北京大学高等代数5

x a11 a12 a1n
( x I – A )*
a21
x a22
a2n
an1
an2
x
ann
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|xIA|
F
(
x
)
=
f
(
x
)
I
=
|xIA|
|
x
I
A
|
由伴随矩阵公式 , ( x I – A )* ( x I – A ) = f ( x ) I
将 ( x I – A )* 按 x 的方幂拆成多项式 ( B0 x n-1 + B1 x n-2 + … + Bn-1 ) ( I x – A )
（清华大学出版社）
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第九章 线性变换
5 Hamilton-Cayley 定理 6 最小多项式 7 幂零变换的结构 8 Jordan 标准型 9 对偶空间
若 f ( x ) K [ x ], 则只能将 K 中的元素 带到 f ( x ) 中去 ; 要将某个环 R 上的元素 带入 f ( x ) , 必须先将 K 嵌入到 R 中, 把 f ( x ) 看成 R 上的多项式后再作带入
设 K[ A ] Mn( K ) . 通过嵌入
K { k I | k K } K[ A ], 可将 f ( x ) 看成
f ( A ) = An + a1 An-1 + … + an I = 0 .
在代数意义上, 如何理解 “ x 用 A 带入” ?
多项式的带入通常指的是数的带入, 如 将 x = 2 带入到 f ( x ) = x 3 + x 2 – 12 得 f ( 2 ) = 2 3 + 2 2 – 12 = 0
I xn + a1 I xn-1 + a2 I xn-2 + … + an-1 I x + an I B0 = I , B1 = A + a1 I , B2 = A2 + a1 A + a2 I , …
Bk = Bk-1A + ak I = Ak + a1 Ak-1 +… + ak I , … , Bn-1 = An-1 + a1 An-2 + … + an-1 I
系数在交换幺环 K[ A ] 上的多项式 F ( x ) = I xn + a1 I xn-1 + … + an I
问题转变为: 将 x = A 带入到 F ( x ) 中, 得 F ( A ) = 0 ?
这提示我们尝试证 I x – A 是 F ( x ) = I x n + a1 I x n -1 +… + an I
故 B0 , B1 , … , Bn-1 K[ A ]
在交换幺环 K[ A ] 上 Bezout 定理成立. 由 F ( x ) = ( B0 x n-1 + … + Bn-1 ) ( I x – A )
有一次因式 I x – A 可推得 F ( A ) = 0 . 这也可通过直接计算
得到.
F ( A ) = Bn-1 A + an I = 0
的因式, 即构造一个系数在 K[ A ] 上的 多项式 G( x ) , 使得
G( x ) ( I x – A ) = F ( x ) 系数为矩阵的多项式 = 元素为多项式的矩阵 ( K[ A ])[ x ] ( K[ x ])[ A ] ? 先试试看…
这提示我们尝试证 I x – A 是 F ( x ) = I x n + a1 I x n -1 +… + an I
的因式, 即构造一个系数在 K[ A ] 上的 多项式 G( x ) , 使得
G( x ) ( I x – A ) = F ( x ) 将 I x – A 及 F ( x ) 看成是元素在 K[ x ] 中 的矩阵 , 我们可以利用矩阵的理论构造 G( x )
利用矩阵的理论来构造 G( x )
G( x ) ( I x – A ) = F ( x )
= I x n + a1 I x n-1 + … + an-1 I x + an I 这里 B0 , B1 , … , Bn-1 K[ A ] ?
B0 xn + B1 xn-1 + B2 xn-2 + … + Bn-1 x – B0 A xn-1 – B1 A xn-2 – … – Bn-2 A x – Bn-1 A
( B A )( C A ) BC A2
作业：5 月 11 日 交
§6.9 7, 10, 11, 13， 14 补充题: 1 ，2
补充题 1. 设 A 是实线性空间 V 上的线性变换,
A 在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵为
3 1 0 0
a)
1
1
0
2
,
2 0 2 1
注：若 R 是非交换环, 如 R = Mn ( K ) , 由 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) R [ x ] 一般 推不出 f ( A ) = g ( A ) h ( A ) , A R . 例: 我们有 ( B x )( C x ) = BC x 2 , 但如果矩阵 A 与 C 不交换, 一般来说
0
0
0
3
0 1 2 0
b)
1
0
2
0
0 0 1 0
高等代数 II
主讲教师 : 高 峡 理科楼 1473
助教: 王宇鹏 孙致远 员晓帆
大课 周三 5 - 6 节 周五 3 - 4 节 二教 102
习题课 周四 10 - 11 节 二教 425 二教 304 三教 101
• 教材: 《高等代数(下册)》, 丘维声著
（高教出版社） 《高等代数》, 丘维声著, 科学出版社 • 参考材料 : 《高等代数学》, 张贤科等著
Hamilton-Cayley 定理
设 A 是 K - 线性空间 V 上的线性变换, f ( x ) 是 A 的特征多项式. 则有
f (A) = 0. 即线性变换的特征多项式都是零化多项式
Hamilton-Cayley 定理初探
设 A 是域 K 上的 n 阶矩阵, f ( x ) = | x I – A | = x n + a1 x n-1 + … + an 是 A 的特征多项式 , 证明: