直线的点斜式和斜截式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程
直线的点斜式方程和斜截式方程1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊数学里的两个老朋友：直线的点斜式方程和斜截式方程。
这听起来有点高大上，但其实没那么复杂。
就像喝一杯清茶，慢慢品味，才会觉得其中的奥妙。
别担心，我们会把这些枯燥的公式变得有趣一点，谁说数学不能好玩呢？2. 点斜式方程2.1 什么是点斜式方程？点斜式方程，顾名思义，就是用一个点和一个斜率来定义一条直线。
想象一下，你正在一片草地上，发现了一条小路，这条小路的起点就是你脚下的那个点，而它的倾斜程度，就是那条路的斜率。
简单来说，点斜式方程的形式是 ( y y_1 = m(x x_1) )，这里的 ( (x_1, y_1) ) 就是你那颗脚下的心灵归宿，而 ( m ) 就是你走路时的步伐。
明白了吗？就像你跟朋友约好一起出门，你得告诉他从哪里出发，往哪个方向走。
2.2 点斜式的应用那么，点斜式有什么用呢？想象一下，你在一个小山坡上，旁边有一块石头，你想告诉朋友这个石头的确切位置，和你从石头走到小河的路径。
你可以用点斜式方程告诉他这条路的方向。
比如，你在 ( (2, 3) ) 这个点，斜率是 ( 2 )，那么就可以写成 ( y 3 = 2(x 2) )。
这就像给他发了个“定位”，让他也能找到你。
而且，这个公式在图纸上也特别好用，轻松画出一条直线，谁不喜欢画画呢？3. 斜截式方程3.1 斜截式方程的定义接下来，我们来聊聊斜截式方程。
斜截式听起来有点酷，对吧？它的形式是 ( y = mx + b )。
这里的 ( m ) 依旧是斜率，而 ( b ) 则是这条直线在 y 轴上的截距。
想象一下，你在公园里散步，看到一条直线从地面上“冒出来”，它和 y 轴的交点就是 ( b )。
就像是你看到的风筝线，风筝在空中飞舞，而这个点就是风筝的“起飞点”。
3.2 斜截式的用途斜截式方程的好处就是它特别容易看懂，尤其是对那些数学小白来说。
你只要知道斜率和 y 轴的交点，立马就能画出那条直线。
直线的点斜式和斜截式方程
直线的点斜式和斜截式⽅程直线的点斜式和斜截式⽅程知识⽬标：(1）了解直线与⽅程的关系；（2）掌握直线的点斜式和斜截式⽅程能⼒⽬标：培养学⽣解决问题的能⼒与计算能⼒重点：直线⽅程的点斜式和斜截式难点：求直线的点斜式和斜截式⽅程采⽤“问题——分析——联系⽅程”的步骤，从学⽣熟知的⼀次函数图像⼊⼿，分析图像上的坐标与函数解析式的关系，把函数的解析式看作⽅程，图像是具有某种特征的平⾯点集（轨迹）．很⾃然地建⽴直线和⽅程的关系；导出直线的点斜式⽅程过程，是从直线与⽅程的关系中的两个⽅⾯进⾏的．⾸先是直线上的任意⼀点的坐标都是⽅程的解，然后是以⽅程的解为坐标的点⼀定在这条直线上；直线的斜截式⽅程是直线的点斜式⽅程的特例．直线的斜截式⽅程与⼀次函数的解析式具有相同的形式．要强调公式中b 的意义．*创设情境兴趣导⼊【问题】我们知道，⽅程10x y -+=的图像是⼀条直线，那么⽅程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢*动脑思考探索新知【新知识】已知直线的倾⾓为45，并且经过点0(0,1)P ，由此可以确定⼀条直线l ．设点(,)P x y 为直线l 上不与点0(0,1)P 重合的任意⼀点（图8－6）．图8－61tan 450-==-y k x ，即 10x y -+=．这说明直线上任意⼀点的坐标都是⽅程10x y -+=的解．设点111(,)P x y 的坐标为⽅程10x y -+=的解，即1110x y -+=，则111tan 450-==-y k x ，已知直线的倾⾓为45，并且经过点0(0,1)P ，只可以确定⼀条直线l ．这说明点111(,)P x y 在经过点0(0,1)P 且倾⾓为45的直线上⼀般地，如果直线（或曲线）L 与⽅程(,)0F x y =满⾜下列关系：⑴直线（或曲线）L 上的点的坐标都是⼆元⽅程(,)0F x y =的解；⑵以⽅程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线（或曲线）L 上．