基于奇异值分解的复模态矩阵摄动法_刘济科

xi , yi 对原有特征子空间 S、 R 进行正交分解。
xi = S pi + Wxi , yi = Rqi + Wyi ( 7a, 7b)
Wxi ⊥ S pi , Wyi ⊥ Rqi
( 7c, 7d)
其中 ,i = j ～ k , pi ,qi 是有限的 ( k - j+ 1) 阶列阵 ,
与小参数 X有关 ,而 Wxi ,Wyi 是与 X同阶的小量 ,现在
3 摄动公式
为获得更 精确的近似解 ,可将 λi ,xi , yi (i = j ～
k ) 写成逐步逼近格式 ,即
λi = _ i + λi2 + O (X3 )
( 11a )
xi = Spi + xi 1 + xi2 + O(X3 )
( 11b)
yi = Rqi + yi 1 + yi2 + O(X3 )
[RT ( K0 + K1 ) S ]Tqi = _ i [RT (M0 + M1 ) S ]Tqi 令 K = RT (K0 + K 1 ) S, M = RT ( M0+ M1 ) S ,由以上 推导可得缩聚系统的右、左特征值问题分别是
Kpi = _ i M pi , KT qi = _ i MT qi 将 ( 7a)代入 ( 5a ) ,有
问题
K0xi 0 = λi0M0xi0 , KT0 yi0 = λi0M0T yi0
(i = 1～ n)
( 1)
其中 K0 , M0是一般矩阵 ,由质量阵、刚度阵及阻尼阵
表示 , λi0 是特征 值 , xi 0 , yi0 分别 是相应 的右、左 特征
向量。选取比例系数 ,总可以满足
xiT0xi0 = 1
xi 1 = A+ b 其中 , A+ 表示 A 的广义逆 ,且有
( 18)
A+ = V W+ UH , W+ = diag ( w*1 , w*2 ,… , w*n )
w*i =
0 ( wi = 0)
1 wi
(
wi
≠
(i 0)
=
1～
n)
这样 ,就求 得了右 特征 向量 的一阶 摄动 解 xi 1 ,也就
0 引 言
有阻 尼多自 由度线 性振动 系统的运 动方程 ,除 了阻 尼矩阵满足 一定的 条件外 ,在一 般情况 下不能 通过实模态变换而解耦。在 这种情况下 ,就需要采用 复模 态理论 ,相应的矩 阵摄动 法也需 要采用 复模态 的矩阵摄动法。 陈塑 寰 [1 ]系统地讨论 了孤立特征值 及重特征值情况 的复模态矩阵摄动 法。 刘济科等 [2] 对 孤立 特征 值情 况的 复模 态矩 阵摄 动法 进行 了补 充。 徐伟华 和刘济科 [3]及刘济 科 [4 ]详细地 讨论了重 特征 值情况的复 模态矩 阵摄动 法 ,进 一步完 善了复 模态矩阵摄动理论。 但是 ,在大型复杂工程结 构中 , 系统 通常同时存 在孤立 复特征 值、相 重或相 近复特 征值三种情况 ,因而探讨一种简单并具有足够 精度、 且能同时适用于这三种不同特征值情 况的复模态矩 阵摄 动法是很 有实际 意义的。 为此 ,徐伟华 和刘济 科 [5]提出了一 种通用的复模态矩 阵摄动法。 这种方 法是 以模态展开 为基础 的 ,通 用性较 好且具 有足够 的精度。 但当模态不完备时 ,该法会遇到困难 ,其求 解精 度必将大 受影响。 为此 ,本文从 子空间 缩聚出 发 ,基于复矩阵的奇异值分解定理 ,提 出了另一种通 用方法 ,并推导了一阶、二阶摄动 公式。 此方法的主 要优点是避开了全模态展开 ,因而更具实际意义。算 例表明 ,本文方法能同时适用于三种特征值情 况 ,并 具有足够的精度。 应当指出 ,本文不考虑亏损系统。
值问题可分别表示成
(K0 + K1 )xi = λi (M0 + M1 )xi
( 4a )
(K0 + K1 ) T yi = λi (M0 + M1 ) T yi
( 4b)
其中 ,λi 是摄动 系统的 特征值 , xi , yi 分别 是右、左特
征向量。相应于 ( 2) , ( 3) 式有
xiT xi = 1, yiT ( M0 + M1 )xj = Wij
第 18卷第 4期 2001年 11月
计算 力 学 学报
C HIN ESE JO U RN AL O F COM PU T A T ION A L M EC HAN ICS
V ol. 18 N o. 4 Nov ember 2001
文章编号: 1007-4708( 2001) 04-0453-05
基于奇异值分解的复模态矩阵摄动法
( 12b)
பைடு நூலகம்
将 ( 11a ) 及 ( 7a )代 入 ( 4a ) ,前 乘 ( Rqi ) T , 结 合 ( 7)、
( 12a )式 ,有
