8.5一阶电路的全响应 三要素法
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
一阶动态电路的全响应及三要素法
1 2
高阶动态电路的全响应研究
本文主要研究了一阶动态电路的全响应，未来可 以将研究扩展到高阶动态电路，探讨其全响应的 特点和求解方法。
复杂电路系统的分析方法研究
针对更复杂的电路系统，需要研究更为有效的分 析方法，以提高电路分析的准确性和效率。
3
非线性电路的动态响应研究
在实际应用中，非线性电路的动态响应也是一个 重要的问题，未来可以开展相关的研究工作。
结果讨论与误差分析
结果讨论
根据求解出的全响应表达式，分析电 路在不同时间点的响应情况，讨论电 路的工作特性。
误差来源
分析在求解过程中可能出现的误差来 源，如元件参数的测量误差、计算误 差等。
误差影响
讨论误差对求解结果的影响程度，以 及如何通过改进测量方法、提高计算 精度等方式来减小误差。
实际应用中的考虑
在实际应用中，还需要考虑其他因素 对电路响应的影响，如环境温度、电 磁干扰等。
05 实验验证与仿真模拟
实验方案设计
设计思路
基于一阶动态电路的基本原理，构建实验电路并确定测量参数。
电路搭建
选用合适的电阻、电容、电感等元件，搭建一阶动态电路。
测量方法
采用示波器、电压表、电流表等仪器，测量电路中的电压、电流 等参数。
03 三要素法原理及应用
三要素法基本概念
三要素法定义
一阶动态电路的全响应由初始值、 稳态值和时间常数三个要素决定，
通过求解这三个要素可快速得到 电路的全响应。
适用范围
适用于线性、时不变、一阶动态电 路的全响应分析。
优点
简化了电路分析过程，提高了求解 效率。
初始值、稳态值和时间常数求解方法
01
02
一阶电路三要素法
R0 6 / /3 2k
uC
R0C 2
18 (5
103 2106
4
1
8
)e
t 41 0
3
4
103
18 3
s 9mA
6e250
t
R 6k
3k
恒流源除源
1）求电容电压
uC 18 (
uC;
54
1
8
)e
t 41 0
3
54V
uC
2）求电流 iC、 i;2
18V
iC
C duC dt
①确定 uC (0 ) uC (0 ) 54 V
②确定 uC ()
由换路后稳态电路求稳态值 uC ()
uC
(
)
9
10
36 63 3来自10318 V
③由换路后电路求时间常数
9mA R
6k
t=0 S
uC
+ _
iC
2F
C
i2
3k
9mA
R 6k
+
uC
(
) _
3k
换路后，储能元件两端求等效电阻R0
t∞ 电路
对一阶电路的求解，只需求出初始值 f (、0稳) 态值 要素，代入通用表达式即可直接写出电压或电流的通解
f和(换)路后的时间常数三个
——三要素法
例1：电路如图，S闭合前电路已处于稳 态。t=0时合上开关S，试求
1）电容电压 u;C
2）电流 iC 、 i;2
3）画出 uC、 iC、 i变2 化曲线。
2 、三要素法求解暂态过程要点
（1）求初始值、稳态值、时间常数
1）初始值 f (0 )的计算
一阶电路的全响应——三要素公式【PPT课件】
6A
2
Is
US 3H
(a)
u
大 学 电 路 与 系 统
(2)求解零状态响应iLf(t)和uf(t) 。
零状态响应是初始状态为零,仅由独立源所引起的 R2
响应;故 iLf(0+)=0,电感相当于开路。画出其0+等效 12V
电路,如图 (b)所示,所以
R3 US
iLf(0+) uf(0+) R4
RLiL
L1uS
(a)
(b)
制 作
若用y(t)表示响应,用f (t)表示外加激励,上述方程统一表示为
ddy(tt)1y(t)bf(t)
τ为时常数,对RC电路, τ= RC; 对RL电路, τ= L/R。
第 5-2 页
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y(t) = yh(t) + yp(t)
特征根 s = - 1/τ, yh(t) = Ke- t/τ ,
学 电 路 与
1316uL(0)13863
系 统
得uL(0+) = 6V, i(0+) = uL(0+) /6=1A
(a) 3Ω
i(0+) 3A
18V uL(0+)
6Ω
6A
(b) 0+图
3Ω
多 媒
(3)画∞等效电路,如图(c)。
i(∞) 3A
体 室
显然有 uL(∞) = 0, i(∞) = 0,
18V uL(∞) iL(∞) 6Ω
路 与
iL(0+) =iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)
系 统
uC (0+)= uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)
三要素法求电路全响应
三要素法求电路全响应电路的全响应是指电路在初始状态和外部激励作用下的完整动态响应。
为了得到电路的全响应，我们可以使用三要素法进行分析和计算。
三要素法是一种基于电路元件特性和初始条件的计算方法，通过分析电路的零输入响应、零状态响应和强迫响应来求得电路的全响应。
我们来了解一下三要素法的基本概念。
三要素法将电路的全响应分为三个部分：零输入响应、零状态响应和强迫响应。
零输入响应是指在没有外部激励的情况下，电路元件本身的特性所引起的响应。
在零输入响应中，电路元件的初始状态起到了关键作用。
例如，一个电容器在初始时刻具有一定的电荷量，当没有外部激励时，电容器会通过内部电路元件自行放电或充电，产生一种独特的响应。
