以，21)]1211(21[lim lim=+-=∞→∞→n S n n n 。
故此级数收敛。
练习 10.2 1.解：(1) 由于01212lim lim ≠=-=∞→∞→nn u n n n ，故此级数发散。
(2) 由于6sin lim lim πn u n n n ∞→∞→=不存在，故此级数发散。
(3) 由于011sin lim1sin lim lim ≠===∞→∞→∞→nn nn u n n n n ，故此级数发散。
(4) 由于0151lim lim ≠==∞→∞→n n n n u ，故此级数发散。
(5) 由于级数∑∞=163n n n 与级数∑∞=162n n n均为收敛的等比级数，故此级数收敛。
(6) 由于∑=10012n n 是有限个数相加，而级数∑∞=121n n 为收敛的等比级数，故此级数收敛。
(7) 由于级数∑∞=121n n 为收敛的等比级数，而级数∑∞=131n n为发散的级数，故此级数发散。
无穷级数的概念与性质
无穷级数的概念与性质无穷级数（Infinite series）是数学中一个非常重要的概念，它是由无限多个数相加或相减得到的数列。
在数学中，我们经常会遇到各种各样的无穷级数，它们具有丰富的性质和应用。
本文将介绍无穷级数的基本概念，并探讨其性质及应用。
一、无穷级数的概念无穷级数指的是无限多个数按照一定的规律连加（或连减）得到的数列。
一般可以表示为下面的形式：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁、a₂、a₃是无穷级数的通项，S是无穷级数的和。
无穷级数的和并不一定存在，它可能是一个有限数值，也可能是无穷大或不存在。
二、常见的无穷级数1.等差数列等差数列是最简单的无穷级数之一。
它的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，a₁是首项，d是公差，n表示项数。
等差数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ + (a₁+d) + (a₁+2d) + ...通过对等差数列求和，我们可以得到如下公式：S = (a₁ + aₙ) * n / 22.等比数列等比数列也是常见的无穷级数之一，它的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，a₁为首项，q为公比，n表示项数。
等比数列的无穷级数可以通过求和公式来计算：S = a₁ / (1-q)其中，当0<q<1时，S存在且为有限值，当q≥1时，S不存在。
3.调和级数调和级数是指无穷级数的通项是倒数的情况，它的通项公式为：aₙ = 1/n调和级数可以表示为：S = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个特殊的无穷级数，它的和可以无限增大。
例如，前n项和可以表示为：Sₙ = 1/1 + 1/2 + ... + 1/n当n趋向于无穷大时，Sₙ趋向于无穷大。
三、无穷级数的性质1.收敛与发散无穷级数的和可能是有限的，也可能是无穷大，也有可能不存在。
如果一个无穷级数的和存在并且有限，我们称该级数是收敛的；反之，如果一个无穷级数的和不存在或者无穷大，我们称该级数是发散的。
无穷级数(全)
无穷级数1、无穷级数：表达式 +++++n u u u u 321 称为无穷级数,简称级数.记作∑∞=1n nu, 其中n u 称为级数的一般项.2、部分和: 级数∑∞=1n nu的前n 项和 ∑==nk kn uS 1称为级数∑∞=1n nu的部分和.3、收敛的定义: 如果级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛.S 称为级数∑∞=1n nu的和, 并写成： ++++=321u u u S ∑∞==1n nu.如果}{n S 没有极限, 则称级数∑∞=1n nu发散.4、常数项级数收敛的必要条件：若级数∑∞=1n nu收敛，则必有0lim =∞→n n u ，反之若0lim ≠∞→n n u ，则级数一定发散5常用级数敛散性判定方法： ①等比级数：∑∞=0n n aq ，当 1q < 收敛，且级数收敛于qa -111q ≥ 发散当然等比级数的敛散性也可以由等比级数的部分和数列来判断：若S 存在则收敛，反之则发散. ②P-级数：∑∞=1n P n 11p >收敛，1p ≤发散(p=1时为调和级数)；③常数级数：∑∞=0n C 当0≠C 时级数发散，0=C 时，级数收敛.6、级数收敛的性质 以下假设∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛于S 与T , 则①∑∑∞=∞==11n n n nu u λλ, (λ为常数). ②∑∑∑∞=∞=∞=±=±111)(n n n n n n nv u v u.③∑∞=1n nu收敛⇔对任意的非负整数m ,有∑∞+=1m n nu收敛.即: 在级数前面去掉或加上有限项不影响级数的敛散性. ④若S un n=∑∞=1,则将级数的项任意加括号后所成的级数S n n=∑∞=1σ. 反之不然.7、正项级数敛散性的判定方法： ①充要条件：部分和数列有界②比较法：对级数的缩放，利用已知的级数来判断未知级数的敛散性；适用于含有P(型)-级数、、多项式和正余弦的级数.其中P(型)-级数、对数、多项式主要是删减低次项和常数项，而正余弦主要是利用其小于1的性质.③比阶法：找到一个已知敛散性的级数，通过其与需求级数作商曲极限，来判断需求级数的敛散性.适用于P(型)-级数，等比级数、多项式等.定义如下：设∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均为正项级数,若L v u nnn =∞→lim，则(1)当L=0时,若∑∞=1n nv收敛,则∑∞=1n nu也收敛；(2)当L=+∞时,若∑∞=1n nv发散,则∑∞=1n nu也发散.(3)当0<L<+∞时,∑∞=1n nv与∑∞=1n nu有相同敛散性.④比值法：通过对级数通向第n+1项与第n 项作商取极限来判断级数敛散性.不适用含有对数、多项式和正余弦的级数.定义如下：设∑∞=1n n u 为正项级数,若ρ=+∞→nn n u u 1lim,则(1)1<ρ时, 级数∑∞=1n nu收敛；(2) 1>ρ或+∞=ρ时, 级数∑∞=1n nu发散；(3)1=ρ时, 级数∑∞=1n nu可能收敛也可能发散.⑤其他常用方法(1)关于级数中带有多项式的分式方程的：ⅰ分子最高次≥分母最高次则级数一定发散； ⅱ分子最高次＜分母最高次，则用比阶法来判断. 