第10章第二节无穷级数的性质与敛散性 优质课件
无穷级数的概念与性质(课堂PPT)
无穷级数
14
收敛的必要条件
级数
un
n 1
收敛
lim
n
un
0.
证明 设
un s
n1
则
un sn sn1 ,
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0.
逆否命题成立：
lim
n
un
0
级数 un 发散 n 1
无穷级数
15
例：判断级数(1)n n 的敛散性。 2n 1
解：lim (1)n n
12 23 34
n n1
1 1 n 1
lim
n
S
n
1 lim (1 )
n n 1
1
(无穷小与无穷大的互逆 关系)
上级数收敛
无穷级数
8
例：判断级数ln 2 ln 3 ln 4 ... ln n 1 ...是否收敛
123
n
解：上述数列的通项可用公式ln A ln A ln B化简 B
n 1 an ln n ln(n 1) ln n
解：部分和 Sn
n(n 1) 2
(等差数列求和公式 )
lim
n
Sn
lim n2 n n 2
上级数发散
无穷级数
7
例：判断级数 1 1 1 ... 1 ...是否收敛
1 2 23 3 4
n (n 1)
解：上述数列的通项有规律可循
an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
部分和Sn
(1 1) (1 1) (1 1) ... (1 1 )
若级数 un 的每一项 un 均为常数 , n1
第10章第二节无穷级数的性质与敛散性
收敛，则级数 u , v 都收敛
n 1 n
n 1
n
v 发散，则级数 (u C．若级数 u 收敛，
n 1 n
n 1
n
vn ) 必发散
D．若级数 (u
n 1
n
vn )
发散，则级数 u , v 都发散
n 1 n
n 1
n
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vn ) u n vn S W
n 1
n 1
性质2 如果级数 un收敛（发散）， 为任一常数且，
n 1
则级数
也收敛（发散），且收敛时有
n
ku
n 1
k un
n 1
即级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。
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7 例1. 判别级数 n n 1 2
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响 级数的敛散性。 性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。 性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
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课堂练习：习题10 - 2
1．选择题：
（1）下列命题正确的是（ ）；
u n 收敛 un 0,则级数 A．若 lim n 1 n u n 收敛 lim u 0 , 则级数 n B．若 n n 1 u n 发散，则 lim u n 0 C．若级数 n n 1 u n 发散，则必有 lim un D．若级数 n n 1
无穷级数的定义性质和及敛散性判别
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a
第十章 无穷级数
第十章 无穷级数一、概念 1.定义无穷数列}{n u 中：∑∞==++++121......n nn uu u u无穷数列}{n u 的各项之和∑∞=1n nu叫无穷级数，简称级数。
n u 叫∑∞=1n nu的一般项（通项）；......21++++n u u u 为展开式。
【例】 ①∑∞=++++⨯+⨯=+1...)1(1...321211)1(1n n n n n ②...ln ...3ln 2ln 1ln ln 1+++++=∑∞=n n n③ (323)21++++=∑∞=nn nne e e e ne④......32321++++=∑∞=n x x x x nx nn n 2.级数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∑∞=),1x u u u n n n n （其中函数项级数：（数项级数）是具体数字常数项级数：每一项都①两个特殊的数项级数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅-≥∑∑∞=∞=0,1011n n n n n n n u u u u ）（交错级数：中，正项级数：②一个特殊的函数项级数∑∞=1)(n nx u中，nn n x a x u ⋅=)(（常数乘以x 的幂级数），即∑∞=1n nn xa 称为幂级数。
3.级数∑∞=1n nu的收敛与发散前n 项和n n u u u S +++= (21)数列}{n S 叫∑∞=1n nu的部分和数列。
敛散性：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=→∑∑∑∑∞=→∞∞=∞=∞=→∞→∞发散不存在，则若分和数列的极限）要求级数的和，即求部的和，记为叫收敛，则存在（若1111lim ()lim lim n n n n n n n n n n n n n n u S Su u S u S S S 【例】①∑∞=+1)1(1n n n 111)111(...)3121()211()1(1...321211+-=+-++-+-=+++⨯+⨯=n n n n n S n 1lim =∞→n n S ，∑∞=+∴1)1(1n n n 收敛②∑∞=1ln n n!ln ln ...2ln 1ln n n S n =+++=+∞=∞→n n S lim ，∑∞=∴1ln n n 发散4.几何级数与-p 级数 （1）∑∞=-11n n aq几何级数，首项a ，公比qqq a aq aq a S n n n --=++=-1)1( (1)∞→n 时：⎪⎪⎪⎪⎨⎧∞→⎩⎨⎧=⋅-+-+-=-=∞→∞→===-不存在时时n n n n S n a a a a a S q S n na S q q 0)1(...,1,,11||1Ⅰ：1||<q ，0lim =∞→nn q ，qaS n n -=∞→1limⅡ：1||>q ，∞=∞→nn q lim ，∞=∞→n n S limⅢ：【例】①111)21(2121-∞=∞=⋅=∑∑n n n n 收敛nn n n S 211211)211(2121...21212-=--=+++= ∴1lim =∞→n n S②1111)35(3135-∞=∞=-⋅=∑∑n n n n n ，135>=q 发散（2）-p 级数⇒≤⇒>发散收敛11p p ∑∞=131n n收敛∑∑∞=∞==121111n n n n 发散调和级数 (31)21111+++=∑∞=n n发散二、级数的性质 1.∑∞=1n nu与∑∞=1n nku具有相同敛散性（0≠k ）【例】∑∞=14n n 发散，∑∞=-125n n收敛2.在∑∞=1n nu中增加、减少、改变有限项不改变敛散性。
高等数学-无穷级数课件
lim
n
Sn
lim na
n
所以级数
aq
n 1
发散.
