北京大学高等代数5
高等代数——课程介绍
《高等代数》是北京大学数学科学学院（由数学、概率统计、科学与工程计算、信息科学、金融数学五个系组成）本科一年级的三门最重要的基础课之一，为期一学年，教学时间30周，复习、考试4周，总共10学分（每学期5学分）。
每年学生约260人（包括本院学生、元培班学生和重修的学生），分成两个大班，由两个主讲教师依照同样的教学计划（包括进度、内容、习题和作业的的安排）同步授课（每周4学时），同时配备有四位助教上习题课（每周2学时）和批改作业。
主讲教师负责安排习题课内容以及指导助教的工作。
每学期期中、期末考试各一次，采用统一的考题和统一的评分标准。
考试分数为百分制。
期末总成绩为期中成绩的40%加上期末成绩的60%再减去学生未交作业的次数。
课程目前采用的教材是蓝以中编著的《高等代数简明教程》（上、下册）（北京大学出版社2002年出版，北京大学数学教学系列丛书，该书为普通高等教育“十五”国家级规划教材及2002年北京市教育精品教材重点项目）。
主要教学参考书是北大几何与代数教研室代数小组编《高等代数》（高等教育出版社，1991年，第二版，曾获国家优秀教材一等奖）；丘维声编著的《高等代数》（上、下册）（高等教育出版社1996年出版，国家“九五”重点教材）。
本课程的内容包括：线性方程组，矩阵，行列式，双线性型与二次型，线性空间，线性变换，具有度量的线性空间（欧氏空间、酉空间、四维时空空间、辛空间），Jordan标准形，有理整数环，一元和多元多项式环，多线性代数（张量积、张量、外代数）的初步理论等。
本课程不仅注重讲授代数学的基本知识，更强调对于学生的“三个基本训练”和“一个初步训练”，即、代数学基本思想的训练、代数学基本方法的训练、线性代数基本计算的训练以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步训练。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品
第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。
2023年研究生招生《高等代数》考试大纲
佛山科学技术学院2023年硕士研究生招生考试大纲科目名称：高等代数一、考查目标高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、欧几里得空间、双线性函数。
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。
二、考试形式与试卷结构考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟，其中简答题（40分），计算与解答题（60分），证明题（50分）。
三、考查范围（一）多项式1．一元多项式的因式、带余除法公式及互素的概念及判别；2．复根存在定理；3．根与系数关系；（二）行列式1．行列式的置换、对换、置换奇偶性；2．行列式的定义，基本性质及计算；3．范德蒙得行列式；4．行列式的代数余子式。
（三）矩阵1．矩阵基本运算、分块矩阵运算；2．初等矩阵、初等变换和矩阵的秩；3．矩阵的逆、伴随阵、线性方程组的矩阵形式；4．行列式乘积定理；5．矩阵和转置6．对角阵、三角阵、三对角阵；7．矩阵的迹、方阵多项式；（四）线性方程组求解1．线性方程组有解的充分必要条件；2．消元法；（五）线性空间和线性变换；1．向量的线性相关和线性无关；2．线性空间的定义及性质；3．向量组的秩、线性空间的基及坐标；4．线性变换的矩阵表示；5．矩阵相似；6．不变子空间；7．子空间的直接和、维数公式；8．线性空间的同构。
（六）特征值和特征向量1．特征值和特征多项式；2．特征向量、特征子空间、度数和重数；（七）内积空间1．欧几里得空间的标准正交基，施密特正交化；2．正交变换及其矩阵表示；（八）二次型和对称矩阵1．二次型及其标准形、惯性定理；2．实对称矩阵正定的充分必要条件；四、掌握重点（一）行列式乘积定理及其应用（二）分块矩阵运算及其应用（三）矩阵三角分解及其应用（四）矩阵的秩及其应用（五）线性空间的概念及性质（六）线性变换下的不变子空间及其矩阵表示（七）二次型的标准形（八）实对称矩阵及其性质参考书目：[1]北京大学数学系前代数小组，王萼芳，石生明编,《高等代数》(第五版)，高等教育出版社.。
1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题
1． 在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。
其中B 是常数2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。
4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。
数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。
用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。
证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。
5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。
在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。
试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。
（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。
令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4
从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式 、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2
北京大学各院系课程设置一览
※本一览表不包括政治课、军事理论课、英语课、文科计算机基础、辅修及双学位课程。
※本一览表不提供上课地点及主讲教师信息，请与相应院系教务联系。
001数学科学学院
/
一年级秋季学期
数学分析（I）（必）5.0
数学分析（I）习题（必）0.0
※实际上，多数专业必修课及专业选修课也没有年级限制。对应的年级是“培养方案”推荐的修该门课程的适当年级。
※不开设任何专业必修课的院系为研究生院或其他不招收本科生的部门，如马克思主义学院、武装部等。
※由于在某些院系下有不同专业方向，标注为必修课的课程可能并不对于所有学生均为必修（如外国语学院的各个语种分支）。相关信息请咨询相应院系教务。
标注（通）表示此课程为通选课，非本院系本科生可选修此类课程，并计入通选课所需总学分；通选课无年级限制；
标注（公）表示此课程为全校任选课（原称公共任选课），此类课程不与学位挂钩，公选课无年级限制。
标注（体）表示此课程为体育课，每名学生必须且仅能选修4.0学分体育课；男生必须选修“太极拳”，女生必须选修“健美操”。
密码学（限）3.0
空间剖分及其在计算几何学中的应用（限）2.0
统计计算（限）3.0
应用回归分析（限）3.0
理论计算机科学基础（限）3.0
非参数统计（限）3.0
风险理论（限）3.0
偏微分方程数值解（限）3.0
四年级春季学期
毕业论文（1）（必）6.0
毕业论文（2）（必）6.0
毕业论文（证券）讨论班（必）6.0
随机过程论（限）3.0
线性代数群（限）3.0
应用偏微分方程（限）3.0
低维流形II（限）3.0
偏微分方程选讲（限）3.0
北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
高等代数北京大学第三版
高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。
北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。
本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。
内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。
全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。
主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。
特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。
每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。
2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。
通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。
这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。
3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。
条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。
4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。
习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。
习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。
5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。
无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。
总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。
教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。
这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。
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G( x ) ( I x – A ) = F ( x ) 将 I x – A 及 F ( x ) 看成是元素在 K[ x ] 中 的矩阵 , 我们可以利用矩阵的理论构造 G( x )
利用矩阵的理论来构造 G( x )
G( x ) ( I x – A ) = F ( x )
故 B0 , B1 , … , Bn-1 K[ A ]
在交换幺环 K[ A ] 上 Bezout 定理成立. 由 F ( x ) = ( B0 x n-1 + … + Bn-1 ) ( I x – A )
有一次因式 I x – A 可推得 F ( A ) = 0 . 这也可通过直接计算
得到.