设sn n V 1=（s 为分子最高项-分母最高项的差值） (2)关于级数中带有对数的：用比阶法题目中()c n U tn +=ln ，就设tn n V 1=作商取极限，需要用L ，hospital 定理8、交错级数的审敛法：（莱布尼茨定理) 设∑∞=--11)1(n n n u 为交错级数, 若满足(1) n n u u ≤+1, ,2,1=n ； (2) 0lim =∞→n n u , 则 ∑∞=--11)1(n n n u 收敛,9、任意项级数的绝对收敛和条件收敛 ①绝对收敛的级数∑∞=1n nu ：∑∞=1||n nu 收敛；②条件收敛的级数∑∞=1n n u：∑∞=1||n nu发散, 但∑∞=1n n u 收敛.③∑∞=1||n nu收敛 ⇒ ∑∞=1n n u 收敛. 反之不然.④此类级数多用比值法来判断绝对值级数是否发散 ⑤若任意项级数∑∞=1n nu条件收敛，则其所有正项或者负项构成的级数均为发散的.10、函数项级数①定义: 设 ),(,),(),(21x u x u x u n 是定义在I 上的函数,则++++=∑∞=)()()()(211x u x u x u x u nn n称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.②收敛域(1) 收敛点I x ∈0—— ∑∞=10)(n nx u 收敛；(2) 发散点I x ∈0——∑∞=10)(n nx u 发散；(3) 收敛域D —— ∑∞=1)(n nx u 的所有收敛点的全体D ；(4) 发散域G ——∑∞=1)(n n x u 的所有发散点的全体G .（5）解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其收敛域.ⅰ用比值法算出大致收敛域：）（的式子关于x 1Q x lim==+∞→nn n u u ρ，令）（x Q <1，算出x 收敛大范围（a ，b ），收敛半径R=2b-a （()∞++∞∞-∈可以为R R ,,） ⅱ将端点值带入级数∑∞=1)(n nx u中，算出∑∞=1)(n n a u 与∑∞=1)(n n b u 的敛散性，判断端点值是否可以取到，过程可以略过. ⅲ综上所述，写出级数∑∞=1)(n nx u的收敛域③和函数)(x S —— ∑∞==1)()(n nx u x S , D x ∈.解题方法：已知级数∑∞=1)(n nx u，求其和函数.ⅰ求出其收敛域；ⅱ将级数经过求导或者积分，得到一个等比级数 ⅲ用等比级数收敛公式qa -11算出和函数的导数或者原函数的表达式；ⅳ将求出的表达式积分或求导，写成)(x S 的形式，并注明收敛域.【注】已知级数∑∞=1)(n nx u，求∑∞=1n n V 的和ⅰ-ⅳ步骤同上ⅴ将n n V x u 与)(建立起联系，想当x 为何值时n n V x u =)(，然后将x 带入)(x S 中.11、函数项级数的展开式.(1) f (x ) = e x= ∑∞=0!n nn x , x ∈(-∞, +∞);(2) f (x ) = sin x = ∑∞=++-012!)12()1(n n n xn ,x ∈(-∞, + ∞);(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n ,x ∈(-∞, + ∞);(4) 11()1n n f x x x ∞===-∑ ,x ∈(-1, 1);(5) 11()()1n n f x x x ∞===-+∑ ,x ∈(-1, 1);(6) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x n , x ∈(-1, 1]。
10-1 收敛原理与数项级数
2 m项
1 即前m 1项大于( m 1) 级数发散 . 2
由性质4推论,调和级数发散.
思考题
设 bn 与 c n 都收敛，且存在正整数N,
n 1 n 1
使当
n N 时有
an un bn
，证
a n 也收敛？
n 1
要求用柯西审敛原理证明．
如果 q 1时
当q 1时, sn na 发散 当q 1时, 级数变为a a a a
lim sn不存在
n
发散
n
综上所述，级数
当q 1时, 收敛 aq n 0 当q 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1 1 的收敛性. 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1) 1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
由级数可以得出级数的部分和，反之，也可以由级数 的部分和确定级数。
若 sn ak , 则 an sn sn1 , 其中规定 s0 0 。
k 1
n
定理3：（级数收敛的必要条件）
若级数
a
n=1
n
收敛，则
当n无限增大时, 它的一般项 an趋于零, 即
级数收敛 lim an 0.
第十章 无穷级数
10－1 柯西收敛原理与数项级数的概念 1，柯西收敛原理 定理 1：（柯西收敛原理）
设 an 是一个序列， 则an 有极限的充分必要条件是：
0 , 自然数 N，满足：
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第十章 无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与p 级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列1u ，2u ， ，n u ， ，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++ 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑ ，其中第n 项n u 叫做级数的一般项．2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u∞=∑的前n 项和121nn n ii s u u u u==+++=∑ ，n s 称为级数1nn u∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3, 时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++， ，12n n s u u u =+++ ， ．