n 1
当
q
1时， aqn1
1n1，a 其前n项和
n 1
n 1
a，当n为奇数时 Sn 0，当n为偶数时
显然，当n→∞时，Sn没有极限.所以，级数
aq
n发1 散.
n 1
综上所述，等比级数
aq
n
，1 当
q
1 时收敛,
当
q 1
n 1
时发散.结论记住
注意 几何级数
aq n1
的敛散性非常重要.无论是用比
n 1
较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函
数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.
.
2．数项级数的基本性质
性质1
如果级数
u
n
收敛，其和为s,
k为常数，则级数
n 1
ku
n
也收敛，其和为ks；如果级数
un
发散，当k≠0时，
n 1
n 1
级数 kun也发散.
不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质5只
是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条
件，也就是说，即使
lim
n
un
0 ，也不能由此判定级
数
un
n 1
收敛.下面的例正说明了这一点：lim 1
n n
0
，
但级数
1
发散.
n n 1
例7
证明调和级数
1
是发散级数.
n n1
证
调和级数部分和
Snn1如图，源自u收敛．n
n 1
院校资料无穷级数.pptx
sn
,
这时级数发散.
若q 1,这时sn na (n ),因此级数发散. 若q 1,这时级数成为a a a a 此级数发散。
第12页/共122页
综上所述,几何级数
aqn a aq aq2 aqn
当|q|<1时级数收敛,且收敛于 n0，当|q|≥1时级a数发散.
1 q
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对于无穷级数 un u1 u2 un
n1
记Ｓ１ ｕ１，
Ｓ２ ｕ，１ ｕ２，
Ｓｎ u1 u2 un ,
称Sｎ为级数的部分和， 称 { Ｓｎ} 为级数的部分和数列.
考察下列级数的部分和： 1
1 2
1 22
1 23
1 2n1
1 23 n
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对于 1 1 1 1 1
p 1 时, p 1 时,
收敛 发散
注意
几何级数
n1
1 pn
当 当
p p
1 时, 1 时,
收敛 发散
1 收敛 3
n1 n 2
1 发散
n1 n
1 收敛
n1 n n
1 收敛
n1 2n
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例5 判别级数
解
因为
的敛1散性.
n1 n 1 n
1
1
1
1
n 1
n2
n1 2
2n 2
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定理1 正项级数 它的部分和数列{sn}有上界.
u 收敛的充要条件是： n n1
证 必要性:
若
{Sn} 有界
un 收敛
n1
lim
n
Sn
存在
{Sn} 有上界.
无穷级数
1 4p
1 5p
1 6p
1 7
) p
8 15 它的各项均不大于级数
p
)
1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) 2 2 4 4 4 4 1 1 ( p p ) 8 8 的对应项.
后一级数是几何级数，公比q 所以此级数收敛.
的敛散性.
注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.
第二节
正项级数及其敛散性
一、正项级数及其收敛的充要条件
二、正项级数收敛的比较判别法
三、正项级数收敛的比值判别法
一、正项级数及其审敛法
定义 设级数
u1 u2 un (1)
即u n 0, 则称此级数是 的每一项都是非负数,
n 1
u n 和 vn 都是正项
n 1
若级数 v 收敛，则级数 u n 收敛； n
n 1
反之，若级数
n 1
un
n 1
发散，则级数 vn 也发散.
n 1
推论 设级数 u n 和 vn 是两个正项级数，
n 1
n 1
且存在自然数N，使当 n N 时，有 u n kvn （k>0)
此级数收敛，和为 1.
