知识讲解正弦定理基础
正弦定理
编稿：李霞 审稿：张林娟
【学习目标】
1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；
2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.
【要点梳理】
要点一：学过的三角形知识
1.ABC ?中
（1）一般约定：ABC ?中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ；
（2）0180A B C ++=；
（3）大边对大角，大角对大边，即B C b c >?>；
等边对等角，等角对等边，即B C b c =?=；
（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即a c b +>，a c b -<.
2.Rt ABC ?中，090C ∠=，
（1）090B A +=，
（2）222a b c +=
（3）sin a A c =，sin b B c
=，sin 1C =； cos b A c =，cos a B c =，cos 0C = 要点二：正弦定理及其证明
正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：
sin sin sin a b c A B C
== 直角三角形中的正弦定理的推导 证明：sin a A c =
， sin b B c
=， sin 1C =， 即：sin a c A =，sin b c B =，sin c c C
=， ∴sin sin sin a b c A B C ==． 斜三角形中的正弦定理的推导
证明：
法一：向量法
（1）当ABC ?为锐角三角形时 过A 作单位向量j 垂直于，则+=AB
两边同乘以单位向量j ，得j ?(+)=j ?， 即j AC j CB j AB ?+?=?
∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)j AC j CB C j AB A ?+?-=?-，
∵0j AC ?=，||1j =，||CB a =，||AB c =，cos(90)sin C C -=，cos(90)sin A A -=
∴A c C a sin sin =， ∴sin sin a c A C =， 同理：若过C 作垂直于得：sin sin b c B C
= ∴sin sin sin a b c A B C
==， （2）当ABC ?为钝角三角形时 设90A ∠>，过A 作单位向量垂直于向量，
同样可证得：sin sin sin a b c A B C
==． 法二：圆转化法
（1）当ABC ?为锐角三角形时
如图，圆O 是ABC ?的外接圆，直径为2AD R =，则C D ∠=∠，
∴sin sin 2c C D R ==
， ∴2sin c R C
=（R 为ABC ?的外接圆半径） 同理：2sin a R A =，2sin b R B
= 故：2sin sin sin a b c R A B C === （2）当ABC ?为钝角三角形时
如图，sin sin sin 2a A E F R
===. 法三：面积法
任意斜ABC ?中，如图作CH AB ⊥，则sin CH AC A = 同理：1sin 2ABC S ab C ?=，1sin 2
ABC S ac B ?=
故111sin sin sin 222
ABC S ab C ac B bc A ?===， 两边同除以
abc 21 即得：sin sin sin a b c A B C == 要点诠释：
（1）正弦定理适合于任何三角形；
（2）可以证明2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为ABC ?的外接圆半径）；灵活利用正弦定理，还需知道它的几个变式，比如： ::sin :sin :sin a b c A B C =，sin sin ,sin sin a B b A b C c B ==,
sin sin c A a C =等等.
要点三：利用正弦定理解三角形
一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边和三角.
在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：
（1）已知两角和一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，然后再进一步求出其他的边和角.
要点诠释：
已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况；
(1)若A 为锐角时：a bsin A a bsin A ()bsin A a b ()a b ()
无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角 如图：
(2)若A 为直角或钝角时：a b a b ()≤??
>?无解一解锐角
判断三角形形状
判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：
（1）两边是否相等？（2）三边是否相等？
要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.
【典型例题】
类型一： 正弦定理的基本应用
【高清课堂：正弦定理 例1】
例1．已知在ABC ?中，10c =，45A =，30C =，求,a b 和B.
【思路点拨】本题考查正弦定理及特殊角的三角函数值，三角形中边与角的对应关系等。由正弦定理列出边a 满足的方程，再根据三角形内角和来确定角B 的值。
【解析】sin sin a c A C
=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30
c A a C ?=== ∴ 180()105B A C =-+=，
又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ?+=
===?= 【总结升华】
1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在?ABC 中，已知075B =，0
60C =，5c =，求a 、A .
【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=， 根据正弦定理5sin 45sin 60
o o a =，∴563a =. 【变式2】在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c
【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C
==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在33,60,3ABC a A c ?===中，已知，求C ． 【思路点拨】由正弦定理列出角C 所满足的方程，求其正弦值，然后根据边的大小关系确定角C 的值.
【解析】由正弦定理得：sin sin a c A C =， ∴sin 1sin 233
c A C a ===，
∴30C =或150C =，
∵a c >，∴A C <，
∴30C =.
【总结升华】
1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2. 解决此类问题就是根据正弦定理列出方程，从而求出角的三角函数值进而求角，但要注意结合初中所学“大边对大角”定理检验所求结果是否符合题意，避免增解或漏解.