那么，直线（或曲线）L 叫做⼆元⽅程(,)0F x y =的直线（或曲线），⽅程(,)0F x y =叫做直线（或曲线）L 的⽅程. 记作曲线L : (,)0F x y =或者曲线(,)0F x y =．例如，直线l 的⽅程为10x y -+=，可以记作直线:10l x y -+=，也可以记作直线10x y -+=．下⾯求经过点000(,)P x y ，且斜率为k 的直线l 的⽅程（如图8－7）．图8－7在直线l 上任取点(,)P x y （不同于0P 点），由斜率公式可得 00y y k x x -=-，即 00()y y k x x -=-．显然，点000(,)P x y 的坐标也满⾜上⾯的⽅程．⽅程（8．4）叫做直线的点斜式⽅程．其中点000(,)P x y 为直线上的点，k 为直线的斜率．【说明】当直线经过点000(,)P x y 且斜率不存在时，直线的倾⾓为90°，此时直线与x 轴垂直，直线上所有的点横坐标都是0x ，因此其⽅程为*巩固知识典型例题例2 在下列各条件下，分别求出直线的⽅程：（1）直线经过点0(1,2)P ，倾⾓为45；（2）直线经过点1(3,2)P ，2(1,1)P --．解（1）由于45=α，故斜率为tan tan 451===k α，⼜因为直线经过点0(1,2)P ，所以直线⽅程为21(1)y x -=?-，即 10x y -+=．（2）直线过点1(3,2)P ，2(1,1)P --，由斜率公式得123134k --==--．故直线的⽅程为 32(3)4y x -=-，即 3410x y --=．【想⼀想】．例2（2）题中，如果利⽤点2(1,1)P --和34k =写出的直线⽅程，结果是否⼀样，为什么？*动脑思考探索新知【新知识】如图8－8所⽰，设直线l 与x 轴交于点(,0)A a ，与y 轴交于点(0,)B b ．则a 叫做直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 叫做直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）．【想⼀想】直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗？图8－8【新知识】B b，且斜率为k．则这条直线的⽅程设直线在y轴上的截距是b，即直线经过点(0,)为-=-，y b k x(0)即y kx b=+．⽅程（8．5）叫做直线的斜截式⽅程．其中k为直线的斜率，b为直线在y轴的截距．*巩固知识典型例题例3设直线l的倾⾓为60°，并且经过点P（2，3）．（1）写出直线l的⽅程；（2）求直线l在y轴的截距．解（1）由于直线l的倾⾓为60°，故其斜率为k==．tan603⼜直线经过点P（2，3），由公式(8.4)得知直线的⽅程为y x-=-．32)（2）将上⾯的⽅程整理为3y-．这是直线的斜截式⽅程，由公式(8.4)知直线l的在y轴的截距为3-【想⼀想】例3（2）中，求直线在y轴的截距还有其他的⽅法吗？*运⽤知识强化练习1．作出12y x =的图像，并判断点(2,3)P -、(4,2)Q 是否为图像中的点． 2．设点(,1)P a 在直线350x y +-=上，求a 的值．3．根据下列各直线满⾜的条件，写出直线的⽅程：（1）过点(5,2)，斜率为3；（2）在y 轴上的截距为5，斜率为4．4．分别求出直线85(1)y x -=-在x 轴及y 轴上的截距*归纳⼩结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？布置作业(1)读书部分：教材(2)书⾯作业：教材P55习题8.2 A 组3、4、6（必做课后反思变式95P 1、写出下列直线的点斜式⽅程:（1）经过点(3,1)A -（2）经过点(B ，倾斜⾓是30?;(3) 经过点(0,3)C ，倾斜⾓是0?；（4）经过点(4,2)D --，倾斜⾓是120?。
直线的点斜式斜截式方程
9、已知直线l : ( 3a 1) x ( a 2) y 1 0 (1)求证：对a R，l 恒过第一象限 ( 2)若 l 不过第二象限，求 a 的取值范围
10、过点 M (0,1)的直线 l，使它被 直线l1 : x 3 y 10 0, l2 : 2 x y 8 0 所截得的线段恰好被 M平分， 求直线 l 的方程
直线方程的两点式不能 表示哪些直线？
怎么弥补缺陷？