如果级数1nn u∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1nn u∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n su u u u =+++++ 或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变．（2）如果级数1nn u∞=∑、1nn v∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为sσ±．（3）在级数1nn u∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变．（5）如果级数1nn u∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=．说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim nn u →∞不为零，则级数1nn u∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数级数21n nn q q q q ∞==++++∑或201n nn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散．（2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数．（3）p 级数级数11111123ppppn nn∞==+++++∑ 称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法1．比较审敛法设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有nn u v ≤成立．若级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果级数1nn u∞=∑发散，则级数1nn v∞=∑也发散．2．比较审敛法的极限形式设1nn u∞=∑和1nn v∞=∑都是正项级数．（1）如果limn n n u l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；（2）如果limn n nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1n n u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比nv 高阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v∞=∑发散，则级数1nn u∞=∑发散．3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1n n u ∞=∑为正项级数，如果1limn n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1li mn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果limn ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或limn →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：112341(1)n n n u u u u u ∞-=-+-+=-∑，或 12341(1)nn n u u u u u ∞=-+-+-=-∑， 其中1u ，2u ， 都是正数． 2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足条件：（1）1nn u u +≥ （1,2,3,n = ）； （2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1n n u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1n n u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1n n u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1n n u ∞=∑发散，我们不能断定级数1n n u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim1n n nu u ρ+→∞=>或lim1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1n n u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1n n u ∞=∑发散）． 五、幂级数（一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ，2()u x ， ，()n u x ， ，则由这函数列构成的表达式 1231()()()()()n nn u x u x u x u x ux ∞=+++++=∑ 称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数1020300()()()()n u x u x u x u x +++++ ．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()nn ux ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()nn ux ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成123()()()()()n s x u x u x u x u x =+++++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为20120n nn n n a x a a x a x a x ∞==+++++∑，其中常数0a ，1a ，2a ， ，n a ， 叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数0nn n a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间． 3．