二、收敛级数的基本性质
性质1 若级数
n 1
u n 收敛于和s，则它的各
n 1
项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.
kun
性质2 如果级数 u n 、 vn 分别 n 1 n 1 收敛于 s和
无穷级数
xn 例5 判定级数 ( x 0)的敛散性. n 1 n n 1 x u n 1 1 解： lim lim n n un n x n n n lim xx n n 1
x 级数 n 1 n
n
当0 x 1时收敛， 当x 1时发散; 当x 1时为调和级数，发散.
p
1 4p
1 5p
1 6p
1 7
) p
8 15 它的各项均不大于级数
p
)
1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) 2 2 4 4 4 4 1 1 ( p p ) 8 8 的对应项.
后一级数是几何级数，公比q 所以此级数收敛.
n 级数 n收敛，因此原级数也收敛. n1 2
例7 判别级数
1 1 2 1 2 3 n! 2 n 的收敛性. 3 10 10 10 10
解:
u n 1 (n 1)! 10 n 1 n 1 . un n! 10 10 u n 1 n 1 lim lim n un n 10
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
的敛散性.常数 p>0.
解 (1)设p 1时, 1 1 p , 由比较判别法知 , n n
1 调和级数 是发散的 ; n 1 n 1 p 级数 p 也发散 . n 1 n
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n1
n1
n1
如果级数 un收敛（发散）， 为任一常数且，
n1
则级数 也收敛（发散），且收敛时有
kun kun
n1
n1
即级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。
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例1. 判别级数
7 2n
n1
的敛散性。
解
显然
n7 2n
敛，则原来级数未必收敛。
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例如 将发散级数 a a a a (1)n1a
的相邻两项加括号，则
(a a) (a a) (a a) 0
得到的新级数收敛．然而，重新加括号
a (a a) (a a) (a a) a
性质5 若级数一般项不趋向于零，该级数发散
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课堂练习：习题10 - 2
1．选择题：
（1）下列命题正确的是（ ）；
A．若
lim
n
un
0,则级数
un 收敛
n 1
B．若
lim
n
un
0
,则级数
un
n 1
收敛
C．若级数
un发散，则
n 1
lim
n1
n n1
7
1 2n
而几何级数
n 1
7 2n
收敛，由性质２得
级数
7
2n
n 1
也收敛。
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性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项， 不影响级数的敛散性。
性质4 如果级数
收敛于Ｓ，则对其各项间
任意添加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。
注意：当原级数收敛时，任意括号后所得到新级 数也收敛，反之则不然。如果加括号后的级数收
得到的新级数不收敛。
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性质5 （级数收敛的必要条件）若级数 un 收敛， n 1
则极限
它的逆否命题是：
若级数一般项不趋向于零，该级数发散
例2. 判别级数
的敛散性，其中a、b、c、k
为常数且k、 a 解 因为 a 0, 所以
并不等于零，所以级数发散。
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n
un
0
D．若级数
un
n 1
发散，则必有
lim
n
un
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lim
n
un
0
习题10 - 2 1．选择题：
（2）下列命题正确的是（ ）；
A．若级数
un
,
vn
发散，则级数 (un vn) 必发散
n 1
n 1
n1
B．若级数
(un
本节小结
级数敛散性的判断方法：
性质1 如果级数 与级数 分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2级数的每一项同乘以一个非零常数，其敛散性不变。 性质3 在级数的前面加上、去掉或改变有限项，不影响 级数的敛散性。
性质4 如果级数 收敛于Ｓ，则对其各项间任意添加
括号后所得的级数仍收敛，且其和不变。
n 1
D．若 ，则级数 都发散 lim u2n )
n1
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第二节
第十章
无穷级数的性质与敛散性
由无穷级数的敛散性定义可知，级数的收 敛问题，实际上就是其部分和数列的收敛问 题，因此，我们能够应用数列极限的有关性质。 来得到级数的一系列重要性质。
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性质1 如果级数 与级数 分别收敛于 S 、W，
则级数
也收敛，且有
性质2
n
(un vn ) un vn S W
un
0
习题10 - 2 1．选择题：
（3）下列命题正确的是（ ）；
A．若级数
(u2n1 u2n )
收敛，则级数
un
,
收敛
n1
n 1
B．若级数 收敛，则
(u2n1 u2n )
n1
lim
n
un
0
C．若级数
(u2
n1
u2n
)
发散，则级数
u
n
发散
n1
vn
)收敛，则级数
un
,
vn
都收敛
n1
n 1
n 1
C．若级数
un
收敛，
vn
发散，则级数
(un
vn )
必发散
n 1
n 1
n1
D．若级数
(un
vn)发散，则级数 un,
vn
都发散
n1
n 1
n 1
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lim
n