我 们 推 导 两 点 式 是 通点 过斜 式 的 ， 还有其他推导方法吗？
利用三点共线，斜率相等 或 共线向量
直线方程的两点式和截 距式
新课
直线的方程—两点式、截距式
直线方程的截距式
特殊地，当直线 l 经过点 A(a ,0)，B(0, b) y0 xa 时的方程为 b0 0a
5、ac 0, bc 0, 直线a x by c 0 不通过第( )象限 A 一 B 二 C 三 D 四
6、过点（ 5， 2 ），且在x轴上的截距是在 y轴上的 截距的2倍的直线方程
7、证明直线 ax y 5a 2 0(a R)必过定点
8、证明直线 ax by 5a 2b 0 (a , b R且a b 0)必过定点
4、已知点P (6,4)，l：y 4 x，点Q在 直线 l上(Q在第一象限)直线 PQ交 x 轴正半轴于点M，要使 OMQ 的面积最小，求点Q 的坐标
复习
直线的方程—一般式
1 、直线的倾斜角、斜率
斜 y1 k ( x x1 ) 2 、直线方程的y 点 式
y y1 x x1 4 、直线方程的两点式 y 2 y1 x 2 x1 x y 5 、直线方程的截 式 距 1 a b
直线的方程——点斜式斜截式截距式一般式
方程
y y0； k(x x0 )
（2）坐标满足这个方程的每一点都在过点P0 (x0,,y斜0 )率
为k的直线 上l .
2020年1月17日星期五
1.点斜式方程
经过点 P0 (x0, y0 ) 斜率为k的直线l 的方程为：
y y0 k(x x0 )
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，
o
x
即： y kx b
l
式中：b ---直线 在l y轴上的截距(直线与y轴交点的纵坐
标)
k ---直线 的斜l 率
这个方程由直线的斜率k和在y轴上的截距b确定，也
叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
2020年1月17日星期五
例二：
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（1）y 3x 2 (2) y 3x (3)x 3y 2
②倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
2020年1月17日星期五
例一:
1.已知直线经过点 P,斜2,3率 为２，求这条直线的方程. 2.已知直线经过点 P，1,3求
（1）倾斜角为 0时的直线方程： y 3 ；
（2）倾斜角为 45时 的直线方程： y 3 x；1
y2
o
x
y x 2
y 3x 2 y 3x 2
直线 y kx是 2过定点 （0，2）的直线束；
2020年1月17日星期五
y yx2
y2
y
2x
4
y
y
2
x
y 2x 4
o
x
y x 2
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计
《第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程》教学设计一、问题引入请同学们思考:1.在直角坐标系内确定一条直线,需要几个条件?2.求直线斜率的方法有哪些?3.已知直线l 的斜率k ,且直线l 经过点()000,P x y ,如何求直线l 的方程?设计意图:引导学生复习旧知,提出问题,引入新课题.二、探索研究(一)直线的点斜式方程1.循序渐进:思考1:设12,l l 是平面直角坐标系中的直线,分别判断满足下列条件的12,l l 是否唯一.如果唯一，作出相应的直线,并思考直线上任意一点的坐标(,)x y 应该满足什么条件.（1）已知1l 的斜率不存在;（2）已知1l 的斜率不存在且1l 过点(2,1)A -;（3）已知2l 的斜率为3;（4）已知2l 的斜率为3且2l 过点(1,2)B .教师提出问题,学生分组进行思考讨论,教师让学生行口答,并给予点评.教师:不难看出,满足条件(1)的直线1l 有无数条,但满足条件(2)的直线1l 是唯一的,如图所示.此时若(,)x y 为直线1l 上的点,则必有2x =-;另外,任意横坐为2-的点,一定都在直线1l 上.满足条件(3)的直线2l ,只要倾斜角为60︒即可,因此2l 也有无数条.满足条件(4)的直线2l 是唯一的,如图(2)所示.