求收敛半径及收敛区间的方法（1）对于标准形式的幂级数nn n a x ∞=∑或1nn n a x ∞=∑，有如下方法：如果1limn n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径 1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩．（2）对于非标准形式的幂级数()n n u x ∞=∑或1()n n u x ∞=∑（如202!nnn xn ∞=∑或(1)2nnn x n ∞=-∑），方法如下：令 1()lim1()n n n u x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数1．幂级数和函数的性质性质1 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质2 幂级数nnn ax ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式100()1x x x n nn nn n n n n a s x dx a x dx a x dx xn ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦∑∑∑⎰⎰⎰（x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质3 幂级数0nn n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()1001()n nn n n n n n n s x a x a xna x∞∞∞-==='⎛⎫''===⎪⎝⎭∑∑∑（x R <）， 逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)nn x +、1n nx-等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式 （1）20111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）201(1)1(1)1nn n nn x x x x x∞==-=-+-+-++∑ ，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性．1．11n ∞=∑．解：因11limlim 2n n n n →∞→∞==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．13n ∞=∑．解：因2233lim lim 3n n n n→∞→∞==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nnnn ∞=-∑ ．解：因 33552limlim 152335nnnnnnn n n n n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sinn n∞=∑．解：因 1sinlim11n n n→∞=，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛． 6．32tann nnπ∞=∑ ．解：因 2222tan lim lim 211n n n n n n nnπππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n nn ∞=++∑ ．解：因 333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）．解：当1a =时， 111limlim0122nn n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时， 11limlim10110nn n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim111n nnn n naa aa→∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑．解：因11(2)!(2)!222limlim lim(1)!2(1)!22nn n n n n nn n n n n ++→∞→∞→∞+++=⋅==∞++，故原级数发散．2．213nn n ∞=∑．解：因221212(1)(1)313limlim1333n n n n n nn n n n++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑．解：因1135(21)(21)2123(1)!limlim1135(21)3(1)33!n n n nn n n n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅++⋅+==<⋅⋅⋅⋅-+⋅ ，故原级数收敛． 4．110!nn n ∞=∑．解：因111010!(1)!limlim0110(1)!10!n n nnn n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑．解：因112121212limlim 12122122nn n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn n π∞=∑．解：因22sin22limlim 1122nnn n n n n n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同． 对于级数212nn n ∞=∑，因221212(1)(1)212limlim1222n n n n n nn n n n++→∞→∞++=⋅=<，故级数212nn n ∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑．解：1ln[2(1)]11lim lim lim122nnn n ne+-→∞→∞→∞===<，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nnn∞=+∑．解：1lim lim lim01ln(1)n n n n→∞→∞→∞===<+，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛．1．11(1)nn∞-=-∑．解：因级数1111(1)nn n∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足1n nu u+=>=，且lim0n→∞=，所以原级数收敛且为条件收敛．