零状态响应是指在没有初始电荷或初始电流的情况下，电路在外部激励作用下产生的响应。
在零状态响应中，电路的初始状态不起作用，电路的响应完全由外部激励决定。
例如，一个电容器在初始时刻没有电荷，当外部电压施加在电容器上时，电容器会根据电压变化情况产生相应的电流响应。
强迫响应是指在有外部激励作用下，电路元件和初始条件共同引起的响应。
在强迫响应中，电路的初始状态和外部激励都对电路的响应产生影响。
例如，一个电路中同时存在电容器的初始电荷和外部电压，当外部电压变化时，电容器的初始电荷和电容器本身的特性都会对电路的响应产生影响。
根据三要素法，电路的全响应可以表示为零输入响应、零状态响应和强迫响应的叠加。
通过分别计算这三个部分的响应，然后将它们相加，我们可以得到电路的全响应。
在实际计算中，我们可以利用电路的传递函数来求得不同部分的响应。
传递函数是电路输入和输出之间的转移函数，它描述了电路对输入信号的响应特性。
通过对传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数表达式。
利用传递函数，我们可以将输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换相乘，然后进行反变换，得到相应的时间域响应。
在计算电路的全响应时，我们需要注意一些细节。
一阶电路的全响应与三要素
§5.4 一阶电路的全响应与三要素在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。
本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。
根据KVL ，此时电路方程可表示为：C u图 5-19 一阶RC 电路的全响应S C CU u tu RC=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+令方程（5-9）的通解为 C CC u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则S CU u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τtCAe u -=''。
其中RC =τ为电路的时间常数，所以有τtS C AeU u -+=将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0所以电容电压最终可表示为τtS S c e U U U u --+=)(0 （5-20）电容充电电流为etS C R U U t u C i τ--==0d d这就是一阶RC 电路的全响应。
图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)图5-20C u ，i 的波形图将式（5-20）重新调整后，得)1(0ττtS tC e U eU u ---+=从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。
显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
分析一阶电路全响应的三要素法
L i 图6.15 例6.3图 分析一阶电路全响应的三要素法由6-35可见，只要求出电路的初始值、稳态值和时间常数，就可方便的求出电路的零输入、零状态和全响应。
所以仿照上式，可以写出在直流电源激励下，求解一阶线性电路全响应的通式，即τte f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(（6-36） 式中)(t f 代表一阶电路中任一电压、电流函数。
初始值)0(+f ，稳态值)(∞f 和时间常数τ称为一阶电路全响应的三要素。
1、求初始值)0(+f 的要点：(1)求换路前的)0()0(--L C i u 、；(2)根据换路定则得出)0()0()0()0(-+-+==L L C C i i u u ；(3)根据换路瞬间的等效电路，求出未知的)0(+u 或)0(+i 。
2、求稳态值)(∞f 的要点：(1)画出新稳态的等效电路（注意:在直流电源的作用下, C 相当于开路, L 相当于短路）；(2)由电路的分析方法，求出换路后的稳态值。
3、求时间常数τ的要点：(1)求0>t 时的τ；(2) eqeq R L C R ==ττ,； (3) 将储能元件以外的电路，视为有源一端口网络，然后应用戴维南定理求等效内阻的方法求 eq R 。
[例6.3] 图6.15所示电路原已处于稳态，0=t 时开关闭合。
已知82=s u V ，L=1.2H, R1= R2= R3=2Ω, 求电压源401=s u V 激励时的电感电流L i 。
[解]: 换路前电路为直流稳态电路，所以 2)0(322=+=-R R u i s L A 换路后电感电压为有限值，所以电感电流的初始值为=+)0(L i 2)0(=-L i A换路后电感两端的等效电阻为Ω=++=321213R R R R R R eq 所以时间常数为s R L eq4.0==τ 当401=s u V 时，电感电流的稳态值可求得为 81111)(32122113=+++⋅=∞R R R R u R u R i s s L A 由三要素法可得电感电流为 τt L L L L e i i i i -+∞-+∞=)]()0([)(t e 5.268--= A。
