2017年第十届全国中学生数理化学科能力展示活动

2017年第十届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题（A卷）
一、选择题
1.若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”，例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4=9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6=15产生进位现象；13是“连加进位数”，因为13+14+15=42产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0，1，2，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（A ）
A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91
2.如图,不规则四边形ABCD中:AB和CD 是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,
则y关于x的大致图象是( C)
3.7、在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴的正方向的夹角为α（取逆时针方向），则用[ρ，α]表示点P的极坐标。

显然，点P的坐标和它的极坐标存在一一对应关系。

如点P的坐标(1，1)的极坐
标为P[2，45°]，则极坐标Q[4，60°]的坐标为( A )
A、(2，
B、(2，-
C、(2)
D、(2，2)
4.如右图，已知直线l的表达式是
4
4
3
y x
=-,并且与x轴，y轴分别交于A,B两点。

一个半
径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，则该圆的运动时间为（D）
6.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m 米长的铁丝，假设地球
的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n 米长的铁丝，则m 与n 的大小关系
是（ B ）
A. m ＜n
B. m=n
C. m ＞n
D. 无法确定m 、n 的大小
7.如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图甲所示），车棚顶部是圆柱侧
面的一部分，其展开图是矩形。

图2是车棚顶部截面的示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，
车棚顶部是用一种帆布覆盖的，则覆盖棚顶的帆布的面积为（不考虑接缝等因素）（）。

A 160π
B 145π
C 120π
D 110π
二、填空题
9.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线，已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝(a 为常数)，广告效应为D ＝－
A ．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为__214
a _． 10.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准器——商鞅
铜方升，其三视图如图年示（单位：寸）：若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x 的
值为 3 。

11.如右图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分，
______和______．（1，2，11，12；3，4，9，10；5，6，7，8．）
12.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图在⊙O 1和扇形O 2CD 中，⊙O 1与O 2C 、O 2D
分别切于点A 、B ，已知∠CO 2D=60°，E 、F 是直线O 1O 2与⊙O 1、扇形O 2CD 的两个交点，且EF=24cm ，
设⊙O 1的半径为xcm ．若⊙O 1和扇形O 2CD 两个区域的制作成本分别为0.45元/cm 2和0.06元
解：（1）连接O1A．
∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1=∠CO2D=30°，
在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1=，
∴O1O2===2x．
∴FO2=EF﹣EO1﹣O1O2=24﹣3x，
即扇形O2CD的半径为（24﹣3x）cm．
（2）设该玩具的制作成本为y元，
则y=0.45πx2+0.06×
=0.9πx2﹣7.2πx+28.8π=0.9π（x﹣4）2+14.4π
所以当x﹣4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．
13.已知二次函数和一次函数，其中a、
b、c满足条件a>b>c，且a+b+c=0；
（1）证明：一次函数与二次函数的图象必有两个不同交点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
解：（1）联立两个方程，从中消去y得
∴
注意到a>b>c, a+b+c=0，∴a>0, c<0, ∴△>0, 故两条曲线必交于两个不同的交点A、B；
（2）设的两个根为x1、x2，则AB在x轴上的射影的长
由，由此可得
14.一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图1，乙设计方案如图2．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．
解：由AB=1.5m，S△ABC=1.5m2，可得BC=2m，
由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴，
∴3﹣1.5x=2x，x==m，
由图2，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，
BH交DE于P，交AC于H．
由AB=1.5m，BC=2m，
得AC==2.5（m），
由AC●BH=AB●BC可得，
BH==1.2m，
设乙设计的桌面的边长为ym，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴，
即，解得y=m，
∵=，
∵x2＞y2，
∴甲同学设计的方案较好．
15.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。

如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1，0)，半圆半径为2。

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式。

解：（1）根据题意可得：A(-1，0)，B(3，0)，
则设抛物线的解析式为(a≠0)，
又点D(0，-3)在抛物线上，
∴a(0+1)(0-3)=-3，
解之得：a=1
∴y=x2-2x-3，自变量范围：-1≤x≤3。

（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，
在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，
∴∠CMO=60°，OC=，
在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，
∴ME=4，
∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3，0)，
∴切线CE的解析式为。

（3）设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k
≠0)，
由题意，知方程组只有一组解，
即有两个相等的实数根，
∴k=-2，
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3。