2．1211(1)nnn∞-=-∑．解：因级数1221111(1)nn nn n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1nnnn∞+=-+∑．解：因1lim(1)1nnnn+→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin27nnnπ∞=∑．解：11sin272n nnπ≤，而级数112nn∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin27nnnπ∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域．1．11(1)nn n xn∞-=-∑ ．解：因111limlim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．!nn xn ∞=∑．解：因111(1)!limlimlim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．!nn n x ∞=∑．解：因1(1)!limlim!n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121nnn x n ∞=+∑．解：因12212222(1)(1)1limlimlim 22(1)11n n nn n n na n n a n n ρ++→∞→∞→∞+++====+++，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1nn n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-． 【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim1(1)22n n nn n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim1(1)21n n n n nxn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．【例10-7】求下列幂级数的和函数．1．11n n nx∞-=∑．解：先求幂级数的收敛域． 令 1(1)lim1nn n n x x nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数11()n n s x nx∞-==∑，则2111()()()()1(1)nnn n x s x x x xx ∞∞=='''====--∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑．解：先求幂级数的收敛域．令 212211(1)21lim1(1)21n nn n n xn x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则12224122211()(1)1(1)1n n n n n s x xx x xx∞----='=-=-+-+-+=+∑，故 []2001()arctan arctan 1x xs x dx x x x===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n xn n ∞+=+∑．解：先求幂级数的收敛域．令 211(1)(2)lim11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数111()(1)n n s x xn n ∞+==+∑，(1,1)x ∈-，则11111111()(1)(1)n n nn n n s x x x xn n n n n ∞∞∞++===''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑，1111111()()()1nnn n n n s x x x xnn x∞∞∞-===''''====-∑∑∑，故 []001()ln(1)ln(1)1x xs x dx x x x'==--=---⎰，[]0()ln(1)(1)ln(1)xs x x dx x x x =--=--+⎰，[1,1)x ∈-．当1x =时，原级数即为11(1)n n n ∞=+∑，令 1111223(1)n s n n =+++⋅⋅+ ，则 11111111112233411n s nn n =-+-+-+-=-++ ，所以 1(1)lim lim (1)11n n n s s n →∞→∞==-=+，故原幂级数的和函数为 1,1()(1)ln(1),11x s x x x x x =⎧=⎨--+-<<⎩ ．4．1(1)nn n n x ∞=+∑．解：先求幂级数的收敛域． 令 1(1)(2)lim1(1)n nn n n xx n n x+→∞++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)(1)nn n n ∞=-+∑，发散；当1x =时，原级数即为1(1)n n n ∞=+∑，也发散．因此原级数的收敛域为(1,1)-．再求和函数．设和函数1()(1)nn s x n n x ∞==+∑，则1111111()(1)(1)()()()n nn n n n n n s x x n n xx n x x xx x∞∞∞∞-++===='''''=+=+==∑∑∑∑222322()[]1(1)(1)xx x x x x xx x -'''===---， (1,1)x ∈-．【例10-8】将下列函数展开成相应的幂级数．1．将函数21()32f x x x =-+展开成关于x 的幂级数．解：11111()()(1)(2)1212(1)2f x x x x x x x ==--=-------，而11nn xx∞==-∑（1x <），01()212nn xx ∞==-∑（12x <，即2x <），所以 1111()(1)222nnnnn n n n f x x x x ∞∞∞+====-=-∑∑∑，1x <． 2．将函数21()32f x x x =++展开成关于(4)x +的幂级数．解：11111()(1)(2)123(4)2(4)f x x x x x x x ==-=-++++-++-++111144321132x x =-⋅+++--．