此时若(,)P x y 为直线2l 上不同于B 的点,则BP k即21y x -=-,化简可得21),y x -=-容易验证,(1,2)B 的坐标也能使上式成立,因此直线2l 上的点都使得上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,即要么(,)P x y 就是点(1,2)B ,要么BP k =也就是说,点P 一定在直线2l 上.思考2：（2）中直线1l 上点的坐标与方程2x =-的解有什么关系?（4）中直线2l 上点的坐标与方程2y -=1)x -的解有什么关系?由此你能得出什么结论?教师提出问题,学生进行思考,教师让同学回答,并给出一般结论.教师:一般地,如果直线l 上点的坐标都是方程(F x ,)0y =的解,而且以方程(,)0F x y =的解为坐标的点都在直线l 上,则称(,)0F x y =为直线l 的方程,而直线l 称为方程(,)0F x y =的直线.此时,为了简单起见,“直线l ”也可说成“直线(,)0F x y =”,并记作:(,)0l F x y =.思考3:设点()000,P x y 为直线l 上一定点,而且知道的l 斜率信息,我们怎样得到直线l 的方程?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:（1）如果直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为0.x x =（2）如果直线l 的斜率存在且为k ,设(,)P x y 为直线l 上不同于0P 的点,则0P P k k =,即00y y k x x -=-,化简可得 ()00y y k x x -=-.①而且()000,P x y 的坐标也能使上式成立;另外,如果,x y 能使得上式成立,则要么(,)P x y 就是点()000,P x y ,要么0P Pk k =,也就是说,点P 一定在直线l 上,从而①就是直线l 的方程.因为方程①由直线上一点和直线的斜率确定,所以通常称为直线的点斜式方程.思考4:你能用方向向量来推导直线的点斜式方程吗?教师提出问题,学生进行思考讨论并进行回答.教师:直线的点斜式方程还可以用方向向量来得到:如果已知()000,P x y 是直线l 上一点,而且l 的斜率为k ,则直线的一个方向向量为(1,)a k =;另一方面,设(P x ,y )为平面直角坐标系中任意一点,则P 在直线l 上的充要条件是0P P 与a 共线,又因为()000,P P x x y y =--,所以()00y y k x x -=-.思考5:直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?引导学生分组讨论,然后说明理由,使学生掌握直线的点斜式方程的适用范围.教师:归纳总结:1.点斜式方程的局限性:只能表示斜率存在的直线,不能表示与x 轴垂直的直线.2.经过点()000,P x y 的直线有无数条,可分成两类:①斜率存在的直线(如图),方程为()00y y k x x -=-;斜率不存在的直线(如图):0x x =.（二)直线的斜截式方程思考6:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为(0,b),求直线l 的方程.学生独立求出直线l 的方程:y kx b =+.②在此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程②由哪两个条件确定,让学生理解斜截式方程概念的内涵.教师:一般地,当直线l 既不是x 轴也不是y 轴时:若l 与x 轴的交点为(,0)a ,则称l 在x 轴上的截距为a ;若l 与y 轴的交点为(0,)b ,则称l 在y 轴上的截距为b .一条直线在y 轴上的截距简称为截距.方程y kx b =+由直线的斜率和截距确定,因此通常称为直线的斜截式方程.思考7:观察方程y kx b =+,它的形式具有什么特点?直线y kx b =+在y 轴上的截距是什么? 使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别.教师:从直线的截距式方程y kx b =+,可以方便地看出直线的斜率k 和截距b .思考8:你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx b+?