北京大学高等代数8
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高等代数 I
主讲教师 : 高 峡
理科楼 1473W
助教 : 潘昊 雷燕军 王淑丽
大课 周二 3 - 4 节 周四 5 - 6 节 理教 106
习题课 周三 10 - 11 节 理教 301 三教 404 二教 413
• 教材: 《高等代数》，丘维声著, 科学出版社
• 参考材料 ： 《线性代数讲稿》, 施光燕著 《高等代数学》, 张贤科著 《 Linear Algebra 》, by Gilbert Strang
4) 任何元素都有负元素
+(–)=(–)+=0
注: 前四条公理保证 V 在加法下构成交换群
对 k,lK, ,V, 有
5) 数乘 1
1=
6) 左分配律
(k+l)=k+l
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
向量空间的概念、理论都可以从向量运算 的八条性质导出, 不需要用到向量加法、 数乘运算的具体形式. 如果某一集合上有两种运算, 那么不管这 两种运算的具体形式如何, 只要它们也满足 向量空间的八条性质, 向量空间的结果就 可以搬到这个集合上去.
（ 麻省理工开放课程教学影片）
课件下载:
http://www.ontoedu.pku.edu.cn/index.jsp
用户名：linalg1 密码： linalg1
linalg2
linalg2
…
…
linalg10
linalg10
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第四章 矩阵运算
1 矩阵运算 2 矩阵乘积的秩 3 特殊矩阵 4 可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法 6 正交矩阵
2
的基底, dim Mm, n( K ) = mn
3
1
7
2 9
3
8
在 E11, E12, …, E23下的坐标为
7
9
8
子空间的基, 维数
极 大 无 关 组, 秩
线性相关,无关 线性组合,线性表出
一个集合,两种运算,八条公理
矩阵的乘法运算
左阵取一行, 右阵取一列, 对应分量相乘再求和
1 2
矩阵的加法与数乘
数域 K 上全体 m n 矩阵在 矩阵加法和数乘下构成的线性空间 记为 Mm,n( K ) .
基本矩阵
• 在 Mm, n( K ) 中, ( i , j ) 元为 1 , 其余元素
都为零的矩阵称为基本矩阵, 记作 Ei j
1
• Ei j ( 1 i m , 1 j n ) 构成 Mm, n( K )
1 2 2 4 1 3 21
2 3
3 5
2 4
3 1
2 3
2 2
3 5
4 4
2 3 31 3 3 51
10 5
16
9
26 14
当 左阵列数 = 右阵行数 时, 可作矩阵乘法
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
ci j
cin
cm1 cm j cmn
ci j ai 1 b1 j ai 2 b2 j ai k bk j
b1n
b2n
bk
n
例: 左阵列数 = 右阵行数, 可作乘法
a11
AX
a21
am1
a12 a1n x1
a22
a2n
x2
am2
amn
向量空间的理论能搬到 Mm,n( K )
a1 a4 b1 b4 a1 b1 a4 b4
a2
a5
b2
b5
a2
b2
a5
b5
a3 a6 b3 b6 a3 b3 a6 b6
1 a k ka
k
2
b
2k
k
b
,
k K
3 c 3k kc
矩阵加法满足交换律
a1 a4 b1 b4
a2
a5
b2
b5
a3 a6 b3 b6
ABBA
结合律
a1 a4 b1 b4
a2
a5
b2
b5
a3 a6 b3 b6
c1 c4
c2
c5
c3 c6
a1 a4 b1 b4 c1 c4
a2
a5
b2
b5
c2
c5
a3 a6 b3 b6 c3 c6
存在零矩阵、负矩阵
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
左阵取一行, 右阵取一列, 对应分量相乘再求和
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
33 32
32
当 左阵列数 = 右阵行数 时, 可作矩阵乘法
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
当 左阵列数 = 右阵行数 时, 可作矩阵乘法
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
矩阵乘法的条件
n n
k m
k=
左矩阵列数 = 右矩阵行数
左一行，右一列，对应相乘再求和
＝
a11
A
ai 1
am1
a12 a1k
ai 2
ai k
am2 amk
b11 b1j
B
b21
b2 j
bk1
bkk jj
c11 c1j c1n
AB
ci 1
a1 A 0 a3
a5
a2 0
a4
0
a6 0
0 a1
0
a3
0 a5
a2
a4
A
a6
a1 a2 a1 a2 0 0
A (A) a3
a4
a3
a4
0
0
a5 a6 a5 a6 0 0
满足八条公理 :
1) 交换律
+ =+
2) 结合律
+(+)=(+)+
3) 存在元素 0 0 + = + 0 = , V
xn
mn n1
a11 a12 a1n x1
AX
a21
a22 ห้องสมุดไป่ตู้
a2n
x2
am1
am2
amn
xn
a11x1 a12 x2 a1n xn
a21x1 a22 x2 a2n xn
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
左边取一行, 右边取一列, 对应分量相乘再求和
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
左边取一行, 右边取一列, 对应分量相乘再求和
主讲教师 : 高 峡
理科楼 1473W
助教 : 潘昊 雷燕军 王淑丽
大课 周二 3 - 4 节 周四 5 - 6 节 理教 106
习题课 周三 10 - 11 节 理教 301 三教 404 二教 413
• 教材: 《高等代数》，丘维声著, 科学出版社
• 参考材料 ： 《线性代数讲稿》, 施光燕著 《高等代数学》, 张贤科著 《 Linear Algebra 》, by Gilbert Strang
4) 任何元素都有负元素
+(–)=(–)+=0
注: 前四条公理保证 V 在加法下构成交换群
对 k,lK, ,V, 有
5) 数乘 1
1=
6) 左分配律
(k+l)=k+l
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
向量空间的概念、理论都可以从向量运算 的八条性质导出, 不需要用到向量加法、 数乘运算的具体形式. 如果某一集合上有两种运算, 那么不管这 两种运算的具体形式如何, 只要它们也满足 向量空间的八条性质, 向量空间的结果就 可以搬到这个集合上去.