因11nn x x∞==-∑（11x -<<）， 故011(4)4313nnn x x ∞==++-∑ （4113x +-<< 即 71x -<<-）， 011(4)4212nnn x x ∞==++-∑ （4112x +-<< 即 62x -<<-）， 从而 001111()(4)(4)3322nnnnn n f x x x ∞∞===-+++∑∑1111()(4)23nn n n x ∞++==-+∑， 62x -<<-．【历年真题】一、选择题1．（2010年，1分）lim 0n n u →∞=是级数1nn u∞=∑收敛的 条件（ ）（A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）不确定解：根据收敛级数的性质，lim 0n n u →∞=是级数1nn u∞=∑收敛的必要条件．选项（A ）正确．2．（2009年，1分）幂级数13(1)3nnnn x ∞=+-∑的收敛半径是（ ）（A ）6 （B ）32（C ）3 （D ）13解：原幂级数即为1333n nn x x ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，由13x ≤及13x -≤可得，3x ≤，故级数的收敛半径为3，选项（C ）正确．3．（2008年，3分）数项级数21sin n a n n∞=∑（a 为常数）是（ ）级数（A ）发散的 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）敛散性由a 确定 解：因22sin a a n nn≤，而级数21n a n∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．选项（C ）正确．4．（2007年，3分）数项级数1(1)[1cos]nn a n∞=--∑（其中a 为常数）是（ ）（A ）发散的 （B ）条件收敛 （C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛解：级数1(1)[1cos]nn a n∞=--∑加绝对值后的级数为1(1cos)n a n∞=-∑，对于此正项级数，由于2222211cos 2lim lim 112n n aaa n n n n→∞→∞-⋅==为常数，而级数211n n∞=∑收敛，故级数1(1c o s )n a n ∞=-∑也收敛，所以原级数绝对收敛．选项（D ）正确． 5．（2005年，3分）幂级数1(1)(1)nnn x n∞=--∑的收敛区间是（ ）（A ）(0,2] （B ）(1,1]- （C ）[2,0]- （D ）(,)-∞+∞解：令 111(1)(1)()1limlim11(1)()(1)n n n nn n nn x u x n x x u x n+++→∞→∞--+==-<-- 可得，02x <<，故级数的收敛区间为(0,2)．又当0x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散；当2x =时，原级数即为11(1)nn n∞=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(0,2]．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）幂级数1!nn xn ∞=∑的收敛区间为 ．解：因111(1)!limlimlim 011!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+====+，故1R ρ==+∞，所以原幂级数的收敛区间为(,)-∞+∞．2．（2006年，2分）函数1()12f x x=+在1x =处展开的泰勒级数是 ．解：因1(1)1n nn x x∞==-+∑，故1111()21232(1)31(1)3f x xx x ===⋅++-+-112(2)(1)[(1)](1)333nnnnn n n x x ∞∞+==-=--=-∑∑．其中，21(1)13x -<-<，即1522x -<<．3．（2006年，2分）幂级数11(1)(2)12nnnn x ∞=--+∑在0.6x =处的敛散性是 ．解：令 11111(1)(2)()112limlim211()2(1)(2)12n n n n n n nnn nx u x x u x x ++++→∞→∞--+==-<--+，可得04x <<，即收敛区间为(0,4)，故幂级数在0.6x =处是收敛的．说明：此题也可将0.6x =代入原幂级数，判定对应的常数项级数的敛散性． 三、计算题1．（2009年，5分）求幂级数231(1)23nn xxxx n--+-+-+ 的收敛半径和收敛域．解：原级数即为11(1)nn n xn∞-=-∑．因111(1)1limlim11(1)nn n n n na n a nρ+→∞→∞--+===-，故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n∞-=-∑，收敛．故原级数的收敛域为(1,1]-．2．（2008年，7分）将函数1()3f x x =-展开成(2)x -的幂级数．解：因11nn x x∞==-∑，故011()(2)31(2)nn f x x xx ∞====----∑．其中，121x -<-<，即13x <<．3．（2007年，7分）求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛区间与和函数．解：令11()(1)(1)limlim11()(1)n n nn n n u x n x x u x n x ++→∞→∞+-==-<-，可得02x <<，故幂级数的收敛区间为(0,2)．设 1()(1)nn s x n x ∞==-∑，则 111()(1)(1)(1)nn n n s x n x x n x ∞∞-===-=--∑∑101(1)(1)(1)(1)(1)nn n n x x x x x x x ∞∞==''-⎡⎤⎛⎫'⎡⎤=--=--=- ⎪⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦∑∑22(1)(1)1(1)x x x x xx---⋅--=-⋅=， 02x <<．4．（2006年，4分）判定级数21(1)(1)nn n n ∞=-+∑的敛散性．解：此级数为交错级数，其中2(1)n nu n =+．由于3322123221(1)331(2)1(2)44(1)n nn u n n n n n n u n n n n nn +++++++===<++++，即1n n u u +<，且2l i m l i m 0(1)n n n nu n →∞→∞==+，故此交错级数符合莱布尼茨定理的条件，故该级数收敛．。