直线方程中k和b的几何意义是什么?你能说出一次函数21,3,3=-==-+的截距吗?y x y x y x使学生进一步加深对直线截距式方程的认识和理解.三、应用举例（一)点斜式方程应用举例例1 已知直线l经过点P,且l的斜率为k,分别根据下列条件求直线l的方程：（1）(0,3),2P k=-.P k=;(2)(1,0),3解（1）根据已知可得直线l的点斜式方程为-=⨯-32(0)y x化简得23=+.y x（2）根据已知可得直线l的点斜式方程为0y x=-+.-⨯-,化简得33y-=(3)(1)x教师可以找两个同学上黑板完成,其他同学在练习本上完成,完成后教师进行讲解.（二)斜截式方程应用举例例2 已知直线l经过点(2,3)P-,且l的倾斜角为45︒,求直线l的方程,并求直线l的截距.解因为直线l的斜率tan451k=︒=,所以可知直线l的方程为-=⨯--，31[(2)]y x即5=+.因此直线l的截距为5.y x学生思考讨论并上台讲解,教师给予点评.四、小结归纳教师引导学生概括：（1）本节课我们学习了哪些知识点？（2）直线方程的点斜式、斜截式的特点和适用范围是什么？（3）求一条直线的方程，要知道什么条件？五、课后作业教材第85页练习A第1~4题.板书设计教学研讨本节内容由8个思考问题构成，每个思考问题要给学生充分的讨论探究时间，这样设计有助于学生自主学习能力的提高.对于例题，这里选择了教材上的例题，数量和难度都有些不足，建议教师可以再安排一些难度较大的例题.。
直线的点斜式方程与斜截式方程
直线的点斜式方程与斜截式方程大家好呀，今天咱们来聊聊直线方程，具体来说，就是点斜式方程和斜截式方程。
别担心，我会把这些听起来像天书的东西，讲得像讲故事一样简单易懂。
你坐下来，喝口茶，咱们慢慢说说。
1. 点斜式方程1.1 什么是点斜式方程？首先，咱们得搞明白点斜式方程是什么。
简单来说，点斜式方程就是用来描述一条直线的方程。
它的格式是这样的：[ y y_1 = m(x x_1) ]。
别怕，这看起来像数学语言的外星文，实际简单得很。
这里的 ( (x_1, y_1) ) 是你已经知道的一个点，( m ) 是直线的斜率。
这就像你在绘画时知道了一个点的位置和线的倾斜程度，接下来只要把这些信息放进去，直线就自动出来了。
1.2 点斜式方程的实际应用想象一下，你要在纸上画一条直线，你知道这条直线经过一个点，比如说小明家门口的那棵大树。
然后，你知道直线的倾斜程度，比如说它向上倾斜了 45 度。
用点斜式方程，你可以把这两种信息结合起来，直接画出这条直线。
是不是很方便？就像是你知道了烹饪的材料和步骤，最后能做出美味的菜肴一样。
2. 斜截式方程2.1 什么是斜截式方程？接着咱们说说斜截式方程，它的形式是这样的：[ y = mx + b ]。
这里的 ( m ) 还是直线的斜率，不过这次它告诉我们直线的倾斜程度；而 ( b ) 是直线在 y 轴上的截距，也就是直线穿过 y 轴的那个点的 y 坐标。
用斜截式方程，你可以很清楚地看到直线如何穿过坐标系。
2.2 斜截式方程的实际应用让我们举个简单的例子。
假设你在路上开车，车的行驶路线就是一条直线。
斜截式方程就像是你手上的导航仪，告诉你这条路的走向和你与起点的距离。
比如说，你的车是以每小时 60 公里的速度向前行驶，且起点在 y 轴上。
通过斜截式方程，你能快速算出你的车在任何时刻的位置。
3. 点斜式与斜截式的转换3.1 如何转换说到这儿，可能有的小伙伴会好奇，点斜式和斜截式之间的关系是什么，怎么转换呢？其实，这就像是两种不同的描述方式，虽然它们讲的是同一个故事。
直线的点斜式与斜截式ppt课件
画图时，只需再找出直线
l y l上的另一点P1(x1,y1)，例
P0
如，取x1=－4,y1=1，得P1
P1
的坐标(－4,1)，则过P0,P1 的直线即为所求．
Ox
10
截距
横截距：直线与X轴交点的横坐标； 纵截距：直线与Y轴交点的纵坐标； 横截距为a，则直线过点(a,0) 纵截距为b,则直线过点(0,b)
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
▪作业 P53:3,4
14
（2）已知两点也可以确定一条直线.这样，在直角坐标系中，y
(1)给定一个点和斜率；
或(2)给定两点.