一阶电路暂态分析的三要素法
－t/RC
iC＝ －uC(t)／R
e t/ ＝－(US／R) － RC
ri = US / r
返回
例5、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,
u 1 2 1 在t=0时闭合S ,在T=0.1秒时闭合S ,试求S2闭合后的 C(t),并画出曲线,设S 闭合前 uC=0.
S1
解:S1闭合后:
u u C(0+)= C(0-)=0 uC(∞)= U = 20V
t = 6+(12－6)e－114 V t τ= [(R=16//+R62)e+－R131]4 ·CV=8.8×10－3s
返回
例4、图中电路原已稳定，求开关闭合后的 uC 和 iK 。
ir iC
r
u u 解：
( )= ( ) C 0+
C 0－ = US
iK
uC(∞)= 0
+C
uC
－US
R
τ = RC uC(t)=USe
因此将初始值、稳态值、时间常数τ 称为一阶电路的三要素。
返回
二、求解一阶电路的三要素法
全响应= 稳态分量+暂态分量
用f (t)表示电路中的某一元件的电压或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初始值，τ
为时间常数。
f (t)=f (∞)+Ae－t／τ
e f (t)=f (∞) +[ f (0+) －f (∞)] －t／τ
R2=3kΩ，R3=1kΩ，R=5kΩ ，E=10V，换路前处于
稳态，在t 线。
=
0时将S由1打向2uC，(V试) 求uC(t)，画出曲
1 S R1
解:
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强制分量：与输入信号有关，形式与输入函数相同的分量。 自由分量：与输入信号无关的分量。 当激励为直流或正弦信号时，强制分量就是稳态分量，自由 分量也就是暂态分量。但当输入是衰减的指数函数时，则强制 分量是以相同规律衰减的指数函数，就不再有稳态分量了。
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 二、三要素法
解： uC (t1 ) 2.528V
求时间常数： R2 R3 R 1.5k RC 1.5s 2 R2 R3
u3 (t1 ) 2.528 V uC () 0 u3 ( ) 0
uC (t ) 2.528e
t t1 τ2
2.528e
A f (0 ) f ' (0 )
f (t ) f ' (t ) [ f (0 ) f ' (0 )]e
三要素：稳态分量、初始值、时间常数。
t
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 二、三要素法
设一阶电路全响应的稳态分量为 暂态分量为
f ' (t )
f ' ' (t )，则因为暂态分量的形式为
Ae
t
t
全响应：
f (t ) f ' (t ) [ f (0 ) f ' (0 )]e
三要素：稳态分量、初始值、时间常数。
三要素法对任一线性一阶电路中的任一变量都适用。 在直流激励下，稳态分量是恒定的，常用 f ( ) 表示， 且
f ' (0 ) f ' (t ) f ()
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应 t RC u U ( U U )e 2、全响应的分解 C S 0 S
1）全响应
= 稳态分量 + 暂态分量
稳态分量：达到新稳定状态时的响应分量。 2）全响应
暂态分量：随着时间的推移趋于0的分量，形式为：Ae
t
= 强制分量 + 自由分量
6.67105 t t1
V
t t1
u3 (t ) 2.528e
6.67105 t t1
V t t1
0 t t1 : uC (t ) 4(1 e
5105 t
t t1 : uC ( t ) 2.528e
6.67105 t t1
(3) f () 可通过换路后，达到新的稳态的电路来求, 此时，C开路，L短路。
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ a
R 2
L 4H
Ri
a
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
(t 0)
iL
L
设一阶电路全响应的稳态分量为 暂态分量为
f ' (t )
f ' ' (t ) ，则因为暂态分量的形式为
Ae
t
t
所以
f (t ) f ' (t ) f ' ' (t ) f ' (t ) Ae
f (0 ) f ' (0 ) A
其中积分常数A根据初始条件确定： 因为 所以
u
(2) C
+
i ( 2)
-C
(2) uC (0 ) U 0
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应
S +
R
(t 0)
(1) uC
1、全响应的求解
+
i
(1)
-
Us
- C
uC
(1)
U S (1- e
t RC
)
t RC
(1) uC (0 ) 0
S
+R
(t 0)
uC U S (U 0 U S )e
uC
2
t RC
duC U S RC U 0 RC i C e e dt R R
i
1 o
t
t
Us
1
3
3
2
t
o
(1) U S U 0
(2) U S U 0
t
(3) U S U 0
含储能元件的电路在换路后并不一定都出现过渡过程!