F ( A ) = Bn-1 A + an I = 0
f ( A ) = An + a1 An-1 + … + an I = 0 .
在代数意义上, 如何理解 “ x 用 A 带入” ?
多项式的带入通常指的是数的带入, 如 将 x = 2 带入到 f ( x ) = x 3 + x 2 – 12 得 f ( 2 ) = 2 3 + 2 2 – 12 = 0
0
0
0
3
0 1 2 0
b)
1
0
2
0
0 0 1 0
注：若 R 是非交换环, 如 R = Mn ( K ) , 由 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) R [ x ] 一般 推不出 f ( A ) = g ( A ) h ( A ) , A R . 例: 我们有 ( B x )( C x ) = BC x 2 , 但如果矩阵 A 与 C 不交换, 一般来说
I xn + a1 I xn-1 + a2 I xn-2 + … + an-1 I x + an I B0 = I , B1 = A + a1 I , B2 = A2 + a1 A + a2 I , …
Bk = Bk-1A + ak I = Ak + a1 Ak-1 +… + ak I , … , Bn-1 = An-1 + a1 An-2 + … + an-1 I
= I x n + a1 I x n-1 + … + an-1 I x + an I 这里 B0 , B1 , … , Bn-1 K[ A ] ?
B0 xn + B1 xn-1 + B2 xn-2 + … + Bn-1 x – B0 A xn-1 – B1 A xn-2 – … – Bn-2 A x – Bn-1 A
（清华大学出版社）
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linalg2
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…
…
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第九章 线性变换
5 Hamilton-Cayley 定理 6 最小多项式 7 幂零变换的结构 8 Jordan 标准型 9 对偶空间
的因式, 即构造一个系数在 K[ A ] 上的 多项式 G( x ) , 使得
G( x ) ( I x – A ) = F ( x ) 系数为矩阵的多项式 = 元素为多项式的矩阵 ( K[ A ])[ x ] ( K[ x ])[ A ] ? 先试试看…
这提示我们尝试证 I x – A 是 F ( x ) = I x n + a1 I x n -1 +… + an I
高等代数 II
主讲教师 : 高 峡 理科楼 1473
助教: 王宇鹏 孙致远 员晓帆
大课 周三 5 - 6 节 周五 3 - 4 节 二教 102
习题课 周四 10 - 11 节 二教 425 二教 304 三教 101
• 教材: 《高等代数(下册)》, 丘维声著
（高教出版社） 《高等代数》, 丘维声著, 科学出版社 • 参考材料 : 《高等代数学》, 张贤科等著
x a11 a12 a1n
( x I – A )*
a21
x a22
a2n
an1
an2
x
ann
|xIA|
F
(
x
)
=
f
(
x
)
I
=
|xIA|
|
x
I
A
|
由伴随矩阵公式 , ( x I – A )* ( x I – A ) = f ( x ) I
将 ( x I – A )* 按 x 的方幂拆成多项式 ( B0 x n-1 + B1 x n-2 + … + Bn-1 ) ( I x – A )
若 f ( x ) K [ x ], 则只能将 K 中的元素 带到 f ( x ) 中去 ; 要将某个环 R 上的元素 带入 f ( x ) , 必须先将 K 嵌入到 R 中, 把 f ( x ) 看成 R 上的多项式后再作带入
设 K[ A ] Mn( K ) . 通过嵌入
K { k I | k K } K[ A ], 可将 f ( x ) 看成
Hamilton-Cayley 定理
设 A 是 K - 线性空间 V 上的线性变换, f ( x ) 是 A 的特征多项式. 则有
f (A) = 0. 即线性变换的特征多项式都是零化多项式
Hamilton-Cayley 定理初探
设 A 是域 K 上的 n 阶矩阵, f ( x ) = | x I – A | = x n + a1 x n-1 + … + an 是 A 的特征多项式 , 证明:
系数在交换幺环 K[ A ] 上的多项式 F ( x ) = I xn + a1 I xn-1 + … + an I
问题转变为: 将 x = A 带入到 F ( x ) 中, 得 F ( A ) = 0 ?
这提示我们尝试证 I x – A 是 F ( x ) = I x n + a1 I x n -1 +… + an I
( B A )( C A ) BC A2
作业：5 月 11 日 交
§6.9 7, 10, 11, 13， 14 补充题: 1 ，2
补充题 1. 设 A 是实线性空间 V 上的线性变换,
A 在基底 1 , 2 , 3 , 4 下的矩阵1
1
0
2
,
2 0 2 1