图形的旋转变换
图形的变换
图形的变换
图形的变换是指将一个图形经过一系列操作，变换为另外
一个图形的过程。
常见的图形变换包括平移、旋转、缩放
和翻转等。
1. 平移：平移是指将图形沿着一个方向移动一定的距离。
平移后的图形与原图形形状完全相同，只是位置发生了改变。
2. 旋转：旋转是指将图形绕着一个固定点旋转一定的角度。
旋转后的图形保持原来的形状，只是方向或位置发生了改变。
3. 缩放：缩放是指按照一定的比例改变图形的大小。
缩放
后的图形与原图形形状相似，只是大小发生了改变。
4. 翻转：翻转是指将图形沿着某个轴对称翻转。
翻转后的
图形与原图形形状完全相同，只是左右或上下发生了改变。
图形变换在几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域中有广泛的应用。
通过对图形进行变换，可以实现图形的组合、变形和动画效果等。
最新人教版数学九年级上册第二十三章—旋转知识点总结及其练习
第二十三章—旋转一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。
）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
（3）旋转前、后的图形全等。
3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。
4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。
5、有关图形旋转的一些计算题和证明题例题练习1.将叶片图案旋转180°后，得到的图形是( )2.如图，在等腰直角△ABC中，B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则等于（）A.60°B.105°C.120°D.135°3.如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在位置，A点落在位置，若，则的度数是()A.50°B.60°C.70°D.80°4.数学来源于生活,下列生活中的运动属于旋转的是 ( )A.国旗上升的过程B.球场上滚动的足球C.工作中的风力发电机叶片D.传输带运输东西5.如图,将方格纸中的图形绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是 ( )6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=30°,点D、E分别为AB、AC上的点,且DE∥BC.将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上,连接BD、EC.下列结论:①△ADE的旋转角为120°;②BD=EC;③BE=AD+AC;④DE⊥AC.其中正确的为( )A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④7.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,且点D恰好在AC上,∠BAE=∠CDE=136°,则∠C的度数是（）8.如图,以锐角△ABC的边AC、AB为边向外作正方形ACDE和正方形ABGF,连接BE、CF.(1)求证:△FAC≌△BAE;(2)图中可以通过旋转△BAE而得到△FAC,请你说出旋转中心、旋转方向和旋转角的度数.9.如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC上的动点(不与B,C重合),将线段AE 绕点E顺时针旋转90°得到线段EF,连接AF,EF、AF分别与CD交于点M、N,连接EN,作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:BE=CG;(2)若BE=2,DN=3,求EN的长.二、中心对称图形1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
图形变换：平移 旋转 对称 位似
图形变换：平移旋转对称位似初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。
这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。
其中前四种变换还不改变图形的大小。
下面，让我们逐一回顾与归纳。
▲一、平移1、平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。
（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。
）2、平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。
（提示：平移的性质也是平移作图的依据。
）3、用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a（a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b（b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。
▲二、轴对称变换1、轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。
）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。
2、轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。
（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
旋转翻转与平移的变换知识点总结
旋转翻转与平移的变换知识点总结几何变换是数学中一个重要且常见的概念，对于图形的旋转翻转与平移等操作，能够使得图形在平面内发生变化。
本文将对旋转翻转与平移的变换知识点进行总结，以便更好地理解和应用这些概念。
一、旋转变换旋转变换是指将图形按照一定的角度围绕某一点旋转。
在平面几何中，旋转变换包括顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转：顺时针旋转是将图形按照顺时针方向进行旋转，一般以正角度表示。
例如，将一个图形按照顺时针旋转90度，就是将原始图形的每个点绕着旋转中心点顺时针旋转90度。
2. 逆时针旋转：逆时针旋转是将图形按照逆时针方向进行旋转，一般以负角度表示。
与顺时针旋转类似，逆时针旋转也是将原始图形的每个点绕着旋转中心点逆时针旋转一定角度。
旋转变换可以用矩阵表示，其中旋转角度为θ，旋转矩阵为：cosθ -sinθsinθ cosθ二、翻转变换翻转变换是指将图形按照某一轴进行对称，常见的有水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转：水平翻转是将图形按照水平轴进行对称，即以水平轴为对称轴，上下颠倒图形。
例如，将一个图形按照水平轴进行翻转，原先在上部的图形点转移到下部。
2. 垂直翻转：垂直翻转是将图形按照垂直轴进行对称，即以垂直轴为对称轴，左右颠倒图形。
例如，将一个图形按照垂直轴进行翻转，原先在左侧的图形点转移到右侧。
翻转变换可以用矩阵表示，其中水平翻转可用矩阵表示为：-1 00 1垂直翻转可用矩阵表示为：1 00 -1三、平移变换平移变换是指将图形沿着平面平行移动一段距离。
平移变换可以将图形从一个位置移动到另一个位置，而不改变图形的大小和形状。
平移变换通常用向量表示，其中平移向量为：(dx, dy)。
图形的每个点都将根据平移向量的数值进行水平和垂直方向上的移动。
四、综合应用旋转翻转与平移的变换在实际生活中有广泛的应用，尤其是在计算机图形学和计算机视觉领域。
在计算机图形学中，通过对图像进行旋转、翻转和平移等变换，可以实现图像的缩放、旋转和平移操作。
23.1图形的旋转教学课件(共35张PPT)
线段的旋转作法
C
A
O
D
B
作法： 1. 将点A绕点O顺时针旋 转60˚，得点aC; 2. 将点B绕点O顺时针旋 转60 ˚，得点D ； 3. 连接CD, 则线段CD即 为所求作.