确定一条直线！
L α P2
也就是说，平面直角坐标系中的点 在不在这条直线上是完全确定的.
O
x
P1
4
二、新课讲授: (一)问题：我们能否用给定的条件：
(1)点P0的坐标和斜率k；或 (2)两点P1,P2的坐标. 将直线上所有点的坐标(x,y)满足的关系表示出来呢？
• (2) 2y-6x-3=0.(2) y 3x 3 , k 3,b 3 .
2
2
13
小结
1.点斜式方程 y y0 k(x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 斜率存在！
2.斜截式方程 y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
§8.2.2直线的点斜式方程与 斜截式方程
1
一、复习引入:
1.倾斜角
• x轴正方向与直线向上方向所成的最小正角α.
y
l
倾斜角
α
O
x
点斜式-斜截式
点斜式
斜截式
当直线的倾斜角为 0°时, 直线的方程是
x 1
y 3
当直线的倾斜角为90° 时, 它的方程是
1、直线l 经过点P0 (x0,y0)，且斜率为k，
求直线方程?
（x,y）
( x0 , y0 )
y y0 k x x0
即y y0＝k ( x x0 )
点斜式方程
例2 已知直线 l 的斜率为 k ，与y轴的 交点是 P (0, b) 求直线 l 的方程。 解： 由直线的点斜式方程知
y b k ( x 0)
y轴上的截距
即
斜率
y kx b.
直线与y轴交点的纵坐标。
截距可以大于0，也可以等于0或小于0。
此方程由直线 l 的斜率和它在 y轴上的截距确定， 所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。 斜截式是点斜式的特例。只适用于斜率存在的情形，某些情况下 用斜截式比用点斜式更方便.
1 m 6 m.求经过点(1,-1),且与直线y=2x-7平行的 直线方程?
y=2x-3
2.求经过点(0,2),且与直线y=-3x+5垂直的直线方程?
1 y x2 3
95练习
小
结：
y y0＝k ( x x0 )
(1)直线的点斜式方程:
（） 1 a(a+2)=-1 a 2a 1 0
2
1=a 2 2 （2） 4a 4 a=-1
(a 1) 0 a 1
2
已知直线l1 : x my 6 0，l2： (m 2) x 3 y 2m 0 当l1 // l2时，求m的值.
图2
5
3
图1
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授课教师
授课时间
月 日
授课班级
课题
8.2直线的点斜：让学生学会点斜式公式
教学重点：了解斜率与倾斜角关系
教学难点：掌握斜率公式
教学方法：讲述式
所用课时：1课时
教学内容及步骤
一、新知：
1、直线的倾斜角
直线L向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角
2、范围：
一、点斜式公式 二、例题
作业
教学反思
3、斜率：
倾斜角不等于90°的直线，它的倾斜角的正切叫做该直线的斜率
斜率用k表示，既k=
当 时，k不存在
当 时，所有直线都有k
4、公式
用两点 求斜率引出直线斜率公式：
二、例题
求经过A（-2,3）和B（2，-1）两点的直线的斜率和倾斜角
三、练习
74页，练习1
课堂小结
本节课我们学习了斜率公式
板书设计
8.2直线的点斜式和斜截式方程