qiT RT ( - K1xi1 + _ iM1xi 1 + λi 2M0S pi ) = 0 ( 13) 利用 ( 6)式 ,由 ( 13)可得
λi2 =
理 ,可求得 xi1 的最小二乘解。 合并方程 ( 15a )、 ( 16a) ,可得
Axi 1 = b
( 17)
其中
b (n+ 1)× 1 =
A(n+ 1)× n = - [ (K0 +
K0 - _i M0 piT ST
K1 ) - _ i ( M0 +
M1 ) ]S pi
0
第 4期 刘济科 ,等: 基于奇异值分解的复模态矩阵摄动法 4 55
对于线性方程组 ( 17) ,设对 A进行奇异值分解 , 即求得 U、V、W ,使 A = U W VH ,其中 , H表示复数
的共扼转置 ,W = diag ( w1 ,… , wn ) , w 1≥ w 2≥ … ≥ wn ≥ 0是矩阵 AH A 的 n个 特征值的非负平方根 ,称 为 A 的奇异 值 ; A 的 右奇异向量 V = (v 1 ,v 2 ,… vn ) 是 AH A的特征向量 ; A的左奇异向量 U = (u1 ,u2 ,… un+ 1 ) 是 AAH 的 特征向量。( 17) 的线性最小 二乘解 是:
我 们 就来设 法决定 pi , qi。为方 便起见 , 以下不 再注
明 i = j ～ k。
将 ( 7a) 代入 ( 4a ) , 左、右 两边 左乘 RT , 保 留至
O(X) 项 ,则有
RT (K 0 + K1 ) S pi = _ i RT ( M0 + M1 ) Spi 其 中 _ i 是 λi 的一阶近似。将 ( 7b) 代入 ( 4b) ,两边左 乘 ST ,保留至 O (X) 项 ,则有
( 11c)
式中 , xi1 , yi1 ～ O(X) , xi 2 , yi2 ～ O(X2 ) 等。
方 程 ( 11b) ( 11c) 可视为 是对 xi , yi 进行的 正交
分解 ,与 ( 7) 对比可得
Wxi = xi1 + xi2 + O(X3 )
( 12a )
Wyi = yi1 + yi 2 + O(X3 )
值中的某一个特征值相等的情况 ,此时 ( K0 - _ i M0 )
就 是 奇 异 矩 阵 , 其 秩 为 ( n - 1)。在 这 种 情 况 下 ,
( 15a ) 只能提 供 (n - 1) 个条件 ,不能确定 n 个未知 数 ,即 不 能 确 定 xi1 , 因 此 , 还 必须 补 充 一 个 条 件。 ( 16a )正是通过正交 规范条件得到的一个补充条件。 这样 ,从 ( 15a )、 ( 16a) 两式 出发 ,应用 奇异值 分解定
RT M0 S = I
( 6)
其中 I 表示单位阵 ,阶数为 ( k - j + 1)。
2 缩聚系统的特征解
虽然 摄动系统的 特征向量 xi ,yi (i = j ～ k ) 与 xi 0 , yi0 相比 ,其变化可能不 小 ,但 xi , yi 张成的特征子 空 间 分别与 S、 R 间的夹角 还是很 小的。因 此 ,可把
( 2)
左、右特征向量满足双正交关系
yiT0 M0xj0 = Wij ( i , j = 1～ n )
( 3)
其中 ,Wij 是 K ro necker 函数。
不失一般性 ,设原系统的特征值满足
λ10 < λ20 < … < λj0 = (≈ )λk0 < … < λn0
这种记 法只是 为了方 便 ,实际是 按特征 值的模
( 16a )
( Spi ) Txi 2 = -
1 2
x
T i1
xi
1
( 16b)
前已指出 , _ i 是 λi 的一种近似 , (K0 - _ i M0 ) 是
接近 奇 异的 矩 阵 , 不能 按 解 方 程组 的 常 规 方法 由
( 15a ) 解出 xi1。另一方面 ,还有可能出现 _ i 与原特征
求得了 λi2 ,即 ( 14)。
联合方程 ( 15b) 和 ( 16b) ,可得
( 8a, 8b)
piT ST S pi = 1
( 9)
将 ( 7a, 7b)代入 ( 5b) ,并利用 ( 6) ,得
qiTM pi = 1
( 10)
于是 ,我们可以由 ( 8a )、 ( 9) 唯一 确定缩聚系统
的特征值 _i 及 右特征向 量 pi ,进而由 ( 8b)、 ( 10) 唯 一确定左特征向量 qi。显然 ,这样求得 的缩聚问题的 特 征 解有 (k - j + 1) 对 , 即 (_ j , pj , qj ) ～ (_ k , pk , qk )。这就 求得了 摄动 系统的 特征 值的近 似解 _ i ,以 及特征向量的近似解 S pi , Rqi ,它们分别具有二阶精 度及一阶精度。