例题 已知△OAB，画出△OAB绕点O逆时针旋转
100°后的图形。
作法：
C 图形的旋转作法
1. 连接OA。
A′
2. 作∠AOC=100°，在
花——美丽的图形变换
观察
把叶片当成一个图形， 那么它可风以车绕风着轮中的心每固个定点 转动叶一片定在角风度的。吹动下转
动到新的位置。
怎样来定义 这种图形变换？
紫荆花会徽
o
车标
雪花
这些图案有什么共同特征？
观察
这种图怎时形样以，变来绕时钟换定着把针表？义中时转的针心动指当固了针成定_在1_一点2_不0_个转°_停_图动地度形一转。，定动那角，么度从它。12可时到4
归纳
在上面两个实验中，△ABC在旋转过程中， 哪些发生了变化？
• 各点的位置发生变化。
点A
点A′
点B
点B′
点C
点C′
• 从而，各线段、各角的位置发生变化。
在上面两个实验中，△ABC在旋转过程中， 哪些没有改变？
• 边的相等关系：
AB=A′B′
BC=B′C′
对应边相等
CA=C′A′
OA=OA′
OB=OB′
A
O
BB′
A′
O 秋千的固定点
45°
把小孩看作
B
A一个质点来
分析问题
点A绕_Ｏ__点沿_顺__时__针__方向，转动了_4_5_度到点 B。
图形的变换平移,旋转,位似
平移旋转位似【知识要点】一、平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离2..性质：平移不改变图形的大小与形状（方向）。
经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等；对应角相等。
3.简单作图平移的作图主要关注要点：①方向②距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．二、旋转1.定义：在平面内，将一个图形绕某个定点沿某个方向转动一定的角度。
这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
2..性质：旋转不改变图形的大小与形状。
经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动相同的角度。
任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。
3.简单的旋转作图：旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．三．位似1.定义：对应点的连线交于一点的相似图像叫做位似，该点叫做位似中心2.性质：①这两个图形相似②对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比【典型例题】1. 1、下列说法正确的是（）A．平移不改变图形的形状和大小，而旋转则改变图形的形状和大小B．平移和旋转的共同点是改变图形的位置C．图形可以向某方向平移一定距离，也可以向某方向旋转一定距离D、在平移和旋转图形中，对应角相等，对应线段相等且平行2、如图1，△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（）A、线段BE的长度；B、线段EC的长度C、线段BC的长度；D、线段EF的长度3、如图2，△ABC与△A＇B＇C＇关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（）A、点A与点A＇是对称点；B、 BO=B＇O；C、AB∥A＇B＇；D、∠ACB= ∠C＇A＇B＇(1)FED CB AOC'B'A'(2)CBA4、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A、平行四边形B、等边三角形C、正方形D、直角三角形5、将一图形绕着点O顺时针方向旋转700后，再绕着点O逆时针方向旋转1200，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O什么方向旋转多少度？（）A 、顺时针方向500；B 、逆时针方向 500；C 、顺时针方向1900；D 、逆时针方向19006、下列说法不正确的是（ ）A ．中心对称图形一定是旋转对称图形；B 、轴对称图形一定是中心对称图形C 、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都被对称中心平分D 、在平移过程中，对应点所连的线段也可能在一条直线上7、如图3，图形旋转一定角度后能与自身重合,则旋转的角度可能是( )A 、300B 、600C 、900D 、12008、如图4，面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的两倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、无法确定9、如图5，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连结BE ，将△BCE 绕点C 顺时针方向旋转900得到△DCF ，连结EF ，若∠BEC=600，则∠EFD 的度数为（ ）A 、100B 、150C 、200D 、250(3)(4)FE DCB A(5)FEDC BA10、（2010 广西玉林、防城港）如图2，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C （顶点均在格点上），它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是： （ ） A ．（―4，―3） B ．（―3，―3） C ．（―4，―4） D ．（―3，―4）11、（2010宁夏回族自治区）关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 ．（只填序号）3.相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；4.位似图形一定有位似中心；5.如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；6.位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．二、填空题：(每空3分，共27分)1、等边三角形至少旋转__________度才能与自身重合。