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。 解：求时间常数： uC (0＋) 0 uC ( ) 4V R1 R3 R2 R 2 u3 (0 ) 6V u3 () 4V R1 R2 R3
(t 0)
S 1 2
10
+ 10V -
2A
+ uC 0 .5 F -
解：(1) uC (0 ) uC (0 ) 10V
2 如图所示电路，t<0时S在“1”位置，电路已 达稳态，现于t = 0时刻将S扳到“2”位置。 试求t ≥ 0时的u C(t)。
30
i3
30 20
+ 10V
－
i2
t→∞电路
( 3)求 R 30 // 30 20 35 L 1 s R 35
i3 ( t ) i3 ( ) [i3 (0 ) i3 ( )]e 0.143 + (0.2 0.143) e
1 RC 2 10 1000 10 s 2s
3 12
uC (t ) 4 (0 4)e u3 (t ) 4 (6 4)e
t 1
t 1
4(1 e 4 2e
5105 t
) V 0 t t1 V 0 t t1
t 2
3 5e
0.5t
A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法
例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ -
R 2
a
L 4H
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
(t 0)
iL
L
b
5
Us
Is
0.5t
3
i
iL 3 5e
iL
u3 (t1 ) uC (t1 ) 2.528 V
u3 () 0
例8-8已知 U S 12V
R1 R2 R3 3k
C 1000pF uC (0 ) 0
+
R1
S
C +u C
R2
(t 0)
U s (t t ) 1 -
+ R3 u3 -
开关S在t=0时断开，经 t1 2s又合上，求u C、u 3。
b
换路后
Us
Is
+ U oc -
iL
b
L
iL (0 ) iL (0 ) I S 2A
U OC 6 iL () 3A Ri 2
L 4 2s Ri 2
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
t (s )
A
0.5t
o
i I S iL 5 5e
A
2
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-8 如图8-31所示的电路中，已知 U S 12V R1 R2 R3 3k C 1000pF uC (0 ) 0
开关S在t=0时断开，经 t1 2s 又合上，求u C、
所以
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
t
要记！
f (t ) f () [ f (0 ) f ()]e
三要素怎么求？
t
L C RC、 L (1) 通过换路后的电路结构求得： R (2) f (0 ) 通过换路定理或0+等效电路来求；
(2) uC
uC
+
i ( 2)
( 2)
U 0e
t RC
u C U S (1 e
t RC
) U 0e
U0 e R
-C
u
(2) C
(0 ) U 0
duC U S i C e dt R
t RC
t RC
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 一、R、C 电路的全响应
i R S
+ a
R 2
L 4H
试求开关S闭合后电路中的电流iL、i。
iL (0 ) iL (0 ) I S 2A
iL
L
Us
(t 0)
Is
b
U OC 6 iL () 3A Ri 2
iL 3 (2 3)e
t 2
L 4 2s Ri 2
3 5e
0.5t
A
8.5 一阶电路的全响应 三要素法 例8-7 如图8-28(a)所示的电路中，U S 10V
I S 2A
i R S
+ -
R 2
a