（ 麻省理工开放课程教学影片）
课件下载:
http://www.ontoedu.pku.edu.cn/index.jsp
用户名：linalg1 密码： linalg1
linalg2
linalg2
…
…
linalg10
linalg10
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第四章 矩阵运算
1 矩阵运算 2 矩阵乘积的秩 3 特殊矩阵 4 可逆矩阵 5 矩阵的分块乘法 6 正交矩阵
2
的基底, dim Mm, n( K ) = mn
3
1
7
2 9
3
8
在 E11, E12, …, E23下的坐标为
7
9
8
子空间的基, 维数
极 大 无 关 组, 秩
线性相关,无关 线性组合,线性表出
一个集合,两种运算,八条公理
矩阵的乘法运算
左阵取一行, 右阵取一列, 对应分量相乘再求和
1 2
矩阵的加法与数乘
数域 K 上全体 m n 矩阵在 矩阵加法和数乘下构成的线性空间 记为 Mm,n( K ) .
基本矩阵
• 在 Mm, n( K ) 中, ( i , j ) 元为 1 , 其余元素
都为零的矩阵称为基本矩阵, 记作 Ei j
1
• Ei j ( 1 i m , 1 j n ) 构成 Mm, n( K )
1 2 2 4 1 3 21
2 3
3 5
2 4
3 1
2 3
2 2
3 5
4 4
2 3 31 3 3 51
10 5
16
9
26 14
当 左阵列数 = 右阵行数 时, 可作矩阵乘法
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
ci j
cin
cm1 cm j cmn
ci j ai 1 b1 j ai 2 b2 j ai k bk j
b1n
b2n
bk
n
例: 左阵列数 = 右阵行数, 可作乘法
a11
AX
a21
am1
a12 a1n x1
a22
a2n
x2
am2
amn
向量空间的理论能搬到 Mm,n( K )
a1 a4 b1 b4 a1 b1 a4 b4
a2
a5
b2
b5
a2
b2
a5
b5
a3 a6 b3 b6 a3 b3 a6 b6
1 a k ka
k
2
b
2k
k
b
,
k K
3 c 3k kc
矩阵加法满足交换律
a1 a4 b1 b4
a2
a5
b2
b5
a3 a6 b3 b6
ABBA
结合律
a1 a4 b1 b4
a2
a5
b2
b5
a3 a6 b3 b6
c1 c4
c2
c5
c3 c6
a1 a4 b1 b4 c1 c4
a2
a5
b2
b5
c2
c5
a3 a6 b3 b6 c3 c6
存在零矩阵、负矩阵
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
左阵取一行, 右阵取一列, 对应分量相乘再求和
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
33 32
32
当 左阵列数 = 右阵行数 时, 可作矩阵乘法
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
当 左阵列数 = 右阵行数 时, 可作矩阵乘法
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
矩阵乘法的条件
n n
k m
k=
左矩阵列数 = 右矩阵行数
左一行，右一列，对应相乘再求和
＝
a11
A
ai 1
am1
a12 a1k
ai 2
ai k
am2 amk
b11 b1j
B
b21
b2 j
bk1
bkk jj
c11 c1j c1n
AB
ci 1
a1 A 0 a3
a5
a2 0
a4
0
a6 0
0 a1
0
a3
0 a5
a2
a4
A
a6
a1 a2 a1 a2 0 0
A (A) a3
a4
a3
a4
0
0
a5 a6 a5 a6 0 0
满足八条公理 :
1) 交换律
+ =+
2) 结合律
+(+)=(+)+
3) 存在元素 0 0 + = + 0 = , V
xn
mn n1
a11 a12 a1n x1
AX
a21
a22 ห้องสมุดไป่ตู้
a2n
x2
am1
am2
amn
xn
a11x1 a12 x2 a1n xn
a21x1 a22 x2 a2n xn
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
左边取一行, 右边取一列, 对应分量相乘再求和
1 2 3 a 1 a 2b 3c 7
4
1
0
b
0
4a b
4
5 0 k c 2 5a kc 5 2k
左边取一行, 右边取一列, 对应分量相乘再求和