图形旋转知识点总结
图形旋转知识点总结1. 旋转的定义图形旋转是指将一个图形以一个固定的点为中心按照一定的角度旋转，得到一个新的图形的过程。
在二维空间中，图形旋转可以通过坐标变换的方式来实现。
假设一个点的坐标为(x, y)，以原点为中心逆时针旋转α度后的坐标为(x', y')，那么可以通过下面的公式来计算新的坐标：x' = x * cos(α) - y * sin(α)y' = x * sin(α) + y * cos(α)这就是二维空间中点的坐标旋转公式。
2. 旋转的性质图形旋转具有一些性质，这些性质对于理解和应用图形旋转很重要。
(1) 旋转不改变图形的大小：无论图形怎么旋转，它的面积和周长不会发生变化，只是位置不同。
(2) 旋转的性质与旋转的方向有关：逆时针旋转与顺时针旋转的性质是不同的，虽然它们都是按照一定的角度进行的旋转。
(3) 旋转的次序不影响结果：如果一幅图形先绕某一点逆时针旋转α度，再绕同一点逆时针旋转β度，结果与先绕同一点逆时针旋转α+β度后的结果相同。
(4) 以旋转中心对称的图形旋转后保持不变：如果一个图形存在一个旋转中心，且该图形以该旋转中心为对称中心，则该图形可以在该旋转中心旋转任意角度后保持不变。
3. 旋转的应用图形旋转有很多实际的应用，以下列举几个常见的应用：(1) 计算机图形学：在计算机图形学中，图形的旋转是一个非常重要的概念。
通过图形旋转，可以展现出图形在二维或者三维场景中的变化和运动，为图形的展示和动画提供了一种重要的手段。
(2) 工程学：在工程学中，图形旋转可以用来描述零件在机械装配中的相对位置关系，这对于工程设计和加工具有重要的意义。
(3) 物理学：在物理学中，图形的旋转常常用来描述物体的运动和旋转。
比如在刚体力学中，对刚体的旋转运动也可以通过图形旋转来进行描述。
4. 旋转的相关定理和定律在几何学中，对于图形旋转有很多相关的定理和定律。
这些定理和定律有助于我们在应用图形旋转时更好地理解和利用它。
数学学科-图形变换之旋转
3：旋转常见题型与的解题技巧
3．如图，P为△ABC内一点，且AB=AC，BAC 90, BPC 135,CP=5,则△PAC的面积为________
3：旋转常见题型与的解题技巧
4.如图，在四边形ABCD中，AC,BD是对角线， △ABC是等边三角形，ADC 30,AD=3，BD=5 ，则CD的长为________
图形形旋转的初步认识 图形旋转的应用探讨 图形旋转常见题型与解题技巧
1：图形的旋转初步认识
1：图形的旋转
把一个平面图形绕着平面内的某一点O转动一个角 度，叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的 角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点 P’，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
3：旋转常见题型与的解题技巧
5. 如图所示，四边形ABCD中，BAD ．BCD 90
AB=AD,若四边形ABCD的面积是24 cm 2，则AC的长 为________
3：旋转常见题型与的解题技巧
6.如图所示，已知正方形ABCD，AC,BD交于点O ，过点A的直线m从起始位置AC逆时针绕着点A 旋转；DE m于E，连接OE，设旋转角CAE 0 45,求证：AE DE 2OE
1：图形的旋转的初步认识
2：中心对称 把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够和另 一个图形重合，那么就说这两个图形是中心对称的 ，这个点叫做对称中心，并且把旋转后能重合的对 应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180 度，如果旋转后的图形能够与原来重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心
3：旋转常见题型与解题技巧
1. 如图,在△ABC中，ACB 90,AC BC , P是
△ABC内的一点，且AP=3，CP=2，BP=1，求 BPC
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旋转的定义
在同一平面内，把一个图形绕着一个定点沿某个 方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
这个定点是旋转中心，转动的角是旋转角。
旋转的性质
1、旋转只改变图形的位置，不改变图形的大 小和形状,因此对线段相等,对应角相等 2、对应点到旋转中心的距离相等。 3、图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向 转动了相同大小的角度。旋转角处处相等
练习：在正方形ABCD中，E为AB上一点， CF平分∠ECD,求证：BE+DF=CE
AF E B
D E’ C
应用：已知四边形ABCD，AD//BC,AB=AD=DC, ∠BAD=∠ADC,点E在CD上运动（点E与C,D两点不重合）， △AEP为直角三角形，∠AEP=90°，∠P=30°，过E点作 EM//BC交AF于点M。 （1）若∠BAD=120°,求证：BF+DE=EM
A
D
M
E
E’ B
F
C
P
F’
B E
A D
F C
已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， AB=AC，D、E分别在线段BC上。∠DAE=45° 探索线段BD、CE、DE的数量关系。Aຫໍສະໝຸດ E’BD EC
规律：
探究线段的数量关系时，题 目中出现“共点等线”（即 有相同端点的两条相等线段） 条件，常常考虑以该端点为 旋转中心通过旋转变换构建 线段的数量关系。
平移变换
A
D
E
B
FC
A
F
D
E
翻折变换
• 例题：已知正方形ABCD，∠MAN=45°,交 线段BC、CD于M、N两点。求证：
BM+DN=MN
A
D
N
N’ B M
C
已知：如图，△BCD是等边三角形，△ABD是等腰三 角形，∠BAD=120°, E、F分别在线段BC、CD上， ∠EAF=60°试探索线段BE、DF、EF的数量关系。