举一反三：
【高清课堂：正弦定理 例3】
【变式1】在ABC ?中，6c = 45A =，2a =，求b 和,B C ． 【答案】∵sin sin a c A C
=， ∴sin 6sin 453sin 22c A C a ===， ∵0180C <<， ∴60C =或120C =
∴当60C =时，75B =，sin 67531sin sin 60
c B b C ===； ∴当120C =时，15B =，sin 631sin sin 60c B b C =
==； ∴31,75,60b B C ===或31,15,120b B C ===．
【变式2】在ABC ?中20a =, 210b =,45A =, 求B 和c ；
【答案】 ∵102sin 45sin o a B =， ∴1sin 2
B = ∵0180B <<， ∴30B =或150B =
①当30B =时，105C =，)13(10c +=；
②当150B =时，195180A B +=>（舍去）。
【变式3】在ABC ?中，60B =，14a =, 6b =求A ∠.
【答案】由正弦定理，得226
760sin 14sin sin 0=?==b B a A .
∵a b <, ∴A B <，即 060A <<
∴45A =
类型三：利用正弦定理判断三角形的形状
例3.已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 222sin sin sin +=,试判断三角形的形状．
【思路点拨】利用正弦定理将边化成角，分析角之间的关系，再利用正弦定理将角化为边，进而判断三角形的形状.
【解析】∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2
22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形．
【总结升华】
已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。
举一反三：
【变式1】在ABC ?中，若22tan tan a B b A =，试判断ABC ?的形状. 【答案】由2222sin sin a A b B =及已知条件可得：22sin sin cos sin cos sin A A B B A B
=， ,A B 为三角形的内角，sin 0,sin 0A B ∴≠≠，B A 2sin 2sin =，
B A B A 2222-==∴π或A B ∴=或2A B π+=
，
所以ABC ?为等腰三角形或直角三角形。 【变式2】在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状.
【答案】利用正弦定理将边转化为角.
∵cos cos b A a B =又2sin ,2sin b R B a R A ==
∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0
∴0)sin(=-B A
∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π∴0=-B A 即B
A = 故此三角形是等腰三角形.
类型四：利用正弦定理求三角形的面积
例4.在ABC 2AC 32AB 30B ABC 0
?===?，求，，中，若的面积。
【思路点拨】已知三角形两边及其一边的对角，由正弦定理来解题。
【解析】根据正弦定理有
B,C AC,AB .2
3sin sin sin sinC AB >∴>==∴=由已知条件AC B AB C B AC 则C 有两解。 （1）当C 为锐角时，00160,90,sin 2 3.2ABC C A S AB AC A ?===
?= （2）当C 为钝角时，001120,30,sin 3.2ABC
C A S AB AC A ?===?= 所以，AB C ?的面积为或32.3
【总结升华】 R
abc A bc B ac C ab S ABC 4sin 21sin 21sin 21====?（R 为三角形外接圆半径） 公式中需要知道两边及其夹角，在此题目中需要求出A ，而对于A 有两种情况，因此该三角形的面积有两解。
举一反三： 【变式】在△ABC 中，已知30A =，8,83a b ==ABC ?的面积。
【答案】由sin sin a b A B =，得sin sin b B A a
=， 833sin sin 30B ∴=
= 又83sin 30883?< 所以三角形的解有两种情况 3sin 601209030B B C =∴=∴=或，或， 11sin 883sin 9032322S ab C ∴==??=11sin 883sin 3016322 S ab C ==??= 故ABC ?的面积的面积为3163类型五：正弦定理的综合运用 例5. 在△ABC 中，1tan 4A = ，3tan 5 B =。 （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）若△ABC 17，求最小边的边长。 【解析】 （Ⅰ）∵C=π-（A+B ）, ∴tanC=-tan （A+B ）=-1345113145 + =--? 又∵0 （Ⅱ）∵C=3 4 π, ∴AB 边最大，即17. 又∵tanA ∈、 ∴角A 最小，BC 边为最小边。 由22sin 1tan ,cos 4sin cos 1, A A A A A ?==???+=?且(0,)2A π∈,得17sin A =由sin sin A B B C C A =得：sin 2sin A BC AB C =?=所以，最小边2BC = 【总结升华】 本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力 举一反三： 【变式】在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________． 【答案】 在△ABC 中，大角对大边，故b 为最大边长，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(105°＋15°)＝60°. 据正弦定理b ＝a sin B sin A ＝5sin 105°sin 60°＝152＋566 .